陕西高考试题理数word解析版

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‎2012年普通高等学校招生全国统一考试（陕西卷）‎ 数学（理科）‎ 一、选择题 ‎1. 集合，，则（ ） ‎ ‎ A． B． C． D．‎ ‎【解析】，，则，故选C ‎2. 下列函数中，既是奇函数又是增函数的为（ ）‎ ‎ A． B． C． D．‎ ‎【解析】选项中是奇函数的有B、C、D，增函数有D，故选D ‎3. 设，是虚数单位，则“”是“复数为纯虚数”的（ ）‎ ‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 ‎ C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎【解析】“”则或，“复数为纯虚数”则且，则 ‎“”是“复数为纯虚数”的必要不充分条件，故选B ‎4. 已知圆，过点的直线，则（ ）‎ ‎ A．与相交 B．与相切 ‎ ‎ C．与相离 D．以上三个选项均有可能 ‎【解析】点在圆内，则必与相交，故选A ‎5. 如图，在空间直角坐标系中有直三棱柱，，则直线与直线夹角的余弦值为（ ）‎ ‎ A． B． ‎ ‎ C． D．‎ ‎【解析】设，则，，‎ ‎　　　　则，故选A ‎6. 从甲乙两个城市分别随机抽取16台自动售货机，对其销售额进行统计，统计数据用茎叶图表示（如图所示），设甲乙两组数据的平均数分别为，，中位数分别为，，则（ ）‎ ‎ A．，‎ ‎ B．，‎ ‎ C．，‎ ‎ D．，‎ ‎【解析】经计算得：甲=21.5625，乙=28.5625，甲=20，乙=29，故选B ‎7. 设函数，则（ ）‎ ‎ A．为的极大值点 B．为的极小值点 ‎ C．为的极大值点 D．为的极小值点[来源:学,科,网]‎ ‎【解析】，，恒成立，令，则 ‎ 当时，，函数单调减，当时，，函数单调增，‎ ‎ 则为的极小值点，故选D ‎8. 两人进行乒乓球比赛，先赢三局着获胜，决出胜负为止，则所有可能出现的情形（各人输赢局次的不同视为不同情形）共有（ ）‎ ‎ A．10种 B．15种 C．20种 D．30种 ‎【解析】甲赢和乙赢的可能情况是一样的，所以假设甲赢的情况如下：‎ ‎ 若两人进行3场比赛，则情况只有是甲全赢1种情况；‎ ‎ 若两人进行4场比赛，第4场比赛必为甲赢前3场任选一场乙赢为种情况；‎ ‎ 若两人进行5场比赛，第5场比赛必为甲赢前4场任选一场乙赢为种情况；‎ ‎ 综上，甲赢有10种情况，同理，乙赢有10种情况，‎ ‎ 则所有可能出现的情况共20种，故选C ‎9. 在中角、、所对边长分别为，若，则的最小值为（ ）‎ ‎ A． B． C． D．‎ ‎【解析】，故选C ‎10. 右图是用模拟方法估计圆周率的程序框图，表示估计结果，则图中空白框内应填 入（ ）‎ ‎ A．‎ ‎ B．‎ ‎ C．‎ ‎ D．‎ ‎【解析】M表示落入扇形的点的个数，1000表示落入正方形的点的个数，‎ ‎ 则点落入扇形的概率为，‎ ‎ 由几何概型知，点落入扇形的概率为，‎ ‎ 则，故选D 二． 填空题：把答案填写在答题卡相应的题号后的横线上（本大题共5小题，每小题5分，共25分）‎ ‎11. 观察下列不等式 ‎，‎ ‎，‎ ‎……‎ 照此规律，第五个不等式为 ．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】观察不等式的左边发现，第n个不等式的左边=，‎ ‎ 右边=，所以第五个不等式为.‎ ‎12. 展开式中的系数为10， 则实数的值为 ．‎ ‎【答案】1‎ ‎【解析】∵，令，则，‎ ‎ 又∵的系数为10，则，∴‎ ‎13. 