【数学】贵州省贵阳市第一中学2020届高三第七次月考（文）

【数学】贵州省贵阳市第一中学2020届高三第七次月考（文）

参考答案 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）‎ 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ 答案 B C B A D B C A D A C C ‎【解析】‎ ‎1．解不等式，得，所以因此 ‎，故选B．‎ ‎2．因为所以，故选C．‎ ‎3．细沙漏入下部后，圆锥形沙堆的底面半径为，设高为，则，，故选B．‎ ‎4．某小组共5人，选2人参加比赛，共有 ‎10种选拔方法，其中，选一男一女的方法有 ‎6种，故，故选A．‎ ‎5．，故选D．‎ ‎6．‎ ‎，故选B．‎ ‎7．由可知为奇函数，所以图象关于原点对称，排除A， B；令可知，可知图象与轴只有一个交点，故选C．‎ 图1‎ ‎8．由三视图还原原几何体如图1，由图可知，该几何体是组合体，上半部分是半径为2的球的四分之一，下半部分是棱长为4的正方体，则该几何体的体积为，故选A．‎ ‎9．的图象向左平移个单位后得到 ‎，由于为偶函数，所以，由于，所以，所以．当时，，所以，通过图象可知方程有两个不同的实根时，，故选D．‎ 图2‎ ‎10．如图2，因为，所以取为的中点，则，又因为，在中，有，所以，故选A．‎ ‎11．通过观察，平面平面，所以平面，①正确；设棱长为，用向量法，则，②错误（传统解法：取的四等分靠近的点，连接因为，所以是与所成的角.设棱长为2，则由余弦定理得，所以②错误）；因为故四点共面，③正确；体对角线平面，垂足三等分体对角线，④正确；所有正确的是①③④，故选C．‎ 图3‎ ‎12．如图3，由的函数图象：令，得，即有或，要使 有个零点，则应有一个方程有个解，一个方程有个 解，由图象应有，中有一个为，有一个小于，故选C．‎ 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）‎ 题号 ‎13‎ ‎14‎ ‎15‎ ‎16‎ 答案 或 或 ‎【解析】‎ ‎13．由题设得，因为，所以，解得 图4‎ ‎14．易知的斜率存在，设直线的方程为，如图4，过圆心作，易得当位于的延长线上时距离最大，即，所以，由点到直线的距离公式可得，所以，直线的方程为或 ‎15．由得，，所以，由余弦定理得，所以 ‎16．如图5，，为的中点，，即 ‎，直线的倾斜角为或 图5‎ 三、解答题（共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）‎ ‎17．（本小题满分12分）‎ 解：（1）茎叶图如图6所示： ‎ 图6‎ ‎ ……………………………………（4分）‎ ‎（其中左右两边各分，如有一边对一部分给分）‎ 城市中学的平均分高于县城中学的平均分，…………………………………………（5分）‎ 城市中学学生成绩比较集中，县城中学学生成绩比较分散. …………………………（6分）‎ ‎（2）完善的表格如下：‎ 学生成绩 良好 一般 合计 城市中学学生 ‎15‎ 县城中学学生 ‎15‎ 合计 ‎13‎ ‎17‎ ‎30‎ ‎………………………………………………………（8分）‎ ‎ …………………………（11分）‎ 有99%以上的把握认为该城市中学和县城中学的学生在了解垃圾分类知识上有差异.‎ ‎………………………………………………………………（12分）‎ ‎18．（本小题满分12分）‎ ‎（1）证明：如图7，连接，‎ 为的中点，故且，‎ 故为平行四边形，………………………………（2分）‎ ‎，易知为等边三角形，为的中点，‎ 图7‎ 故，即. ………………………………………（4分）‎ 又，且，‎ 故 又，故平面平面 ……………（6分）‎ ‎（2）解：如图8，取的中点，连接，，‎ ‎，，‎ 图8‎ ‎， …………………………（8分）‎ 由（1）知，故，，‎ ‎……………………………………………………………………………………（9分）‎ 设点到平面的距离为 故，即，故………（12分）‎ ‎19．（本小题满分12分）‎ 解：（1）当时，有解得………………………（1分）‎ 当时，由得……………………（2分）‎ 所以即……………………（3分）‎ 故………………………（4分）‎ ‎（2）由（1）得 ‎ 即 ‎ 又……………………………………（5分）‎ 数列是以1为首项，为公差的等差数列， ………………（6分）‎ 故又……………………………（7分）‎ 所以……………………（8分）‎ ‎…………………………………………（9分）‎ ‎………（10分）‎ ‎………………………（12分）‎ ‎20．（本小题满分12分）‎ 解：（1）‎ 令，得或．……………………（1分）‎ 若，则当时，；‎ 当时，，‎ 故在，上单调递增，在上单调递减，‎ 此时的极大值点为；……………（3分）‎ 若，则当时，；‎ 当时，，‎ 故在， 上单调递增，在上单调递减，‎ 此时的极大值点为；…………………………（5分）‎ 若，在上单调递增，无极值．………（6分）‎ ‎（2）设过点的直线与曲线相切于点，‎ 则，且切线斜率，‎ 所以切线方程为，‎ 因此，整理得，………（7分）‎ 构造函数，‎ 则“若过点存在条直线与曲线相切”等价于“有三个不同的零点”，，与的关系如下表：…………………………（8分）‎ ‎+‎ ‎0‎ ‎−‎ ‎0‎ ‎+‎ 极大值 极小值 ‎……………………………………………………………………………………（10分）‎ 所以的极大值为，极小值为，要使有三个解，‎ 即且，解得．……………………（11分）‎ 因此，当过点存在条直线与曲线相切时，的取值范围是．‎ ‎……………………………………………………………………………………（12分）‎ ‎21．（本小题满分12分）‎ 解：（1）设过点的直线为，‎ 直线代入椭圆得，‎ ‎，‎ 过点与椭圆相切的直线方程为 ……………………………（5分）‎ ‎（2）焦点设直线 直线与椭圆联立消去得 点到直线的距离为，‎ 以为直径的圆过点，得 ‎，‎ 令，，‎ 求导 在上递增， …………………………（12分）‎ ‎22．（本小题满分10分）【选修4−4：坐标系与参数方程】‎ 解：（1）由题意得曲线的普通方程为 ‎………………（1分）‎ 由伸缩变换得……………………………………………………（2分）‎ 代入得………………………………………………………（3分）‎ 的普通方程为…………………………………（4分）‎ ‎（2）直线的极坐标方程为 直线的普通方程为 ………………………（5分）‎ 设点的坐标为 …………………………………………（6分）‎ 则点到直线的距离 ‎………………………………………………………………（7分）‎ ‎ ………………………………………………（8分）‎ 当时，……………………………（9分）‎ 所以点到直线距离的最大值为 ‎…………………………………………………………………（10分）‎ ‎23．（本小题满分10分）【选修4−5：不等式选讲】‎ 解：（1）当时， ……………………（1分）‎ 等价于解得……………………………（2分）‎ 或解得 …………………………（3分）‎ 或解得 ………………………………………………（4分）‎ 的解集为…………………………………………（5分）‎ ‎（2）若对恒成立，‎ 有……………………………………………（6分）‎ ‎…………………………………（7分）‎ ‎……………………………………（8分）‎ ‎ ……………………………………………………（9分）‎ ‎ ……………………………………（10分）‎