2020年河南省南阳市卧龙区中考数学一模试卷 (含解析)

2020年河南省南阳市卧龙区中考数学一模试卷 (含解析)

2020 年河南省南阳市卧龙区中考数学一模试卷 一、选择题（本大题共 10 小题，共 30.0 分） 1. 的绝对值是 A. B. C. D. 2. 预计到 2025 年，中国 5G 用户将超过 460000000，将 460000000 用科学记数法表示为 A. .䁥 1 B. 䁥 1 C. .䁥 1 D. .䁥 1 3. 如图，该几何体的俯视图可能是 A. B. C. D. . 下面是一位同学做的四道题：  䁮 ： 2  2 䁮 ： 2 ， 2 2 2  ，   3  2 ，  3   12 . 其中做对的一道题的序号是 A. B. C. D. . 对于一组数据 3，7，5，3，2，下列说法正确的是 A. 中位数是 5 B. 众数是 7 C. 平均数是 4 D. 方差是 3 䁥. 不等式组 2䁕 䁮 䁥 2䁕 1 䁮 2䁕 的解集在数轴上表示正确的是 A. B. C. D. . 如果一元二次方程 2䁕 2 䁮 3䁕 䁮 有实数根，那么实数 m 的取值范围为 A. B. C. D. . 叮叮、铛铛两位同学参加中央美术学院的考试，要求从素描、速写和色彩中抽考一项，那么这 两位学生抽到同一项的概率是 A. 1 B. 1 䁥 C. 1 D. 1 3 . 如图，已知 1 3䁥 ， 2 3䁥 ， 3 1 ，则 的度数等于 A. B. 3䁥C. D. 1 1. 将 向右平移 4 个单位，再向下平移 2 个单位，点 P 的对应点 ’ 的坐标是 A. 1䁥 B. 䁥 C. 12 D. 2二、填空题（本大题共 5 小题，共 15.0 分） 11. 计算的结果是 2 3 1 21䁥 䁮 1 2 2 的结果是______． 12. 若抛物线 䁕 2 䁮 ：䁕 䁮 的顶点在 x 轴上，则 ： ________． 13. 如图，在 香䁨 中， 䁨香 ，按以下步骤作图： 以 C 为圆心，以适当长为半径画弧交 AC 于 E，交 BC 于 F． 分别以 E，F 为圆心，以大于 1 2 的长为半径作弧，两弧相交于 P； 作射线 CP 交 AB 于点 D， 若 䁨 3 ， 香䁨 ，则 䁨䁨 的面积为______． 1. 如图，扇形 AOB 中， 香 ，点 C 为 OA 的中点， 䁨 交弧 AB 于点 E，以点 C 为圆心，OA 的长为直径作半圆交 CE 于点 D，若 ， 则图中阴影部分的面积为______． 1. 如图，把等边 香䁨 沿着 䁨 折叠，使点 A 恰好落在 BC 边上的点 P 处，且 䁨 香䁨 ，若 香 䀀 ，则 䁨 ______cm． 三、解答题（本大题共 8 小题，共 75.0 分） 1䁥. 先化简，再求值： 1 䁮 1 䁕 2 1 䁕 䁕䁮1 ，其中 䁕 2 ． 1. 某校为了了解九年级男生 1000m 长跑的成绩，从中随机抽取了 50 名男生进行测试，根据测试 评分标准，将他们的得分进行统计后分为 A，B，C，D 四个等级，并绘制成下面的频数表和扇 形统计图． 等级 成绩 得分 频数 人 频率 A 10 分 7 .19 分 12 .2 B 8 分 x m 7 分 8 .1䁥 C 6 分 y n 5 分 1 .2D 5 分以下 3 .䁥合计 50 1. 