重庆中考复习二次函数

重庆中考复习二次函数

‎2016寒假二次函数 已知如图：抛物线与轴交于两点（点在点的左侧）与轴交于点，点为抛物线的顶点，过点的对称轴交轴于点.‎ ‎（1）如图1，连接，试求出直线的解析式；‎ ‎（2）如图2，点为抛物线第一象限上一动点，连接，，，当四边形的面积最大时，线段交于点，求此时的值；‎ ‎（3）如图3，已知点，连接，将沿着轴上下平移（包括）在平移的过程中直线交轴于点，交轴于点，则在抛物线的对称轴上是否存在点，使得是以为直角边的等腰直角三角形，若存在，请直接写出点的坐标，若不存在，请说明理由. ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 解：（1）∴令得 ‎∴‎ ‎,∴设的解析式为，‎ ‎∴ ‎ ‎ 的解析式为： ………………………………..4分 ‎（2）连接,过作轴交于点,则 ‎,‎ ‎∴的面积最大时四边形的面积最大 设，，‎ ‎， ‎ 当时，的面积最大，四边形的面积最大，此时 设，代入,，‎ 又的解析式为：‎ ‎，，‎ 过点作于点,‎ ‎………….8分 （3） ‎…………..12分 如图，抛物线与轴交于，两点（点在点的左侧），与交于点，的平分线与轴交于点，与抛物线相交于点，是线段上一点，过点作轴的垂线，分别交，于点，，连接，．‎ ‎（1）如图1，求线段所在直线的解析式；‎ ‎（2）如图1，求△面积的最大值和此时点的坐标；‎ ‎26题图1‎ ‎26题图2‎ ‎26题备用图 ‎（3）如图2，以为边，在它的右侧作正方形，点在线段上运动时正方形也随之运动和变化，当正方形的顶点或顶点在线段上时，求正方形的边长．‎ 解：（1）抛物线的解析式为： ‎ 令，则，‎ ‎．……………………………………………………………（1分）‎ 令，则，‎ 解得，．‎ ‎，．……………………………………………………（2分）‎ 设直线所在直线解析式为：，‎ 将，代入可得，‎ ‎　　解得，‎ 直线所在直线解析式为：．…………………（4分）‎ ‎（2）过点作于点，如图1．‎ ‎，．．‎ 在中，．‎ 在与中 ‎，，，‎ ‎≌，‎ ‎，．‎ 设，则． ‎ ‎， ‎ ‎．‎ 在中，‎ ‎，‎ ‎，‎ 解得，．‎ ‎．‎ ‎．‎ 设直线所在直线解析式为：，‎ 将，代入可得，‎ ‎　　解得 直线所在直线解析式为：．…………………………（5分）‎ ‎26题答图2‎ 又直线的解析式为：．‎ 设，则，，‎ ‎，‎ ‎　，‎ ‎．…………………（6分）‎ ‎　　　　该函数的对称轴是直线．‎ 当时， 的最大值＝．………………………（7分）‎ ‎26题答图3‎ 此时，．………………………………………………………………（8分）‎ ‎（3）由，可得直线的解析式为：．‎ ①当顶点在线段上时，如图3．‎ 设，则， ，．‎ ‎，‎ ‎．‎ ‎，，‎ 解得，．‎ ‎．‎ 顶点在线段上时，，正方形的边长为．…………（10分）‎ ②当顶点在线段上时，如图4．‎ ‎26题答图4‎ 设，则， ，．‎ ‎，‎ ‎．‎ ‎，‎ ‎，‎ 解得，．‎ ‎．‎ 顶点在线段上时，，正方形的边长为．……　（12分）‎ 综上所述，顶点在线段上时，，正方形的边长为；顶点在线段上时，，正方形的边长为．‎ 在直角坐标系中,抛物线与轴交于两点,与轴交于点 连接.‎ ‎（1）求的正弦值.‎ ‎（2）如图1,为第一象限内抛物线上一点，记点横坐标为,作//交于点, //轴交于点，请用含的代数式表示线段的长，并求出当时线段的长.