湖北省十堰市中考数学试卷及答案

湖北省十堰市中考数学试卷及答案

‎2016年湖北省十堰市中考数学试卷及答案 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）‎ ‎1．的倒数是（　　）‎ A．2 B．﹣2 C． D．-‎ ‎【解析】根据乘积为1的两个数互为倒数，可得一个数的倒数．‎ 的倒数是2.故选A．‎ ‎2．下面几何体中，其主视图与俯视图相同的是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【解析】根据主视图、左视图、俯视图分别是从物体正面、左面和上面看所得到的图形进行分析．‎ A、圆柱主视图是矩形，俯视图是圆；‎ B、圆锥主视图是三角形，俯视图是带圆心的圆；‎ C、正方体的主视图与俯视图都是正方形；‎ D、三棱柱的主视图是矩形（中间有一条竖线），俯视图是三角形.故选C．‎ ‎3．一次数学测验中，某小组五位同学的成绩分别是：110，105，90，95，90，则这五个数据的中位数是（　　）‎ A．90 B．95 C．100 D．105‎ ‎【解析】根据中位数的概念，找出正确选项．‎ 将数据按照从小到大的顺序排列为：90，90，95，105，110，‎ 则中位数为95．故选B．‎ ‎4．下列运算正确的是（　　）‎ A．a2•a3=a6 B．（﹣a3）2=﹣a6 C．（ab）2=ab2 D．2a3÷a=2a2‎ ‎【解析】分别利用同底数幂的乘除运算法则以及积的乘方运算法则和幂的乘方运算法则分别化简求出答案．‎ A、a2•a3=a5，故此选项错误；‎ B、（﹣a3）2=a6，故此选项错误；‎ C、（ab）2=a2b2，故此选项错误；‎ D、2a3÷a=2a2，正确．‎ 故选D．‎ ‎5．如图，以点O为位似中心，将△ABC缩小后得到△A′B′C′，已知OB=3OB′，则△A′B′C′与△ABC的面积比为（　　）‎ A．1∶3 B．1∶4 C．1∶5 D．1∶9‎ ‎【解析】先求出位似比，根据位似比等于相似比，及相似三角形的面积比等于相似比的平方即可求解．‎ ‎∵OB=3OB′，‎ ‎∴，‎ ‎∵以点O为位似中心，将△ABC缩小后得到△A′B′C′，‎ ‎∴△A′B′C′∽△ABC，‎ ‎∴=．‎ ‎∴=.‎ 故选D.‎ ‎6．如图，AB∥EF，CD⊥EF于点D，若∠ABC=40°，则∠BCD=（　　）‎ A．140° B．130° C．120° D．110°‎ ‎【解析】直接利用平行线的性质得出∠B=∠BCG，∠GCD=90°，进而得出答案．‎ 过点C作GC∥AB，‎ 由题意可得AB∥EF∥GC，‎ 故∠B=∠BCG，∠GCD=90°，‎ 则∠BCD=40°+90°=130°．‎ 故选B．‎ ‎7．用换元法解方程﹣=3时，设=y，则原方程可化为（　　）‎ A．y-﹣3=0 B．y﹣﹣3=0 C．y﹣+3=0 D．y﹣+3=0‎ ‎【解析】直接利用已知将原式用y替换得出答案．‎ ‎∵设=y，‎ ‎∴﹣=3可转化为y﹣=3，‎ 即y﹣﹣3=0．‎ 故选B．‎ ‎8．如图所示，小华从A点出发，沿直线前进10米后左转24°，再沿直线前进10米，又向左转24°，…，照这样走下去，他第一次回到出发地A点时，一共走的路程是（　　）‎ A．140米 B．150米 C．160米 D．240米 ‎【解析】多边形的外角和为360°,每一个外角都为24°，依此可求边数，再求多边形的周长．‎ ‎∵多边形的外角和为360°，而每一个外角为24°，‎ ‎∴多边形的边数为360°÷24°=15，‎ ‎∴小华一共走了15×10=150米．‎ 故选B．‎ ‎9．