高考数学模拟试卷 2 (6)

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- 1 - 2018 年普通高等学校招生全国统一考试仿真卷 理科数学（六）(22) 本试题卷共 8 页，23 题（含选考题）。全卷满分 150 分。考试用时 120 分钟。 ★祝考试顺利★ 注意事项： 1、答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号 条形码粘贴在答题卡上的指定位置。用 2B 铅笔将答题卡上试卷类型 A 后的方框涂黑。 2、选择题的作答：每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标 号涂黑。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 3、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在 试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 4、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用 2B 铅笔涂黑。 答案写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域 均无效。 5、考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。 第Ⅰ卷 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的。 1．在复平面内，复数 1z 和 2z 对应的点分别是  2,1A 和  0,1B ，则 1 2 z z （ ） A． 1 2i  B． 1 2i  C．1 2i D．1 2i 2．已知集合  | 1M x x  ，  2 1xN x  ，则 M N  （ ） A． | 0 1x x  B． | 0x x  C． | 1x x  D． 3．已知函数   lnf x x ，若  1 1f x   ，则实数 x 的取值范围是（ ） A． ,e 1  B． 0, C． 1,e 1 D． e 1,  4．若 π 1tan 4 3       ，则cos2 等于（ ） - 2 - A． 3 5 B． 1 2 C． 1 3 D． 3 5．已知向量  2, 1 a ，  1,A x ，  1, 1B  ，若 AB a ，则实数 x 的值为（ ） A． 5 B． 0 C． 1 D． 5 6．《九章算术》卷 5《商功》记载一个问题“今有圆堡瑽，周四丈八尺，高一丈一 尺．问积几何？答曰：二千一百一十二尺．术曰：周自相乘，以高乘之，十二而 一”．这里所说的圆堡瑽就是圆柱体，它的体积为“周自相乘，以高乘之，十二而 一”．就是说：圆堡瑽（圆柱体）的体积为 1 12V   （底面圆的周长的平方 高）， 则由此可推得圆周率 π 的取值为（ ） A． 3 B． 3 .1 C． 3 .1 4 D． 3 .2 7．已知三角形 A B C 中， 2 2AB AC  ， 3DB AD  ，连接 C D 并取线段 C D 的中 点 F ，则 AF CD 的值为（ ） A． 5 B． 15 4  C． 5 2  D． 2 8．已知正项数列 na 满足 2 2 1 12 0n n n na a a a    ，设 1 2 1 log n n ab a  ，则数列 nb 的 前 n 项和为（ ） A． n B．  1 2 n n  C．  1 2 n n  D．   1 2 2 n n  9．设不等式组 3 3 2 4 0, 0 x y x y x y          所表示的平面区域为 M ，在 M 内任取一点  ,P x y ， 1x y  的概率是（ ） A． 1 7 B． 2 7 C． 3 7 D． 4 7 10．如图，网格纸上小正方形的边长为 2，粗实线及粗虚线画出的是某四棱锥的三 视图，则该四棱锥的外接球的表面积为（ ） - 3 - A． 51π 4 B． 41π 2 C．41π D．31π 11． e 为自然对数的底数，已知函数   1, 18 ln 1, 1 x xf x x x        ，则函数  y f x ax  有 唯一零点的充要条件是（ ） A． 1a   或 2 1 ea  或 9 8a  B． 1a   或 2 1 1 8 ea  C． 1a   或 2 1 9 e 8a  D． 1a   或 9 8a  12．已知抛物线 2: 2 ( 0)E y px p  的焦点为 F ， O 为坐标原点，点 ,92 pM     ， , 12 pN      ，连结 O M ，O N 分别交抛物线 E 于点 A ，B ，且 A ，B ，F 三点共线， 则 p 的值为（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 第Ⅱ卷 本 卷包括必考题和选考题两部分。第(13)~(21)题为必考题，每个试题考生都必须作答。 第(22)~(23)题为选考题，考生根据要求作答。 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分。 13．执行如图所示的程序框图，输出 S 的值为___________． - 4 - 14．