‎ ‎（3）如图2,为轴上一动点（不与点、重合）,作//交直线于点,连接，是否存在点 使,若存在,请直接写出点的坐标, 若不存在，请说明理由.‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 解：（1）∵‎ ‎∴C（0，4）令y=0，‎ ‎4x2-8x-12=0‎ x2-2x-3=0 (x-3)(x+1)=0‎ x1=-1 x2=3 ∴A(-1,0) B(3,0)‎ ‎∴OA=1,OC=4‎ ‎∴Rt△ACO中，‎ ‎∴ ……4分 ‎（2）∵DE//AC，∴∠1+∠2＝∠3＝∠4+∠5‎ 又∵∠2＝∠4 ∴∠1＝∠5 ∴0A∶OC＝EM∶DM 过点E作EM⊥DH于M 设D（）‎ 直线BC∶‎ ‎∴H() ∴DH= ……5分 设EM＝x，则DM＝4x ‎∠MEH＝∠B ∴‎ ‎∴‎ ‎ 图2‎ ‎ ‎ ‎∴‎ ‎＝ ……7分 当CH∶BH＝2∶1，延长DH至K，则OK∶KB=2∶1,OK=2‎ ‎∴m=2‎ ‎∴ ……9分 ‎（3）‎ ‎ ‎ ‎ ……12分 ‎．如图1，抛物线与轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），交轴于点C．将直线AC以点A为旋转中心，顺时针旋转90°，交轴于点D，交抛物线于另一点E．‎ ‎（1）求直线AE的解析式；‎ ‎（2）点F是第一象限内抛物线上一点，当△FAD的面积最大时，在线段AE上找一点G（不与点A、E重合），使FG＋GE的值最小，求出点G的坐标，并直接写出FG＋GE的最小值；‎ ‎（3）如图2，将△ACD沿射线AE方向以每秒个单位的速度平移，记平移后的△ACD为△A′C′D′，平移时间为t秒，当△AC′E为等腰三角形时，求t的值．‎ E B A C x y O D ‎26题图2‎ x O B y A D F E C ‎26题图1‎ 解：（1）在中，令y=0，得．‎ 解得，，‎ ‎ ∴ 点A的坐标为（－1，0），点B的坐标为(3，0) ，即OA＝1．………（1分）‎ ‎ 在中，令x＝0，得 y＝，‎ ‎ ∴ 点C的坐标为（0，）， 即OC＝．‎ ‎ 在Rt△AOC中，tan∠CAO，∴ ∠CAO＝60°，‎ ‎ 又∵∠CAD＝90°，∴∠OAD＝30°．‎ ‎ 在Rt△AOD中，tan∠OAD＝，即tan30°＝，∴OD＝，‎ ‎ ∴ 点D的坐标为（0，）．………………………………….....………（2分）‎ 设直线AE的解析式为y＝kx＋b（k≠0），∵点A、点D在直线AE上，‎ ‎∴ 解得 ‎ ∴ 直线AE的解析式为．……………………………....……（4分）‎ ‎ （2）过点F作FK⊥x轴于点H，交直线AE于点K（如答图1），‎ ‎ 过点D作DM⊥FK于点M．‎ x y F C A D O B E G H K M P Q ‎26题答图1‎ ‎ 设点F的坐标为（x，），‎ 则点K的坐标为（x，），‎ ‎ ∴FK＝－()‎ ‎＝‎ ‎∴S△FAD＝S△FAK－S△FDK＝‎ ‎＝‎ ‎＝……………………………………...…...（5分）‎ ‎∴当x＝＝时，S△FAD有最大值，‎ ‎∴此时点F的坐标为(，)．………………...…..……………...….. …（6分）‎ ‎ 点G是线段AE上一点，作EQ⊥y轴于点Q，GP⊥EQ于点P，‎ ‎ 则∠PEG＝30°，GP＝GE，FG+GE＝FG＋GP．‎ 过点F作EQ的垂线，交AE于点G，此时FG+GE的值最小，‎ ‎∴此时点G的坐标为（，）．……...... ....... ……...........................