九年级数学上册第二章一元二次方程1认识一元二次方程第1课时一元二次方程教学课件新版北师大版

九年级数学上册第二章一元二次方程1认识一元二次方程第1课时一元二次方程教学课件新版北师大版

2.1 认识一元二次方程 第二章 一元二次方程 第 1 课时 一元二次方程 导入新课 讲授新课 当堂练习 课堂小结 1. 了解一元二次方程的概念 ; （重点） 2. 掌握一元二次方程的一般形式 ax 2 +bx+c= 0 （ a , b , c 为常数 , a ≠0 ） . （重点） 3. 能根据具体问题的数量关系 , 建立一元二次方程的模型 . （难点） 学习目标 导入新课 复习引入 没有未知数 1. 下列式子哪些是 方程？ 2+6=8 2 x+ 3 5 x+ 6 = 22 x+ 3 y= 8 x- 5 ＜ 1 8 代数式 一元一次方程 二元一次方程 不等式 分式方程 2. 什么叫方程？我们学过哪些方程？ 含有未知数的等式叫做方程 . 我们学过的方程有一元一次方程，二元一次方程（组）及分式方程，其中前两种方程是 整式方程 . 3. 什么叫一元一次方程？ 含有一个未知数，且未知数的次数是 1 的整式方程叫做一元一次方程 . 想一想：什么叫一元二次方程呢？ 一元二次方程的相关概念 一 问题 1 ： 幼儿园某教室矩形地面的长为 8m , 宽为 5m , 现准备在地面正中间铺设一块面积为 18m 2 的地毯 , 四周未铺地毯的条形区域的宽度都相同 , 你能求出这个宽度吗（列出方程即可）？ 解： 如果设所求的宽为 x m , 那么地毯中央长方形图案的长为 m , 宽为 　　　 m , 根据题意 , 可得方程： (8 - 2 x ) (5 - 2 x ) x x (8 – 2 x ) x x (5 – 2 x ) ( 8 - 2 x ) （ 5 - 2 x ） = 18 . 化简： 2 x 2 - 13 x + 11 = 0 . ① 该方程中未知数的个数和最高次数各是多少？ 问题 2 ： 观察下面等式： 10 2 + 11 2 + 12 2 = 13 2 + 14 2 你还能找到其他的五个连续整数，使前三个数的平方和等于后两个数的平方和吗？ 解： 如果设五个连续整数中的第一个数为 x ，那么后面四个数依次可表示为： , , , . 　 根据题意，可得方程： 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 x +1 x +2 x +3 x +4 x 2 + ( x + 1) 2 + ( x + 2) 2 = ( x + 3) 2 + ( x + 4) 2 . 化简得， x 2 - 8 x - 20 ＝ 0. ② 该方程中未知数的个数和最高次数各是多少？ 解： 由勾股定理可知 , 滑动前梯子底端距墙 　　　　 m. 如果设梯子底端滑动 x m , 那么滑动后梯子底端距墙 　　 m , 根据题意，可得方程： 问题 3 ： 如图，一个长为 10m 的梯子斜靠在墙上 , 梯子的顶端距地面的垂直距离为 8m . 如果梯子的顶端下滑 1m , 那么梯子的底端滑动多少米？ 6 x +6 7 2 + ( x + 6) 2 = 10 2 . 化简得， x 2 + 12 x - 15 = 0 . ③ 10m 8m 1m x m 该方程中未知数的个数和最高次数各是多少？ ① 2 x 2 - 13 x + 11 = 0 ； ② x 2 - 8 x - 20 ＝ 0 ； ③ x 2 + 12 x - 15 = 0. 1. 只含有一个未知数 ; 2. 未知数的最高次数是 2;3. 整式方程． 讲授新课 观察与思考 方程①、 ②、 ③都不是一元一次方程 . 那么这两个方程与一元一次方程的区别在哪里？它们有什么共同特点呢？ 特点 : 只含有 一个未知数 x 的整式方程，并且都可以化为 ax 2 + bx + c =0 ( a , b , c 为常数 , a ≠0) 的形式，这样的方程叫做一元二次方程 . ax 2 + bx + c = 0 ( a , b , c 为常数 , a ≠0) ax 2 称为二次项 , a 称为二次项系数 . bx 称为一次项 , b 称为一次项系数 . c 称为常数项 . 知识要点 一元二次方程的概念 一元二次方程的一般形式是 想一想 为什么一般形式中 ax 2 + bx + c =0 要限制 a ≠0 ， b 、 c 可以为零吗？ 