河南省普通高中2020届高三质量测评（二）数学（文）试题 Word版含解析

河南省普通高中2020届高三质量测评（二）数学（文）试题 Word版含解析

- 1 - 大象联考 2020 年河南省普通高中高考质量测评（二） 数学（文科） 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上相应的位置. 2.全部答案在答题卡上完成，答丰本试题上无效 3.回答选择题时，选出每小题答案后，用 3 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需 改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案用 0.5 毫米及以上黑 色笔迹签字笔写在答题卡上. 4.考试结束后，将本试题和答题卡一并交回. 参考公式锥体的体积公式： （其中为 为锥体的底面积， 为锥体的高）. 第Ⅰ卷（共 60 分） 一、选择题：本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的. 1. 已知全集 ，集合 ， ，则 =（ ） A. { } B. { } C. { } D. { } 【答案】A 【解析】 【分析】 求出不等式 和 的解，然后根据集合的交集运算，即可得到本题答案. 【详解】由 ，得 ，故 ， 由 ，得 或 ，故 或 ， 所以， . 故选：A 【点睛】本题主要考查集合的交集运算，其中涉及对数不等式和一元二次不等式的求解. 2. 已知复数 满足 ，则 （ ） B 1 3V Sh= S h U = R { }2| log 1A x x= < { }2| 0B x x x= − > A B |1 2x x< < | 2x x < |1 2x x≤ ≤ |1 4x x≤ < 2log 1x < 2 0x x− > 2log 1x < 0 2x< < { | 0 2}A x x= < < 2 0x x− > 1x > 0x < { | 1B x x= > 0}x < { |1 2}A B x x= < < z 2 1 iz i −= + z = - 2 - A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 利用复数的除法运算，即可得答案 【详解】∵ . 故选：B. 【点睛】本题考查复数的除法运算，考查基本运算求解能力，属于基础题. 3. 由我国引领的 5G 时代已经到来，5G 的发展将直接带动包括运营、制造、服务在内的通信 行业整体的快速发展，进而对 增长产生直接贡献，并通过产业间的关联效应和波及效应 ，间接带动国民经济各行业的发展，创造岀更多的经济增加值.如图是某单位结合近年数据， 对今后几年的 5G 经济产出所做的预测.结合下图，下列说法正确的是（ ） A. 5G 的发展带动今后几年的总经济产出逐年增加 B. 设备制造商的经济产出前期增长较快，后期放缓 C. 设备制造商在各年的总经济产出中一直处于领先地位 D. 信息服务商与运营商的经济产出的差距有逐步拉大的趋势 【答案】ABD 【解析】 【分析】 本题结合图形即可得出结果． 【详解】由图可知设备制造商在各年的总经济产出中在前期处于领先地位， 而后期是信息服务商处于领先地位，故 C 项表达错误． 故选：ABD． . 1 3 2 i+ 1 3 2 i− 3 2 i+ 3 2 i− 2 (2 )(1 ) 1 3 1 (1 )(1 ) 2 i i i iz i i i − − − −= = =+ + − GDP - 3 - 【点睛】本题主要考查数学文字及图形的阅读理解能力．本题属基础题． 4. 已知角 的终边过点 ，则 （ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 根据三角函数的定义及诱导公式即可求解. 【详解】因为角 的终边过点 ， 所以 ， . 故选：D. 【点睛】本题主要考查了三角函数 定义，诱导公式，属于容易题. 5.若椭圆 的一个焦点与抛物线 的焦点重合，则 （ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】 由椭圆方程，抛物线方程写出焦点，根据焦点重合即可求解. 【详解】椭圆的焦点坐标为 ， 抛物线的焦点坐标为 ， 所以有 ，解得 ， 故选：C. 【点睛】本题主要考查了椭圆的简单几何性质，抛物线的简单几何性质，属于容易题. 6. 