2015年高考福建理科数学试题及答案(word解析版)

2015年高考福建理科数学试题及答案(word解析版)

‎2015年普通高等学校招生全国统一考试（福建卷）‎ 数学（理科）‎ 第Ⅰ卷（选择题 共50分）‎ 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．‎ ‎（1）【2015年福建，理1，5分】若集合（是虚数单位），，则等于（ ）‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎【答案】C ‎【解析】由已知得，故，故选C．‎ ‎（2）【2015年福建，理2，5分】下列函数为奇函数的是（ ）‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎【答案】D ‎【解析】函数是非奇非偶函数；和是偶函数；是奇函数，故选D．‎ ‎（3）【2015年福建，理3，5分】若双曲线的左、右焦点分别为，点在双曲线上，且，则等于（ ）‎ ‎（A）11 （B）9 （C）5 （D）3‎ ‎【答案】B ‎【解析】由双曲线定义得，即，解得，故选B．‎ ‎（4）【2015年福建，理4，5分】为了解某社区居民的家庭年收入所年支出的关系，随机调查了该社区5户家庭，得到如下统计数据表：‎ 收入（万元）‎ ‎8.2‎ ‎8.6‎ ‎10.0‎ ‎11.3‎ ‎11.9‎ 支出（万元）‎ ‎6.2‎ ‎7.5‎ ‎8.0‎ ‎8.5‎ ‎9.8‎ 根据上表可得回归直线方程，其中，据此估计，该社区一户收入为15万元家庭年支出为（ ）‎ ‎（A）11.4万元 （B）11.8万元 （C）12.0万元 （D）12.2万元 ‎【答案】B ‎【解析】由已知得（万元），（万元），故，所以回归直线方程为，当社区一户收入为15万元家庭年支出为（万元），故选B．‎ ‎（5）【2015年福建，理5，5分】若变量满足约束条件，则的最 小值等于（ ）‎ ‎ （A） （B） （C） （D）2‎ ‎【答案】A ‎【解析】画出可行域，如图所示，目标函数变形为，当最小时，直线的纵截距最大，故将 直线经过可行域，尽可能向上移到过点时，取到最小值，最小值为，故选A．‎ ‎（6）【2015年福建，理6，5分】阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出的结果为（ ）‎ ‎（A）2 （B）1 （C）0 （D）-1‎ ‎【答案】C ‎【解析】程序在执行过程中的值依次为：；；；；；‎ ‎，程序结束，输出，故选C．‎ ‎（7）【2015年福建，理7，5分】若是两条不同的直线，垂直于平面，则“”是“”的（ ）‎ ‎（A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件 （C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件 ‎【答案】B ‎【解析】若，因为垂直于平面，则或，若，又垂直于平面，则，所以“”‎ 是“”的必要不充分条件，故选B．‎ ‎（8）【2015年福建，理8，5分】若是函数的两个不同的零点，且这三 个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则的值等于（ ）‎ ‎（A）6 （B）7 （C）8 （D）9‎ ‎【答案】D ‎【解析】由韦达定理得，，则，当适当排序后成等比数列时，必为等比中项，故，．当适当排序后成等差数列时，必不是等差中项，当是等差中项时，，解得；当是等差中项时，，解得，综上所述，，所以，故选D． ‎ ‎（9）【2015年福建，理9，5分】已知，若点是所在平面内一点，且，则的最大值等于（ ）‎ ‎（A）13 （B）15 （C）19 （D）21‎ ‎【答案】A ‎【解析】以为坐标原点，建立平面直角坐标系，如图所示，则，，，即，所以，，因此，因为，所以当，即时取等号，的最大值等于13，故选A．‎ ‎（10）【2015年福建，理10，5分】若定义在上的函数满足，其导函数满足，则下列结论中一定错误的是（ ）‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎【答案】C ‎【解析】由已知条件，构造函数，则，故函数在上单调递增，且，故，所以，，所以结论中一定错误的是C，选项D不确定；构造函数，则，所以函数在上单调递增，且，所以，即，，选项A，B无法判断，故选C．