1 求出 x，y 的值，直接写出 m，n 的值； 2 求表示得分为 C 等级的扇形的圆心角的度数； 3 如果该校九年级共有男生 250 名，试估计这 250 名男生中成绩达到 A 等级的人数． 18. 如图，在四边形 ABCD 中， 䁨 香䁨 ， 香 䁨 ，AD 不平行于 BC，过点 C 作 䁨䁨䁨䁨 交 香䁨的外接圆 O 于点 E，连接 AE． 1 求证：四边形 AECD 为平行四边形； 2 连接 CO，求证：CO 平分 香䁨. 19. 如图，甲船在港口 P 的南偏西 䁥 方向，距港口 80 海里的 A 处，沿 AP 方向以每小时 18 海里的 速度匀速驶向港口 . 乙船从港口 P 出发，沿南偏东 方向匀速驶离港口 P，已知两船同时出发， 经过 2 小时乙船恰好在甲船的正东方向．求乙船的行驶速度． 结果保留根号 20. 某班“数学兴趣小组”对函数 1 䁕1 䁮 䁕 的图象与性质进行了探究，探究过程如下，请补充完 整． 1 函数 1 䁕1 䁮 䁕 的自变量 x 的取值范围是 ； 2 下表是 y 与 x 的几组对应值． x 3 2 1 0 1 2 3 3 2 2 3 4 5 y 13 3 3 2 1 3 2 13 21 2 3 2 m 21 求 m 的值； 3 如图，在平面直角坐标系 xOy 中，描出了以上表中各对对应值为坐标的点，根据描出的点， 画出该函数的图象； 进一步探究发现，该函数图象在第一象限内的最低点的坐标是 23 ，结合函数的图象，写出 该函数的其它性质 一条即可 ： ． 小明发现， 该函数的图象关于点 ， 成中心对称； 该函数的图象与一条垂直于 x 轴的直线无交点，则这条直线为 ； 直线 与该函数的图象无交点，则 m 的取值范围为 ． 21. 襄阳市某农谷生态园响应国家发展有机农业政策，大力种植有机蔬菜．某超市看好甲、乙两种 有机蔬菜的市场价值，经调查，这两种蔬菜的进价和售价如下表所示： 有机蔬菜种类 进价 元 䁨′〲 售价 元 䁨′〲甲 m 16 乙 n 18 1 该超市购进甲种蔬菜 10kg 和乙种蔬菜 5kg 需要 170 元；购进甲种蔬菜 6kg 和乙种蔬菜 10kg 需要 200 元．求 m，n 的值； 2 该超市决定每天购进甲、乙两种蔬菜共 100kg 进行销售，其中甲种蔬菜的数量不少于 20kg， 且不大于 ′〲. 实际销售时，由于多种因素的影响，甲种蔬菜超过 60kg 的部分，当天需要打 5 折才能售完，乙种蔬菜能按售价卖完．求超市当天售完这两种蔬菜获得的利润额 元 与购进甲 种蔬菜的数量 䁕′〲 之间的函数关系式，并写出 x 的取值范围； 3 在 2 的条件下，超市在获得的利润额 元 取得最大值时，决定售出的甲种蔬菜每千克捐出 2a 元，乙种蔬菜每千克捐出 a 元给当地福利院，若要保证捐款后的盈利率不低于 2不 ，求 a 的 最大值． 22. 1 问题发现 如图 1，在 香 中， 香 ， 香 ，D 是 OB 上一点，将点 D 绕点 O 顺时针旋转 得到点 C，则 AC 与 BD 的数量关系是______． 2 类比探究 如图 2，将 䁨䁨 绕点 O 在平面内旋转， 1 中的结论是否成立，并就图 2 的情形说明理由． 3 拓展延伸 䁨䁨 绕点 O 在平面内旋转，当旋转到 䁨䁨䁨香 时，请直接写出 香䁨 度数． 23. 已知直线 ′䁕 䁮 ′ 与 y 轴交于点 M，且过抛物线 䁕 2 䁮 ：䁕 䁮 䀀 的顶点 P 和抛物线 上的另一点 Q． 1 若点 2 2 求抛物线解析式； 若 ܯ ，求直线解析式． 