已知函数 ，若函数 在 处的切线方程为 ，则 的值为（ ） 的 θ ( )3,4− ( )cos π θ− = 4 5 − 4 5 3 5- 3 5 θ ( )3,4− 3cos 5 θ = − 3cos( ) cos 5 π θ θ− = − = 2 2 1( 0)2 x y pp p + = > 2 2 ( 0)y px p= > p = ( ) ( ),0 , ,0p p− ,02 p     2 pp = 4p = ( ) xf x ae x b= + + ( )f x (0, (0))f 2 3y x= + ab - 4 - A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】 对函数求导得 ，求得 的值，再根据切点既在切线上又在曲线上，可求得 的值，即 可得答案. 【详解】∵ ， ∴ ，解得 ，∴ ， ∴ . 故选：B. 【点睛】本题考查导数的几何意义，考查函数与方程思想，考查逻辑推理能力和运算求解能 力，求解时注意切点既在切线上又在曲线上的应用. 7. 函数 在 的图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 根据函数为奇函数及 ，再结合排除法，即可得答案. 【详解】∵函数的定义域为 ，关于原点对称，且 ，∴ 是奇函数，故排除 A； ，排除 B，C. 故选：D. (0) 2f ′ = a b ( ) 1xf x ae′ = + (0) 1 2f a′ = + = 1, (0) 1 3a f a b b= = + = + = 2b = 2ab = 2 sin( ) 1 x xf x x += + [ , ]−π π ( ) 0f π > R 2 sin( ) ( )( ) ( )( ) 1 x xf x f xx − + −− = = −− + ( )f x 2 2 sin( ) 01 1f π π ππ π π += = >+ + - 5 - 【点睛】本题考查根据函数的解析式选择函数的图象，考查数形结合思想，求解时注意充分 利用函数的性质及特殊点的函数值进行求解. 8. 如图，在四棱锥 中， ， ， ， 是 的中点， 在 上且 ， 在 上且 ，则（ ） A. ，且 与 平行 B. ，且 与 相交 C. ，且 与 异面 D. ，且 与 平行 【答案】D 【解析】 【分析】 取 CF 的中点 H，连接 ，通过证明四边形 为平行四边形，可得 且 ，由在 中， 分别为 PD 和 PH 的中点，可得 且 ， 综上，即可得到本题答案. 【详解】 取 CF 的中点 H，连接 ，则在 中， ，所以 ， ，又因为 且 ，所以 ，且 ，所以四边形 P ABCD− / /AD BC 2AD = 3BC = E PD F PC 1 3PF PC= G PB 2 3PG PB= 3AG EF= AG EF 3AG EF= AG EF 2AG EF= AG EF 2AG EF= AG EF ,DH GH ADHG AG DH⁄⁄ AG DH= PHD∆ ,E F EF DH⁄⁄ 1 2EF DH= ,DH GH PBC∆ 2 3 PG PH PB PC = = GH BC⁄⁄ 2 23GH BC= = AD BC⁄⁄ 2AD = GH AD⁄⁄ GH AD= - 6 - 为平行四边形，所以 ，且 .在 中， 分别为 PD 和 PH 的中点，所以 ，且 ，所以 ，且 ，即 . 故选：D 【点睛】本题主要考查空间中两直线的位置关系及大小关系，数形结合思想的应用是解决此 题的关键. 9. 已知等差数列 的前 项和为 ， ， ，则数列 的前 2020 项和 为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 根据等差数列前 n 项和公式及 ，可得 的值.代入 由等差数列通项公式，即可 求得首项与公差，进而得数列 的通项公式.结合裂项求和法即得数列 的前 2020 项和. 【详解】等差数列 的前 项和为 ， ， 由等差数列前 n 项和公式可得 所以 ，结合 ， 由等差数列通项公式可得 ，解得 ， 由等差数列通项公式可得 ， 则 . 所以 ADHG AG DH⁄⁄ AG DH= PHD∆ ,E F EF DH⁄⁄ 1 2EF DH= EF AG⁄⁄ 1 2EF AG= 2AG EF= { }na n nS 2 2a = 7 28S = 1 1 n na a +       2020 2021 2018 2020 2018 2019 2021 2020 7 28S = 4a 2 2a = { }na 1 1 n na a +       { }na n nS 7 28S = 7 47 28S a= = 4 4a = 2 2a = 4 1 2 1 3 4 2 a a d a a d = + =  = + = 1 1 1 a d =  = ( )1 1 1na n n= + − × = ( )1 1 1 1n na a n n+ = + 1 2 2 3 3 4 2020 2021 1 1 1 1 a a a a a a a a + + +⋅⋅⋅+ - 7 - . 