当 a = 0 时 bx ＋ c = 0 当 a ≠ 0 ， b = 0 时 ， ax 2 ＋ c = 0 当 a ≠ 0 ， c = 0 时 ， ax 2 ＋ b x = 0 当 a ≠ 0 ， b = c =0 时 ， ax 2 = 0 总结：只要满足 a ≠ 0 ， b ， c 可以为 任意实数 . 练一练 1. 关于 x 的方程 ( k - 3) x 2 +2 x - 1=0 , 当 k 　　　 时 , 是一元二次方程 ． 2. 关于 x 的方程 ( k 2 - 1) x 2 +2 ( k - 1) x + 2 k + 2 = 0 , 当 k 　 　　 时 , 是一元二次方程 . 当 k 　　　 时 , 是一元一次方程． ≠3 ≠±1 = - 1 典例精析 例 1 下列选项中，关于 x 的一元二次方程的是（ ） C 不是整式方程 含两个未知数 化简整理成 x 2 - 3 x+ 2 =0 少了限制条件 a≠0 提示 判断一个方程是不是一元二次方程，首先看是不是整式方程；如是再进一步化简整理后再作判断 . 例 2: a 为何值时，下列方程为一元二次方程？ (1) ax 2 － x= 2 x 2 (2)( a － 1) x ∣ a ∣ +1 － 2 x － 7=0 解： (1) 将方程式转化为一般形式，得 ( a － 2) x 2 － x =0 , 所以当 a － 2≠0 ，即 a ≠2 时，原方程是一元二次方程； (2) 由 ∣ a ∣ +1 =2 ，且 a － 1 ≠0 知，当 a = － 1 时，原方程是一元二次方程 . 方法总结： 用一元二次方程的定义求字母的值的方法：根据未知数的最高次数等于 2 ，列出关于某个字母的方程，再排除使二次项系数等于 0 的字母的值． 例 3 将方程 3 x ( x -1)=5( x +2) 化为一般形式，并分别指出它们的二次项、一次项和常数项及它们的系数 . 解： 去括号，得 3x 2 -3x=5x+10. 移项、合并同类项，得一元二次方程的一般形式 3x 2 -8x-10=0. 其中二次项是 3x 2 , 系数是 3 ；一次项是 -8x , 系数是 -8 ；常数项是 -10. 系数和项均包含前面的符号 . 注意 1. 下列方程哪些是一元二次方程 ? 为什么 ? (1) 7 x 2 - 6 x = 0 (2) 2 x 2 - 5 xy + 6 y = 0 (3) (4) (5) x 2 + 2 x - 3 = 1 + x 2 √ 方程中同时出现 x 、 y 两个未知数 非整式方程 √ 化简后是一元一次方程 当堂练习 2. 把下列方程化为一元二次方程的一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项： 方　程 一般形式 二次项 系数 一次项 系数 常数项 3 x 2 = 5 x - 1 ( x + 2) ( x - 1)=6 4 - 7 x 2 =0 3 x 2 - 5 x + 1 = 0 x 2 + x - 8 = 0 3 - 5 1 1 1 - 8 7 x 2 - 4 = 0 7 0 - 4 3. 如图 , 有一块矩形铁皮 , 长 19cm , 宽 15cm ．在它的四个角分别切去一个正方形 , 然后将四周突出的部分折起 , 就能制作一个无盖方盒 . 如果要制作的无盖方盒的底面积是 81 cm 2 , 那么铁皮各角应切去多大的正方形？列出方程，并将其化为一般式 . 解： 设需要剪去的小正方形边长为 x cm , 则纸盒底面的长方形的长为 （ 19 - 2 x ） cm , 宽为 （ 15 - 2 x ） cm. 依题意得： (19 - 2 x ) (15 - 2 x ) = 81 . x 2 - 17 x + 51 = 0 ( 一般式 ) . x cm x cm 一元二次方程 只含有一个未知数 x 的整式方程，并且 都可以化为 ax 2 ＋ bx ＋ c ＝ 0( a , b , c 为常数 , a ≠0) 的形式 . 概念 ax 2 + bx + c = 0 ( a , b , c 为常数 , a ≠0 ax 2 称为二次项 , a 称为二次项系数 . bx 称为一次项 , b 称为一次项系数 c 称为常数项 . 课堂小结 一般式