2 若 ： ， 䀀 ： 2 ，过点 Q 作 x 轴的平行线与抛物线的对称轴交于点 E，当 2时，求 ܯ 的面积 S 的最大值． 【答案与解析】 1.答案：A 解析：解： ， 故选：A． 计算绝对值要根据绝对值的定义求解，第一步列出绝对值的表达式，第二步根据绝对值定义去掉这 个绝对值的符号． 本题主要考查了绝对值的定义，绝对值规律总结：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值 是它的相反数；0 的绝对值是 0，比较简单． 2.答案：C 解析： 此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为  1 的形式，其中 1  1 ，n 为整数，表示时关键要正确确定 a 的值以及 n 的值． 确定 n 的值时，要看把原数变成 a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同．当 原数绝对值 1 时，n 是正数；当原数的绝对值 1 时，n 是负数． 解：将 460000000 用科学记数法表示为 .䁥 1 ． 故选：C． 3.答案：A 解析： 本题考查了简单组合体的三视图，从上边看得到的图形是俯视图．根据从上边看得到的图形是俯视 图，可得答案． 解： 的俯视图可能是 ， 故选 A． 4.答案：C 解析：解：  䁮 ： 2  2 䁮 2： 䁮 ： 2 ，故此选项错误； 2 2 2  ，故此选项错误；   3  2 ，正确；  3   ，故此选项错误． 故选：C． 直接利用完全平方公式以及同底数幂的乘除运算法则、积的乘方运算法则分别计算得出答案． 此题主要考查了完全平方公式以及同底数幂的乘除运算、积的乘方运算，正确掌握相关运算法则是 解题关键． 5.答案：C 解析：解：A、把这组数据从小到大排列为：2，3，3，5，7，最中间的数是 3，则中位数是 3，故本 选项错误； B、3 出现了 2 次，出现的次数最多，则众数是 3，故本选项错误； C、平均数是： 3 䁮 䁮 䁮 3 䁮 2 ，故本选项正确； D、方差是： 1 2 3 2 䁮 2 䁮 2 䁮 2 2 3.2 ，故本选项错误； 故选：C． 根据平均数、众数、中位数及方差的定义和公式分别对每一项进行分析，再进行判断即可． 此题考查了平均数、众数、中位数及方差的知识，中位数是将一组数据从小到大 或从大到小 重新 排列后，最中间的那个数 最中间两个数的平均数 ，叫做这组数据的中位数，众数是一组数据中出 现次数最多的数；一般地设 n 个数据， 䁕1 ， 䁕2 ， 䁕 的平均数为 䁕 ，则方差 2 1 䁕1 䁕 2 䁮 䁕2 䁕 2 䁮 䁮 䁕 䁕 2 .6.答案：C 解析： 本题考查了解一元一次不等式组，并在数轴上表示不等式组的解集，把每个不等式的解集在数轴上 表示出来 向右画； ， 向左画 ，数轴上的点把数轴分成若干段，如果数轴的某一段上面表 示解集的线的条数与不等式的个数一样，那么这段就是不等式组的解集．在表示解集时“ ”，“ ” 要用实心圆点表示；“ ”，“ ”要用空心圆点表示．求不等式组的解集应遵循“同大取较大，同 小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了”的原则．先分别求出各不等式的解集，再求其公共 解集即可． 