如图，从一张腰长为60cm，顶角为120°的等腰三角形铁皮OAB中剪出一个最大的扇形OCD，用此剪下的扇形铁皮围成一个圆锥的侧面（不计损耗），则该圆锥的高为（　　）‎ A．10cm B．15cm C．10cm D．20cm ‎【解析】根据等腰三角形的性质得到OE的长，再利用弧长公式计算出弧CD的长，设圆锥的底面圆的半径为r，根据圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长得到r，然后利用勾股定理计算出圆锥的高．‎ 过O作OE⊥AB于E，∵OA=OB=60cm，∠AOB=120°，‎ ‎∴∠A=∠B=30°，‎ ‎∴OE=OA=30cm，‎ ‎∴弧CD的长==20π，‎ 设圆锥的底面圆的半径为r，则2πr=20π，解得r=10，‎ ‎∴圆锥的高==20(cm)．‎ 故选D．‎ ‎　‎ ‎10．如图，将边长为10的正三角形OAB放置于平面直角坐标系xOy中，C是AB边上的动点（不与端点A，B重合），作CD⊥OB于点D，若点C，D都在双曲线y=（k＞0，x＞0）上，则k的值为（　　）‎ A．25 B．18 C．9 D．9‎ ‎【解析】过点A作AE⊥OB于点E，如图所示．‎ ‎∵△OAB为边长为10的正三角形，‎ ‎∴点A的坐标为（10，0），点B的坐标为（5，5），点E的坐标为（，）．‎ ‎∵CD⊥OB，AE⊥OB，‎ ‎∴CD∥AE，‎ ‎∴．‎ 设=n（0＜n＜1），‎ ‎∴点D的坐标为（，），点C的坐标为（5+5n，5﹣5n）．‎ ‎∵点C，D均在反比例函数y=图象上，‎ 故选C．‎ 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）‎ ‎11．武当山机场于2016年2月5日正式通航以来，截至5月底，旅客吞吐最近92000人次，92000用科学记数法表示为　 　．‎ ‎【解析】科学记数法的表示形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．‎ 将92000用科学记数法表示为9.2×104．‎ 故答案为9.2×104．‎ ‎12．计算：|﹣4|﹣（）﹣2=　 　．‎ ‎【解析】直接利用立方根的性质以及绝对值的性质、负整数指数幂的性质分别化简求出答案．‎ ‎|﹣4|﹣（）﹣2=|2﹣4|﹣4=2﹣4=﹣2．‎ 故答案为﹣2．‎ ‎13．某种药品原来售价100元，连续两次降价后售价为81元，若每次下降的百分率相同，则这个百分率是　 　．‎ ‎【解析】设每次降价的百分率为x，那么第一次降价后的售价是原来的（1﹣x），第二次降价后的售价是原来的（1﹣x）2，根据题意列方程解答即可．‎ 设每次降价的百分率为x，根据题意列方程得：‎ ‎100×（1﹣x）2=81，‎ 解得x1=0.1=10%，x2=1.9（不符合题意，舍去）．‎ 故这两次降价的百分率是10%．‎ 故答案为10%．‎ ‎14．如图，在ABCD中，AB=2cm，AD=4cm，AC⊥BC，则△DBC比△ABC的周长长　 　cm．‎ ‎【解析】根据平行四边形的性质得到AB=CD=2cm，AD=BC=4cm，AO=CO，BO=DO，根据勾股定理得到OC=3cm，BD=10cm，于是得到结论．‎ 在ABCD中，AB=CD=2cm，AD=BC=4cm，AO=CO，BO=DO，‎ ‎∵AC⊥BC，‎ ‎∴AC==6cm，‎ ‎∴OC=3cm，‎ ‎∴BO==5cm，‎ ‎∴BD=10cm，‎ ‎∴△DBC的周长﹣△ABC的周长=BC+CD+BD﹣（AB+BC+AC）=BD﹣AC=10﹣6=4（cm）.‎ 故答案为4．‎ ‎15．