【数学】江苏省泰州市2020届高三第二次模拟考试(5月)

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【数学】江苏省泰州市2020届高三第二次模拟考试(5月)

江苏省泰州市2020届高三第二次模拟考试(5月)‎ 参考公式:‎ 锥体的体积公式:V=Sh,其中S为锥体的底面积,h为高.‎ 一、 填空题:本大题共14小题,每小题5分,共70分.‎ ‎1. 已知集合A={1,2},B={2,4,8},则A∪B=________.‎ ‎2. 若实数x,y满足x+yi=-1+(x-y)i(i是虚数单位),则xy=________.‎ ‎3. 如图是容量为100的样本的频率分布直方图,则样本数据落在区间[6,18)内的频数为 ‎________.‎ ‎          ‎ ‎4. 根据如图所示的伪代码,可得输出S的值为________.‎ ‎ I←1‎ While I<5‎ ‎ I←I+2‎ ‎ S←I+3‎ End While Print S ‎5. 若双曲线-=1(a>0,b>0)的一条渐近线的方程为y=2x,则该双曲线的离心率为________.‎ ‎6. 将一颗质地均匀的骰子(一种各个面上分别标有1,2,3,4,5,6个点的正方体玩具)先后抛掷2次,这两次出现向上的点数分别记为x,y,则|x-y|=1的概率是________.‎ ‎7. 在平面直角坐标系xOy中,抛物线y2=4x上一点P到焦点F的距离是它到y轴距离的3倍,则点P的横坐标为________.‎ ‎8.‎ ‎ 我国古代数学名著《增删算法统宗》中有这样一首数学诗:“三百七十八里关,初日健步不为难.次日脚痛减一半,六朝才得到其关.”它的大意是:有人要到某关口,路程为378里,第一天健步行走,从第二天起,由于脚痛,每天走的路程都是前一天的一半,一共走了六天到达目的地.那么这个人第一天走的路程是________里.‎ ‎9. 若定义在R上的奇函数f(x)满足f(x+4)=f(x),f(1)=1,则f(6)+f(7)+f(8) 的值为 ‎________.‎ ‎10. 将半径为R的半圆形铁皮卷成一个圆锥的侧面.若圆锥的体积为9π,则R=________.‎ ‎11. 若函数f(x)=只有一个零点,则实数a的取值范围是________.‎ ‎12. 在平面直角坐标系xOy中,已知点A(x1,y1),B(x2,y2)在圆O:x2+y2=4上,且满足x1x2+y1y2=-2,则x1+x2+y1+y2的最小值是________.‎ ‎13. 在锐角三角形ABC中,点D,E,F分别在边AB,BC,CA上.若=3,=λ,且·=2·=6,||=1,则实数λ的值为________.‎ ‎14. 在△ABC中,点D在边BC上,且满足AD=BD,3tan2B-2tan A+3=0,则的取值范围是________.‎ 二、 解答题:本大题共6小题,共90分. 解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.‎ ‎15. (本小题满分14分)‎ 如图,在三棱锥PABC中,PA⊥平面ABC,AB=AC,点D,E,F分別是AB,AC,BC的中点.求证:‎ ‎(1) BC∥平面PDE;‎ ‎(2) 平面PAF⊥平面PDE.‎ ‎16. (本小题满分14分)‎ 已知函数f(x)=sin2x+sin xcos x-,x∈R.‎ ‎(1) 求函数f(x)的最大值,并写出相应的x的取值集合;‎ ‎(2) 若f(α)=,α∈(-,),求sin 2α的值.‎ ‎17. (本小题满分14分)‎ 某温泉度假村拟以泉眼C为圆心建造一个半径为12米的圆形温泉池,如图,M,N是圆C上关于直径AB对称的两点,以A为圆心,AC为半径的圆与圆C的弦AM,AN分别交于点D,E,其中四边形AEBD为温泉区,Ⅰ、Ⅱ区域为池外休息区,Ⅲ、Ⅳ区域为池内休息区,设∠MAB=θ.‎ ‎(1) 当θ=时,求池内休息区的总面积(Ⅲ和Ⅳ两个部分面积的和);‎ ‎(2) 当池内休息区的总面积最大时,求AM的长.‎ ‎18. (本小题满分16分)‎ 如图,在平面直角坐标系xOy中,椭圆M:+=1(a>b>0)的左顶点为A,过点A的直线与椭圆M交于x轴上方一点B,以AB为边作矩形ABCD,其中直线CD过原点O.当点B为椭圆M的上顶点时,△AOB的面积为b,且AB=b.