解：令 2 䁕 䁮 䁥 2䁕 1 䁮 2䁕 解不等式 得： 䁕 2 ， 解不等式 得： 䁕 1 ， 则不等式组的解集为： 2 䁕 1 ， 在数轴上表示为 C 选项， 故选 C． 7.答案：C 解析：解： 一元二次方程 2䁕 2 䁮 3䁕 䁮 有实数根， 2 ， 解得 ． 故选：C． 由于方程有实数根，则根的判别式 ，由此建立关于 m 的不等式，解不等式即可求得 m 的取值 范围． 本题考查了根的判别式，一元二次方程 䁕 2 䁮 ：䁕 䁮 䀀  的根与 ： 2 䀀 有如下关系： 当 时，方程有两个不相等的实数根； 当 时，方程有两个相等的实数根； 当 时，方程无实数根． 上面的结论反过来也成立． 8.答案：D 解析： 本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果 n，再从中选出符合 事件 A 或 B 的结果数目 m，然后利用概率公式计算事件 A 或事件 B 的概率． 画树状图展示所有 9 种等可能的结果数，再找出这两位学生抽到同一项的结果数，然后根据概率公 式求解． 解：画树状图如下 由树状图知，共有 9 种等可能结果， 其中这两位学生抽到同一项的有 3 种结果， 所以这两位学生抽到同一项的概率为 3 1 3 ， 故选：D． 9.答案：A 解析：解： 1 3䁥 ， 2 3䁥 ， 1 2 ， 䁨䁨ܯ ， 3 䁮 1 ， 3 1 ， 1 3 ， 故选 A． 根据平行线的判定与性质定理即可得到结论． 本题考查了平行线的判定与性质，熟练掌握平行线的判定和性质是解题的关键． 10.答案：C 解析： 本题主要考查了坐标系中点的平移规律，在平面直角坐标系中，图形的平移与图形上某点的平移相 同．平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减．直接利用平移中点 的变化规律求解即可． 解：将点 先向右平移 4 个单位长度，再向下平移 2 个单位长度后的坐标是 䁮 2 ， 即 12 ， 故选：C． 11.答案：4 解析：解：原式 1 1 䁮 ， 故答案为：4． 先计算零指数幂、乘方和负整数指数幂，再计算加减可得． 本题主要考查实数的运算，解题的关键是掌握零指数幂、乘方和负整数指数幂． 12.答案： 解析： 本题主要考查了二次函数的性质，解题的关键是掌握顶点的表示方法和 x 轴上的点的特点．抛物线 䁕 2 䁮 ：䁕 䁮 䀀 的顶点坐标为 ： 2 䀀： 2  ，因为抛物线 䁕 2 䁮 ：䁕 䁮 的顶点在 x 轴上， 所以顶点的纵坐标为零，列方程求解． 解： 抛物线 䁕 2 䁮 ：䁕 䁮 的顶点在 x 轴上， 顶点的纵坐标为零，即 䀀： 2  1䁥： 2 1 ， 解得 ： ． 故答案为 ． 13.答案： 1 解析：解：如图，过点 D 作 䁨 䁨 ， 䁨 香䁨 ，垂足分别为 G、H， 由题意可知 CP 是 䁨香 的平分线， 䁨 䁨 ． 在 香䁨 中， 䁨香 ， 䁨 3 ， 香䁨 ， 香䁨 䁨䁨 䁮 香䁨䁨 ，即 1 2 3 1 2 3䁨 䁮 1 2 䁨 ， 解得 䁨 12 ， 䁨䁨 的面积 1 2 3 12 1 ． 故答案为： 1 ． 过点 D 作 䁨 䁨 ， 䁨 香䁨 ，垂足分别为 G、H，由题意可知 CP 是 䁨香 的平分线，根据角平分 线的性质可知 䁨 䁨 ，再由三角形的面积公式求出 DG 的值，进而可得出结论． 本题考查的是作图 基本作图，熟知角平分线的作法和性质是解答此题的关键． 14.