故选：A. 【点睛】本题考查了等差数列前 n 项和的性质应用，等差数列通项公式的求法，裂项求和的 应用，属于基础题. 10. “角谷定理”的内容为对于每一个正整数，如果它是奇数，则对它乘 3 再加 1；如果它是 偶数，则对它除以 2．如此循环，最终都能够得到 1．如图为研究角谷定理的一个程序框图． 若输入 的值为 10，则输出 的值为（） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】 根据流程逐步分析，直到 时，计算出 的值即可. 【详解】（1） ；（2） ；（3） ；（4） ；（5 ） ；（6） ；（7） ． 故选 B． 1 1 1 1 1 2 2 3 3 4 2020 2021 = + + +⋅⋅⋅+× × × × 1 1 1 1 1 1 11 2 2 3 3 4 2020 2021 = − + − + − +⋅⋅⋅+ − 2020 2021 = n i 1n = i 10, 0n i= = 5, 1n i= = 16, 2n i= = 8, 3n i= = 4, 4n i= = 2, 5n i= = 1, 6n i= = - 8 - 【点睛】本题考查根据程序框图计算输出值，难度较易.程序框图问题，多数可以采用列举法 方式解答问题. 11. 现有一副斜边长相等的直角三角板.若将它们的斜边 重合，其中一个三角板沿斜边折 起形成三棱锥 ，如图所示，已知 ，三棱锥的外接球的表面 积为 ，该三棱锥的体积的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 设三棱锥 的外接球的半径为 ，由球的体积得球的半径，当平面 平面 时，三棱锥的体积达到最大，利用体积公式计算，即可得答案. 【详解】设三棱锥 的外接球的半径为 ，因为 ， 因为 ，所以 为外接球的直径， 所以 ，且 . 当点 到平面 距离最大时，三枝锥 的体积最大， 此时平面 平面 ，且点 到平面 的距离 ， 所以 . 故选：B. 【点睛】本题考查三棱锥与球的内接问题、三棱锥体积的最大值、球的体积公式，考查函数 与方程思想、转化与化归思想，考查空间想象能力和运算求解能力，求解时注意球心位置的 的 AB A BCD− ,6 4DAB BAC π π∠ = ∠ = 4π 3 3 3 6 3 24 3 48 A BCD− r ABC ⊥ ABD A BCD− r 24 4rπ π= ⇒ 1r = 90ADB ACB °∠ = ∠ = AB 2AB = 3, 1, 2AD BD AC BC= = = = C ABD A BCD− ABC ⊥ ABD C ABD 1d = 1 1 1 33 1 13 3 2 6A BCD C ABD ABDV V S d− −= = ⋅ = × × × × =△ - 9 - 确定. 12. 设函数 ，其中 ，已知 在 上有且仅有 4 个零点，则下列 的值中满足条件的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 设 ，则 ，从而将问题转化为 在 上有 4 个零点 ，从而得到 ，再利用不等式恒成立问题求得 的范围，即可得答案. 【详解】设 ，则 ， 所以 在 上有 4 个零点， 因为 ，所以 ， 所以 ， 所以 ，即 ，满足的只有 A. 故选：A. 【点睛】本题考查根据三角函数的零点个数求参数值，考查函数与方程思想、转化与化归思 想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意换元法的应用. 第Ⅱ卷（共 90 分） 二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上） 13. 若 ， ， ，则 与 的夹角为______________. 【答案】 【解析】 【分析】 由 及 ，即可得到本题答案. ( ) sin( )f x xω ϕ= + 0, ,4 3 π πω ϕ  > ∈   ( )f x [0,2 ]π ω 13 6 ω = 11 6 ω = 7 4 ω = 3 4 ω = t xω ϕ= + 2tϕ πω ϕ+  siny t= [ ,2 ]ϕ πω ϕ+ 4 2 5π πω ϕ π+ < ω t xω ϕ= + 2tϕ πω ϕ+  siny t= [ ,2 ]ϕ πω ϕ+ ,4 3 π πϕ  ∈   4 2 5π πω ϕ π+ < 52 2 2 2 ϕ ϕωπ π− < − 5 342 2 2 2 ππ ωπ π− < − 15 7 8 3 ω < | | 3a = | | 2b = 2 37a b+ =  a b 3 π 2 2 2| 2 | 4 4a b a a b b+ = + ⋅ +     | | | | cosa b a b θ⋅ = ⋅   - 10 - 【 详 解 】 设 与 的 夹 角 为 ， 则 ，得 ，所以 . 