2019届二轮复习函数和方程学案（全国通用）

2019届二轮复习函数和方程学案（全国通用）

考情速递 ‎1真题感悟学+ + ]‎ 真题回放 ‎1.（2018•新课标Ⅱ）函数f（x）=的图象大致为（　　）‎ A． B． ‎ C． D．‎ ‎【答案】：B;‎ ‎【解析】：函数f（﹣x）==﹣=﹣f（x），‎ 则函数f（x）为奇函数，图象关于原点对称，排除A，‎ 当x=1时，f（1）=e﹣＞0，排除D．‎ 当x→+∞时，f（x）→+∞，排除C，‎ 故选：B．‎ ‎2.（2018•新课标Ⅰ）已知函数f（x）=，g（x）=f（x）+x+a．若g（x）存在2个零点，则a的取值范围是（　　）‎ A．[﹣1，0） B．[0，+∞） C．[﹣1，+∞） D．[1，+∞）‎ ‎【答案】：C ‎2热点题型 题型一：函数的图像 例1．（2018•浙江）函数y=2|x|sin2x的图象可能是（　　）‎ A． B． ‎ C． D．‎ ‎【答案】：D ‎【提示】直接利用函数的图象和性质求出结果．‎ 变式训练1‎ ‎1（2018•新课标Ⅲ）函数y=﹣x4+x2+2的图象大致为（　　）‎ A． B． ‎ C． D．‎ ‎【答案】：D ‎【解析】：函数过定点（0，2），排除A，B．函数的导数f′（x）=﹣4x3+2x=﹣2x（2x2﹣1），由f′（x）＞0得2x（2x2﹣1）＜0，得x＜﹣或0＜x＜，此时函数单调递增，由f′（x）＜0得2x（2x2﹣1）＞0，得x＞或﹣＜x＜0，此时函数单调递减，排除C，故选：D．‎ 变式训练2‎ ‎2修订为（2018•红谷滩二模）函数y=的图象大致是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】：D；‎ 题型二：函数的零点问题 例2.（2018•天津）已知a＞0，函数f（x）=．若关于x的方程f（x）=ax恰有2个互异的实数解，则a的取值范围是　　．‎ ‎【答案】（4，8）‎ ‎【解析】：当x≤0时，由f（x）=ax得x2+2ax+a=ax，‎ 得x2+ax+a=0，‎ 得a（x+1）=﹣x2，‎ 得a=﹣，‎ 设g（x）=﹣，则g′（x）=﹣=﹣，‎ 由g′（x）＞0得﹣2＜x＜﹣1或﹣1＜x＜0，此时递增，‎ 由g′（x）＜0得x＜﹣2，此时递减，即当x=﹣2时，g（x）取得极小值为g（﹣2）=4，‎ 当x＞0时，由f（x）=ax得﹣x2+2ax﹣2a=ax，‎ 得x2﹣ax+2a=0，‎ 得a（x﹣2）=x2，当x=2时，方程不成立，‎ 当x≠2时，a=‎ 设h（x）=，则h′（x）==，‎ 由h′（x）＞0得x＞4，此时递增，‎ 由h′（x）＜0得0＜x＜2或2＜x＜4，此时递减，即当x=4时，h（x）取得极小值为h（4）=8，‎ 要使f（x）=ax恰有2个互异的实数解， ]‎ 则由图象知4＜a＜8，‎ 故答案为：（4，8）‎ ‎【提示】分别讨论当x≤0和x＞0时，利用参数分离法进行求解即可．‎ 变式训练3‎ ‎1．（2018•聊城模拟）已知函数f（x）=ex﹣ax有两个零点x1＜x2，则下列说法错误的是（　　）‎ A．a＞e B．x1+x2＞2‎ C．x1x2＞1 D．有极小值点x0，且x1+x2＜2x0‎ ‎【答案】：C；‎ ‎②当a＞0时，∵f′（x）=ex﹣a＞0，∴ex﹣a＞0，解得x＞lna，‎ ‎∴f（x）在（﹣∞，lna）单调递减，在（lna，+∞）单调递增．