如图，在平面直角坐标系 xO y 中，函数  siny x    0  ， 0 π  的图像与 x 轴的交点 A ， B ，C 满足 2O A O C O B  ，则  ________． 15．函数 2 1x xy x   与 π3sin 12 xy   的图象有 n 个交点，其坐标依次为 1 1,x y ，  2 2,x y ，…， ,n nx y ，则   1 n i i i x y    __________． 16．已知圆C 的圆心在直线 2 4 0x y   上，半径为 5 ，若圆C 上存在点 M ，它到 定点  0, 4A  的距离与到原点O 的距离之比为 5 ，则圆心C 的纵坐标的取值范围是 __________． 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．在 ABC△ 中，角 A ， B ，C 所对的边分别为 a ，b ， c ，已知 cos cos cos 3sin cosC A B A B  ． （1）求cos B 的值； （2）若 1a c  ，求 b 的取值范围． - 5 - 18．某城市为鼓励人们绿色出行，乘坐地铁，地铁公司决定按照乘客经过地铁站 的数量实施分段优惠政策，不超过30站的地铁票价如下表： 乘坐站数 x 0 10x  1 0 2 0x  2 0 3 0x  票价（元） 3 6 9 现有甲、乙两位乘客同时从起点乘坐同一辆地铁，已知他们乘坐地铁都不超过30 站．甲、乙乘坐不超过10站的概率分别为 1 4 ， 1 3 ；甲、乙乘坐超过 20 站的概率分别 为 1 2 ， 1 3 ． （1）求甲、乙两人付费相同的概率； （2）设甲、乙两人所付费用之和为随机变量 X ，求 X 的分布列和数学期望． 19．如图，在三棱锥 P A B C D 中，平面 A B C  平面 A P C ， 2AB BC AP PC    ， 90A B C   ． （1）求直线 P A 与平面 P B C 所成角的正弦值； （2）若动点 M 在底面 ABC△ 边界及内部，二面角 M P A C  的余弦值为 3 11 11 ，求 B M 的最小值． 20．给定椭圆   2 2 2 2: 1 0x yC a ba b     ，称圆 2 2 2 2 1 :C x y a b   为椭圆C 的“伴随 圆”．已知点  2,1A 是椭圆 2 2: 4G x y m  上的点 （1）若过点  0, 10P 的直线l 与椭圆G有且只有一个公共点，求l 被椭圆G的伴随 圆 1G所截得的弦长： - 6 - （2）B ，C 是椭圆G上的两点，设 1k ， 2k 是直线 AB ，AC 的斜率，且满足 1 24 1k k   ， 试问：直线 BC 是否过定点，如果过定点，求出定点坐标，如果不过定点，试说明 理由． 21．已知函数    ln 1af x x x a ax      R ． （1）求函数  f x 的单调区间； （2）若存在 1x  ，使   1 xf x x x   成立，求整数a 的最小值． 请考生在 22、23 题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分。 22． [选修 4—4：坐标系与参数方程] 在平面直角坐标系 xO y 中，已知曲线 1 : 1C x y  与曲线 2 2 2cos: 2sin xC y       （ 为参 数，  0,2π  ）．以坐标原点为极点， x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系． （1）写出曲线 1C ， 2C 的极坐标方程； （2）在极坐标系中，已知点 A 是射线  : 0l     与 1C 的公共点，点 B 是 l 与 2C 的 公共点，当 在区间 π0, 2      上变化时，求 OB OA 的最大值． 23．选修 4-5：不等式选讲 已知 0a  ， 0b  ， 0c  ，函数  f x c a x x b     ． （1）当 1a b c   时，求不等式   3f x  的解集； （2）当  f x 的最小值为3 时，求 a b c  的值，并求 1 1 1 a b c   的最小值． - 7 - 2018 年普通高等学校招生全国统一考试仿真卷 理科数学（六）答案（22） 第Ⅰ卷 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的。 1．C 2．A 3．C 4．A 5．A 6．A 7．B 8．C 9．A 10．C 11．A 12．C 第Ⅱ卷 本 卷包括必考题和选考题两部分。第(13)~(21)题为必考题，每个试题考生都必须作答。 第(22)~(23)题为选考题，考生根据要求作答。 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分。 13．48 14． 3 4  15．4 16． 13, 5     三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．【答案】（1） 1cos 2B  ；（2） 1 12 b  ． 【解析】（1）由已知得  cos cos cos 3sin cos 0A B A B A B     ， 即有sin sin 3sin cos 0A B A B  ，·······3 分 因为sin 0A  ，∴sin 3 cos 0B B  ．又cos 0B  ，∴ tan 3B  ． 