山西省实验中学2020届高三上学期10月月考数学（文）试题

山西省实验中学2020届高三上学期10月月考数学（文）试题

山西省实验中学2019-2020学年第二次月考高三文科 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。‎ ‎1.已知，则 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先利用平方关系求出的值，再求的值得解.‎ ‎【详解】因为 所以，‎ 所以.‎ 故选：A ‎【点睛】本题主要考查同角的三角函数关系，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.‎ ‎2.下列函数中存在最大值的是 A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 对每一个选项逐一分析得解.‎ ‎【详解】对于选项A,显然当时，时，‎ ‎，所以没有最大值，所以该选项是错误的；‎ 对于选项B, ，所以函数的最大值是4，所以该选项是正确的；‎ 对于选项C, ,当时，，所以函数没有最大值，所以该选项是错误的；‎ 对于选项D, ,当时，，所以函数没有最大值，所以该选项是错误的.‎ 故选：B ‎【点睛】本题主要考查函数的图像和性质，考查函数的最值，意在考查学生对该知识的理解掌握水平和分析推理能力.‎ ‎3.函数的最小正周期为 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 直接利用正弦函数的最小正周期公式求解.‎ ‎【详解】由题得函数的最小正周期为.‎ 故选：C ‎【点睛】本题主要考查三角函数的最小正周期，意在考查学生对该知识的理解掌握水平.‎ ‎4.已知a为函数的极小值点，则（ ）‎ A. －4 B. －2 C. 4 D. 2‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用导数研究函数的极值得解.‎ ‎【详解】由题得，‎ 令，‎ 所以函数的增区间为，减区间为（-2,2）,‎ 所以函数的极小值点为x=2.‎ 所以a=2.‎ 故选：D ‎【点睛】本题主要考查函数的极值，意在考查学生对该知识的理解掌握水平和分析推理能力.‎ ‎5.记，那么（ ）‎ A. B. ‎ C. D. -‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 试题分析：，所以 ‎，故选A.‎ 考点：弦切互化.‎ ‎6.函数在下面哪个区间内是增函数 ( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求后令可得函数的单调间区间，逐一比较可得正确选项.‎ ‎【详解】令，则，令，可得或，‎ 故选B.‎ ‎【点睛】一般地，若在区间上可导，且，则在上为单调增（减）函数；反之，若在区间上可导且为单调增（减）函数，则.‎ ‎7.若函数的导函数的图像关于原点对称，则函数的解析式可能是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求出导函数，导函数为奇函数的符合题意．‎ ‎【详解】A中为奇函数，B中 非奇非偶函数，C中为偶函数，D中+1非奇非偶函数．‎ 故选A．‎ ‎【点睛】本题考查导数的运算，考查函数的奇偶性．解题关键是掌握奇函数的图象关于原点对称这个性质．‎ ‎8.若，则 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【详解】分析：由公式可得结果.‎ 详解：‎ 故选B 点睛：本题主要考查二倍角公式，属于基础题.‎ ‎9.在中，为边上的中线，点满足，则 A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用平面向量的加法和减法法则求解.‎ ‎【详解】由题得 ‎=.‎ 故选：A ‎【点睛】本题主要考查平面向量的加法和减法法则，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.‎ ‎10.已知函数最小正周期为，则函数的图象（ ）‎ A. 关于直线对称 B. 关于直线对称 C. 关于点对称 D. 关于点对称 ‎【答案】D ‎【解析】‎ 分析：先化简函数f(x)=,再根据周期求出w，再讨论每一个选项的真假.‎ 详解：由题得f(x)=，因为 对于选项A,把代入函数得，所以选项A是错误的；‎ 对于选项B, 把代入函数得，所以选项B是错误的；‎ 对于选项C,令无论k取何整数，x都取不到,所以选项C是错误的.‎ 对于选项D, 令当k=1时，，所以函数的图像关于点对称.‎ 故答案为：D.‎ 点睛：（1）本题主要考查三角恒等变换和三角函数的图像和性质，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)对于三角函数图像和性质的判断，要灵活，不要死记硬背.