天津九校2019届高三下学期4月联考文科数学试题

天津九校2019届高三下学期4月联考文科数学试题

高三年级九校联考文科数学试卷（2019．04）‎ 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。‎ ‎1.集合U={1，2，3，4，5，6}，S={1，4，5}，T={2，3，4}，则S∩（∁UT）等于（ ）‎ A. {1，4，5，6} B. {1，5} C. {4} D. {1，2，3，4，5}‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由集合，，由补集的运算有,又，再结合交集的运算即可得解.‎ ‎【详解】解：因为集合，，‎ 所以,又，‎ 所以,‎ 故选B.‎ ‎【点睛】本题考查了补集，交集的运算，重点考查了对交集、补集概念的理解能力，属基础题.‎ ‎2.如果实数满足条件，那么的最大值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【详解】解：当直线过点时，最大，故选B ‎3.“”是“直线与直线平行”的（ ）‎ A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先由两直线平行得到方程解出m的值，再验证排除两直线重合的情况，得到平行的充要条件，再进行判断即可.‎ ‎【详解】解：若直线：与直线：平行 则，‎ 当时，直线：与直线：，两直线重合，舍 所以“直线：与直线：平行”等价于“”‎ 所以“”是“直线：与直线：平行”的既不充分也不必要条件 故选D ‎【点睛】本题考查了两直线平行的充要条件，充分必要条件的判断，注意判断两直线平行一定要验证两直线是否重合.‎ ‎4.设，，则（ ）．‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 结合指数和对数函数的单调性分别与0和1比较，易得，，，所以.‎ ‎【详解】解：因为 所以 故选A ‎【点睛】本题考查了指数和对数函数性质的运用，在指数和对数比较大小过程中一般先比较与0,1的大小关系.‎ ‎5.阅读下边的程序框图,运行相应的程序,则输出i的值为(　　)‎ A. 2 B. ‎3 ‎C. 4 D. 5‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 由程序框图可知:故选C.‎ 考点：本题主要考查程序框图及学生分析问题解决问题的能力.‎ ‎6.已知函数图像与轴的两个相邻交点的距离等于，若将函数的图像向左平移个单位得到函数的图像，则是减函数的区间为（ ）．‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先化简函数得，再由图象与 轴的两个相邻交点的距离等于得，，，再写出平移后的，求出单调递减区间判断即可.‎ ‎【详解】解：‎ 因为图象与 轴的两个相邻交点的距离等于 所以，‎ 所以 所以 由得 所以是减函数的区间为 分析选项只有D符合 故选D.‎ ‎【点睛】本题考查了正弦型函数的图像与性质，三角函数的变换，属于基础题.‎ ‎7.曲线的焦点恰好是曲线的的右焦点，且曲线与曲线交点连线过点，则曲线的离心率是（ ）．‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求出抛物线与双曲线的焦点得到，再分别求出x取焦点横坐标时对应的y值，因为曲线与曲线交点连线过点，得到方程，解出离心率.‎ ‎【详解】解：抛物线的焦点，‎ 双曲线的右焦点为，‎ 所以，即 当时，代入，得 当时，代入，得 由题意知点，则 两边同除得，解得（负值舍）‎ 所以 故选D.‎ ‎【点睛】本题考查了抛物线与双曲线的方程与几何性质，属于基础题.‎ ‎8.已知函数，且函数恰有三个不同的零点，则实数的取值范围是（ ）．‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 函数恰有三个不同的零点等价于与有三个交点，再分别画出和的图像，通过观察图像得出a的范围.‎ 详解】解：方程 所以函数恰有三个不同的零点等价于与有三个交点 记，‎ 画出函数简图如下 画出函数如图中过原点虚线l，平移l要保证图像有三个交点，‎ 向上最多平移到l’位置，向下平移一直会有三个交点，‎ 所以，即 故选A.‎ ‎【点睛】本题考查了函数的零点问题，解决函数零点问题常转化为两函数交点问题 二、填空题：本大题共6小题。‎ ‎9.已知为虚数单位，复数，则等于_____．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 分析】‎ 先分子分母同乘，化简得，所以.‎ ‎【详解】解：因 所以 故答案为.