2020届二轮复习(理)专题七第2讲不等式选讲学案

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文档介绍

2020届二轮复习(理)专题七第2讲不等式选讲学案

第2讲 不等式选讲 ‎「考情研析」    不等式选讲主要考查平均值不等式的应用,绝对值三角不等式的理解及应用、含绝对值不等式的解法、含参不等式解法和恒成立问题以及不等式的证明方法(比较法、综合法、分析法、放缩法)及它们的应用.其中绝对值不等式的解法及证明方法的应用是重点.难度不大,分值10分,一般会出现在选考部分第二题的位置.‎ 核心知识回顾 ‎1.绝对值的三角不等式 定理1:如果a,b是实数,则|a+b|≤|a|+|b|,当且仅当ab≥0时,等号成立.‎ 定理2:如果a,b,c是实数,那么|a-c|≤|a-b|+|b-c|,当且仅当(a-b)(b-c)≥0时,等号成立.‎ ‎2.|ax+b|≤c(c>0)和|ax+b|≥c(c>0)型不等式的解法 ‎(1)|ax+b|≤c(c>0)⇔-c≤ax+b≤c.‎ ‎(2)|ax+b|≥c(c>0)⇔ax+b≥c或ax+b≤-c.‎ ‎3.|x-a|+|x-b|≥c(c>0)和|x-a|+|x-b|≤c(c>0)型不等式的解法 ‎(1)利用绝对值不等式几何意义求解,体现数形结合思想.‎ ‎(2)利用“零点分段法”求解,体现分类讨论思想.‎ ‎(3)通过构建函数,利用函数图象求解,体现函数与方程思想.‎ ‎4.证明不等式的基本方法 ‎(1)比较法;(2)综合法;(3)分析法;‎ ‎(4)反证法;(5)放缩法.‎ ‎5.二维形式的柯西不等式 若a,b,c,d都是实数,则(a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2,当且仅当ad=bc时,等号成立.‎ 热点考向探究 考向1 绝对值不等式的解法及应用 角度1 绝对值不等式的解法 例1 (2019·乌鲁木齐高三第二次质量检测)已知函数f(x)=2|x+1|-|x-a|,a∈R.‎ ‎(1)当a=1时,求不等式f(x)<0的解集;‎ ‎(2)若关于x的不等式f(x)f(x)min.‎ f(x)=所以f(x)的最小值为9.‎ 所以a>9,即实数a的取值范围为(9,+∞).‎ 角度2 绝对值不等式恒成立(或存在性)问题 例2 (2019·德阳市高三第二次诊断)已知函数f(x)=|x-a|-|x+2|.‎ ‎(1)当a=1时,求不等式f(x)≤-x的解集;‎ ‎(2)若f(x)≤a2+1恒成立,求a的取值范围.‎ 解 (1)当a=1时,f(x)=|x-1|-|x+2|,‎ 即f(x)=不等式f(x)≤-x即为或或 即有x≤-3或-1≤x<1或1≤x≤3,得x≤-3或-1≤x≤3,‎ 所以不等式的解集为{x|x≤-3或-1≤x≤3}.‎ ‎(2)因为|x-a|-|x+2|≤|x-a-x-2|=|a+2|,‎ 所以f(x)≤|a+2|,‎ 若f(x)≤a2+1恒成立,则|a+2|≤a2+1,‎ 即或 解得a≤或a≥,‎ 解答含参数的绝对值不等式应熟记的几个转化 f(x)>a恒成立⇔f(x)min>a;f(x)a有解⇔f(x)max>a;f(x)a无解⇔f(x)max≤a;f(x)0,b>0,函数f(x)=|x+a|-|x-b|.‎ ‎(1)当a=1,b=1时,解关于x的不等式f(x)>1;‎ ‎(2)若函数f(x)的最大值为2,求证:+≥2.‎ 解 (1)当a=1,b=1时,‎ f(x)=|x+1|-|x-1|= ‎①当x≥1时,f(x)=2>1,不等式恒成立,‎ 此时不等式的解集为{x|x≥1};‎ ‎②当-1≤x<1时,f(x)=2x>1,所以x>,‎ 此时不等式的解集为;‎ ‎③当x<-1时,f(x)=-2>1,不等式不成立,此时无解.‎ 综上所述,不等式f(x)>1的解集为.‎ ‎(2)证法一:由绝对值三角不等式可得 ‎|x+a|-|x-b|≤|a+b|,a>0,b>0,∴a+b=2,‎ ‎∴+=(a+b)=≥2,‎ 当且仅当a=b=1时,等号成立.