‎ ‎11.已知曲线在处的切线方程是，则与分别为　　‎ A. 5， B. ，5 C. ，0 D. 0，‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用导数的几何意义得到f'（5）等于直线的斜率﹣1，由切点横坐标为5，‎ 得到纵坐标即f（5）．‎ ‎【详解】由题意得f（5）=﹣5+5=0，f′（5）=﹣1．‎ 故选：D．‎ ‎【点睛】本题考查了导数的几何意义，考查学生的计算能力，属于基础题．‎ ‎12.若是函数图像上的动点，已知点，则直线的斜率的取值范围是 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设函数图象上的动点，，利用斜率公式表达直线斜率；令；求函数的最值可得的范围．‎ ‎【详解】是函数图象上的动点，点，‎ 设，，，‎ 则：，则直线斜率；‎ 令；求函数的最值可得的范围，‎ ‎；‎ 当时，，在上单调递增；‎ 当时，，在上单调递减；‎ 所以函数的最小值为：（1）；‎ 所以：，‎ 即：，直线斜率的取值范围是，‎ 故选：．‎ ‎【点睛】本题考查函数的导数应用，函数的单调性以及分类讨论思想，转化思想的应用，考查计算能力．‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分 ‎13.函数的振幅是________。‎ ‎【答案】2‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先化简函数，再求函数的振幅得解.‎ ‎【详解】由题得 ‎=‎ 所以函数的振幅是2.‎ 故答案为：2‎ ‎【点睛】本题主要考查和角差角的正余弦，考查三角函数的振幅，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.‎ ‎14.函数的导函数是___________________。‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用求导的法则求解即得解.‎ ‎【详解】由题得.‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本题主要考查函数求导，意在考查学生对该知识的理解掌握水平.‎ ‎15.已知非零向量满足，设与的夹角为，则_______。‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由得，化简即得解.‎ ‎【详解】由得，‎ 所以，‎ 所以 所以.‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本题主要考查向量垂直的数量积表示，考查数量积的运算法则，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和计算能力.‎ ‎16.已知非零实数满足，且，则_____‎ ‎【答案】0‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先由已知得，再化简代入得解.‎ ‎【详解】由题得.‎ 所以 由题得=0‎ 故答案为：0‎ ‎【点睛】本题主要考查同角的三角函数的关系，考查三角恒等变换，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.‎ 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。‎ ‎17.已知角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，它的终边过点。‎ ‎（Ⅰ）求的值；‎ ‎（Ⅱ）若角满足，求值。‎ ‎【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（Ⅰ）由已知条件即可求，则的值可得；（Ⅱ）由已知条件即可求，， ，再由代值计算得答案．‎ ‎【详解】（Ⅰ）角的顶点与原点重合，始边与轴非负半轴重合，终边过点，．‎ ‎，，，‎ ‎；‎ ‎（Ⅱ）由，，，‎ 得，，‎ 又由，‎ 得，‎ 则，‎ 或．‎ 的值为或．‎ ‎【点睛】本题考查了任意角的三角函数的定义，考查了和角差角的余弦公式的应用，是中档题．‎ ‎18.已知向量。‎ ‎（Ⅰ）求向量的模的最大值；‎ ‎（Ⅱ）设，且，若是三角形的一个内角，求。‎ ‎【答案】（Ⅰ） （Ⅱ）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（Ⅰ）利用向量的坐标运算、数量积的性质、余弦函数的单调性有界性即可得出；（Ⅱ）利用向量的坐标运算、数量积的运算、两角和差的正弦公式即可得解．‎ ‎【详解】（Ⅰ），．