在综合实践课上，小聪所在小组要测量一条河的宽度，如图，河岸EF∥MN，小聪在河岸MN上点A处用测角仪测得河对岸小树C位于东北方向，然后沿河岸走了30米，到达B处，测得河对岸电线杆D位于北偏东30°方向，此时，其他同学测得CD=10米．请根据这些数据求出河的宽度为　　米．（结果保留根号）‎ ‎【解析】如图，作BH⊥EF，CK⊥MN，垂足分别为H，K，则四边形BHCK是矩形，‎ 设CK=HB=x，‎ ‎∵∠CKA=90°，∠CAK=45°，‎ ‎∴∠CAK=∠ACK=45°，‎ ‎∴AK=CK=x，BK=HC=AK﹣AB=x﹣30，‎ ‎∴HD=x﹣30+10=x﹣20，‎ 在Rt△BHD中，∵∠BHD=90°，∠HBD=30°，‎ ‎∴tan30°=，‎ ‎∴=，‎ 解得x=30+10．‎ ‎∴河的宽度为（30+10）米．‎ 故答案为30+10．‎ ‎16．已知关于x的二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点（﹣2，y1），（﹣1，y2），（1，0），且y1＜0＜y2，对于以下结论：①abc＞0；②a+3b+2c≤0；③对于自变量x的任意一个取值，都有x2+x≥﹣；④在﹣2＜x＜﹣1中存在一个实数x0，使得x0=﹣，其中结论错误的是　　（只填写序号）．‎ ‎【解析】①正确．画出函数图象即可判断．‎ ‎②错误．因为a+b+c=0，所以a+3b+2c=a+3b﹣2a﹣2b=b﹣a，又a﹣b+c＞0，所以b﹣a＜c，故b﹣a可以是正数，由此可以判断．‎ ‎③正确．利用函数y′=x2+x=（x2+x）=（x+）2﹣，根据函数的最值问题即可解决．‎ ‎④令y=0则ax2+bx﹣a﹣b=0，设它的两个根为x1，1，则x1•1==﹣，求出x1即可解决问题．‎ 由题意二次函数图象如图所示，‎ ‎∴a＜0，b＜0，c＞0，∴abc＞0，故①正确．‎ ‎∵a+b+c=0，∴c=﹣a﹣b，∴a+3b+2c=a+3b﹣2a﹣2b=b﹣a，‎ 又∵x=﹣1时，y＞0，∴a﹣b+c＞0，∴b﹣a＜c，‎ ‎∵c＞0，∴b﹣a可以是正数，‎ ‎∴a+3b+2c≤0错误．‎ 故②错误．‎ ‎∵函数y′=x2+x=（x2+x）=（x+）2﹣，‎ 且＞0，‎ ‎∴函数y′有最小值﹣，‎ ‎∴x2+x≥﹣，故③正确．‎ ‎∵y=ax2+bx+c的图象经过点（1，0），‎ ‎∴a+b+c=0，‎ ‎∴c=﹣a﹣b，‎ 令y=0，则ax2+bx﹣a﹣b=0，设它的两个根为x1，1，‎ ‎∵x1•1==﹣，‎ ‎∴x1=﹣，‎ ‎∵﹣2＜x1＜-1，‎ ‎∴在﹣2＜x＜﹣1中存在一个实数x0，使得x0=﹣，故④正确.‎ 故答案为②.‎ 三、解答题（本大题共9小题，共72分）‎ ‎17．化简：．‎ 解：=++2=++2‎ ‎=++==.‎ ‎18．x取哪些整数值时，不等式5x+2＞3（x﹣1）与x≤2﹣都成立？‎ 解：根据题意解不等式组 解不等式①，得：x＞﹣，‎ 解不等式②，得：x≤1，‎ ‎∴﹣＜x≤1，‎ 故满足条件的整数有﹣2，﹣1，0，1．‎ ‎19．如图，AB∥CD，E是CD上一点，BE交AD于点F，EF=BF．求证：AF=DF．‎ 证明：∵AB∥CD，‎ ‎∴∠B=∠FED，‎ 在△ABF和△DEF中，‎ ‎∴△ABF≌△DEF，‎ ‎∴AF=DF．‎ ‎20．为了提高科技创新意识，我市某中学在“2016年科技节”活动中举行科技比赛，包括“航模”、“机器人”、“环保”、“建模”四个类别（每个学生只能参加一个类别的比赛），各类别参赛人数统计如图：‎ 请根据以上信息，解答下列问题：‎ ‎（1）全体参赛的学生共有　　人，“建模”在扇形统计图中的圆心角是　　°；‎ ‎（2）将条形统计图补充完整；‎ ‎（3）在比赛结果中，获得“环保”类一等奖的学生为1名男生和2名女生，获得“建模”类一等奖的学生为1名男生和1名女生，现从这两类获得一等奖的学生中各随机选取1名学生参加市级“环保建模”考察活动，问选取的两人中恰为1男生1女生的概率是多少？