高考精选高难压轴填空题平面向量

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高考精选高难压轴填空题平面向量

‎1. 在△ABC中,已知AB=4,AC=3,P是边BC的垂直平分线上的一点,则=_____________‎ ‎【答案】‎ 解析:‎ A B C P Q ‎2. 已知,点在内,.‎ 设,则等于 ‎A B O C ‎【答案】3‎ ‎[解析]:法一:建立坐标系,设 则由得 而 故 法二:两边同乘或得 两式相除得 ‎ ‎3. 在△ABC中,若,则边的长等于 ‎ 解析:‎ ‎4. 已知点G是的重心,点P是内一点,若的取值范围是___________‎ 解析:‎A B C G P G’‎ P’‎ ‎(其中)‎ ‎=‎ ‎=,则 ‎5. 已知为所在平面内一点,满足 ‎,则点是的 心 垂心 解析: ‎ ‎,可知,其余同理 ‎6. 设点O是△ABC的外心,AB=,AC=,则·的取值 范围 ‎ 解析:‎A B C O ‎7. 在△ABC和△AEF中,B是EF的中点,AB=EF=1,BC=6,‎ ‎,若,则与的夹角的余弦值等于_____‎ 解析:(2007全国联赛类似38.39题)因为,所以,即。因为,‎ ‎,,所以,即。设与的夹角为θ,则有,即3cosθ=2,所以 ‎8. 已知向量,,满足,,.若对每一确定的,的最大值和最小值分别为,则对任意,的最小值是  ‎ 解析:数形结合.A B C D ,,,‎ ‎,点在以为直径的圆上运动,就是,而(共线时取等号)和9题相同.‎ ‎9. 已知向量a ,b ,c 满足 | a | = 1,|a - b | = | b |,(a - c) (b - c ) = 0 ,若对每一个确定的b,|c | 的最大值和最小值分别为m,n,则对于任意的向量b ,m + n 的最小值为 ‎_________ .‎ 解析:本题和8完全相同。数形结合,具体参见8‎ ‎10. 设是夹角为的两个单位向量,已知,,若是以为直角顶点的直角三角形,则实数取值的集合为_____________{1}‎ 解析:画图解即可 ‎11. 如图放置的边长为1的正方形的顶点分别在轴,轴上正半轴上滑动,则的最大值为________2‎ 解析:‎O A B C D x y ‎12. 给定两个长度为1的平面向量和,它们的夹角为。如图所示,点在以为圆心的圆弧上变动,若,其中,则的最大值是___2‎ 解析:‎ ‎【研究】如果要得到满足的准确条件,则建系,则 ‎,则满足,且 ‎【变题】给定两个长度为1且互相垂直的平面向量和,点C在以O为圆心的圆弧AB上运动,若,其中x、yR,则的最大值为 2 ‎ 解析:建系,利用坐标法是可以得到最准确的满足条件,如 ‎,点C在以O为圆心的圆弧AB上运动,故满足 ‎13. 在平行四边形已知,点的中点,点在上运动(包括端点),则的取值范围是 ‎ 解析:分两种情形,结合图形分析。(1)当P在BC上时,,则;同理,当P在CD上时,‎ ‎14. 在周长为16的中,,则的取值范围是 ‎ 解析:,因,故,,或者用消元的方法 ‎,当时取等号,故 ‎;同时,当时,故,‎ 另法:本题可以得出P的轨迹是椭圆,得出椭圆方程然后设P坐标来解决 ‎15. 已知且,是钝角,若的最小值为,则的最小值是 ‎ O B B’‎ A C 解析:共线,用几何图形解)的最小值为根据几何意义即为A到OB的距离,易得,要使最小,则,利用面积法可求得 ‎16. 如图,在正方形中,为的中点,为以为圆心、为半径的圆弧上的任意一点,设向量,则的最小值为 ‎ 解析:坐标法解,‎ 由得 ‎,‎ ‎,令,,故最小值为,最小值为 ‎17. 已知为边长为1的等边所在平面内一点,且满足,则 ‎=________3‎ 解析:如图P A B C ,=‎ ‎18. 已知向量M={ | =(1,2)+l(3,4) lÎR}, N={|=(-2,2)+ l(4,5) lÎR },则MÇN=________‎ 解析:‎ ‎19. 等腰直角三角形中,,,是边上的高,为的中点,点分别为边和边上的点,且关于直线对称,当时,______3 ‎ C A D E B 解析:‎ ‎20. 如图在三角形ABC中,E为斜边AB的中点,CD⊥AB,AB=1,‎ ‎ 则的最大值是 ‎ ‎ 解析:‎ ‎21. 已知A,B,C是平面上不共线上三点,动点P满足,则P的轨迹一定通过的______________重心 解析:设重心为,‎ ‎,故三点共线 ‎22. 