‎ ‎，，‎ 当时取等号．‎ 向量的模的最大值是2．‎ ‎（Ⅱ），．‎ 又．‎ ‎，‎ 化为，‎ ‎，即．‎ 因为，所以，所以.‎ ‎【点睛】本题考查了向量的坐标运算、数量积的性质、余弦函数的单调性有界性、两角和差的正弦公式等基础知识与基本技能方法，考查了转化方法和计算能力，属于中档题．‎ ‎19.已知函数.‎ ‎（Ⅰ）求曲线在点处的切线的纵截距；‎ ‎（Ⅱ）求函数在区间上的值域。‎ ‎【答案】（Ⅰ） （Ⅱ）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（Ⅰ）先对函数求导，再求切线的斜率，即得切线的纵截距；（Ⅱ）先通过二次求导得到函数在区间的单调性，再求其值域得解.‎ ‎【详解】（Ⅰ）由题得，‎ 所以切线的斜率，，‎ 所以切线的方程为，‎ 令x=0，得 所以切线纵截距.‎ ‎（Ⅱ）令，‎ 所以，‎ 所以函数g(x)在上单调递减，‎ 所以，‎ 所以，‎ 所以函数f(x)在在上单调递减，‎ 所以，‎ 所以函数在区间上的值域为.‎ ‎【点睛】本题主要考查对函数求导和导数几何意义，考查利用导数求函数的最值，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.‎ ‎20.已知函数在 上单调递减，且满足.‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）将的图象向左平移个单位后得到的图象，求的解析式.‎ ‎【答案】(1)；(2).‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）利用辅助角公式把原函数化为，再利用对称轴为得到或，最后根据在上为减函数舎去.（2）利用左加右减求解的解析式.‎ 解析：（1）.‎ ‎，则图象关于对称，在时，，，而，或，‎ 时，在上单减，符合题意.‎ 可取.‎ 在时，在上单增，不合题意，舍去.‎ 因此，.‎ ‎（2）由（1）可知，将向左平移个单位得到，.‎ ‎21.已知函数.‎ ‎（Ⅰ）当时，求单调区间；‎ ‎（Ⅱ）若函数在区间上的最大值为，求的值.‎ ‎【答案】（Ⅰ） 单增区间，单减区间（Ⅱ）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（Ⅰ）在定义域内对函数求导，再根据导数求出单调区间．（Ⅱ）在定义域内对函数求导，对进行分类讨论并判断其单调性，根据在区间，上的单调性求其最大值，并判断其最大值是否为，若是就可求出相应的最大值．‎ ‎【详解】（Ⅰ）当时，，‎ ‎，‎ 又，所以当时，，在区间上为增函数，‎ 当时，，在区间上为减函数，‎ 即在区间上为增函数，在区间上为减函数．‎ ‎（Ⅱ），‎ ‎①若，，则，在区间，上恒成立，‎ 在区间，上为增函数，，‎ ‎，舍去；‎ ‎②当时，‎ ‎，，，，在区间，上为增函数，‎ ‎，，舍去；‎ ‎③若，当时，，在区间上为增函数，‎ 当时，，在区间上为减函数 ‎，．‎ 综上．‎ ‎【点睛】本题主要考查利用导数求函数的单调区间和最值，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.‎ ‎22.在极坐标系中，曲线的极坐标方程为，以极点为坐标原点，极轴为轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线的参数方程为（为参数）.‎ ‎（Ⅰ）求曲线的直角坐标方程以及直线的普通方程；‎ ‎（Ⅱ）若为曲线上的动点，求点到直线的距离的最大值.‎ ‎【答案】（Ⅰ） （Ⅱ）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（Ⅰ）先利用极坐标公式求出曲线C的直角坐标方程，再把直线l的参数方程化成普通方程；（Ⅱ）设点P,再求出距离的表达式求出其最大值.‎ ‎【详解】（Ⅰ）由题得，‎ 所以曲线C的直角坐标方程为 消去直线的参数方程中的t得，‎ 所以直线l的普通方程为.‎ ‎（Ⅱ）设点P,‎ 所以点P到直线l的距离为，‎ 所以 所以 所以时，.‎ 所以点到直线的距离的最大值为.‎ ‎【点睛】本题主要考查极坐标方程、参数方程和直角坐标方程的互化，考查圆锥曲线参数方程的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理计算能力.‎ ‎23.已知、、均为正实数.‎ ‎（Ⅰ）若，求证：‎ ‎（Ⅱ）若，求证：‎ ‎【答案】(Ⅰ)证明见解析；(Ⅱ)证明见解析.‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（Ⅰ）先证明，再证明，从而可得结果；（Ⅱ）由，，∴， ∴.‎ 试题解析：（Ⅰ）∵，三式相加可得 ‎ ‎∴,‎ ‎.‎ 又均为正整数，∴成立． ‎ ‎（Ⅱ）：，，∴， ‎ ‎∴‎ ‎,‎ 当且仅当，即时，“=”成立.‎ ‎ ‎