…（7分）‎ ‎ FG+GE的最小值为．……....... …... .………...............................…（8分）‎ ‎ （3）连结C，过点作F⊥y轴于点F（如答图2）．‎ x B A C y O D ‎26题答图2‎ E F ‎ 则C＝，CF＝C＝，F＝C＝t．‎ ‎ ∴点的坐标为（t，）． ‎ ‎ 由（2）知：点E的坐标为（4，）．‎ ‎ ∴ ， ，‎ ‎．‎ ① 当A=E时，‎ ‎，解得．.............. ..... ..... ..... ..... ..... ......…（9分）‎ ‎②当A＝AE时，‎ ‎，解得 ，（舍去）．….........................…（10分）‎ ‎ ③当AE=E时 ‎ ， 解得 ．‎ ‎ 综上所述，当△AE为等腰三角形时，或或或．…..........................................................................................................（12分）‎ 如图1，抛物线交轴于、两点（点在点的左侧），交于点，连接、，其中.‎ (1) 求抛物线的解析式；‎ (2) 点为直线上方的抛物线上一点，过点作交于,作轴于，交于，当的周长最大时，求点的坐标及的最大值；‎ (3) 如图2，在（2）的结论下，连接分别交于,交于,四边形从开始沿射线平移，同时点从开始沿折线运动，且点的运动速度为四边形平移速度的倍，当点到达点时四边形停止运动，设四边形平移过程中对应的图形为，当为等腰三角形时，求长度.‎ 如图1 如图2 备用图 ‎．如图，抛物线y=－x2+2x+3与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点D，C关于抛物线的对称轴对称，直线AD与y轴相交于点E．‎ ‎（1）求直线AD的解析式；‎ ‎（2）如图1，直线AD上方的抛物线上有一点F，过点F作FG⊥AD于点G，作FH平行于x轴交直线AD于点H，求△FGH周长的最大值；‎ ‎（3）如图2，点M是抛物线的顶点，点P是y轴上一动点，点Q是坐标平面内一点，四边形APQM是以PM为对角线的平行四边形，点Q′与点Q关于直线AM对称，连接M Q′，P Q′．当△PM Q′与□APQM重合部分的面积是□APQM面积的时，求□APQM面积．‎ 图1 图2 备用图 解：（1）令－x2+2x+3=0，解得x1=－1，x2=3，∴A（－1，0），C（0，3），‎ ‎∵点D，C关于抛物线的对称轴对称，∴D（2，3），‎ ‎∴直线AD的解析式为：y=x+1；‎ ‎（2）设点F（x，－x2+2x+3），∵FH∥x轴，∴H（－x2+2x+2，－x2+2x+3），‎ ‎∴FH=－x2+2x+2－x=－（x－）2+，∴FH的最大值为，‎ 易得△FHG为等腰直角△，故△FGH周长的最大值为；‎ ‎（3）①当P点在AM下方时，如图，设P（0，p），易知M（1，4），从而Q（2，4+p），‎ ‎∵△PM Q′与□APQM重合部分的面积是□APQM面积的，∴PQ′必过AM中点N（0，2），∴可知Q′在y轴上，易知QQ′的中点T的横坐标为1，而点T必在直线AM上，故T（1，4），从而T、M重合，故□APQM是矩形，‎ ‎∵易得直线AM解析式为：y=2x+2，而MQ⊥AM，过M，∴直线QQ′：y=－x+，‎ ‎∴4+p=－×2+，∴p=－，（注：此处也可用AM2+AP2=MP2得出p=－），∴PN=，‎ ‎∴S□APQM=2S△AMP=4S△ANP=4××PN×AO=4×××1=5；‎ ‎②当P点在AM上方时，如图，设P（0，p），易知M（1，4），从而Q（2，4+p），‎ ‎∵△PM Q′与□APQM重合部分的面积是□APQM面积的，∴PQ′必过QM中点R（，4+），‎ 易得直线QQ′：y=－x+p+5，‎ 联立解得：x=，y=，∴H（，），‎ ‎∵H为QQ′中点，故易得Q′（，），‎ 由P（0，p）、R（，4+）易得直线PR解析式为：y=（－）x+p，‎ 将Q′（，）代入到y=（－）x+p得：=（－）×+p，‎ 整理得：p2－9p+14=0，解得p1=7，p2=2（与AM中点N重合，舍去），‎ ‎∴P（0，7），∴PN=5，‎ ‎∴S□APQM=2S△AMP=2××PN×∣xM －xA∣=2××5×2=10．‎ 综上所述，□APQM面积为5或10．‎ 如图1，抛物线y=－x2－ x+3与x轴交于A、B两点（点A在点B的右侧），交y轴于点C，点D的坐标为（0，－1），直线AD交抛物线于另一点E；点P是第二象限抛物线上的一点，作PQ∥y轴交直线AE于Q，作PG⊥AD于G，交x轴于点H．‎ ‎（1）求线段DE的长；‎ ‎（2）设d=PQ－PH，当d的值最大时，在直线AD上找一点K，使PK+EK的值最小，求出点K的坐标和PK+EK的最小值；‎ ‎（3）如图2，当d的值最大时，在x轴上取一点N，连接PN、QN，将△PNQ沿着PN翻折，点Q的对应点为Q′，在x轴上是否存在点N，使△AQQ′是等腰三角形？若存在，求出点N的坐标，若不存在，说明理由．‎ 解：（1）令－x2－x+3=0，得x1=－3，x2=，∴A（，0），B（－3，0），‎ 设lAD：y=kx－1，∴k=，∴直线AD解析式：y=x－1，‎ ‎∴由解得，，∴DF==8；‎ ‎（2）∵PQ⊥x轴，PG⊥AE，∴显然△AOD∽△PGQ∽△PFH，∵OA=，OD=1，∴∠OAD=30o，‎ ‎∴∠P=30o，∴=，∴PF=PH，‎ ‎∴d=PQ－PH= PQ－PF，‎ 设P（x，－x2－x+3），则Q（x，x－1），F（x，0），‎ ‎∴d=（－x2－x+3）－（x－1）－（－x2－x+3）=－（x+2）2+，‎ ‎∴当x=－2时，d取得最大值，此时P（－2，3），‎ 如图所示，作KM∥y轴，EM∥x轴，则KM⊥EM，‎ ‎∴∠KEM=∠OAD=30o，∴KM=EK，故当PK+EK=PK+KM最小时，P、K、M应共线，即K点与Q点重合，此时K（－2，－3），∴PK+EK最小为3+5=8；‎ ‎（3）存在，理由如下：‎ ‎①如图1，当AQ′=QQ′时，易知PA=PQ=QA，‎ ‎∴PQ′垂直平分AQ，△APQ是等边△，‎ ‎∴∠APQ′=∠PAF=30o，‎ ‎∴PM=AM=2，FM=，‎ ‎∵PN平分∠FPM，‎ ‎∴FN∶MN=PF∶PM，即FN∶（－FN）=3∶2，∴FN=6－3，‎ ‎∴N（6－5，0）；‎ 如图2，当AQ′=QQ′时，∵PN垂直平分QQ′，x轴垂直平分PQ，易得△PQQ′≌△PAQ′，故∠QPQ′=150o，‎ ‎∴易得∠PNF=15o，在FN上取点M，使FM=FA，连接PM，易得∠PMF=30o，PM=6，PM=NM=6，‎ MF=FA=3，∴N（－6－5，0）；‎ ‎②当AQ=QQ′时，如图3，显然此时N与B重合，即N（－3，0）；‎ ‎③当AQ=AQ′时，如图4，显然此时N与A重合，即N（，0）；‎ 综上所述，符合条件的N点坐标为（6－5，0），（－6－5，0），（－3，0），（，0）．‎ ‎ ‎ ‎ 图1 图2 ‎