人教新课标A版高一数学3-4-1基本不等式的证明）

人教新课标A版高一数学3-4-1基本不等式的证明）

备课资料 一、课外阅读 算术平均数不小于几何平均数的一种证明方法(局部调整法) (1)设 a1，a2，a3，…，a n 为正实数，这 n 个数的算术平均值记为 A，几何平均值记为 G，即 n aaaA n ...21＝ ， ,...21 n naaaG  即 A≥G,当且仅当 a1＝a2＝…＝an 时，A＝G.特别地 当 n＝2 时， abba  2 ,当 n＝3 时， 3 3 abccba  . (2)用局部调整法证明均值不等式 A≥G.设这 n 个正数不全相等.不失一般性，设 0＜ a1≤a2≤…≤a n，易证 a 1＜A＜a n，且 a1＜G＜an.在这 n 个数中去掉一个最小数 a1，将 a 1 换成 A，再去掉一个最大数 an，将 an 换成 a1＋an－A，其余各数不变，于是得到第二组正数：A， a2，a3，…，a n－1，a1＋a n－A.这一代换具有下列性质：①两组数的算术平均值不变，设第 二组数的算术平均值为 A1，那么 A1＝ n AaaaaaA nn   1132 ...＋ =A,②两组数的几 何平均值最大.设第二组数的几何平均值为 G1，则 G1＝ ),(... 1132 AaaaaAa nn  ∵A(a1 ＋an－A)－a 1an＝(A－a1)(a n－A),由 a1＜A＜an，得(A－a1)(an－A)＞0,则 A(a1＋an－A)＞ a1an.∴Aa 2a 3…a n－1(a1＋a n－A)＞a1a 2…an－1＋a n.G1＞G.若第二组数全相等，则 A1＝G 1，于 是 A＝A1＝G 1＞G 证明完毕.若第二组数不全相等，再作第二次替换.仍然是去掉第二组数中 的最小数 b1 和最大数 bn，分别用 A1(即 A)和 b1＋bn－A 代替，因为有 b1＜A1＜b n 且 A1＝A. 因而第二组数中的 A 不是最小数 b1，也不是最大数 bn，不在去掉之列，在替换中不会被换 掉，而只会再增加，如此替换下去，每替换一次，新数中至少增加一个 A，经过 n－2 次替 换，新数中至少出现 n－2 个 A，最多经过 n－1 次替换，得到一个全部是 A 的新数组.此时 新数组的算术平均值等于几何平均值.在每次替换中，数组的算术平均值不变，始终等于 A， 而几何平均值不断增大，即 G＜G 1＜G2＜…＜G k，而 Gk＝Ak＝A，因而 G≤A 成立. 二、课外拓展 平均值不等式：平均不等式是最重要而基本的不等式之一，应用极其广泛，如能灵活运用， 将产生意想不到的效果，这类试题在数学竞赛中经常出现.请同学们课后查找资料，阅读此 四个不等式的证明过程. 平均值定理：设 n 个正数 a1，a2，…，an，记 调和平均 n n aaa nH 1...11 21   几何平均 n nn aaaG  ...21 ， 算术平均 n aaaA n n  ...21 ， 平方平均 n aaaQ n n 22 2 2 1 ... . 这 4 个平均有如下关系：Hn≤Gn≤An≤Q n,等号成立的充要条件都是 a1=a 2=…=a n.