‎ ‎【点睛】本题考查了复数的概念与除法运算，属于基础题.‎ ‎10.已知函数，为的导函数，则的值等于______．‎ ‎【答案】1‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意，由函数的解析式计算可得f′（x），将x=1代入可得f′（1）的值，即可得答案．‎ ‎【详解】根据题意，函数f（x）=，‎ 则f′（x）==，‎ 则f′（1）==1；‎ 故答案为1．‎ ‎【点睛】本题考查导数的计算，关键是正确计算函数f（x）的导数．‎ ‎11.圆心在直线上的圆与轴交于两点，则圆的方程为___．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 试题分析：先由条件求得圆心C的坐标，再求出半径r=|AC|，从而得到圆C的方程．‎ 因为直线AB的中垂线方程为x=-3，代入直线x-2y+7=0，得y=2，‎ 故圆心的坐标为C（-3，2），再由两点间的距离公式求得半径r=|AC|=‎ ‎∴圆C的方程为．‎ 故答案为．‎ 考点：圆的标准方程．‎ ‎12.已知，且，则的最小值为_____．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意得出，将代数式和代数式，展开后利用基本不等式可求得的最小值.‎ ‎【详解】由题，‎ 当且仅当时，即当时取等号，‎ 因此，的最小值为.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查利用基本不等式求最值，涉及的妙用，考查计算能力，属于基础题.‎ ‎13.若棱长为3的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的体积______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由正方体的外接球的半径为正方体体对角线的一半，可求出R，然后计算体积.‎ ‎【详解】解：因为正方体的顶点都在同一球面上 所以球的半径为正方体体对角线的一半，即 所以 故答案为 ‎【点睛】本题考查了正方体的外接球，正方体外接球的直径即为正方体的体对角线，属于基础题.‎ ‎14.平行四边形的两条对角线相交于点，点是的中点．若且，‎ ‎，则_______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【详解】试题分析：,由已知：‎ 考点：向量的数量积的计算 三、解答题。‎ ‎15.某校进入高中数学竞赛复赛的学生中，高一年级有6人，高二年级有12人， 高三年级有24人，现采用分层抽样的方法从这些学生中抽取7人进行采访．‎ ‎(1）求应从各年级分别抽取的人数；‎ ‎(2）若从抽取的7人中再随机抽取2人做进一步了解（注高一学生记为，高二学生记为，高三学生记为，）‎ ‎①列出所有可能的抽取结果；‎ ‎②求抽取的2人均为高三年级学生的概率．‎ ‎【答案】（1）高一1人，高二2人，高三4人；（2）①、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、，共21种；②..‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由各年级人数所占的比例即可求出各年级抽取的人数；（2）将所有抽取结果一一列出，然后计算概率.‎ ‎【详解】解：（1）高一：；‎ 高二：；‎ 高三：；‎ 所以抽取高一1人，高二2人，高三4人 ‎（2）由（1）知高一1人记为，高二2人记为，高三4人记为、‎ ‎①从中抽取两人，所有可能的结果为：、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、，共21种 ‎②由①知，共有21种情况，抽取的2人均为高三年级学生有、、、、、，共6种，所以抽取的2人均为高三年级学生的概率.‎ ‎【点睛】本题考查了分层抽样和古典概型，属于基础题.‎ ‎16.在中，分别是角的对边，若，且 ‎（1）求的值；‎ ‎（2）求的值；‎ ‎（3）若，求的面积．‎ ‎【答案】（1）；（2）；（3）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由得，即，再由余弦定理求出，转化为；（2）先求出和，再由和差角公式求出；（3）由直接计算即可.‎ ‎【详解】解：（1）因为 所以，即 所以 因为，所以 ‎（2）因为，‎ 所以 ‎（3）因为，所以，‎ 所以 ‎【点睛】本题考查了正余弦定理，给值求值，三角形的面积公式，属于基础题.‎ ‎17.如图：是菱形，对角线 与 的交点为 ，四边形为梯形，‎ ‎（1）若，求证：；‎ ‎（2）求证：；‎ ‎（3）若，，，求直线 与平面所成角．