答案： 3 2 3 解析：本题考查了扇形的面积计算，解答本题的关键是掌握扇形的面积公式． 连接 OE、AE，根据点 C 为 OC 的中点可得 䁨 3 ，继而可得 为等边三角形，求出扇形 AOE 的面积，最后用扇形 AOB 的面积减去图形 OCEB 的面积，再减去扇形 ACD 的面积即可求出阴 影部分的面积． 解：连接 OE， 点 C 为 OA 的中点， 香 ， 䁨 交弧 AB 于点 E， 䁨 香 3 ， 䁨 䁥 ， ， 䁨 2 ， 䁨 䁨 䁥 2 3 ， 图形 䁨香 的面积 䁨 䁮 扇形 香 1 2 2 2 3 䁮 3 2 3䁥 2 3 䁮 3 ， 扇形 䁨䁨 2 2 3䁥 ， 扇形 香 2 3䁥 ， 阴影部分的面积为 扇形 香 扇形 䁨䁨 图形 䁨香 的面积 3 2 3 ． 故答案为 3 2 3 ． 15.答案： 2 䁮 2 3 解析： 根据等边三角形的性质得到 香 䁨 䁥 ， 香 香䁨 ，根据直角三角形的性质得到 香䁨 䀀 ， 䁨 3䀀 ，根据折叠的性质得到 䁨 䁨 3䀀 ， 䁨 䁥 ，解直角三角形即可得 到结论． 本题考查了翻折变换 折叠问题，等边三角形的性质，直角三角形的性质，正确的理解题意是解题 的关键． 解： 香䁨 是等边三角形， 香 䁨 䁥 ， 香 香䁨 ， 䁨 香䁨 ， 香䁨 ， 香 䀀 ， 香䁨 䀀 ， 䁨 3䀀 ， 把等边 香䁨 沿着 䁨 折叠，使点 A 恰好落在 BC 边上的点 P 处， 䁨 䁨 3䀀 ， 䁨 䁥 ， 香 䁮 3䀀 ， 香䁨 䁮 3䀀 ， 䁨 香䁨 香 䁮 3䀀 ， 䁨 1 䁥 3 ， 䁨 ， 䁨 1 2 䁨 2 䁮 2 3䀀 ， 故答案为： 2 䁮 2 3 ． 16.答案：解：原式 䁕 2 1 䁕䁮1䁕1 䁮 1 䁕䁮1䁕1 䁕䁮1 䁕 䁕 2 䁕 䁮 1䁕 1 䁕 䁮 1 䁕 䁕 䁕1 ， 当 䁕 2 时， 原式 2 21 2 䁮 2 ． 解析：先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将 x 的值代入计算可得． 本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是熟练掌握分式的混合运算顺序和运算法则． 17.答案：解： 1 由表一和扇形图 ， 可得 䁕 䁮 䁥不 ， 解得 䁕 1 ． 由表一，得 䁮 12 䁮 1 䁮 䁮 䁮 1 䁮 3 ， 得 ． .3 ， . ； 2䁨 等级扇形的圆心角的度数为： . 䁮 .2 3䁥 3䁥 ； 3 达到 A 等的人数约为： .1 䁮 .2 2 人 ． 答：估计这 250 名男生中成绩达到 A 等级的人数约有 95 人． 解析：本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用．读懂统计图，从不同的统计图中得到必 要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部 分占总体的百分比大小． 1 首先根据扇形统计图计算 A 等的人数，从而计算出 x 的值，再根据总数计算 y 的值，最后根据频 率 频数 总数，计算 m，n 的值； 2 根据 C 所在的圆心角 䁨 等的频率 3䁥 ； 3 首先计算样本中达到 A 等的人数的频率，进一步估计总体中的人数． 18.答案：证明： 1 香 䁨 ， 香 ， 䁨 E. 䁨䁨䁨䁨 ， 䁮 䁨 1 ． 