‎ ‎∵函数f（x）=ex﹣ax有两个零点x1＜x2，‎ ‎∴f（lna）＜0，a＞0，‎ ‎∴elna﹣alna＜0，‎ ‎∴a＞e，A正确；‎ x1+x2=ln（a2x1x2）=2lna+ln（x1x2）＞2+ln（x1x2），‎ 取a=，f（2）=e2﹣2a=0，∴x2=2，f（0）=1＞0，∴0＜x1＜1，∴x1+x2＞2，B正确；‎ f（0）=1＞0，∴0＜x1＜1，x1x2＞1不一定，C不正确；‎ f（x）在（﹣∞，lna）单调递减，在（lna，+∞）单调递增，∴有极小值点x0=lna，由图象观察可得x1+x2＜2x0=2lna，D正确．‎ 故选：C．‎ 题型三利用导数证明不等式 例3．（2018•新课标Ⅱ）已知函数f（x）=ex﹣ax2． 学 ]‎ ‎（1）若a=1，证明：当x≥0时，f（x）≥1；‎ ‎（2）若f（x）在（0，+∞）只有一个零点，求a．‎ ‎【分析】（1）通过两次求导，利用导数研究函数的单调性极值与最值即可证明，‎ ‎（2）方法一、分离参数可得a=在（0，+∞）只有一个根，即函数y=a与G（x）=的图象在（0，+∞）只有一个交点．结合图象即可求得a．‎ 方法二、：①当a≤0时，f（x）=ex﹣ax2＞0，f（x）在（0，+∞）没有零点．．‎ ‎②当a≤0时，设函数h（x）=1﹣ax2e﹣x．f（x）在（0，+∞）只有一个零点⇔h（x）在（0，+∞）只有一个零点．‎ 利用 h′（x）=x（x﹣2）e﹣x，可得h（x））在（0，2）递减，在（2，+∞）递增，结合函数h（x）图象即可求得a．‎ 解：（2）方法一、，f（x）在（0，+∞）只有一个零点⇔方程ex﹣ax2=0在（0，+∞）只有一个根，‎ ‎⇔a=在（0，+∞）只有一个根，‎ 即函数y=a与G（x）=的图象在（0，+∞）只有一个交点．‎ G，‎ 当x∈（0，2）时，G′（x）＜0，当∈（2，+∞）时，G′（x）＞0，‎ ‎∴G（x）在（0，2）递减，在（2，+∞）递增，‎ 当→0时，G（x）→+∞，当→+∞时，G（x）→+∞，‎ ‎∴f（x）在（0，+∞）只有一个零点时，a=G（2）=．‎ 方法二：①当a≤0时，f（x）=ex﹣ax2＞0，f（x）在（0，+∞）没有零点．．‎ ‎②当a＞0时，设函数h（x）=1﹣ax2e﹣x．f（x）在（0，+∞）只有一个零点⇔h（x）在（0，+∞）只有一个零点． . ]‎ ‎ h′（x）=x（x﹣2）e﹣x，当x∈（0，2）时，h′（x）＜0，当x∈（2，+∞）时，h′（x）＞0，‎ ‎∴h（x））在（0，2）递减，在（2，+∞）递增，∴，（x≥0）．‎ 当h（2）＜0时，即a，由于h（0）=1，‎ 且当x＞0时，ex＞x2，可得h（4a）=1﹣==1﹣＞0．h（x）在（0，+∞）有2个零点 当h（2）＞0时，即，h（x）在（0，+∞）没有零点，‎ 当h（2）=0时，即a=，h（x）在（0，+∞）只有一个零点，‎ 综上，f（x）在（0，+∞）只有一个零点时，a=．‎ ‎3新题预测 ‎1、2018•淄博二模）函数f（x）=x2•cosx在的图象大致是（　　）‎ A． B． ‎ C． D．‎ ‎【答案】：B ‎2、（2018•浙江）已知λ∈R，函数f（x）=，当λ=2时，不等式f（x）＜0的解集是　　．若函数f（x）恰有2个零点，则λ的取值范围是　　．‎ 答案：{x|1＜x＜4}；（1，3]∪（4，+∞）．‎ ‎【答案】：{x|1＜x＜4}；（1，3]∪（4，+∞）．