‎ 解：（1）全体参赛的学生有：15÷25%=60（人），‎ ‎“建模”在扇形统计图中的圆心角是（1﹣25%﹣30%﹣25%）×360°=72°.‎ ‎（2）“环保”类人数为：60×25%=15（人），‎ ‎“建模”类人数为：60﹣15﹣18﹣15=12（人），补全条形图如图.‎ ‎（3）画树状图如图：‎ ‎∵共有6种等可能结果，其中两人中恰为1男生1女生的有3种结果，‎ ‎∴选取的两人中恰为1男生1女生的概率是：．‎ ‎21.已知关于x的方程（x﹣3）（x﹣2）﹣p2=0．‎ ‎（1）求证：无论p取何值时，方程总有两个不相等的实数根；‎ ‎（2）设方程两实数根分别为x1，x2，且满足，求实数p的值．‎ 证明：（1）（x﹣3）（x﹣2）﹣p2=0，‎ x2﹣5x+6﹣p2=0，‎ Δ=（﹣5）2﹣4×1×（6﹣p2）=25﹣24+4p2=1+4p2，‎ ‎∵无论p取何值时，总有4p2≥0，‎ ‎∴1+4p2＞0，‎ ‎∴无论p取何值时，方程总有两个不相等的实数根.‎ 解：（2）x1+x2=5，x1x2=6﹣p2，‎ ‎∵，‎ ‎∴（x1+x2）2﹣2x1x2=3x1x2，‎ ‎∴52=5（6﹣p2），‎ ‎∴p=±1．‎ ‎22．一茶叶专卖店经销某种品牌的茶叶，该茶叶的成本价是80元/kg，销售单价不低于120元/kg，且不高于180元/kg，经销一段时间后得到如下数据：‎ 销售单价x（元/kg）‎ ‎120‎ ‎130‎ ‎…‎ ‎180‎ 每天销量y（kg）‎ ‎100‎ ‎95‎ ‎…‎ ‎70‎ 设y与x的关系是我们所学过的某一种函数关系．‎ ‎（1）直接写出y与x的函数关系式，并指出自变量x的取值范围；‎ ‎（2）当销售单价为多少时，销售利润最大？最大利润是多少？‎ 解：（1）∵由表格可知：销售单价每涨10元，就少销售5kg，‎ ‎∴y与x是一次函数关系，‎ ‎∴y与x的函数关系式为y=100﹣0.5（x﹣120）=﹣0.5x+160，‎ ‎∵销售单价不低于120元/kg，且不高于180元/kg，‎ ‎∴自变量x的取值范围为：120≤x≤180.‎ ‎（2）设销售利润为w元，‎ 则w=（x﹣80）（﹣0.5x+160）=﹣x2+200x﹣12800=﹣（x﹣200）2+7200，‎ ‎∵a=﹣＜0，‎ ‎∴当x＜200时，y随x的增大而增大，‎ ‎∴当x=180时，销售利润最大，最大利润是w=﹣（180﹣200）2+7200=7000（元）.‎ 答：当销售单价为180元/kg时，销售利润最大，最大利润是7000元．‎ ‎23．如图，将矩形纸片ABCD（AD＞AB）折叠，使点C刚好落在线段AD上，且折痕分别与边BC，AD相交，设折叠后点C，D的对应点分别为点G，H，折痕分别与边BC，AD相交于点E，F．‎ ‎（1）判断四边形CEGF的形状，并证明你的结论；‎ ‎（2）若AB=3，BC=9，求线段CE长度的取值范围．‎ 解：（1）四边形CEGF为菱形.‎ 证明如下：∵四边形ABCD是矩形，‎ ‎∴AD∥BC，‎ ‎∴∠GFE=∠FEC，‎ ‎∵图形翻折后点G与点C重合，EF为折痕，‎ ‎∴∠GEF=∠FEC，‎ ‎∴∠GFE=∠FEG，‎ ‎∴GF=GE，‎ ‎∵图形翻折后EC与GE完全重合，‎ ‎∴GE=EC，‎ ‎∴GF=EC，‎ ‎∴四边形CEGF为平行四边形，‎ ‎∴四边形CEGF为菱形.