䁨 䁮 䁨 1 ， 䁨䁨䁨䁨 ， 四边形 AECD 是平行四边形． 2 过点 O 作 ܯ 香䁨 于 M， 䁨 于 N，垂足分别为点 M，N． 四边形 AECD 是平行四边形， 䁨 䁨 ． 又 䁨 香䁨 ， 䁨 香䁨 ． ܯ ，又 ܯ 香䁨 ， 䁨 ， 䁨 平分 香䁨 ． 解析：本题考查的是三角形的外接圆与外心，掌握平行四边形的判定与性质定理、平行线的判定定 理、角平分线的判定定理、垂径定理、圆周角定理是解题的关键． 1 根据圆周角定理得到 香 ，得到 䁨 ，根据平行线的判定定理得到 䁨䁨䁨䁨 ，证明结论； 2 作 ܯ 香䁨 于 M， 䁨 于 N，根据垂径定理、角平分线的判定定理证明． 19.答案：解：设乙船的航行速度为每小时 x 海里，2 小时后甲船 在点 B 处，乙船在点 C 处，则 䁨 2䁕 海里， 过 P 作 䁨 香䁨 于 D，则 香 2 1 海里 ， 在 䁨香 中， 䁨香 ， 香䁨 䁥 ， 䁨 香 䀀݋䁥 22 海里 ， 在 䁨䁨 中， 䁨䁨 ， 䁨䁨 ， 䁨 䁨 䀀݋ 2䁕 2 2 2䁕 ， 2䁕 22 ，即 䁕 11 2 ， 答：乙船的航行速度约为每小时 11 2 海里． 解析：设乙船的航行速度为每小时 x 海里，2 小时后甲船在点 B 处，乙船在点 C 处，则 䁨 2䁕 海 里，过 P 作 䁨 香䁨 于 D，求出 BP，在 香䁨 中求出 PD，然后在 䁨䁨 中表示出 PD，继 而建立方程可解出 x 的值． 本题考查了解直角三角形的应用 方向角问题，解答本题的关键是构造直角三角形，能利用三角函 数表示相关线段的长度，难度一般． 20.答案： 1䁕 1 ； 2䁕 时， 13 3 ， 13 3 ． 3 函数图象如图所示： 䁕 2 时 y 随 x 的增大而增大． 答案不唯一 ； 1 ；1； 䁕 1 ； 1 3 解析： 解： 1 函数 1 䁕1 䁮 䁕 的自变量 x 的取值范围是 䁕 1 ． 故答案为 䁕 1 ． 2 见答案； 3 见答案； 䁕 2 时 y 随 x 的增大而增大． 答案不唯一 故答案为： 䁕 2 时 y 随 x 的增大而增大． 该函数的图象关于点 11 成中心对称； 该函数的图象与一条垂直于 x 轴的直线无交点，则这条直线为 䁕 1 ； 直线 与该函数的图象无交点，则 m 的取值范围为 1 3 ； 故答案为 1，1， 䁕 1 ， 1 3 ； 1 根据分母不能为 0，即可解决问题； 2 求出 䁕 时的函数值即可； 3 利用描点法画出函数图象即可； 根据函数的图象，可得结论； 利用计算的图象解决问题即可； 本题考查函数的图象与性质． 21.答案：解： 1 由题意可得， 1 䁮 1 䁥 䁮 1 2 ，解得， 1 1 答：m 的值是 10，n 的值是 14； 2 当 2 䁕 䁥 时， 1䁥 1䁕 䁮 1 11 䁕 2䁕 䁮 ， 当 䁥 䁕 时， 1䁥 1 䁥 䁮 1䁥 1 . 䁕 䁥 䁮 1 11 䁕 䁕 䁮 ， 由上可得， 2䁕 䁮 2 䁕 䁥 䁕 䁮 䁥 䁕 ； 3 当 2 䁕 䁥 时， 2䁕 䁮 ， 则当 䁕 䁥 时，y 取得最大值，此时 2 ， 当 䁥 䁕 时， 䁕 䁮 ， 则 䁥 䁮 2 ， 由上可得，当 䁕 䁥 时，y 取得最大值，此时 2 ， 在 2 的条件下，超市在获得的利润额 元 取得最大值时，决定售出的甲种蔬菜每千克捐出 2a 元， 乙种蔬菜每千克捐出 a 元给当地福利院，且要保证捐款后的盈利率不低于 2不 ， ， 解得，  1. ， 即 a 的最大值是 1. ． 