高考数学试题四川卷理科

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高考数学试题四川卷理科

‎2007年普通高等学校招生全国统一考试(四川卷)‎ 理科数学全解全析 一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.‎ ‎1、复数的值是(  )‎ ‎(A)0 (B)1 (C) (D)‎ 解析:选A..本题考查复数的代数运算.‎ ‎2、函数与在同一直角坐标系下的图象大致是(  )‎ 解析:选C.注意 的图象是由的图象右移1而得.本题考查函数图象的平移法则.‎ ‎3、(  )‎ ‎(A)0  (B)1  (C)  (D)‎ 解析:选D.本题考查型的极限.原式或原式.‎ ‎4、如图,为正方体,下面结论错误的是(  )‎ ‎(A)平面 ‎(B)‎ ‎(C)平面 ‎(D)异面直线与所成的角为 解析:选D.显然异面直线与所成的角为.‎ ‎5、如果双曲线上一点到双曲线右焦点的距离是2,那么点到轴的距离是(  )‎ ‎(A)   (B)   (C)   (D)‎ 解析:选A.由点到双曲线右焦点的距离是2知在双曲线右支上.又由双曲线的第二定义知点到双曲线右准线的距离是,双曲线的右准线方程是,故点到轴的距离是.‎ ‎6、设球的半径是1,、、是球面上三点,已知到、两点的球面距离都是,且二面角的大小是,则从点沿球面经、两点再回到点的最短距离是(  )‎ ‎(A) (B)  (C)   (D)‎ 解析:选C..本题考查球面距离.‎ ‎7、设,,为坐标平面上三点,为坐标原点,若与在方向上的投影相同,则与满足的关系式为(  )‎ ‎(A)  (B)  (C)  (D)‎ 解析:选A.由与在方向上的投影相同,可得:即 ,.‎ ‎8、已知抛物线上存在关于直线对称的相异两点、,则等于(  )‎ ‎(A)3 (B)4 (C) (D)‎ 解析:选C.设直线的方程为,由,进而可求出的中点,又由在直线上可求出,∴,由弦长公式可求出 ‎.本题考查直线与圆锥曲线的位置关系.自本题起运算量增大.‎ ‎9、某公司有60万元资金,计划投资甲、乙两个项目,按要求对项目甲的投资不小于对项目乙投资的倍,且对每个项目的投资不能低于5万元,对项目甲每投资1万元可获得0.4万元的利润,对项目乙每投资1万元可获得0.6万元的利润,该公司正确规划投资后,在这两个项目上共可获得的最大利润为(  )‎ ‎(A)36万元 (B)31.2万元 (C)30.4万元 (D)24万元 解析:选B.对甲项目投资24万元,对乙项目投资36万元,可获最大利润31.2万元.因为对乙项目投资获利较大,故在投资规划要求内(对项目甲的投资不小于对项目乙投资的倍)尽可能多地安排资金投资于乙项目,即对项目甲的投资等于对项目乙投资的倍时可获最大利润.这是最优解法.也可用线性规划的通法求解.注意线性规划在高考中以应用题型的形式出现.‎ ‎10、用数字0,1,2,3,4,5可以组成没有重复数字,并且比20000大的五位偶数共有(  )‎ ‎(A)288个 (B)240个 (C)144个 (D)126个 解析:选B.对个位是0和个位不是0两类情形分类计数;对每一类情形按“个位-最高位-中间三位”分步计数:①个位是0并且比20000大的五位偶数有个;②个位不是0并且比20000大的五位偶数有个;故共有个.本题考查两个基本原理,是典型的源于教材的题目.‎ ‎11、如图,、、是同一平面内的三条平行直线,与间的距离是1,与间的距离是2,正三角形的三顶点分别在、、上,则⊿的边长是(  )‎ ‎(A) (B)‎ ‎(C) (D)‎ 解析:选D.