广东高考文科数学试题及详细答案

广东高考文科数学试题及详细答案

2014 年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷） 数 学（文科） 参考公式： 锥体的体积公式 1 3V Sh ，其中 S 为锥体的底面积， h 为锥体的高． 一组数据 1 2, , , nx x x 的方差 2 2 2 2 1 2 1 [( ) ( ) ( ) ]ns x x x x x xn        ， 其中 x 表示这组数据的平均数． 一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，满分 50 分，在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的． 1．已知集合 {2,3,4}M  ， {0,2,3,5}N  ，则 M N  A．{3,5} B．{3,4} C．{2,3} D．{0,2} 2．已知复数 z 满足 (3 4 ) 25i z  ，则 z  A．3 4i B．3 4i C． 3 4i  D． 3 4i  3．已知向量 (1,2)a ， (3,1)b ，则  b a A． (4,3) B． (2,0) C． (2, 1) D． ( 2,1) 4．若变量 ,x y 满足约束条件 2 8 0 4 0 3 x y x y    ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ，则 2z x y  的最大值等于 A．11 B．10 C．8 D．7 5．下列函数为奇函数的是 A． 2 2xx  B． 2cos 1x  C． 3 sinx x D． 12 2 x x 6．为了解 1000 名学生的学习情况，采用系统抽样的方法，从中抽取容量为 40 的样本，则分段的 间隔为 A．20 B．25 C．40 D．50 7．在 ABC 中，角 CBA ,, 所对应的边分别为 cba ,, ，则“ a b≤ ”是“sin sinA B≤ ”的 A．充分必要条件 B．充分非必要条件 C．必要非充分条件 D．非充分非必要条件 8．若实数 k 满足 0 5k  ，则曲线 2 2 116 5 x y k   与曲线 2 2 116 5 x y k   的 A．焦距相等 B．离心率相等 C．虚半轴长相等 D．实半轴长相等 9．若空间中四条两两不同的直线 1 2 3 4, , ,l l l l ，满足 1 2l l ， 2 3//l l ， 3 4l l ，则下列结论一定正确 的是 A． 1 4l l B． 1 4//l l C． 1l 与 4l 既不垂直也不平行 D． 1l 与 4l 的位置关系不确定 10．对任意复数 1 2,  ，定义 1 2 1 2*    ，其中 2 是 2 的共轭复数，对任意复数 1 2 3, ,z z z 有 如下四个命题： 图 1 A F E D C B ① 1 2 3 1 3 2 3( ) ( ) ( )* * *z z z z z z z   ； ② 1 2 3 1 2 1 3( ) ( ) ( )* * *z z z z z z z   ； ③ 1 2 3 1 2 3( ) ( )* * * *z z z z z z ； ④ 1 2 2 1* *z z z z ． 则真命题的个数是 A．4 B．3 C．2 D．1 二、填空题：本大题共 5 小题，考生作答 4 小题，每小题 5 分，满分 20 分． （一）必做题（11 ~ 13 题） 11．曲线 5 3xy e   在点 (0, 2) 处的切线方程为______________． 12．从字母 , , , ,a b c d e 中任取两个不同字母，则取到字母 a 的概率为______________． 13．等比数列 na 的各项均为正数，且 1 5 4a a  ，则 2 1 2 2 2 3 2 4 2 5log +log +log +log +log =a a a a a ________． （二）选做题（14 ~ 15 题，考生只能从中选做一题） 14．（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，曲线 1C 与 2C 的方程分别为 22 cos sin   与 cos 1   ．以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为 x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系， 则曲线 1C 与 2C 交点的直角坐标为 ． 15．（几何证明选讲选做题）如图 1，在平行四边形 ABCD 中， 点 E 在 AB 上且 2EB AE ， AC 与 DE 交于点 F ， 则 CDF AEF   的周长 的周长 ＝ ． 三、解答题：本大题共 6 小题，满分 80 分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．（本小题满分 12 分） 已知函数 ( ) sin( )3f x A x   ， xR ，且 5 3 2( )12 2f   ． （1）求 A 的值； （2）若 ( ) ( ) 3f f    ， )2,0(   ，求 ( )6f   ． 