解析：本题考查一次函数的应用、二元一次方程组的应用、解一元一次不等式，解答本题的关键是 明确题意，利用一次函数的性质和方程的知识解答． 1 根据题意可以列出相应的二元一次方程组，从而可以求得 m、n 的值； 2 根据题意，利用分类讨论的方法可以求得 y 与 x 的函数关系式； 3 根据 2 中的条件，可以求得 y 的最大值，然后再根据题意，即可得到关于 a 的不等式，即可求 得 a 的最大值，本题得以解决． 22.答案： 䁨 香䁨 解析：解：问题发现 1 将点 D 绕点 O 顺时针旋转 得到点 C， 䁨 䁨 ，且 香 ， 䁨 香䁨 ， 故答案为： 䁨 香䁨 ； 2 结论仍然成立， 理由如下： 将 䁨䁨 绕点 O 在平面内旋转， 䁨䁨 香 ， 香䁨 䁨 ，且 香 ， 䁨 䁨 ， 䁨≌ 香䁨 䁨 香䁨 ； 3 香 ， 香 ， 香 香 䁥 ， 当点 D 在点 O 左侧， 䁨䁨䁨香 ， 香䁨 䁮 香 1 ， 香䁨 11 ， 当点 D 在点 O 右侧， 䁨䁨䁨香 ， 香䁨 香 䁥 ． 问题发现 1 由旋转的性质可得 䁨 䁨 ，由 香 ，可得 䁨 香䁨 ； 类比探究 2 由“SAS”可证 䁨≌ 香䁨 ，可得 䁨 香䁨 ； 拓展延伸 3 由平行线的性质可求解． 本题是几何变换综合题，考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，平行 线的性质，灵活运用这些性质进行推理是本题的关键． 23.答案：解： 1 2 2 ， 䁕 2 2 2 ， 抛物线的解析式为 䁕 2 䁕 䁮 2 ． 令 䁕 ， ， ܯ ， 直线经过点 2 2 ， 2′ 䁮 2 ， ′ 1 2 ， 令 ′䁕 䁮 䁕 2 䁕 䁮 2 ， 解得 䁕1 2 ， 䁕2 1 2 ， 1 2 1 2 䁮 1 ， ， 1䁥 的面积最大，最大值为 ܯ ，时 2 ： 当 ， 1 ， 1䁥 2 䁮 ： 䁮 1 2 1 ： ： 䁮 2 2 1 ܯ ，时 ： 1 的面积最大，最大值为 1． ܯ ，时 䁕 当 ， 1䁥 2 2 ： 䁮 1 2 1 䁮 ： ： 䁮 2 2 1 ܯ ，时 1 ： ， ： ， 2 3 ： 2 1 2 ： 䁕 或 3 2 ： 䁕 2 解得 2 ： 䁮 ：䁕 䁮 2 䁕 2䁕 1 ： 由 ， 1 ： 点 M 的坐标为 ， 2䁕 1 ： 直线 PQ 为 ， ：ݔ 1 ： ， 1 ： 䁮 ：ݔ ，代入上式得到： 2 1 ： 顶点 ， 2䁕 䁮 ：ݔ 设直线 PQ 的解析式为 2 ． 2 䁕 䁮 1 1䁮 直线的解析式为 ， 2 2 1 ′ ， 1 䁮 ， ′ ， 2 1 ， 1 1 䁮 解得 2 䁮 1 2 䁮 1 2 2 1 2 1 2 䁮 1 2 2 1 ， ܯ 综上所述， ܯ 的面积最大值为 1． 解析： 1 已知抛物线的顶点坐标和 a 的值，直接可以写出抛物线的顶点式，解析式可求． 令 䁕 ，可得到点 M 的坐标，直线经过点 P，代入可以用含 m 的式子表示 k，联立抛物线和直 线的解析式，求出点 Q 的坐标，用两点间距离公式表示 QM 和 OQ，求出 m 的值，直线解析式可解． 2 由题意可以假设直线 PQ 的解析式，利用方程组求出点 Q 的坐标，分两种情况讨论，构建二次函 数，根据二次函数的性质即可解决问题． 此题考查了二次函数的性质，两点间距离公式，利用二次函数的性质求最值为解题关键．