‎ 证法二:∵a>0,b>0,∴-a<00,a+b+c=1.求证:‎ ‎(1)++≤ ;‎ ‎(2)++≥.‎ 证明 (1)由柯西不等式得(++)2=(1·+1·+1·)2≤(12+12+12)[()2+()2+()2]=3,当且仅当==,即a=b=c=时等号成立,∴++≤ .‎ ‎(2)证法一:∵+(3a+1)≥2=4,‎ ‎∴≥3-3a.同理得≥3-3b,≥3-3c,‎ 以上三式相加得,4≥9-3(a+b+c)=6,‎ ‎∴++≥.‎ 证法二:由柯西不等式得 ‎[(3a+1)+(3b+1)+(3c+1)]≥+·+·2=9,‎ 又a+b+c=1,∴6≥9,‎ ‎∴++≥.‎ 柯西不等式的应用方法 ‎(1)使用柯西不等式证明的关键是恰当变形,化为符合它的结构形式,当一个式子与柯西不等式的左边或右边具有一致形式时,就可使用柯西不等式进行证明.‎ ‎(2)利用柯西不等式求最值的一般结构为(a+a+…+a)≥(1+1+…+1)2=n2.在使用柯西不等式时,要注意右边为常数且应注意等号成立的条件.‎ ‎(2019·南通市高三下学期模拟)已知a,b,c均为正数,且a+2b+4c=3,求++的最小值,并指出取得最小值时a,b,c的值.‎ 解 因为a+2b+4c=3,所以(a+1)+2(b+1)+4(c+1)=10,‎ 因为a,b,c为正数,所以由柯西不等式得,[(a+1)+2(b+1)+4(c+1)]·++≥(1++2)2,‎ 当且仅当(a+1)2=2(b+1)2=4(c+1)2等式成立,‎ 所以++≥,‎ 所以++的最小值是,‎ 此时a=,b=,c=.‎ 真题押题 ‎『真题模拟』‎ ‎1.(2019·哈尔滨市第六中学高三第二次模拟)设函数f(x)=|2x-1|+2|x+1|-a.‎ ‎(1)当a=4时,求不等式f(x)>0的解集;‎ ‎(2)若函数f(x)的定义域为R,求a的取值范围.‎ 解 (1)当a=4时,f(x)>0为|2x-1|+2|x+1|>4,‎ 当x≤-1时,1-2x-2x-2>4⇒x<-;‎ 当-14,无解;‎ 当x≥时,2x-1+2x+2>4⇒x>.‎ 综上,f(x)>0的解集为(-∞,-)∪(,+∞).‎ ‎(2)由题意得|2x-1|+2|x+1|>a恒成立,a<(|2x-1|+2|x+1|)min.‎ ‎|2x-1|+2|x+1|=|2x-1|+|2x+2|≥|(2x-1)-(2x+2)|=3,∴a<3.‎ ‎2.(2019·赤峰市高三模拟)已知函数f(x)=|x+1|+|x-1|,g(x)=x2-2x-1.‎ ‎(1)若m,n∈R,不等式f(m)≥g(n)恒成立,求实数n的取值范围;‎ ‎(2)设a>0,b>0,且a+b=2,求证:+≤2.‎ 解 (1)由f(m)=|m-1|+|m+1|≥|(m-1)-(m+1)|=2,‎ ‎∴f(m)min=2,∴n2-2n-1≤2,∴-1≤n≤3,所以n的取值范围是[-1,3].‎ ‎(2)证明:由(1)可知,2≥2,‎ ‎∴(+)2=a+b+2+2≤4+(a+1)+(b+1)=8,∴+≤2,‎ 当且仅当a=b=1时等号成立,‎ ‎∴+≤2.‎ ‎3.(2019·全国卷Ⅰ)已知a,b,c为正数,且满足abc=1.‎ 证明:(1)++≤a2+b2+c2;‎ ‎(2)(a+b)3+(b+c)3+(c+a)3≥24.‎ 证明 (1)因为a2+b2≥2ab,b2+c2≥2bc,c2+a2≥2ac,又abc=1,故有a2+b2+c2≥ab+bc+ca==++.‎ 当且仅当a=b=c=1时,等号成立.‎ 所以++≤a2+b2+c2.‎ ‎(2)因为a,b,c为正数且abc=1,‎ 故有(a+b)3+(b+c)3+(c+a)3‎ ‎≥3=3(a+b)(b+c)(c+a)‎ ‎≥3×(2)×(2)×(2)=24.‎ 当且仅当a=b=c=1时,等号成立.‎ 所以(a+b)3+(b+c)3+(c+a)3≥24.‎ ‎『金版押题』‎ ‎4.已知函数f(x)=|2x-3|-|x+1|.