‎ ‎(1) 求椭圆M的标准方程;‎ ‎(2) 求矩形ABCD的面积S的最大值;‎ ‎(3) 矩形ABCD能否为正方形?请说明理由.‎ ‎19. (本小题满分16分)‎ 定义:若一个函数存在极大值,且该极大值为负数,则称这个函数为“YZ函数”.‎ ‎(1) 判断函数f(x)=-1是否为“YZ函数”,并说明理由;‎ ‎(2) 若函数g(x)=ln x-mx(m∈R)是“YZ函数”,求实数m的取值范围;‎ ‎(3) 已知h(x)=x3+ax2+bx-b,x∈(0,+∞),a,b∈R,求证:当a≤-2,且0<b<1时,函数h(x)是“YZ函数”.‎ ‎20. (本小题满分16分)‎ 已知数列{an},{bn},{cn}满足bn=an+2-an,cn=2an+1+an.‎ ‎(1) 若数列{an}是等比数列,试判断数列{cn}是否为等比数列,并说明理由;‎ ‎(2) 若an恰好是一个等差数列的前n项和,求证:数列{bn}是等差数列;‎ ‎(3) 若数列{bn}是各项均为正数的等比数列,数列{cn}是等差数列,求证:数列{an}是等差数列.‎ ‎2020届高三模拟考试试卷(十七)‎ 数学附加题 ‎(满分40分,考试时间30分钟)‎ ‎21. 【选做题】 在A,B,C三小题中只能选做两题,每小题10分,共20分.若多做,则按作答的前两题计分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.‎ A. (选修42:矩阵与变换)‎ 已知列向量在矩阵M=对应的变换下得到列向量,求M-1.‎ B. (选修44:坐标系与参数方程)‎ 在平面直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为(α为参数).以坐标原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,直线l的极坐标方程为ρsin(θ+)=4,点P为曲线C上任一点,求点P到直线l距离的最大值.‎ C. (选修45:不等式选讲)‎ 已知实数a,b,c满足a>0,b>0,c>0,++=3,求证:a+b+c≤3.‎ ‎【必做题】 第22,23题,每小题10分,共20分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.‎ ‎22. 如图,在多面体ABCDEF中,平面ADE⊥平面ABCD,四边形ABCD是边长为2的正方形,△ADE是等腰直角三角形,且∠ADE=,EF⊥平面ADE,EF=1.‎ ‎(1) 求异面直线AE和DF所成角的余弦值;‎ ‎(2) 求二面角BDFC的余弦值.‎ ‎23. 给定n(n≥3,n∈N*)个不同的数1,2,3,…,n,它的某一个排列P的前k(k∈N*,1≤k≤n)项和为Sk,该排列P中满足2Sk≤Sn的k的最大值为kP.记这n个不同数的所有排列对应的kP之和为Tn.‎ ‎(1) 若n=3,求T3;‎ ‎(2) 若n=4l+1,l∈N*,‎ ‎①求证:对任意的排列P,都不存在k(k∈N*,1≤k≤n)使得2Sk=Sn;‎ ‎②求Tn(用n表示).‎ 参考答案 ‎1. {1,2,4,8} 2.  3. 80 4. 8 5.  6.  7.  8. 192 9. -1 10. 6‎ ‎11. (-∞,-1]∪(0,1] 12. -2 13. 3 14. (1,2]‎ ‎15. 证明:(1) 在△ABC中,因为点D,E分别是AB,AC的中点,‎ 所以DE∥BC.(2分)‎ 因为BC⊄平面PDE,DE⊂平面PDE,‎ 所以BC∥平面PDE.(6分)‎ ‎(2) 因为PA⊥平面ABC,DE⊂平面PDE,‎ 所以PA⊥DE.‎ 在△ABC中,因为AB=AC,点F是BC的中点,‎ 所以AF⊥BC.(8分)‎ 因为DE∥BC,所以DE⊥AF.‎ 因为AF∩PA=A,AF⊂平面PAF,PA⊂平面PAF,‎ 所以DE⊥平面PAF.(12分)‎ 因为DE⊂平面PDE,所以平面PAF⊥平面PDE.(14分)‎ ‎16. 解:(1) 因为f(x)=sin2x+sin xcos x-,‎ 所以f(x)=+sin 2x-=(sin 2x-cos 2x)(2分)‎ ‎=(sin 2xcos -cos 2xsin )=sin(2x-).