‎ ‎【答案】（1）见解析（2）见解析（3）‎ ‎【解析】‎ ‎【详解】试题分析: （Ⅰ）取AD的中点G，连接OG，FG，证明OGFE为平行四边形，可得OE∥FG，即可证明：OE∥平面ADF；‎ ‎（Ⅱ）欲证：平面AFC⊥平面ABCD，即证BD⊥平面AFC；‎ ‎（Ⅲ）做FH⊥AC于H，∠FAH为AF与平面ABCD所成角，即可求AF与平面ABCD所成角．‎ 试题解析：‎ ‎(Ⅰ)证明：取AD的中点G，连接OG，FG.‎ ‎∵对角线AC与BD的交点为O，‎ ‎∴OG∥DC，OG＝DC，‎ ‎∵EF∥DC，DC＝2EF，∴OG∥EF，OG＝EF，∴OGFE为平行四边形，‎ ‎∴OE∥FG， ‎ ‎∵FG⊂平面ADF，OE⊄平面ADF，‎ ‎∴OE∥平面ADF； ‎ ‎(Ⅱ)证明：∵四边形ABCD为菱形，‎ ‎∴OC⊥BD，‎ ‎∵FD＝FB，O是BD的中点，‎ ‎∴OF⊥BD，‎ ‎∵OF∩OC＝O，‎ ‎∴BD⊥平面AFC， ‎ ‎∵BD⊂平面ABCD，‎ ‎∴平面AFC⊥平面ABCD； ‎ ‎(Ⅲ)解：作于，‎ 因为平面平面，‎ 所以平面,‎ 则为与平面所成角． ‎ 由及四边形为菱形，得为正三角形，‎ 则，．‎ 又，‎ 所以为正三角形，从而． ‎ 在中，由余弦定理，得，‎ 则， ‎ 从而，‎ 所以与平面所成角的大小为．‎ 点睛：垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型.‎ ‎(1)证明线面、面面平行，需转化为证明线线平行.‎ ‎(2)证明线面垂直，需转化为证明线线垂直.‎ ‎(3)证明线线垂直，需转化为证明线面垂直.‎ ‎18.已知数列的前项和为，且满足.数列是首项为，公差不为零的等差数列，且成等比数列．‎ ‎（1）求数列与的通项公式．‎ ‎（2）若，数列的前项和为恒成立，求的范围．‎ ‎【答案】（1），；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由化简可得成等比，求出的通项，再由可求出的通项；（2）因为，用错位相减法求得，所以.‎ ‎【详解】解：（1）因为，‎ 所以 所以 所以成等比，首项，公比q 所以 由题意知，设公差为d 则，即，‎ 解得或（舍）‎ 所以 ‎（2）‎ 所以 两式相减得 所以 所以 ‎【点睛】本题考查了数列的通项与求和，对等差乘等比的数列进行求和采用错位相减法求和，分列乘减算四步进行.‎ ‎19.已知椭圆，离心率等于，且点在椭圆上．‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）①直线与椭圆交于两点．求的弦长；‎ ‎②若直线与椭圆交于两点．且线段的垂直平分线经过点，求的面积的最大值．（为原点）‎ ‎【答案】（1）；（2）①；②1.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）联立，，可解出，，，得出椭圆方程；（2）①联立直线与椭圆方程，得到韦达定理，利用弦长公式求出弦长；②先求出AB中点坐标，利用点在AB中垂线上列出方程，找到m与k的关系，再利用写出面积表达式，求出最值.‎ ‎【详解】解：（1）因为离心率，点在椭圆上，即，‎ 解得，，‎ 所以椭圆方程为 ‎（2）①联立和得 得 所以 所以 ‎② 因为，‎ 所以AB中点为M 又因为AB的中垂线过点N 所以，化简得 点O到直线AB的距离 所以 当时，最大为1‎ ‎【点睛】本题考查了椭圆的方程，直线与椭圆的位置关系，弦长公式，面积的最大值问题，属于中档题.‎ ‎20.已知函数．‎ ‎（1）当时，求的单调区间；‎ ‎（2）若对任意，都有成立，求实数的取值范围；‎ ‎（3）若过点可作函数图像的三条不同切线，求实数的取值范围．‎ ‎【答案】(1) 单调递增区间为，单调递减区间为和；(2)；(3)‎ ‎【解析】‎ 试题解析：（1）当a=3时，，得 因，‎ 所以当12时，，函数单调递减．‎ 所以函数的单调递增区间为（1,2），单调递减区间为（-∞,1）和（2,+∞）．‎ ‎（2）由，得，‎ 因为对于任意都有成立，‎ 即对于任意都有成立，‎ 即对于任意都有成立，‎ 令，‎ 要使对任意都有成立，‎ 必须满足△<0或 即或 所以实数的取值范围为（-1,8）‎ ‎（3）设点P是函数图象上的切点 则过P的切线的斜率为，‎ 切线方程为：‎ ‎∵在切线上 ‎∴‎ ‎∵若过点可作函数图象的三条不同切线 ‎∴有三个不等的实根，‎ 令，解得 ‎∵‎ ‎∴‎ ‎∴实数的取值范围 考点：本题考查导数与函数 点评：本小题主要考查函数单调性的应用、利用导数研究曲线上某点切线方程、不等式的解法、函数恒成立问题等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想 ‎ ‎