2016年全国初中数学联赛（初三组）初赛试卷

2016年全国初中数学联赛（初三组）初赛试卷

‎2016年全国初中数学联赛(初三组)初赛试卷 ‎（考试时间：‎2016年3月4日下午3：00—5：00）‎ 班级：: 姓名： 成绩： ‎ 题 号 一 二 三 四 五 合计 得 分 评卷人 复核人 考生注意：‎ ‎1、本试卷共五道大题，全卷满分140分；‎ ‎2、用圆珠笔、签字笔或钢笔作答；‎ ‎3、解题书写不要超出装订线；‎ ‎4、不能使用计算器。‎ 一、选择题（本题满分42分，每小题7分）‎ ‎1、已知实数a、b满足，则等于（ ） ‎ A、 B、‎2 ‎‎ C、 D、5‎ ‎2、如图，点D、E分别在的边AB、AC上，BE、CD相交于点F，设四边形EADF、、、的面积分别为、、、，则与的大小关系为（ ）‎ A、 B、‎ F 第2题图 E D B A C O3‎ O1‎ 第2题图 B A C O2‎ C、 D、不能确定 ‎3、对于任意实数a，b，c，d，有序实数对（a，b）与（c，d）之间的运算“”定义为： .如果对于任意实数m，n都有，那么为（ ）‎ A、（0，1） B、（1，0） C、（-1，0） D、（0，-1）‎ ‎4、如图，已知三个等圆⊙、⊙、⊙有公共点O，点A、B、C是这些圆的其他交点，则点O一定是的（ ）‎ A、外心 B、内心 C、垂心 D、重心 ‎5、已知关于x的方程有四个根，则k的范围为（ ）‎ A、 B、 C、 D、‎ ‎6、设在一个宽度为w的小巷内搭梯子，梯子的脚位于P点，小巷两边的墙体垂直于水平的地面。将梯子的顶端放于一堵墙的Q点时，Q离开地面的高度为k，梯子的倾斜角为，将该梯子的顶端放于另一堵墙的R点时，R离开地面的高度为h，梯子的倾斜角为，则小巷的宽度w等于（ ）‎ A、h B、k C、 D、‎ 二、填空题（本大题满分28分，每小题7分）‎ ‎7、化简的值为 ．‎ ‎8、如果关于x的实系数一元二次方程有两个实数根、，那么的最小值是 ．‎ ‎9、设四位数满足，则这样的四位数有 个．‎ ‎10、如图，MN是⊙O的直径，，点A在⊙O上，，B为的中点，P是直径MN上一动点，则的最小值为 ．‎ 三、（本大题满分20分）‎ ‎11、设实数a，b，c满足：且，求的值。‎ O M N P A 四、（本大题满分25分）‎ ‎12、已知抛物线与x轴相交于两点A、B（点A在x轴的正半轴上，点B在x轴的负半轴上），与y轴交于点C.‎ ‎（1）求m的取值范围；‎ ‎（2）若，在该抛物线对称轴右边图像上求一点P的坐标，使得.‎ 五、（本大题满分25分）‎ ‎13、如图，等腰三角形ABC中，，D，E分别在AB，AC边上，且.P在AB的延长线上，QR分别在线段CE、DB上，且，连结直线PQ与BC交于点L，QR与CD，BE分别交于点M，N.求证：‎ ‎（1）；‎ L Q M E R N P D B A ‎（2）‎ ‎2016年全国初中数学联赛初赛试卷 ‎（考试时间：‎2016年3月13日下午3：00—5：00）‎ 一、选择题（本题满分42分，每小题7分）‎ ‎1、C． 2、C． 3、D． 4、C． 5、B． 6、A．‎ 二、填空题（本大题满分28分，每小题7分）‎ ‎7、． 8、18． 9、3． 10、．