‎ ‎【解析】当λ=2时函数f（x）=，显然x≥2时，不等式x﹣4＜0的解集：{x|2≤x＜4}；x＜2时，不等式f（x）＜0化为：x2﹣4x+3＜0，解得1＜x＜2，综上，不等式的解集为：{x|1＜x＜4}．‎ 函数f（x）恰有2个零点，‎ 函数f（x）=的草图如图：‎ 函数f（x）恰有2个零点，则1＜λ≤3或λ＞4．‎ 故答案为：{x|1＜x＜4}；（1，3]∪（4，+∞）．‎ ‎3（2018•安顺三模）设函数．‎ ‎（1）当m=﹣1时，求函数f（x）零点的个数；‎ ‎（2）当m=1时，证明．‎ ‎【解析】：（1）解：当m=﹣1时，f（x）=lnx﹣，‎ f′（x）=，‎ 由f′（x）=0，得x=﹣（舍），或x=1．‎ ‎∴当x∈（0，1）时，f′（x）＞0，当x∈（1，+∞）时，f′（x）＜0，‎ 则f（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减，‎ 则f（x）的极大值为f（1）=0．‎ ‎∴函数f（x）零点的个数为1；‎ ‎（2）证明：当m=1时，f（x）=lnx+，‎ f（x﹣1）=ln（x﹣1）+=ln（x﹣1）+﹣2x+5．‎ 令g（x）=f（x﹣1）﹣，‎ 要证g（x）＞0，只需证ln（x﹣1）+＞（x＞1）．‎ 令h（x）=ln（x﹣1）+，则h′（x）=．‎ 当x∈（1，2）时，h′（x）＜0，h（x）单调递减，‎ 当x∈（2，+∞）时，h′（x）＞0，h（x）单调递增，‎ ‎∴h（x）在（1，+∞）上的最小值为h（2）=1．‎ 而当x＞1时，．‎ ‎∴ln（x﹣1）+＞（x＞1）．‎ 则当m=1时，．‎ 专题训练题函数与方程测试题 ‎1. （2018•郴州三模）已知R上的奇函数f（x）满足：当x＜0时，f（x）=log2（1﹣x），则f（f（1））=（　　） 学 ]‎ A．﹣1 B．﹣2 C．1 D．2‎ ‎【答案】：C；‎ ‎2. （2018•通州区三模）设f（x）为定义在R上的偶函数，且f（x）在[0，+∞）上为增函数，则f（﹣2），f（﹣π），f（3）的大小顺序是（　　）‎ A．f（﹣π）＜f（﹣2）＜f（3） B．f（﹣2）＜f（3）＜f（﹣π） ‎ C．f（﹣π）＜f（3）＜f（﹣2） D．f（3）＜f（﹣2）＜f（﹣π）‎ ‎【答案】：B；‎ ‎【解析】：f（x）为定义在R上的偶函数，且f（x）在[0，+∞）上为增函数，‎ 可得f（﹣2）=f（2），f（﹣π）=f（π），‎ 由2＜3＜π，可得f（2）＜f（3）＜f（π），‎ 即f（﹣2）＜f（3）＜f（﹣π），故选：B．‎ ‎3. （2018•河南一模）已知函数y=f（x），满足y=f（﹣x）和y=f（x+2）是偶函数，且f（1）=，设F（x）=f（x）+f（﹣x），则F（3）=（　　）‎ A． B． C．π D．‎ ‎【答案】：B；‎ ‎4. 【2018全国三卷7】函数的图像大致为 ‎【答案】：D ‎5（2018•合肥二模）已知函数是奇函数，则f（a）的值等于（　　）‎ A． B．3 C．或3 D．或3‎ ‎【答案】：C;‎ ‎5. （2018•濮阳二模）若是奇函数，则f（g（﹣2））的值为（　　）‎ A． B． C．1 D．﹣1‎ ‎【答案】：C；‎ ‎【解析】：∵是奇函数，‎ ‎∴x＜0时，g（x）=﹣+3，‎ ‎∴g（﹣2）=﹣+3=﹣1，‎ f（g（﹣2））=f（﹣1）=g（﹣1）=﹣+3=1．‎ 故选：C．‎ ‎6. （2018•长沙一模）已知f（x）是定义在R上的偶函数，且当x≥0时，f（x）=x2﹣x，则不等式f（x+2）＜6 的解集是（　　）‎ A．