‎ 第Ⅱ卷（非选择题 共100分）‎ 二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分．把答案填在答题卡的相应位置．‎ ‎（11）【2015年福建，理11，5分】的展开式中，的系数等于 （用数字填写答案）．‎ ‎【答案】80‎ ‎【解析】的展开式中项为，所以的系数等于80．‎ ‎（12）【2015年福建，理12，5分】若锐角的面积为，且，，则等于 ．‎ ‎【答案】7‎ ‎【解析】由已知得的面积为，所以，，所以．由余弦定理得，．‎ ‎（13）【2015年福建，理13，5分】如图，点的坐标为，点的坐标为，函数，若在矩形内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率等 ．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由已知得阴影部分面积为．所以此点取自阴影部分的概率等于．‎ ‎（14）【2015年福建，理14，5分】若函数（且）的值域是，则实数的取值范围是 ．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】当，故，要使得函数的值域为，只需的值域包含于，故，所以，所以，解得，所以实数取值范围是．‎ ‎（15）【2015年福建，理15，5分】一个二元码是由0和1组成的数字串，其中 称为第位码元，二元码是通信中常用的码，但在通信过程中有时会发生码元错误（即码元由0变为1，或者由1变为0），已知某种二元码的码元满足如下校验方程组：，其中运算定义为：，其中运算定义为：．现已知一个这种二元码在通信过程中仅在第位发生码元错误后变成了1101101，那么利用上述校验方程组可判定等于 __．‎ ‎【答案】5‎ ‎【解析】由题意得相同数字经过运算后为0，不同数字运算后为1．由可判断后4个数字出错；由可判断后2个数字没错，即出错的是第4个或第5个；由可判断出错的是第5个，综上，第5位发生码元错误．‎ 三、解答题：本大题共6题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． ‎ ‎（16）【2015年福建，理16，13分】某银行规定，一张银行卡若在一天内出现3次密码尝试错误，该银行卡将 被锁定，小王到银行取钱时，发现自己忘记了银行卡的密码，但是可以确定该银行卡的正确密码是他常用 的6个密码之一，小王决定从中不重复地随机选择1个进行尝试．若密码正确，则结束尝试；否则继续尝 试，直至该银行卡被锁定．‎ ‎（1）求当天小王的该银行卡被锁定的概率；‎ ‎（2）设当天小王用该银行卡尝试密码次数为X，求X的分布列和数学期望．‎ 解：（1）设“当天小王的该银行卡被锁定”的事件为，则．‎ ‎（2）依题意得，所有可能的取值是1，2，3，又 所以X的分布列为 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ 所以．‎ ‎（17）【2015年福建，理17，13分】如图，在几何体中，四边形是矩形，平面，‎ ‎，，，分别是线段，的中点．‎ ‎（1）求证：平面；‎ ‎（2）求平面与平面所成锐二面角的余弦值．‎ 解：解法一：‎ ‎（1）如图，取的中点，连接，，又是中点，所以，且，‎ 又是中点，所以，由四边形是矩形得，，‎ 所以．且，从而四边形是平行四边形，所以，‎ 又平面，平面，所以平面．‎ ‎（2）如图，在平面内，过点作，因为，所以，因为 ‎ 平面，所以，，以为原点，分别以的方向为轴，‎ 轴，轴的正方向建立空间直角坐标系，则，‎ 因为平面，所以为平面的法向量，设为平面 的法向量，又，，由得，‎ 取得．从而，‎ 所以平面与平面所成锐二面角的余弦值为．‎ 解法二：‎ ‎（1）如图，取中点，连接，又是的中点，可知，又平 面平面，所以平面．在矩形中，由，分别 是，的中点得，又平面平面，所以平 面，又因为平面平面，所以平面 平面，因为平面，所以平面．‎ ‎（2）同解法一．‎ ‎（18）【2015年福建，理18，13分】已知椭圆：过点，且离心率为．‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）设直线交椭圆于，两点，判断点与以线段 为直径的圆的位置关系，并说明理由．