‎ ‎(1)若不等式f(x)≤a的解集是空集,求实数a的取值范围;‎ ‎(2)若存在x0∈R,使得2f(x0)≤-t2+4|t|成立,求实数t的取值范围.‎ 解 (1)f(x)=|2x-3|-|x+1|‎ ‎= y=f(x)的图象如图所示,‎ 易得f(x)min=-.‎ ‎∵不等式f(x)≤a的解集是空集,‎ ‎∴a的取值范围为.‎ ‎(2)∃x0∈R,使得2f(x0)≤-t2+4|t|成立,‎ 即2f(x)min≤-t2+4|t|,由(1)知f(x)min=-,‎ ‎∴t2-4|t|-5≤0,解得-5≤t≤5,∴t的取值范围为[-5,5].‎ 配套作业 ‎1.(2019·西安八校高三联考)已知a,b均为实数,且|3a+4b|=10.‎ ‎(1)求a2+b2的最小值;‎ ‎(2)若|x+3|-|x-2|≤a2+b2对任意的a,b∈R恒成立,求实数x的取值范围.‎ 解 (1)因为102=(3a+4b)2≤(32+42)(a2+b2)=25(a2+b2),所以a2+b2≥4,当且仅当=,‎ 即或时取等号,即a2+b2的最小值为4.‎ ‎(2)由(1)知|x+3|-|x-2|≤a2+b2对任意的a,b∈R恒成立⇔|x+3|-|x-2|≤4⇔或或⇔x<-3或-3≤x≤⇔x≤,所以实数x的取值范围为(-∞,].‎ ‎2.已知函数f(x)=|2x-a|+|x-1|.‎ ‎(1)当a=3时,求不等式f(x)≥2的解集;‎ ‎(2)若f(x)≥5-x对任意x∈R恒成立,求实数a的取值范围.‎ 解 (1)当a=3时,即求解|2x-3|+|x-1|≥2,‎ ‎①当x≥时,2x-3+x-1≥2,∴x≥2;‎ ‎②当10,所以x不存在;‎ 当0≤x<时,原不等式可化为-2x-x<0,‎ 解得x>0,所以02x成立,求a的取值范围.‎ 解 (1)当a=1时,‎ f(x)=|2x+1|-|x-1|= 由f(x)≤2,得或或 解得x∈∅或-≤x≤或-4≤x<-,‎ ‎6.已知函数f(x)=|x-m|,m<0.‎ ‎(1)当m=-1时,解不等式f(x)+f(-x)≥2-x;‎ ‎(2)若不等式f(x)+f(2x)<1的解集非空,求m的取值范围.‎ 解 (1)当m=-1时,f(x)+f(-x)=|x+1|+|x-1|,‎ 设F(x)=|x+1|+|x-1|= 当x<-1时,-2x≥2-x,解得x≤-2;‎ 当-1≤x<1时,2≥2-x,解得0≤x<1;‎ 当x≥1时,2x≥2-x,解得x≥1.‎ 综上,原不等式的解集为{x|x≤-2或x≥0}.‎ ‎(2)f(x)+f(2x)=|x-m|+|2x-m|,m<0.‎ 设g(x)=f(x)+f(2x),‎ 当x≤m时,g(x)=m-x+m-2x=2m-3x,则g(x)≥-m;‎ 当m-,解得m>-2,由于m<0,故m的取值范围是(-2,0).‎ ‎7.(2019·宝鸡市高考模拟)已知函数f(x)=|x-2|-|x+3|.‎ ‎(1)求不等式f(x)≤2的解集;‎ ‎(2)若不等式f(x)2,‎ ‎ ‎ ‎(2)因为|f(x)|=||x-2|-|x+3||≤|x-2-x-3|=5,‎ 所以-5≤f(x)≤5,即f(x)min=-5;‎ 要使不等式f(x)0,解得a<-5或a>-1,‎ 所以a的取值范围为(-∞,-5)∪(-1,+∞).‎ ‎8.(2019·太原市高三模拟)已知函数f(x)=|2x-1|+2|x+1|.‎ ‎(1)求不等式f(x)≤5的解集;‎ ‎(2)若存在实数x0,使得f(x0)≤5+m-m2成立的m的最大值为M,且实数a,b满足a3+b3=M,证明:00,‎ ‎∵2ab≤a2+b2,∴4ab≤(a+b)2,∴ab≤,‎ ‎∵2=a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)=(a+b)[(a+b)2-3ab]≥(a+b)3,∴a+b≤2,∴0
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