故答案为： 【点睛】本题主要考查利用向量的模的计算公式求向量的夹角，属基础题. 14. 记 Sn 为等比数列{an}的前 n 项和，若数列{Sn﹣2a1}也为等比数列，则 _____ 【答案】 【解析】 【分析】 设等比数列{an}的公比为 q，根据数列{Sn﹣2a1}为等比数列得到﹣（q2+q﹣1）＝（q﹣1）2， 解得 q ，再计算 得到答案. 【详解】根据题意，设等比数列{an}的公比为 q， 对于等比数列{Sn﹣2a1}，其前三项为：﹣a1，a2﹣a1，a3+a2﹣a1， 则有（﹣a1）（a3+a2﹣a1）＝（a2﹣a1）2，变形可得：﹣（q2+q﹣1）＝（q﹣1）2， 解可得：q 或 0（舍），则 q ，则 ； 故答案为： ． 【点睛】本题考查了等比数列的相关计算，意在考查学生的计算能力. 15. 某工厂生产的产品中分正品与次品，正品重 100 克，次品重 110 克.现有 5 袋产品（每袋 装有 10 个产品），已知其中有且只有一袋次品（10 个产品均为次品），如果将 5 袋产品以 1-5 编号，第 袋取出 个产品（ =1，2，3，4，5），并将取出的产品一起用秤（可以称出物体重 量的工具）称出其重量 ,若次品所在的袋子的编号是 2，此时的重量 =__________克；若次 品所在袋子的编号是 ,此时的重量 =_________克． 【答案】 (1). 1520 (2). , 【解析】 a b θ 2 2 2| 2 | 4 4 9 4 3 2 cos 4 4 37a b a a b b θ+ = + ⋅ + = + × × × + × =     1cos 2 θ = 3 πθ = 3 π 4 3 S S = 15 14 1 2 = 4 3 S S 1 2 = 1 2 = ( ) ( ) 4 1 4 4 33 3 1 1 1 151 1 141 1 a q S qq S qa q q − −−= = =−− − 15 14 i i i y y n y 1500 10n+ { }1,2,3,4,5n∈ - 11 - 【分析】 按照题意，可得从 5 个袋子中取得的总个数及第 2 个袋子中取的个数，进而确定总质量；再 写出次品是第 n 个时的个数及对应解析式即可. 【详解】第 1 袋中取 1 个，第 2 袋取 2 个，第 3 袋取 3 个，第 4 袋取 4 个，第 5 袋取 5 个， 共 15 个. 若次品从第 2 袋中取，则共有 13 个正品，2 个次品，所以总质量为 ； 若次品是第 n 袋中取，则 15 个产品中共有次品 n 个，正品 ， 则 ， 故答案为：1520； , 【点睛】本题考查了实际问题中函数的应用，属于基础题. 16.已知点 是双曲线 右支上一动点， 是双曲线的左、右焦点，动点 满足 下列条件：① ，② ，则点 的轨迹 方程为________________. 【答案】 【解析】 【分析】 设动点 的坐标为 ，延长 交 于点 ，根据向量的加法法则及数量积为 0，可得 ，利用双曲线的定义可得 ，即可得答案. 【详解】设动点 的坐标为 ，延长 交 于点 ， 由条件②知点 在 的角平分线上， 结合条件①知 ， 所以在 中， .又 平分 ， 所以 为等腰三角形，即 ， . 100 13 110 2 1520y = × + × = 15 n− ( )100 15 110 1500 10y n n n= × − + × = + { }1,2,3,4,5n∈ 1500 10n+ { }1,2,3,4,5n∈ P 2 2 13 yx − = 1 2,F F Q 1 2 2 1 2| | 0 | | PF PFQF PF PF  + =    ⋅        1 2 1 2 0 | | | | PF PFQP PF PF λ  + + =        Q 2 2 1( 0)x y y+ = ≠ Q ( , )x y 2F Q 1PF A 2QF PQ⊥ 1 1| | 12OQ AF= = Q ( , )x y 2F Q 1PF A Q 1 2F PF∠ 2QF PQ⊥ 2PF A△ 2PQ F A⊥ PQ 2APF∠ 2PF A△ 2| |PA PF= 2| |AQ QF= - 12 - 因为点 为双曲线上的点，所以 ，即 ， 所以 .又在 中， 为 的中点， 为 的中点， 所以 ， 所以点 的轨迹是以 为圆心，半径为 1 的圆， 所以点 的轨迹方程为 . 故答案为： . 【点睛】本题考查单位向量、向量的数量积、向量的加法法则的几何意义、双曲线的定义、 轨迹方程的求解，考查函数与方程思想、转化与化归思想、数形结合思想，考查逻辑推理能 力和运算求解能力，求解时注意平面几何知识的应用. 