‎ 解：解法一：‎ ‎（1）由已知得解得，所以椭圆的方程为． ‎ ‎（2）设点，，中点为．由，得，‎ 所以，，从而．‎ 所以．‎ 故 所以，故在以为直径的圆外．‎ 解法二：‎ ‎（1）同解法一．‎ ‎（2）设点，，则，．‎ 由，得，所以，．‎ 从而 所以，又不共线，所以为锐角．故点在以为直径的圆外．‎ ‎（19）【2015年福建，理19，13分】已知函数的图像是由函数的图像经如下变换得到：先将图像上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变），再将所得到的图像向右平移个单位长度．‎ ‎（1）求函数的解析式，并求其图像的对称轴方程；‎ ‎（2）已知关于的方程在内有两个不同的解，；‎ ‎（i）求实数的取值范围；‎ ‎（ii）证明：．‎ 解：解法一：‎ ‎（1）将的图像上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变）得到的图像，再 将的图像向右平移个单位长度后得到的图像，故，从而函数 图像的对称轴方程为．‎ ‎（2）（i）（其中）‎ 依题意，在区间内有两个不同的解当且仅当，故的取值范围 是．‎ ‎（ii）因为是方程在内的两个不同的解，所以 ‎，当时，，即；‎ 当时，，即，‎ 所以．‎ 解法二：‎ ‎（1）同解法一．‎ ‎（2）（i）同解法一．‎ ‎（ii）因为，是方程在区间内的两个不同的解，所以，‎ ‎ ，当时，，即；‎ 当时，，即，所以 于是 ‎．‎ ‎（20）【2015年福建，理20，14分】已知函数，．‎ ‎（1）证明：当时，；‎ ‎（2）证明：当时，存在，使得对任意的恒有；‎ ‎（3）确定的所以可能取值，使得存在，对任意的，恒有．‎ 解：解法一：‎ ‎（1）令，则有，当时，，‎ 所以在上单调递减，故当时，，即当时，．‎ ‎（2）令，则有，‎ 当时，，故在单调递增，，故对任意正实数均满足题意 当时，令，得，取，对任意，有，‎ 从而在单调递增，所以，即．‎ 综上，当时，总存在，使得对任意，恒有．‎ ‎（3）当时，由（1）知，对于，故．‎ 令，‎ 则有故当时，，‎ 在上单调递增，故，即．所以满 足题意的不存在，当时，由（2）知，存在，使得当时，，‎ 此时，令，‎ 则有，当时，，‎ 在上单调递增，故，即．‎ 记与中的较小者为，则当时，恒有，故满 足题意的不存在．当时，由（1）知，当时，，‎ 令，则有，当时，，‎ 所以在上单调递减，故，故当时，恒有，‎ 此时，任意正实数均满足题意，综上，．‎ 解法二：‎ ‎（1）解法一．‎ ‎（2）解法二．‎ ‎（3）当时，由（1）知，对于，‎ 故，令，解得．‎ 从而得到，当时，对于，恒有，故满足题意的不存在．‎ 当时，取，从而，由（2）知，存在，使得，‎ 此时，令，解得，，‎ 记与的较小者为，当时，恒有，故满足题意的不存在．‎ 当时，由（1）知，，‎ 令，则有，‎ 当时，，所以在上单调递减，故．‎ 故当时，恒有，此时，任意正实数均满足题意，综上，．‎ 本题设有三个选考题，每题7分，请考生任选2题作答．满分14分，如果多做，则按所做的前两题计分，作答时，先用2B铅笔在答题卡上所选题目对应题号右边的方框涂黑，并将所选题号填入括号中．‎ ‎（21）【2015年福建，理21（1），7分】（选修4-2：矩阵与变换）已知矩阵．‎ ‎（1）求的逆矩阵；‎ ‎（2）求矩阵，使得．‎ 解：（1）因为，所以．‎ ‎（2）由得，故．‎ ‎（21）【2015年福建，理21（2），7分】（选修4-4：坐标系与参数方程）在平面直角坐标系 中，圆的参数方程为（为参数）．在极坐标系（与平面直角坐标系取相同的长度单位，且以原点为极点，以轴非负半轴为极轴）中，直线的方程为．‎ ‎（1）求圆的普通方程及直线的直角坐标方程；‎ ‎（2）设圆心到直线的距离等于2，求的值．‎ 解：（1）消去参数，得到圆的普通方程为，由，得 ‎，所以直线的直角坐标方程为．‎ ‎（2）依题意，圆心到直线的距离等于2，即，解得．‎ ‎（21）【2015年福建，理21（3），7分】（选修4-5：不等式选讲）已知，，，函数 的最小值为4．‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）求的最小值．‎ 解：（1）因为，当且仅当时，等号成立．‎ 又，所以，所以的最小值为，又已知的最小值为4，‎ 所以．‎ ‎（2）由（1）知，由柯西不等式得，‎ 即，当且仅当，即时等号成立，‎ 故的最小值为．‎