17．（本小题满分 13 分） 某车间 20 名工人年龄数据如下表： 年龄（岁） 工人数（人） 19 1 28 3 29 3 30 5 31 4 32 3 40 1 合计 20 （1）求这 20 名工人年龄的众数与极差； 图 3 P A B CE D F M P A B CD 图 2 （2）以十位数为茎，个位数为叶，作出这 20 名工人年龄的茎叶图； （3）求这 20 名工人年龄的方差． 18．（本小题满分 13 分） 如图 2，四边形 ABCD 为矩形， PD  平面 ABCD ， 1AB  ， 2BC PC  ．作如图 3 折 叠：折痕 EF ∥ DC ，其中点 E ， F 分别在线段 PD ， PC 上，沿 EF 折叠后点 P 叠在线段 AD 上 的点记为 M ，并且 MF CF ． （1）证明：CF  平面 MDF ； （2）求三棱锥 M CDE 的体 积． 19．（本小题满分 14 分） 设各项均为正数的数列 na 的前 n 项和为 nS ，且 nS 满足 2 2 2( 3) 3( ) 0n nS n n S n n      ， *nN ． （1）求 1a 的值； （2）求数列 na 的通项公式； （3）证明：对一切正整数 n ，有 1 1 2 2 1 1 1 1 ( 1) ( 1) ( 1) 3n na a a a a a       ． 20．（本小题满分 14 分） 已知椭圆 2 2 2 2: 1x yC a b   ( 0)a b  的一个焦点为 ( 5,0) ，离心率为 5 3 ． （1）求椭圆C 的标准方程； （2）若动点 0 0( , )P x y 为椭圆C 外一点，且点 P 到椭圆C 的两条切线相互垂直，求点 P 的轨 迹方程． 21．（本小题满分 14 分） 已知函数 3 21( ) 13f x x x ax    ( )aR ． （1）求函数 ( )f x 的单调区间； （2）当 0a  时，试讨论是否存在 0 1 1(0, ) ( ,1)2 2x   ，使得 0 1( ) ( )2f x f ． 2014 年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷） 数 学（文科）参考答案 一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，满分 50 分． 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C A C B D B A A D C 二、填空题：本大题共 5 小题，考生作答 4 小题，每小题 5 分，满分 20 分． 11．5 2 0x y   12． 2 5 13．5 14． (1,2) 15．3 2．A 解析： 25 25(3 4 ) 25(3 4 )= 3 4 .3 4 (3 4 )(3 4 ) 25 i iz ii i i        4．B 解析：作出可行域(为一个五边形及其内部区域),易知在点(4,2)处目标函数取到最大值 10. 1 1 1( ) 2 , ( ) , ( )5 D 2 2 ( ),2 2 2 ( ) . x x x x x xf x f x R f x f x f x            解析：设 则 的定义域为 且 　　　　　 为奇函数 ． 1000 25.4B 06 解析：分段的间隔为． , , ,sin ,sin , sin sin .sin sin7 A a b a b A B a b A BA B     解析：由正弦定理知 都为正数． 0 5, 5 0,16 0, 16 (5 ) 21 (16 ) 5 8 , A k k k k k k               解析： 从而两曲线均为双曲线, 　　又 故两双曲 ． 线的焦距相等. 1 2 3 1 2 3 1 3 2 3 1 3 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 1 3 1 2 1 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 10 C ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ; ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ; ( ) , ( ) ( ) ( ), z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z               ． ① * = = = * + * ,故①是真命题 　　　　　② * * + * ,②对 　　 ③左边= * = 右边 * 解析： 左 1 2 1 2 2 1 2 1 , ; , , ,z z z z z z z z     边 右边 ③错 　　 ④左边= * 右边= * 左边 右边 故④不是真命题. 　　 综上,只有①②是真命题. ' ' 05 , 5, 2 5 , 5 0.1 21 x xy e y y x x y           解析： 所求切线方程为 即． 