已知点O为的外心,且,则 6‎ 解析:‎ ‎23. 设是边延长线上一点,记 ,若关于的方程 在上恰有两解,则实数的取值范围是____‎ 或 解析:令则在上恰有一解,数形结合知或,或者 又 所以或 ‎24. 是锐角ABC所在平面内的一定点,动点P满足:‎ ‎,,则动点P的轨迹一定通过ABC的______心 内心 解析:设高为,则显然成立 ‎25. 已知为坐标原点,,,,,记、‎ ‎、中的最大值为M,当取遍一切实数时,M的取值范围是_____‎ 解析:不妨设,即,此时,当取遍一切实数时,点在轴上滑动,而到点的距离等于到轴距离的点的轨迹是以为焦点,轴为准线的抛物线,其方程为C A ,它交直线于点,显然此时,而为的垂足时最小,即最小是 法2:对于某个固定的,到的最大值显然可以趋向,最小值呢?实际上就是当为外心时,此时的最小值,因为当不是外心时,至少有一个会变大,这样就变大.解得外心坐标为,要使得最小,则圆与坐标轴相切,此时 ‎26. 已知中,为内心,,则的值为 _________ . ,‎ 解析:延长交于点,则 ‎27. 设G是的重心,且,则角B的大小为__________60°‎ 解析:由重心性质知,下面用余弦定理即可求解 ‎28. 平面内两个非零向量,满足,且与的夹角为,则的取值范围是_________‎ 解析:数形结合。 利用正弦定理得,,‎ ‎29. 在中,,为外接圆的圆心,则____‎ 解析:‎A B C O D E ‎30. △ABC内接于以O为圆心的圆,且.则 .135‎ 解析:‎ ‎31. 在△ABC中,AB=8,BC=7,AC=3,以A为圆心,r=2为半径作一个圆,设PQ为圆A 的任意一条直径,记T=,则T的最大值为 .22‎ 解析:A B C P Q 设的夹角为,注意到由余弦定理知,故 ‎32. 如图,在ΔABC中,,,,则=____________‎ ‎33. 已知点O为△ABC内一点,且+2+3=,则△AOB、△AOC、△BOC的面积之比等于_______________3:2:1‎ 法一:延长OB,OC至B’,C’,使得,,则为重心,然后由面积计算;法二:建立坐标系,设A(0,0),C(c,0),B(a,b),O(x,y),‎ ‎34.已知A.B.C是△ABC的三个顶点,为_________________三角形. 直角三角形 解:注意到,故 ‎35.平面上的向量满足,且,若向量 ‎,则的最大值为___________ ‎ 解析:两边平方后知,即重合时.‎ ‎36.已知在平面直角坐标系中,满足0的最大值为 ‎ 解析:即已知求最大值问题,线性规划问题.‎ ‎37、在△中,已知,,,于,为 的中点,若,则 . ‎ 解析:,两边同数乘得;两边同数乘得 解方程组得 ‎38. 如图,在和中,是的中点,,,‎ 若,则与的夹角的余弦值等于 _.‎ 解析:39题类似,,下面求 ‎(=‎ ‎=,解方程得 ‎39. 如图,在△ABC和△AEF中,B是EF的中点,AB=EF=1,CA=CB=2,若,则与的夹角等于 ;‎ 解析: 解题思路:在已知等式中,将不知模长的向量作替换转化。‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 与的夹角与的夹角∵,‎ ‎∴‎ ‎ ‎ ‎ 而在等腰△ABC中,作底边的高CD,则在Rt△ACD中由已知边长可得,设与的夹角为。‎ ‎∴,‎ 从而,又,∴。‎ ‎40. 如图,已知的一条直角边与等腰的斜边重合,若,,,‎ 则 = .-1‎ 解析:两边分别同乘分别得到 ‎41.在中,若是其内一点,满足,求证:为内心 证明:‎ ‎,注意到是单位向量,则在角平分线上,同理可得是内心.‎ ‎42. 已知向量满足条件:,且=2,点P是ABC内一动点,则 18 .‎ ‎43. 如图所示,A,B,C是圆O上的三点,CO的延长线与线段BA的延长线交于圆O 外的点D,若,则的取值范围是 (-1,0) ‎ 解析:设 ‎,由于共线 A B C P ‎44.如图,,点在阴影区域内(不含边界),则 满足的条件是___________,‎ 解析:设与交与点,‎ ‎,‎ ‎45. 在△ABC中,,D是BC边上任意一点(D与B、C不重合),且,则等于 ‎ 解析:‎ 说明AD是BC边中垂线,得AB=AC ‎46. 在中,,是内切圆圆心,设是⊙‎ 外的三角形区域内的动点,若,则点所在区域的面积为 ‎
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