三、解答题：共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第 17～21 题为必考题， 每个试题考生都必须作答.第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共 60 分. 17. 在 中，角 ， ， 所对的边分别是 ， ， ，且 （1）求角 的大小； （2）设 ， ，求 的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】 （1）由已知结合正弦定理化简可求 ，进而可求 ； P 1 2 2PF PF− = 1 2| | 2PA AF PF+ − = 1 2AF = 1 2F AF Q 2AF O 1 2F F 1 1| | 12OQ AF= = Q O Q 2 2 1( 0)x y y+ = ≠ 2 2 1( 0)x y y+ = ≠ ABC∆ A B C a b c sin 2 sin( ) 0c B b A B− + = B 4a = 6c = sinC 3B π= 3 21 14 cos B B - 13 - （2）由余弦定理可得， ，代入可求 ，由正弦定理可得， 可求． 【详解】解：（1）由正弦定理得 ， 化简得 . 因为在三角形中， ， ， 可得 . 又因为 ，所以 （2）由余弦定理可得， ， ， 所以 ， 由正弦定理可得， . 【点睛】本题主要考查了两角和及二倍角的公式，正弦定理，余弦定理的综合应用，属于中 等试题． 18.“不忘初心、牢记使命”主题教育活动正在全国开展，某区政府为统计全区党员干部一周 参与主题教育活动的时间，从全区的党员干部中随机抽取 n 名，获得了他们一周参加主题教 育活动的时间（单位：时）的频率分布直方图，如图所示，已知参加主题教育活动的时间在 内的人数为 92. （1）估计这些党员干部一周参与主题教育活动的时间的平均值； 2 2 2 1cos 2 2 a c bB ac + −= = b sinsin c BC b = sin sin 2 sin sin( ) 0C B B A B− + = 2sin sin cos sin sin 0C B B B C− = sin 0B ≠ sin 0C ≠ 1cos 2B = (0, )B π∈ 3B π= 2 2 2 1cos 2 2 a c bB ac + −= = 216 36 1 2 4 6 2 b+ − =× × 2 7b = sin 3 21sin 14 c BC b = = ( ]12,16 - 14 - （2）用频率估计概率，如果计划对全区一周参与主题教育活动的时间在 内的党员干 部给予奖励，且参与时间在 ， 内的分别获二等奖和一等奖，通过分层抽样方 法从这些获奖人中随机抽取 5 人，再从这 5 人中任意选取 3 人，求 3 人均获二等奖的概率. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】 （1）根据频率分布直方图以每个小矩形的中值为估值计算即可求出； （2）用分层抽样抽取的人数：在 内为 4 人，设为 ；在 内为 1 人，设 为 A，列出基本事件，根据古典概型计算概率即可. 【详解】（1）由已知可得， ， 所以这些党员干部一周参加主题教育活动的时间的平均值为 . （2）因为 ，所以 . 故参与主题教育活动的时间在 的人数为 ， 参与主题教育活动的时间在 的人数为 . 则利用分层抽样抽取的人数：在 内为 4 人，设为 ；在 内为 1 人，设 为 A.从这 5 人中选取 3 人的事件空间为： ， 共 10 种情况， 其中全是二等奖的有 4 种情况. 故 . 【点睛】本题主要考查了频率分布直方图，均值，分层抽样你，古典概型，属于中档题. 19. 如图，圆柱的轴截面 是边长为 2 的正方形，点 P 是圆弧 上的一动点（不与 重合），点 Q 是圆弧 的中点，且点 在平面 的两侧. ( ]16,24 ( ]16,20 ( ]20,24 13.64 2 5 ( ]16,20 a b c d, ,, ( ]20,24 ( )1 4 0.0250 0.0475 0.0500 0.0125 0.1150a = ÷ − + + + = ( )6 0.0250 10 0.0475 14 0.1150 18 0.0500 22 0.0125 4 13.64× + × + × + × + × × = 0.1150 4 92n× × = 92 2000.1150 4n = =× ( ]16,20 0.0500 4 200 40× × = ( ]20,24 0.0125 4 200 10× × = ( ]16,20 a b c d, ,, ( ]20,24 { }( , , ),( , , ),( , , ),( , , ),( , , ),( , , ),( , , ),( , , ),( , , ),( , , )a b c a b d a b A a c d a c A a d A b c d b c A b d A c d A 4 2 10 5P = = ABCD CD ,C D AB ,P Q ABCD - 15 - （1）证明：平面 平面 ； （2）设点 P 在平面 上的射影为点 O，点 分别是 和 的重心，当三棱锥 体积最大时，回答下列问题. （i）证明： 平面 ； （ii）求三棱锥 的体积. 