过点C作的垂线,以、为轴、轴建立平面直角坐标系.设、、,由知,检验A:,无解;检验B:,无解;检验D:,正确.本题是把关题.在基础中考能力,在综合中考能力,在应用中考能力,在新型题中考能力全占全了.是一道精彩的好题.可惜区分度太小.‎ ‎12、已知一组抛物线,其中为2、4、6、8中任取的一个数,‎ 为1、3、5、7中任取的一个数,从这些抛物线中任意抽取两条,它们在与直线交点处的切线相互平行的概率是( )‎ ‎(A) (B) (C) (D)‎ 解析:选B.这一组抛物线共条,从中任意抽取两条,共有种不同的方法.它们在与直线交点处的切线的斜率.若,有两种情形,从中取出两条,有种取法;若,有三种情形,从中取出两条,有种取法;若,有四种情形,从中取出两条,有种取法;若,有三种情形,从中取出两条,有种取法;若,有两种情形,从中取出两条,有种取法.由分类计数原理知任取两条切线平行的情形共有种,故所求概率为.本题是把关题.‎ 二、填空题:本大题共4小题,每小题4分,共16分;把答案填在题中的横线上.‎ ‎13、若函数(是自然对数的底数)的最大值是,且是偶函数,则________.‎ 解析:,,∴.‎ ‎14、在正三棱柱中,侧棱长为,底面三角形的边长为1,则与侧面所成的角是____________‎ 解析:,点到平面的距离为,∴,. ‎ ‎15、已知的方程是,的方程是,由动点向和所引的切线长相等,则动点的轨迹方程是__________________‎ 解析::圆心,半径;:圆心,半径.设,由切线长相等得 ‎,.‎ ‎16、下面有5个命题:‎ ‎①函数的最小正周期是.‎ ‎②终边在轴上的角的集合是.‎ ‎③在同一坐标系中,函数的图象和函数的图象有3个公共点.‎ ‎④把函数的图象向右平移得到的图象.‎ ‎⑤函数在上是减函数.‎ 其中,真命题的编号是___________(写出所有真命题的编号)‎ 解析:①,正确;②错误;③,和在第一象限无交点,错误;④正确;⑤错误.故选①④.‎ 三、解答题:本大题共6小题,共74分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.‎ ‎(17)(本小题满分12分)已知<<<,‎ ‎(Ⅰ)求的值.‎ ‎(Ⅱ)求.‎ ‎(17)本题考察三角恒等变形的主要基本公式、三角函数值的符号,已知三角函数值求角以及计算能力。‎ 解:(Ⅰ)由,得 ‎∴,于是 ‎(Ⅱ)由,得 又∵,∴‎ 由得:‎ 所以 ‎(18)(本小题满分12分)厂家在产品出厂前,需对产品做检验,厂家将一批产品发给商家时,商家按合同规定也需随机抽取一定数量的产品做检验,以决定是否接收这批产品.‎ ‎(Ⅰ)若厂家库房中的每件产品合格的概率为0.8,从中任意取出4件进行检验.求至少有1件是合格品的概率;‎ ‎(Ⅱ)若厂家发给商家20件产品,其中有3件不合格,按合同规定该商家从中任取2件,都进行检验,只有2件都合格时才接收这批产品,否则拒收.求该商家可能检验出不合格产品数的分布列及期望,并求该商家拒收这批产品的概率.‎ ‎(18)本题考察相互独立事件、互斥事件等的概率计算,考察随机事件的分布列,数学期望等,考察运用所学知识与方法解决实际问题的能力。‎ 解:(Ⅰ)记“厂家任取4件产品检验,其中至少有1件是合格品”为事件A ‎ 用对立事件A来算,有 ‎(Ⅱ)可能的取值为 ‎ ,,‎ 记“商家任取2件产品检验,都合格”为事件B,则商家拒收这批产品的概率 所以商家拒收这批产品的概率为 ‎(19)(本小题满分12分)如图,是直角梯形,∠=90°,∥,=1,=2,又=1,∠=120°,⊥,直线与直线所成的角为60°.