(4分)‎ 当2x-=2kπ+(k∈Z),即x=kπ+(k∈Z)时,f(x)取最大值,‎ 所以f(x)的最大值为,此时x的取值集合为.(7分)‎ ‎(2) 因为f(α)=,所以sin(2α-)=,即sin(2α-)=.‎ 因为α∈(-,),所以2α-∈(-,),‎ 则cos(2α-)===,(10分)‎ 所以sin 2α=sin[(2α-)+]=sin(2α-)cos+cos(2α-)sin ‎=×+×=.(14分)‎ ‎17. 解:(1) 在Rt△ABM中,因为AB=24,θ=,‎ 所以MB=AM=12,MD=24cos -12=12-12,‎ 所以池内休息区总面积S=2×MB·DM=12(12-12)=144(2-).(4分)‎ ‎(2) 在Rt△ABM中,因为AB=24,∠MAB=θ,‎ 所以MB=24sin θ,AM=24cos θ,MD=24cos θ-12.‎ 由MB=24sin θ>0,MD=24cos θ-12>0得θ∈(0,),(6分)‎ 则池内休息区总面积S=2×MB·DM=24sin θ(24cos θ-12),θ∈(0,).(9分)‎ 设f(θ)=sin θ(2cos θ-1),θ∈(0,).‎ 因为f′(θ)=cos θ(2cos θ-1)-2sin2θ=4cos2θ-cos θ-2=0⇒cos θ=,‎ 又cos θ=>,所以∃θ0∈(0,),使得cos θ0=,‎ 则当x∈(0,θ0)时,f′(θ)>0⇒f(θ)在(0,θ0)上单调递增;‎ 当x∈(θ0,)时,f′(θ)<0⇒f(θ)在(θ0,)上单调递减,‎ 即f(θ0)是极大值,也是最大值,所以f(θ)max=f(θ0),‎ 此时AM=24cos θ0=3+3.(13分)‎ 答:(1) 池内休息区总面积为144(2-)m2;‎ ‎(2) 池内休息区总面积最大时AM的长为AM=(3+3)m.(14分)‎ ‎18. 解:(1) 由题意知解得a=2,b=c=,‎ 所以椭圆M的标准方程为+=1.(4分)‎ ‎(2) 显然直线AB的斜率存在,设为k且k>0,‎ 则直线AB的方程为y=k(x+2),即kx-y+2k=0.‎ 联立得(1+2k2)x2+8k2x+8k2-4=0,解得xB=,yB=,‎ 所以AB==.‎ 直线CD的方程为y=kx,即kx-y=0,所以BC==,‎ 所以矩形ABCD的面积S=·==≤=2,‎ 所以当且仅当k=时,矩形ABCD的面积S的最大值为2.(11分)‎ ‎(3) 若矩形ABCD为正方形,则AB=BC,‎ 即=,则2k3-2k2+k-2=0(k>0).‎ 令f(k)=2k3-2k2+k-2(k>0),‎ 因为f(1)=-1<0,f(2)=8>0,又f(k)=2k3-2k2+k-2(k>0)的图象不间断,‎ 所以f(k)=2k3-2k2+k-2(k>0)有零点,所以存在矩形ABCD为正方形.(16分)‎ ‎19. (1) 解:函数f(x)=-1是“YZ函数”,理由如下:‎ 因为f(x)=-1,则f′(x)=,‎ 当x<1时,f′(x)>0;当x>1时,f′(x)<0,‎ 所以f(x)=-1的极大值f(1)=-1<0,‎ 故函数f(x)=-1是“YZ函数”.(4分)‎ ‎(2) 解:定义域为(0,+∞), g′(x)=-m,‎ 当m≤0时,g′(x)=-m>0,函数单调递增,无极大值,不满足题意;‎ 当m>0时,当00,函数单调递增,‎ 当x>时,g′(x)=-m<0,函数单调递减,‎ 所以g(x)的极大值为g()=ln -m·=-ln m-1.‎ 由题意知g()=-ln m-1<0,解得m>.(10分)‎ ‎(3) 证明: h′(x)=x2+ax+b,‎ 因为a≤-2,00,‎ 所以h′(x)=x2+ax+b=0有两个不等实根,设为x1,x2.‎ 因为所以x1>0,x2>0,不妨设00,则h(x)单调递增;‎ 当x1ak+2+…+an (ii),‎ 考虑排列P的对应倒序排列P′:an,an-1,…,a1,‎ ‎(i)(ii)即an+…+ak+2ak+…+a2+a1.‎ 由题意知kP′=n-k-1,则kP+kP′=n-1.(8分)‎ 又1,2,3,…,n,这n个不同数共有n!个不同的排列,可以构成个对应组合(P,P′),‎ 且每组(P,P′)中kP+kP′=n-1,所以Tn=(n-1).(10分)‎
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