【答案】（1）证明见解析（2）（i）证明见解析（ii） 【解析】 【分析】 （1）由 ， 可得 平面 ，即可证明； （2）（i）连接 并延长交 于点 M，连接 并延长交 于点 N，连接 ，利用平 行线分线段成比例可得 ，即可得 得证； （ii）根据 即可求解. 【详解】（1）证明：因为 是轴截面， 所以 平面 ，所以 ， 又点 P 是圆弧 上的一动点（不与 重合），且 为直径， 所以 ， 又 ， 平面 ， 平面 ， 所以 平面 ， 平面 ， 故平面 平面 （2）当三棱锥 体积最大时，点 P 为圆弧 的中点.所以点 O 为圆弧 的中点， 所以四边形 为正方形，且 平面 . . PAD ⊥ PBC ABQ ,E F PQB∆ POA∆ P ABC− //EF PAQ A OEF− 4 27 PC PD⊥ AD PC⊥ PC ⊥ PAD PE BQ PF OA MN //EF MN //EF AQ A EOF E AOFV V− −= ABCD AD ⊥ PCD AD PC⊥ CD ,C D CD PC PD⊥ AD PD D= PD ⊂ PAD AD ⊂ PAD PC ⊥ PAD PC ⊂ PBC PAD ⊥ PBC P ABC− CD AB AQBO PO ⊥ ABO - 16 - （i）证明：连接 并延长交 于点 M，连接 并延长交 于点 N，连接 ， 则 ， 因为 分别为三角形的重心，所以 ， 所以 ， 所以 ， 又 平面 ， 平面 ， 所以 平面 . （ii）因为 平面 ， 所以 ， 又 ， ， 所以 平面 ， 因为 ， 所以 平面 ，即 平面 ，即 是三棱锥 的高. 又 ， ， 所以 . 【点睛】本题主要考查了线面垂直、面面垂直的判定，线面平行，等体积法求棱锥体积，属 于中档题. 20. 已知椭圆 的左、右焦点分别为 ，长轴长为 4，且过点 PE BQ PF OA MN //MN AQ ,E F 2 3 PE PF PM PN = = //EF MN //EF AQ AQ ⊂ PAQ EF ⊄ PAQ //EF PAQ PO ⊥ ABO PO BO⊥ AO BO⊥ AO PO O= BO ⊥ PAO // //EF AQ BO EF ⊥ PAO EF ⊥ FAO EF E AOF− 2 2 2 3 3EF BO= = 1 1 1 22 23 3 2 3AOF APOS S∆ ∆= = × × × = 1 1 2 2 2 4| |3 3 3 3 27A EOF E AOF AOFV V S EF− − ∆= = ⋅ = × × = 2 2 2 2: 1( 0)x yC a ba b + = > > 1 2,F F - 17 - . （1）求椭圆 C 的方程； （2）过 的直线 l 交椭圆 C 于 两点，过 A 作 x 轴的垂线交椭圆 C 与另一点 Q（Q 不与 重合）.设 的外心为 G，求证 为定值. 【答案】（1） （2）证明见解析 【解析】 【分析】 （1）根据长轴及椭圆过点即可求出； （2）由题意设直线 为 ，联立椭圆方程可求 ，求出 外接圆圆心 ，计算 ，化简即可证明 为定值. 【详解】（1）由题意知 ， 将 P 点坐标代入椭圆方程 得 ，解得 ， 所以椭圆方程为 . （2）由题意知，直线 的斜率存在，且不为 0，设直线 为 ， 代入椭圆方程得 . 设 ，则 ， 所以 的中点坐标为 ， 所以 . 因为 G 是 的外心，所以 G 是线段 的垂直平分线与线段 的垂直平分线的交点， 31, 2P     2F ,A B ,A B ABQ∆ 2 AB GF 2 2 14 3 x y+ = AB 1x my= + | |AB ABQ∆ 2 1 ,03 4G m   +  2GF 2 AB GF 2a = 2 2 2 2 1x y a b + = 2 9 1 4 14 b + = 3b = 2 2 14 3 x y+ = AB AB 1x my= + ( )2 23 4 6 9 0m y my+ + − = ( ) ( )1 1 2 2, , ,A x y B x y 1 2 1 22 2 6 9,3 4 3 4 my y y ym m − −+ = =+ + AB 2 2 4 3,3 4 3 4 m m m −   + +  ( )22 2 2 1 2 2 2 12 112 11 1 3 4 3 4 mmAB m y y m m m ++= + − = + × −+ + ABQ∆ AB AQ - 18 - 的垂直平分线方程为 ， 令 ，得 ，即 ，所以 ， 所以 ，所以 为定值，定值为 4. 