又0 πB  ，∴ π 3B  ，∴ 1cos 2B  ，·······6 分 （2）由余弦定理，有 2 2 2 2 cosb a c ac B   ． 因为 1a c  ， 1cos 2B  ，·······9 分 - 8 - 有 2 2 1 13 2 4b a      ，又0 1a  ，于是有 21 14 b  ，即有 1 12 b  ．·······12 分 18．【答案】（1） 1 3 ；（2）   51 4E X  ． 【解析】（1）由题意知甲乘坐超过10站且不超过 20 站的概率为 1 1 11 4 2 4    ， 乙乘坐超过10站且不超过 20 站的概率为 1 1 11 3 3 3    ， 设“甲、乙两人付费相同”为事件 A ， 则   1 1 1 1 4 3 4 3P A     1 1 1 2 3 3    ， 所以甲、乙两人付费相同的概率是 1 3 ．·······5 分 （2）由题意可知 X 的所有可能取值为： 6 ， 9 ，12 ，15，18．·······6 分   1 1 16 4 3 12P X     ，·······7 分   1 19 4 3P X    1 1 1 4 3 6    ，·······8 分   1 1 112 4 3 2P X     1 1 1 1 3 4 3 3     ，·······9 分   1 1 112 4 3 2P X     1 1 3 4   ，·······10 分   1 1 118 2 3 6P X     ．·······11 分 因此 X 的分布列如下： X 6 9 12 15 18 P 1 12 1 6 1 3 1 4 1 6 所以 X 的数学期望   1 1 1 1 1 516 9 12 15 1812 6 3 4 6 4E X            ．·······12 分 19．【答案】（1） 6 3 ；（2） 10 5 ． 【解析】（1）取 AC 中点O， AB BC ， AP PC ， OB OC  ，OP OC ． 平面 ABC  平面 APC ，平面 ABC  平面 APC AC ， OB  平面 PAC ， OB OP  ． 以O为坐标原点，OB 、OC 、OP 分别为 x 、 y 、z 轴建立如图所示空间直角坐标 - 9 - 系， 2AB BC PA   ， 1OB OC OP    ，  0,0,0O ，  0, 1,0A  ，  1,0,0B ，  0,1,0C ，  0,0,1P ， ∴  1,1,0BC   ，  1,0, 1PB   ，  0,1,1AP  ，·······2 分 设平面 PBC 的法向量  , ,x y zm ，由 0BC   m ， 0PB  m 得方程组 0 0 x y x z         ， 取  1,1,1m ，·······4 分 ∴ os 3, 6c AP  m ．·······5 分 ∴直线 PA 与平面 PBC 所成角的正弦值为 6 3 ．·······6 分 （2）由题意平面 PAC 的法向量  1,0,0n ， 设平面 PAM 的法向量为  0 0 0, ,x y zk ，  , ,0M m n ， ∵  0,1,1AP  ，  , 1,0AM m n  ， 0AP  k ， 0AM   k ， ∴   0 0 0 0 0 1 0 y z mx n y         ，取 1, 1,1n m      k ，·······9 分 ∴ 3 11cos , 11  n k ．∴ 21 9n m      ，∴ 1 3n m  或 1 3n m   （舍去）． ∴ B 点到 AM 的最小值为垂直距离 10 5d  ．·······12 分 - 10 - 20．【答案】（1） 2 5 ；（2）过原点． 【解析】（1）因为点  2,1A 是椭圆 2 2: 4G x y m  上的点． 2 22 4 1 m    ， 8m  即椭圆 2 2 : 18 2 x yG   ，·······2 分 2 8a  ， 2 2b  ，伴随圆 2 2 1 : 10G x y  ， 当直线 l 的斜率不存在时：显然不满足l 与椭圆G有且只有一个公共点，·······3 分 当直接 l 的斜率存在时：将直线 : 10l y kx  与椭圆 2 2: 4 8G x y  联立， 得 2 21 4 8 10 32 0k x kx    ， 由直线 l 与椭圆G有且只有一个公共点得    2 28 10 4 1 4 32 0k k       ， 解得 1k   ，由对称性取直线 : 10l y x  即 : 10 0l x y   ， 圆心到直线 l 的距离为 0 0 10 5 1 1 d      ， 直线 l 被椭圆G的伴随圆 1G所截得的弦长 2 10 5 2 5   ，·······6 分 （2）设直线 AB ， AC 的方程分别为  11 2y k x   ，  21 2y k x   ， 设点  1 1,B x y ，  2 2,C x y ， 联立 2 2: 4 8G x y  得   2 2 2 2 1 1 1 1 11 4 16 8 16 16 4 0k x k k x k k       ， 则 2 1 1 1 2 1 16 16 42 1 4 k kx k    得 2 1 1 1 2 1 8 8 2 1 4 k kx k    同理 2 2 2 2 2 2 8 8 2 1 4 k kx k    ，·······8 分 斜率   2 1 11 1 1 2 1 1 1 1 2 1 4 4 1 8 8 2OB k xy k kk x x k k          ，·······9 分 同理 2 2 2 2 2 2 4 4 1 8 8 2OC k kk k k      ，因为 1 24 1k k   ，·······10 分 所以 2 2 1 1 1 1 2 2 1 1 1 1 1 14 4 14 4 1 4 4 2 8 81 18 8 24 4 OC OB k k k kk kk k k k                                ， B ，O，C 三点共线，即直线 BC 过定点  0,0O ．