‎ ‎(Ⅰ)求证:平面⊥平面;‎ ‎(Ⅱ)求二面角的大小;‎ ‎(Ⅲ)求三棱锥的体积.‎ ‎(19)本题主要考察异面直线所成的角、平面与平面垂直、二面角、三棱锥体积等有关知识,考察思维能力和空间想象能力、应用向量知识解决数学问题的能力、化归转化能力和推理运算能力。‎ 解法一:‎ ‎(Ⅰ)∵‎ ‎∴,‎ 又∵‎ ‎∴‎ ‎(Ⅱ)取的中点,则,连结,‎ ‎∵,∴,从而 作,交的延长线于,连结,则由三垂线定理知,,‎ 从而为二面角的平面角 直线与直线所成的角为 ‎∴‎ 在中,由余弦定理得 在中,‎ 在中,‎ 在中,‎ 故二面角的平面角大小为 ‎(Ⅲ)由(Ⅱ)知,为正方形 ‎∴‎ 解法二:(Ⅰ)同解法一 ‎(Ⅱ)在平面内,过作,建立空间直角坐标系(如图)‎ 由题意有,设,‎ 则 由直线与直线所成的解为,得 ‎,即,解得 ‎∴,设平面的一个法向量为,‎ 则,取,得 平面的法向量取为 设与所成的角为,则 显然,二面角的平面角为锐角,‎ 故二面角的平面角大小为 ‎(Ⅲ)取平面的法向量取为,则点A到平面的距离 ‎∵,∴‎ ‎(20)(本小题满分12分)设、分别是椭圆的左、右焦点.‎ ‎(Ⅰ)若是该椭圆上的一个动点,求·的最大值和最小值;‎ ‎(Ⅱ)设过定点的直线与椭圆交于不同的两点、,且∠为锐角(其中为坐标原点),求直线的斜率的取值范围.‎ 已知函数,设曲线在点()处的切线与x轴线发点()()其中xn为实数 ‎(20)本题主要考察直线、椭圆、平面向量的数量积等基础知识,以及综合应用数学知识解决问题及推理计算能力。‎ 解:(Ⅰ)解法一:易知 所以,设,则 因为,故当,即点为椭圆短轴端点时,有最小值 当,即点为椭圆长轴端点时,有最大值 解法二:易知,所以,设,则 ‎(以下同解法一)‎ ‎(Ⅱ)显然直线不满足题设条件,可设直线,‎ 联立,消去,整理得:‎ ‎∴‎ 由得:或 又 ‎∴‎ 又 ‎∵,即 ∴‎ 故由①、②得或 ‎(21)(本小题满分12分)已知函数,设曲线在点处的切线与轴的交点为,其中为正实数.‎ ‎(Ⅰ)用表示;‎ ‎(Ⅱ) 证明:对一切正整数的充要条件是 ‎(Ⅲ)若,记,证明数列成等比数列,并求数列的通项公式。‎ ‎(21)本题综合考察数列、函数、不等式、导数应用等知识,以及推理论证、计算及解决问题的能力。‎ 解:(Ⅰ)由题可得 所以过曲线上点的切线方程为,‎ 即 令,得,即 显然 ∴‎ ‎(Ⅱ)证明:(必要性)‎ 若对一切正整数,则,即,而,∴,即有 ‎(充分性)若,由 用数学归纳法易得,从而,即 又 ∴‎ 于是,‎ 即对一切正整数成立 ‎(Ⅲ)由,知,同理,‎ 故 从而,即 所以,数列成等比数列,故,‎ 即,从而 所以 ‎ (22)(本小题满分14分)‎ 设函数.‎ ‎(Ⅰ)当x=6时,求的展开式中二项式系数最大的项;‎ ‎(Ⅱ)对任意的实数x,证明>‎ ‎(Ⅲ)是否存在,使得an<<恒成立?若存在,试证明你的结论并求出a的值;若不存在,请说明理由.‎ ‎(22)本题考察函数、不等式、导数、二项式定理、组合数计算公式等内容和数学思想方法。考查综合推理论证与分析解决问题的能力及创新意识。‎ ‎(Ⅰ)解:展开式中二项式系数最大的项是第4项,这项是 ‎(Ⅱ)证法一:因 证法二:因 而 故只需对和进行比较。‎ 令,有 由,得 因为当时,,单调递减;当时,,单调递增,所以在处有极小值 故当时,,‎ 从而有,亦即 故有恒成立。‎ 所以,原不等式成立。‎ ‎(Ⅲ)对,且 有 又因,故 ‎∵,从而有成立,‎ 即存在,使得恒成立。‎
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