【点睛】本题主要考查了椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，定值问题，属于难题. 21. 已知函数 . （1）讨论 单调性； （2）如果方程 有两个不相等的解 ，且 ，证明： . 【答案】（1）见解析（2）见解析 【解析】 【分析】 （1）对函数 进行求导得 ，再对 进行分类讨论，解不等 式，即可得答案； （2）当 时， 在 单调递增， 至多一个根，不符合题意；当 时， 在 单调递减，在 单调递增，则 .不妨设 ，只要证 ，再利用函数的单调性，即可证得结论. 【详解】（1） . ①当 时， 单调递增； ②当 时， 单调递减； 单调递增. 综上：当 时， 在 单调递增； 的 AB 2 2 3 4 3 4 3 4 my m xm m  + = − − + +  0y = 2 1 3 4x m = + 2 1 ,03 4G m   +  2 2 2 2 1 3 313 4 3 4 mGF m m += − =+ + ( )2 2 2 2 2 12 1 | | 123 4 43 3 3 3 4 m AB m mGF m + += = =+ + 2 | |AB GF ( ) 2 (1 2 )ln af x x a x x = + − + ( )f x ( )f x m= 1 2,x x 1 2x x< 1 2 02 x xf + ′ >   ( )f x 2 ( )(2 1)( ) ( 0)x a xf x xx − +′ = > a 0a ( )f x (0, )+∞ ( )f x m= 0a > ( )f x (0, )a ( , )a +∞ ( ) 0f a′ = 1 20 x a x< < < 1 2 2 x x a + > 2 12x a x> −⇔ 2 2 2 2 1 2 2 (1 2 ) ( )(2 1)( ) 2 ( 0)a a x a x a x a xf x xx x x x − + − − − +′ = + − = = > 0a (0, ), ( ) 0, ( )x f x f x′∈ +∞ > 0a > (0, ), ( ) 0, ( )x a f x f x′∈ < ( , ), ( ) 0, ( )x a f x f x′∈ +∞ > 0a ( )f x (0, )+∞ - 19 - 当 时， 在 单调递减，在 单调递增. （2）由（1）知， 当 时， 在 单调递增， 至多一个根，不符合题意； 当 时， 在 单调递减，在 单调递增，则 . 不妨设 ， 要证 ，即证 ，即证 ，即证 . 因为 在 单调递增，即证 ， 因为 ，所以即证 ，即证 . 令 ， . 当 时， 单调递减，又 ， 所以 时， ，即 ， 即 . 又 ，所以 ，所以 . 【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性、证明不等式，考查函数与方程思想、转化与 化归思想、分类讨论思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意将所证不等式转 化为利用函数的单调性进行证明. （二）选考题：共 10 分，请考生在第 22、23 题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一 0a > ( )f x (0, )a ( , )a +∞ 0a ( )f x (0, )+∞ ( )f x m= 0a > ( )f x (0, )a ( , )a +∞ ( ) 0f a′ = 1 20 x a x< < < 1 2 02 x xf + ′ >   1 2 2 x x a + > 1 2 2x x a+ > 2 12x a x> − ( )f x ( , )a +∞ ( ) ( )2 12f x f a x> − ( ) ( )2 1f x f x= ( ) ( )1 12f x f a x> − ( ) ( )f a x f a x+ < − ( ) ( ) ( )g x f a x f a x= + − − 2( ) (1 2 )ln( ) 2( ) (1 2 )ln( )a aa x a a x a x a a xa x a x    = + + − + + − − + − − +   + −    4 (1 2 )ln( ) (1 2 )ln( ) a ax a a x a a x a x a x = + − + − − − + −+ − 2 2 1 2 1 2( ) 4 ( ) ( ) a a a ag x a x a x a x a x − −′ = + + − −+ − + − ( ) ( )2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 42 (1 2 )4 ( ) ( ) ( ) ( ) a a x x x a aa a a x a x a x a x a x + − −−= + − =− + − + − (0, )x a∈ ( ) 0, ( )g x g x′ < (0) ( 0) ( 0) 0g f a f a= + − − = (0, )x a∈ ( ) (0) 0g x g< = ( ) ( )f a x f a x+ < − ( ) (2 )f x f a x> − 1 (0, )x a∈ ( ) ( )1 12f x f a x> − 1 2 02 x xf + ′ >   - 20 - 题计分 22.在直角坐标系 中，曲线 的参数方程为 （ 为参数），以坐标原点 为极 点， 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线 的极坐标方程为 . （1）求 和 的直角坐标方程； （2）设 为曲线 上的动点，求点 到直线 的距离的最小值. 【答案】（1） ， （2） 【解析】 【分析】 （1）直接利用消参法可得曲线 的直角坐标方程；将 代入 的极坐标 方程得 的直角坐标方程； （2）设 ，利用点到直线的距离公式，结合二次函数的性质求最值，即可得答 案. 【详解】（1） 的直角坐标方程为： ， 将 代入 的极坐标方程得 的直角坐标方程为： . （2）设 ， 则点 到直线 的距离 ， 当 时，距离最小，最小值为 . 【点睛】本题考查极坐标方程、参数方程、普通方程的互化、点到直线的距离公式，考查逻 辑推理能力和运算求解能力，求解时注意点的参数设法. 23. 已知函数 . （1）求不等式 的解集； xOy C 21 ,2 2 x s y s  =  = s O x l cos 2 sin 9 0ρ θ ρ θ+ + = C l P C P l 2 4y x= 2 9 0x y+ + = 5 C cos , sinx yρ θ ρ θ= = l l 21 , 22P s s    C 2 4y x= cos , sinx yρ θ ρ θ= = l l 2 9 0x y+ + = 21 , 22P s s    P l 22 11 ( 2 2) 5| 2 2 9 22 1 4 5 ss s d + ++ + = = + 2 2s = − 5 5 5 d = = ( ) | 1| | 2 4 |f x x x= + + − ( ) 6f x ≤ - 21 - （2）若函数 的图象最低点为 ，正数 满足 ，求 的取值 范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】 （1）分类讨论去掉绝对值得分段函数求解即可； （2）由分段函数求出最低点，得 ，构造 1，利用均值不等式求解即可. 【详解】（1） ， 所以由 可得 ，或 ，或 ， 解得： 或 或 . 综上， . （2）因为 ，所以当 时， ，最低点为 ， 即 ，所以 . ， 当且仅当 时等号成立， 所以 【点睛】本题主要考查了含绝对值不等式的解法，分段函数的最值，均值不等式，属于中档 题. ( )y f x= ( ),m n ,a b 6ma nb+ = 2 3 a b + [ ]1 3,x∈ − 2 3 25 ,6a b  + ∈ +∞  2 3 6a b+ = 3 3, 2 ( ) 5, 1 2 3 3, 1 x x f x x x x x − ≥ = − + − < < − + ≤ − ( ) 6f x ≤ 2 3 3 6 x x ≥  − ≤ 1 2 5 6 x x − < < − + ≤ 1 3 3 6 x x ≤ − − + ≤ [ ]2,3x∈ ( )1,2x∈ − 1x = − [ ]1 3,x∈ − 3 3, 2 ( ) 5, 1 2 3 3, 1 x x f x x x x x − ≥ = − + − < < − + ≤ − 2x = ( )min 3f x = ( )2,3 2 3 6a b+ = 13 2 a b+ = 2 3 2 3 2 3 13 2523 2 3 2 6 6 a b b a a b a b a b   + = + + = + + + ≥ + =     6 5a b= = 2 3 25,6a b  + ∈ +∞  - 22 - - 23 -