·······12 分 - 11 - 21．【答案】（1）答案见解析；（2）5． 【解析】（1）由题意可知， 0x  ，   2 2 2 1 1a x x af x x x x        ，·······1 分 方程 2 0x x a    对应的 1 4a   ， 当 1 4 0a    ，即 1 4a  时，当  0,x  时，   0f x  ， ∴  f x 在 0, 上单调递减；·······2 分 当 10 4a  时，方程 2 0x x a    的两根为1 1 4 2 a  ， 且 1 1 4 1 1 40 2 2 a a     ， 此时，  f x 在 1 1 4 1 1 4,2 2 a a        上   0f x  ，函数  f x 单调递增， 在 1 1 40, 2 a      ， 1 1 4 ,2 a       上   0f x  ，函数  f x 单调递减；·······4 分 当 0a  时，1 1 4 02 a   ，1 1 4 02 a   ， 此时当 1 1 40, 2 ax       ，   0f x  ，  f x 单调递增， 当 1 1 4 ,2 ax        时，   0f x  ，  f x 单调递减； 综上：当 0a  时， 1 1 40, 2 ax       ，  f x 单调递增， 当 1 1 4 ,2 ax        时，  f x 单调递减； 当 10 4a  时，  f x 在 1 1 4 1 1 4,2 2 a a        上单调递增， 在 1 1 40, 2 a      ， 1 1 4 ,2 a       上单调递减； - 12 - 当 1 4a  时，  f x 在 0, 上单调递减；·······6 分 （2）原式等价于 1 ln 2 1x a x x x    ， 即存在 1x  ，使   ln 2 1 1 x x xa x    成立． 设     ln 2 1 1 x x xg x x    ， 1x  ，则    2 ln 2 1 x xg x x     ，·······7 分 设   ln 2h x x x   ， 则   1 11 0xh x x x      ，∴  h x 在 1, 上单调递增． 又  3 3 ln3 2 1 ln3 0h       ，  4 4 ln4 2 2 2ln2 0h       ， 根据零点存在性定理，可知  h x 在 1, 上有唯一零点，设该零点为 0x ，·······9 分 则  0 3,4x  ，且  0 0 0ln 2 0h x x x    ，即 0 02 lnx x  ， ∴   0 0 0 0min 0 ln 2 1 11 x x xg x xx     ， 由题意可知 0 1a x  ，又  0 3,4x  ， a  Z ，∴a 的最小值为 5．······12 分 请考生在 22、23 题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分。 22．【答案】（1） π 2sin 4 2       ， 4cos  ；（2） 2 2 2 ． 【解析】（1）曲线 1C的极坐标方程为  cos sin 1    ，即 π 2sin 4 2       ． 曲线 2C 的普通方程为 2 22 4x y   ，即 2 2 4 0x y x   ，所以曲线 2C 的极坐标方 程为 4cos  ．·······5 分 （2）由（1）知 1 cos sinAOA      ， 4cosBOB    ， - 13 -     π4cos cos sin 2 1 cos2 sin 2 2 2 2 sin 2 4 OB OA                  ， 由 π0 2   知 π π 5π2 +4 4 4   ，当 π π2 4 2    ， 即 π 8   时， OB OA 有最大值2 2 2 ．·······10 分 23．【答案】（1） | 1x x   或 1x  ；（2）3． 【解析】（1）   1 1 1f x x x     ， 1 1 2 3 x x     或 1 1 3 3 x       或 1 2 1 3 x x       ，解得{ | 1x x   或 1}x  ．·······5 分 （2）   3f x c a x x b a x x b c a b c a b c                 ，  1 1 1 1 1 1 1 1 33 3 b a c a c ba b ca b c a b c a b a c b c                                        1 3 2 2 2 33      ． 当且仅当 1a b c   时取得最小值3 ．·······10 分