1 4 2 5 4 2 .1 52 01 CP C   解析：． 2 1 2 2 2 3 2 4 2 5 2 5 2 4 2 3 2 2 2 1 2 1 5 2 log log log log log , log log log log log , 2 5log ( ) 5log 4 10, 13 5. S a a a a a S a a a a a S a a S                 解析：设 　 则 　　 　　　 ． 2 2 2 1 2 1 2 2 cos sin 2 cos = sin , 2 , 1, , (1,2). 14 C y x C x C C           解析：由 得（ ） 故 的直角坐标方程为: 　　 的直角坐标方程为: 交点的直角坐标为 ． ,5 3.1 CDF CD EB AECDF AEF AEF AE AE        的周长解析：显然 的周长． 三、解答题：本大题共 6 小题，满分 80 分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．（12 分）解：（1） 5 5 3 3 2( ) sin( ) sin12 12 3 4 2f A A       ，解得 3.A  （2）由（1）得 ( ) 3sin( )3f x x   ， 所以 ( ) ( ) 3sin( ) 3sin( ) 3sin( ) 3sin( )3 3 3 3f f                    3(sin cos cos sin ) 3(sin cos cos sin )3 3 3 3           6sin cos 3sin 33     . 所以 3sin 3   ，又 (0, )2   ，所以 2 6cos 1 sin 3     . 所以 6( ) 3sin( ) 3sin( ) 3cos 3 66 6 3 2 3f                 . 17．（13 分）解：（1）这 20 名工人年龄的众数为 30，极差为 40 19  21 （2）茎叶图如图所示： （3）年龄的平均数为 (19 28 3 29 3 30 5 31 4 32 3 40) 3020x             所以这 20 名工人年龄的方差为 2 2 2 2 2 2 2 21 (19 30) 3 (28 30) 3 (29 30) 5 (30 30) 4 (31 30) 3 (32 30) (40 30)20s                      1 252(121 12 3 0 4 12 100) 12.620 20          18.（13 分）解：（1）证明：因为 PD  平面 ABCD ， AD  平面 ABCD ，所以 PD AD . 因为在矩形 ABCD 中CD AD ，又CD PD D ，所以 AD  平面 PCD . 因为CF  平面 PCD ，所以 AD CF . 因为 MF CF ， MF AD M ，所以CF  平面 ADF . （2）因为CF  平面 ADF ， DF  平面 ADF ，所以CF DF . 1 9 2 8 8 8 9 9 9 3 0 0 0 0 0 1 1 1 1 2 2 2 4 0 因为 1AB CD  ， 2BC PC  ， 所以 60PCD   ， 30CDF   ，所以 1 1 1 2 4 2CF CD PC   ， 3PD  . 因为 EF ∥ DC ，所以 1 3 4 4DE PD  ， 3 3 3 4 4PE PD  . 所以 3 3 4EM PE  ， 2 2 6 2MD ME DE   ， 1 3 2 8CDES CD DE    ， 因为 MD  平面 CDE ，所以三棱锥 M CDE 的体积 1 1 3 6 2 3 3 8 2 16M CDE CDEV S MD       . 19．（ 14 分）解：（1）由 2 2 2( 3) 3( ) 0n nS n n S n n      ，得 2( 3) ( ) 0n nS S n n      . 因为 na 是正项数列，所以 0na  ， 0nS  ，所以 2 nS n n  . 当 1n  时， 1 1 2a S  . （2）当 2n≥ 时， 2 2 1 [( 1) ( 1)] 2n n na S S n n n n n         ； 当 1n  时， 1 2a  ，满足上式， 所以数列 na 的通项公式为 2na n ， *nN （3）因为 1 1 1 1 1 1( )( 1) 2 (2 1) (2 1)(2 1) 2 2 1 2 1n na a n n n n n n          所以 1 1 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1( ) ( ) ( )( 1) ( 1) ( 1) 2 3 2 3 5 2 5 7 2 2 1 2 1n na a a a a a n n                  1 1 1 1 1 1 1( )6 2 3 2 1 3 4 2 3n n        20．