‎ ‎（2）如图1，当F与D重合时，CE取最小值，‎ 由折叠的性质得CD=DG，∠CDE=∠GDE=45°，‎ ‎∵∠ECD=90°，‎ ‎∴∠DEC=45°=∠CDE，‎ ‎∴CE=CD=DG，‎ ‎∵DG∥CE，‎ ‎∴四边形CEGD是矩形，‎ ‎∴CE=CD=AB=3；‎ 如图2，当G与A重合时，CE取最大值，‎ 由折叠的性质得AE=CE，‎ ‎∵∠B=90°，‎ ‎∴AE2=AB2+BE2，即CE2=32+（9﹣CE）2，‎ ‎∴CE=5，‎ ‎∴线段CE长度的取值范围为3≤CE≤5．‎ ‎24．如图1，AB为半圆O的直径，D为BA的延长线上一点，DC为半圆O的切线，切点为C．‎ ‎（1）求证：∠ACD=∠B.‎ ‎（2）如图2，∠BDC的平分线分别交AC，BC于点E，F.‎ ‎①求tan∠CFE的值；‎ ‎②若AC=3，BC=4，求CE的长．‎ 证明：（1）如图3中，连接OC．‎ ‎∵OA=OC，‎ ‎∴∠1=∠2，‎ ‎∵CD是⊙O的切线，‎ ‎∴OC⊥CD，‎ ‎∴∠DCO=90°，‎ ‎∴∠3+∠2=90°，‎ ‎∵AB是直径，‎ ‎∴∠1+∠B=90°，‎ ‎∴∠3=∠B，即∠ACD=∠B．‎ 解：（2）①∵∠CEF=∠ECD+∠CDE，∠CFE=∠B+∠FDB，‎ 且∠CDE=∠FDB，∠ECD=∠B，‎ ‎∴∠CEF=∠CFE，∵∠ECF=90°，‎ ‎∴∠CEF=∠CFE=45°，‎ ‎∴tan∠CFE=tan45°=1．‎ ‎②在Rt△ABC中，∵AC=3，BC=4，‎ ‎∴AB==5，‎ ‎∵∠CDA=∠BDC，∠DCA=∠B，‎ ‎∴△DCA∽△DBC，‎ ‎∴===，设DC=3k，DB=4k，‎ ‎∵CD2=DA•DB，‎ ‎∴9k2=（4k﹣5）•4k，‎ ‎∴k=，‎ ‎∴CD=，DB=，‎ ‎∵∠CDE=∠BDF，∠DCE=∠B，‎ ‎∴△DCE∽△DBF，‎ ‎∴=，设EC=CF=x，‎ ‎∴=，‎ ‎∴x=．‎ ‎∴CE=．‎ ‎　 图3‎ ‎25．如图1，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+1经过点A（4，﹣3），顶点为点B，点P为抛物线上的一个动点，l是过点（0，2）且垂直于y轴的直线，过P作PH⊥l，垂足为H，连接PO．‎ ‎（1）求抛物线的解析式，并写出其顶点B的坐标.‎ ‎（2）①当P点运动到A点处时，计算：PO=　 　，PH=　 　，由此发现，PO　 　PH（填“＞”、“＜”或“=”）；‎ ‎②当P点在抛物线上运动时，猜想PO与PH有什么数量关系，并证明你的猜想.‎ ‎（3）如图2，设点C（1，﹣2），问是否存在点P，使得以P，O，H为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，求出P点的坐标；若不存在，请说明理由．‎ 解：（1）∵抛物线y=ax2+1经过点A（4，﹣3），‎ ‎∴﹣3=16a+1，‎ ‎∴a=﹣，‎ ‎∴抛物线解析式为y=﹣x2+1，顶点B（0，1）．‎ ‎（2）①当P点运动到A点处时，计算可知PO=5，PH=5，‎ ‎∴PO=PH，‎ 故答案分别为5，5，=．‎ ‎②猜想：PO=PH．‎ 证明：设点P的坐标为（m，﹣ m2+1），‎ ‎∵PH=2﹣（﹣m2+1）=m2+1，‎ PO==m2+1，‎ ‎∴PO=PH．‎ ‎（3）存在.∵BC==，AC==，AB==4,‎ ‎∴BC=AC，‎ ‎∵PO=PH，‎ 又∵以P，O，H为顶点的三角形与△ABC相似，‎ ‎∴PH与BC，PO与AC是对应边，‎ ‎∴=，设点P（m，﹣ m2+1），‎ ‎∴=，‎ 解得m=±1，‎ ‎∴点P的坐标为（1，）或（﹣1，）．‎