‎ 三、（本大题满分20分）‎ ‎11、解：由14(a2+b2+c2)=(a+2b+‎3c)2，‎ 得‎13a2+10b2+‎5c2-4ab-‎6ac-12bc=0， （5分）‎ 配方得(‎3a-c)2+(‎2a-b)2+(3b-‎2c)2=0， （10分）‎ 所以‎3a-c=0，‎2a-b=0，3b-‎2c=0，‎ 即c=‎3a，b=‎2a． （15分）‎ 代入得 ==． （20分）‎ 解法二：由14(a2+b2+c2)=(a+2b+‎3c)2，‎ 得‎13a2+10b2+‎5c2-4ab-‎6ac-12bc=0， （5分）‎ ‎5[c2-2()c+()2]+‎13a2+10b2-4ab -=0，‎ ‎5(c-)2+a2+b2-ab=0，‎ 所以5(c-)2+(‎2a-b)2=0， （10分）‎ 由此得，c-=0，‎2a-b=0，‎ 解得b=‎2a，c=‎3a． （15分）‎ 代入得 ==． （20分）‎ 四、（本大题满分25分）‎ ‎12、解：（1）由已知得，-x2+2(m+1)x+m+3=0有两个不相同的实数解，‎ 所以D=[2(m+1)]2+4(m+3)= ‎4m2+‎12m+16=(‎2m+3) 2+3＞0，‎ 可知m是任意实数． （5分）‎ 又因为点A在x轴的负半轴上，点B在x轴的正半轴上．‎ 所以方程，-x2+2(m+1)x+m+3=0的两根一正一负，‎ 所以- (m+3)＜0，解得m＞-3．‎ 所以所求m的取值范围是m＞-3． （10分）‎ ‎（2）解法一：设点A(a，0)，B(b，0)，a＞0，b＜0，‎ 则a=-3b，且a+b=2(m+1)，ab=-(m+3)，‎ 解得m=0．‎ 函数解析式为y=-x2+2x +3． （15分）‎ 所以A(3，0)，B(-1，0)，C(0，3)。‎ 由∠PCO=∠BCO可知BC与PC关于直线OC对称。‎ 作B关于OC的对称点B′，则B′(1，0)，‎ 设直线PC是一次函数y=kx+b的图象，则 ‎ ，解得 。‎ 即PC是一次函数y=-3x+3的图象。‎ 把y=-3x+3代入y=-x2+2x +3，‎ 得-3x+3=-x2+2x +3， （20分）‎ 解得x=0，x=5，‎ 当x=0时，y=3，此时点P与点C重合，不合题意，舍去；‎ 当x=5时，y=-12，此时点P的坐标为(5,-12)．‎ 故抛物线对称轴右边图象上有一点P(5,-12)，使得∠PCO=∠BCO．‎ ‎ （25分）‎ 解法二：设点A(a,0)，B(b,0)，a＞0，b＜0，‎ 则a=-3b，且a+b=2(m+1)，ab=-(m+3)，‎ 解得m=0．‎ 函数解析式为y=-x2+2x +3． （15分）‎ 所以A(3,0)，B(-1,0)，C(0,3)。‎ 设P点的坐标为(c,-c2+‎2c +3)（c＞1）．‎ 当1＜c≤2时，∠PCO≥90°＞∠BCO．‎ 当c＞2时， tan∠PCO=，‎ 又tan∠BCO=，由∠PCO=∠BCO得tan∠PCO=tan∠BCO．‎ 即=， （20分）‎ 解得c=5．‎ 当x=5时，y=-12，此时点P的坐标为(5,-12)．‎ 故抛物线对称轴右边图象上有一点P(5，-12)，使得∠PCO=∠BCO．‎ ‎ （25分）‎ 五、（本大题满分25分）‎ ‎13、证明：‎ ‎（1）过P作PH平行于AC交直线BC于点H，连结PH，BH。‎ 则∠PHB=∠ACB=∠ABC=∠PBH，‎ 所以HP=BP=CQ。 （5分）‎ 又∠HLP=∠CLQ，∠PHL=∠QCL，‎ 所以△HLP≌△CLQ．‎ 所以PL=LQ． （10分）‎ 法二：过Q作QX∥BC交AB于点X，‎ 所以∠AQX=∠ACB=∠ABC=∠AXQ，‎ 所以AX=AQ。‎ 故BX=CQ=BP。 （5分）‎ 又因为QX∥LB，‎ 所以PL=LQ． （10分）‎ ‎（2）设直线QR交直线DE于点S，交直线BC于点T，‎ 则=，=，‎ 由DR=CQ，RB=QE，‎ 所以=，即=，‎ 又=，=，‎ 所以=，因此=，‎ 即=。‎ 由CD=BE得CM=EN． （20分）‎ 取DB，EB中点F，G，连结FG，分别交BE、CD、QR于U、V、K，‎ 因为FR=GQ，由（1）的结论知RK=QK。‎ 设BE与CD交于点O，则△OUV为等腰三角形。‎ 由CM=EN得NU=MV．‎ 由（1）的结论知NK=MK。‎ 所以MQ=NR。 （25分）‎