（ 14 分）解：（1）依题意得 5c  ， 5 3 ce a   ，所以 3a  ， 2 2 2 4b a c   ， 所以椭圆C 的标准方程为 2 2 19 4 x y  . （2）当过点 P 的两条切线 1 2,l l 的斜率均存在时，设 1 2,l l 的斜率分别为 1 2,k k ， 设切线方程为 0 0( )y y k x x   ， 联立 2 2 0 0 19 4 ( ) x y y y k x x        ，得 2 2 2 0 0 0 0(4 9 ) 18 ( ) 9( ) 36 0k x k y kx x y kx       ， 所以 2 2 2 2 0 0 0 0(18 ) ( ) 4(4 9 )[9( ) 36] 0k y kx k y kx        ， 整理得 2 2 0 0( ) 4 9y kx k   ，即 2 2 2 0 0 0 0( 9) 2 4 0x k x y k y     ， 因为 1 2l l ，所以 2 0 1 2 2 0 4 19 yk k x    ，整理得 2 2 0 0 13x y  ； 当过点 P 的两条切线 1 2,l l 一条斜率不存在，一条斜率为 0 时， P 为 (3, 2) 或 ( 3, 2)  ，均满 足 2 2 0 0 13x y  . 综上所述，点 P 的轨迹方程为 2 2 13x y  . 21．（ 14 分）解：（1） 2( ) 2f x x x a    ， xR . 令 2 2 0x x a   ， 4 4a   . ① 当 1a≥ 时， 0 ≤ ， ( ) 0f x ≥ ，所以 ( )f x 在 ( , )  上是增函数； ② 当 1a  时， 0  ，方程 2 2 0x x a   的两个根为 1 1 1x a    ， 2 1 1x a    . 所以 ( ), ( )f x f x 随 x 的变化情况如下表： x 1( ), x 1x 1 2( , )x x 2x 2( , )x  ( )f x  0  0  ( )f x ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗ 所以 ( )f x 在 1( ), x 和 2( , )x  上是增函数，在 1 2( , )x x 上是减函数. 综上所述，当 1a≥ 时， ( )f x 的单调递增区间为 ( , )  ，没有单调递减区间； 当 1a  时， ( )f x 的单调递增区间为 1( ), x 和 2( , )x  ，单调递减区间为 1 2( , )x x . （2）当 0a  时，假设存在 0 1 1(0, ) ( ,1)2 2x   ，使得 0 1( ) ( )2f x f ． 令 3 2 3 21 1 1 1 1 1 1 7( ) ( ) ( ) 1 ( 1)2 3 24 4 2 3 2 24g x f x f x x ax a x x ax a               ， 原问题转化为方程 ( ) 0g x  在 1 1(0, ) ( ,1)2 2 上有解. 因为 1( ) ( ) ( ) ( )2g x f x f f x      ，所以函数 ( )y g x 与 ( )y f x 的单调性相同. 由（1）得当 0a  时， ( )g x 在 1( ), x 和 2( , )x  上是增函数，在 1 2( , )x x 上是减函数， 其中 1 1 1 2x a      ， 2 1 1 0x a     ， 1 7(0) 2 24g a   ， 1( ) 02g  ， 1 25(1) 2 24g a  . ① 当 2 10 2x  时，即 10 1 1 2a     ，解得 5 04 a   ， ( )g x 在 2(0, )x 上是减函数，在 2 1( , )2x 和 1( ,1)2 上是增函数，且 1( ) 02g  ， 要使 ( ) 0g x  在 1 1(0, ) ( ,1)2 2 上有解，只需 (0) 0g  ，解得 7 12a   ，所以 5 7 4 12a    ； ② 当 2 1 2x  时，即 5 4a   ， ( )g x 在(0, 1)2 上是减函数，在 1( ,1)2 上是增函数，且 1( ) 02g  ，所以 ( ) 0g x  在 1 1(0, ) ( ,1)2 2 上无解； ③ 当 2 1 12 x  时，即 1 1 1 12 a     ，解得 53 4a    ， ( )g x 在 (0, 1)2 和 2(1 , )2 x 上是减函数，在 2( ,1)x 上是增函数，且 1( ) 02g  ， 要使 ( ) 0g x  在 1 1(0, ) ( ,1)2 2 上有解，只需 (1) 0g  ，解得 25 12a   ，所以 25 5 12 4a    ； ④ 当 2 1x ≥ 时，即 1 1 1a   ≥ ，解得 3a ≤ ， ( )g x 在 (0, 1)2 和 (1 ,1)2 上是减函数，且 1( ) 02g  ，所以 ( ) 0g x  在 1 1(0, ) ( ,1)2 2 上无解. 综上所述，当 25 5 5 7( , ) ( , )12 4 4 12a     时，存在 0 1 1(0, ) ( ,1)2 2x   ，使得 0 1( ) ( )2f x f ．