{x|﹣5＜x＜1} B．{x|﹣4＜x＜0} C．{x|﹣1＜x＜5} D．{x|0＜x＜4}‎ ‎【答案】：A;‎ ‎7. （2018•南昌二模）已知函数f（x）=，设g（x）=kf（x）+x2+x（k为常数），若g（10）=2018，则g（﹣10）等于（　　）‎ A．1998 B．2038 C．﹣1818 D．﹣2218‎ ‎【答案】：A;‎ ‎【解析】：∵函数f（x）=，‎ 设g（x）=kf（x）+x2+x（k为常数），g（10）=2018，‎ ‎∴g（10）=kf（10）+100+10=k（210﹣1）+110=2018，‎ ‎∴k（210﹣1）=1908，‎ ‎∴g（﹣10）=kf（﹣10）+100﹣10=k（210﹣1）+90=1908+90=1998．‎ 故选：A．‎ ‎8. （2018•赤峰模拟）已知b＞0，a＞0且a≠1，则“（a﹣1）（b﹣1）＞0”是“logab＞0”的（　　）‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎【答案】：C；‎ ‎【解析】：b＞0，a＞0且a≠1，则“（a﹣1）（b﹣1）＞0”⇔或，⇔logab＞0，∴b＞0，a＞0且a≠1，则“（a﹣1）（b﹣1）＞0”是“logab＞0”的充要条件．故选：C．‎ ‎9 (2018湖南、江西十四校第二次联考)已知函数f(x)=(ex-e-x)x2,若实数m满足f(log3m)-f≤2f ‎(1),则实数m的取值范围为(　　)‎ A.(0,3] B.‎ C.(0,9] D.∪(3,+∞)‎ ‎【答案】：A ‎10 (2018全国Ⅱ·3)函数f(x)= 的图象大致为 (　　)‎ ‎【答案】：B ‎【解析】：∵f(-x)= =-f(x),∴f(x)为奇函数,排除A,令x=10,则f(10)=>1,排除C、D,故选B.‎ ‎11. (2017全国Ⅰ·8)函数y=的部分图象大致为(　　)‎ ‎【答案】：C ‎12 (2018山东烟台一模)已知函数y=f(x)对任意的x∈(0,π)满足f'(x)sin x>f(x)cos x(其中f'(x)为函数f(x)的导函数),则下列不等式成立的是(　　)‎ A.ff C.f>f D.ff(x)cos x,‎ ‎∴f'(x)sin x-f(x)cos x>0,∴F'(x)>0,‎ ‎∴y=F'(x)在(0,π)内为单调递增函数.‎ ‎∴F>F,即,即f>f,故选B.‎ 二．填空题 ‎13. （2018•九江三模）已知函数f（x）=ax﹣log2（2x+1）（a∈R）为偶函数，则a=　　．‎ ‎【答案】：‎ ‎14. （2018•嘉定区一模）已知函数f（x）是定义在R上且周期为4的偶函数，当x∈[2，4]时，‎ ‎，则的值为　　．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】：∵函数f（x）是定义在R上且周期为4的偶函数，‎ ‎∴，又当x∈[2，4]时，，‎ ‎∴f（）=f（）=．故答案为：．‎ ‎15. （2018•天津）已知a∈R，函数f（x）=．若对任意x∈[﹣3，+∞），f（x）≤|x|恒成立，则a的取值范围是　　．‎ ‎【答案】：[，2]；‎ 故答案为：[，2]．‎ ‎16（2018•新课标Ⅲ）已知函数f（x）=ln（﹣x）+1，f（a）=4，则f（﹣a）=　　．‎ ‎【答案】：-2；‎