右图是抛物线形拱桥，当水面在时，拱顶离水面‎2米，水面宽‎4米，水位下降‎1米后，水面宽 米．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】建立如图所示的直角坐标系，使拱桥的顶点O的坐标为（0,0），‎ ‎ 设l与抛物线的交点为A、B，根据题意知A（-2，-2），B（2，-2）‎ ‎ 设抛物线的解析式为，则有，∴‎ ‎ ∴抛物线的解析式为 ‎ 水位下降1米，则y=-3，此时有或 ‎ ∴此时水面宽为米。‎ ‎14. 设函数，是由轴和曲线及该曲线在点处的切线所围成的封闭区域，则在上的最大值为 ．‎ ‎【答案】2‎ ‎【解析】当时，，，∴曲线在点处的切线为 ‎ 则根据题意可画出可行域D如右图：‎ ‎ 目标函数，‎ ‎ 当，时，z取得最大值2‎ ‎15. （考生注意：请在下列三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题评分）‎ A．（不等式选做题）若存在实数使成立，则实数的取值范围是 ．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】表示在数轴上，a到1的距离小于等于3，即，‎ ‎ 则 B．（几何证明选做题）如图，在圆O中，直径AB与弦CD垂直，垂足为E，，垂足为F，若，，则 ．[来源:学科网ZXXK]‎ ‎【答案】5‎ ‎【解析】∵，则圆的半径为3，连接OD，则OD=3‎ ‎[来源:学+科+网] 又，则OE=2‎ 在直角三角形OED中，‎ 根据射影定理，在直角三角形EDB中，‎ C．（坐标系与参数方程）直线与圆相交的弦长为 ．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】是过点且垂直于极轴的直线，‎ ‎ 是以为圆心，1为半径的圆，则弦长=.‎ 三、解答题 ‎16.（本小题满分12分）[来源:学&科&网]‎ 函数（）的最大值为3， 其图像相邻两条对称轴之间的距离为，‎ ‎（1）求函数的解析式；‎ ‎（2）设，则，求的值．‎ ‎【解析】（Ⅰ）∵函数的最大值是3，∴，即。‎ ‎∵函数图像的相邻两条对称轴之间的距离为，∴最小正周期，∴。‎ 故函数的解析式为。‎ ‎（Ⅱ）∵，即，‎ ‎∵，∴，∴，故。‎ ‎17.（本小题满分12分）‎ 设的公比不为1的等比数列，其前项和为，且成等差数列．‎ ‎（1）求数列的公比；‎ ‎（2）证明：对任意，成等差数列．‎ ‎【解析】（1）设数列的公比为（）。‎ 由成等差数列，得，即。‎ 由得，解得，（舍去），所以。‎ ‎（2）证法一：对任意，（lby lfx）‎ ‎ ‎ ‎ ，‎ 所以，对任意，成等差数列。‎ 证法二：对任意，，‎ ‎，‎ ‎ ‎ ‎ ，‎ 因此，对任意，成等差数列。‎ ‎18. （本小题满分12分）‎ ‎（1）如图，证明命题“是平面内的一条直线，是外的一条直线（不垂直于），是直线在上的投影，若，则”为真．‎ ‎（2）写出上述命题的逆命题，并判断其真假（不需要证明）‎ ‎【解析】（Ⅰ）证法一 如图，过直线上一点作平面的垂线，设直线，，，的方向向量分别是，，，，则，，共面.根据平面向量基本定理，存在实数，使得，则，因为，所以，‎ 又因为，，所以，故，从而 . ‎ 证法二 如图，记,为直线上异于点的任意一点，过作,垂足为,则.，直线，又，平面,,平面，又平面， . ‎ ‎（Ⅱ）逆命题为：是平面内的一条直线，是平面外的一条直线（不垂直于），是直线在上的投影，若，则.逆命题为真命题 ‎19. （本小题满分12分）‎ 已知椭圆，椭圆以的长轴为短轴，且与有相同的离心率．‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）设O为坐标原点，点A，B分别在椭圆和上，，求直线的方程．‎ ‎【解析】（Ⅰ）由已知可设椭圆的方程为，‎ 其离心率为，故，则，‎ 故椭圆的方程为 ‎（Ⅱ）解法一 两点的坐标分别为，‎ 由及（Ⅰ）知，三点共线且点不在轴上，‎ 因此可设直线的方程为.‎ 将代入中，得，所以，‎ 将代入中，得，所以，‎ 又由，得，即，‎ 解得 ，故直线的方程为或 解法二 两点的坐标分别为，‎ 由及（Ⅰ）知，三点共线且点不在轴上，‎ 因此可设直线的方程为.‎ 将代入中，得，所以，‎ 又由，得，，‎ 将代入中，得，即，‎ 解得 ，故直线的方程为或 ‎20.（本小题满分13分）‎ 某银行柜台设有一个服务窗口，假设顾客办理业务所需的时间互相独立，且都是整数分钟，对以往顾客办理业务所需的时间统计结果如下：‎ 办理业务所需的时间（分）‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ 频 率 ‎0.1‎ ‎0.4‎ ‎0.3‎ ‎0.1‎ ‎0.1‎ 从第一个顾客开始办理业务时计时．‎ ‎（1）估计第三个顾客恰好等待4分钟开始办理业务的概率；‎ ‎（2）表示至第2分钟末已办理完业务的顾客人数，求的分布列及数学期望．‎ ‎【解析】设Y表示顾客办理业务所需的时间，用频率估计概率，的Y的分布如下：‎ Y ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ P ‎0.1‎ ‎0.4‎ ‎0.3‎ ‎0.1‎ ‎0.1‎ (1) A表示事件“第三个顾客恰好等待4分钟开始办理业务”，则时间A对应三种情形：‎ 一个谷歌办理业务所需时间为1分钟，且第二个顾客办理业务所需的时间为3分钟；‎ 第一个顾客办理业务所需的时间为3分钟，且第二个顾客办理业务所需的时间为1分钟；（lbylfx）‎ 第一个和第二个顾客办理业务所需的时间均为2分钟。‎ 所以 ‎（2）解法一：X所有可能的取值为：0,1,2.‎ X=0对应第一个顾客办理业务所需的时间超过2分钟，‎ 所以；X=1对应第一个顾客办理业务所需的时间为1分钟且第二个顾客办理业务所需时间超过1分钟，或第一个顾客办理业务所需的时间为2分钟，所以 ‎；‎ X=2对应两个顾客办理业务所需的时间均为1分钟，所以 ‎；‎ 所以X的分布列为 X ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ P ‎0.5‎ ‎0.49‎ ‎0.01‎ ‎.‎ 解法二：X所有可能的取值为0,1,2.‎ X=0对应第一个顾客办理业务所需的时间超过2分钟，所以 ‎；‎ X=2对应两个顾客办理业务所需的时间均为1分钟，所以 ‎；‎ ‎；‎ 所以X的分布列为 X ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ P ‎0.5‎ ‎0.49‎ ‎0.01‎ ‎。‎ ‎21． （本小题满分14分）[来源:学科网]‎ 设函数 ‎（1）设，，证明：在区间内存在唯一的零点；‎ ‎（2）设，若对任意，有，求的取值范围；‎ ‎（3）在（1）的条件下，设是在内的零点，判断数列的增减性．‎ ‎【解析】（1）‎ ‎。‎ 又当 ‎ （2）当n=2时，‎ 对任意上的最大值与最小值之差,据此分类讨论如下：‎ ‎(Ⅰ)‎ ‎。‎ ‎(Ⅱ) ‎ ‎。‎ ‎(Ⅲ) ‎ ‎。‎ 综上可知，。‎ 注：(Ⅱ) (Ⅲ)也可合并并证明如下：‎ 用 当 ‎（3）证法一：设，‎ 于是有，‎ 又由（1）知，‎ 所以，数列 ‎ 证法二：设，‎ ‎，‎ 则 所以，数列