人教版八年级数学上册第十四章小结与复习PPT

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小结与复习 第十四章 整式的乘法与因式分解 人教版 · 八年级上册 要点梳理 一、幂的乘法运算 1. 同底数幂的乘法：底数 ________, 指数 ______. a m a n · =_______ a m+n 不变 相加 2. 幂的乘方：底数 ________, 指数 ______. 不变 相乘 a m ( ) n = ____________ a mn 3. 积的乘方：积的每一个因式分别 _____ ，再把所得的幂 _____. 乘方 相乘 ab n ( ) = ____________ a n b n (1) 将 _____________ 相乘作为积的系数； 二、整式的乘法 1. 单项式乘单项式： 单项式的系数 (2) 相同字母的因式，利用 _________ 的乘法 , 作为积的一个因式； 同底数幂 (3) 单独出现的字母，连同它的 ______ ，作为积的一个因式； 指数 注： 单项式乘单项式，积为 ________. 单项式 (1) 单项式分别 ______ 多项式的每一项； 2. 单项式乘多项式： (2) 将所得的积 ________. 注： 单项式乘多项式，积为多项式，项数与原多项式的项数 ________. 乘以 相加 相同 3. 多项式乘多项式： 先用一个多项式的每一项分别乘另一个多项式的 ______ ，再把所得的积 ________. 每一项 相加 实质是转化为 单项式乘单项式 的运算 三、整式的除法 同底数幂相除，底数 _______, 指数 _________. 1. 同底数幂的除法： a m a n ÷ =_______ a m - n 不变 相减 任何不等于 0 的数的 0 次幂都等于 ________. 1 1 =a m a m ÷ =_______ a 0 2. 单项式除以单项式： 单项式相除 , 把 _______ 、 ____________ 分别相除后，作为商的因式；对于只在被除式里含有的字母，则连它的 _______ 一起作为商的一个因式 . 系数 同底数的幂 指数 3. 多项式除以单项式： 多项式除以单项式，就是用多项式的 除以这个 ，再把所得的商 . 单项式 每一项 相加 四、乘法公式 1. 平方差公式 两数 ______ 与这两数 ______ 的积 , 等于 这两数的 ______ . 和 差 平方差 ( a + b )( a - b ) =_________ a 2 b 2 - 2. 完全平方公式 两个数的和（或差）的平方，等于它们的 _______ ，加上（或减去）它们的 ______ 的 2 倍 . 平方和 积 ( a + b ) 2 =______________ a 2 b 2 2 ab + + 五、因式分解 把 一个 多项式化为 几个 ________ 的 ________ 的形式 , 像这样的式子变形叫做把这个多项式 因式分解 ，也叫做把这个多项式 分解因式 . 1. 因式分解的定定义 整式 乘积 2. 因式分解的方法 (1) 提公因式法 (2) 公式法 ①平方差公式： __________________ ②完全平方公式： _______________________ a 2 - b 2 =( a + b )( a - b ) a 2 ± 2 ab+b 2 =( a ± b ) 2 步骤： 1. 提公因式； 2. 套用公式； 3. 检查分解是否彻底； 考点讲练 考点一 幂的运算 例 1 下列计算正确的是 ( ) A ． ( a 2 ) 3 ＝ a 5 B ． 2 a － a ＝ 2 C ． (2 a ) 2 ＝ 4 a D ． a · a 3 ＝ a 4 D 例 2 计算： (2 a ) 3 ( b 3 ) 2 ÷4 a 3 b 4 . 解析：幂的混合运算中，先算乘方，再算乘除 . 解：原式 = 8 a 3 b 6 ÷4 a 3 b 4 =2 a 3-3 b 6-4 =2 b 2 . 幂的运算性质包括同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方及同底数幂的除法 . 这四种运算性质是整式乘除及因式分解的基础 . 其逆向运用可以使一些计算简便，从而培养一定的计算技巧，达到学以致用的目的 . 归纳总结 针对训练 1. 下列计算不正确的是（ ） A.2 a 3 ÷ a =2 a 2 B. (- a 3 ) 2 = a 6 C. a 4 · a 3 = a 7 D. a 2 · a 4 = a 8 2. 计算： 0.25 2015 × （ - 4 ） 2015 - 8 100 ×0.5 301 . D 解：原式 =[0.25 × （ - 4 ） ] 2015 - （ 2 3 ） 100 ×0.5 300 ×0.5 = - 1 - （ 2 ×0.5 ） 300 ×0.5 = - 1 - 0.5= - 1.5 ； 3.(1) 已知 3 m =6,9 n =2, 求 3 m+2n , 3 2 m -4 n 的值 . (2) 比较大小： 4 20 与 15 10 . (2) ∵ 4 20 = （ 4 2 ） 10 =16 10 ， ∵16 10 >15 10 , ∴4 20 >15 10 . 3 2 m -4 n =3 2 m ÷3 4 n =(3 m ) 2 ÷(3 2 n ) 2 =(3 m ) 2 ÷(9 n ) 2 =6 2 ÷2 2 =9. 解： (1) ∵ 3 m =6,9 n =2, ∴ 3 m+2n =3 m · 3 2 n =3 m · (3 2 ) n =3 m · 9 n = 6 × 2 =12. 考点二 整式的运算 例 3 计算： [ x ( x 2 y 2 - xy )- y ( x 2 - x 3 y )] ÷3 x 2 y , 其中 x =1, y =3 . 解析：在计算整式的加、减、乘、除、乘方的运算中，一要注意运算顺序；二要熟练正确地运用运算法则 . 解：原式 = ( x 3 y 2 - x 2 y - x 2 y + x 3 y 2 ) ÷3 x 2 y =(2 x 3 y 2 -2 x 2 y ) ÷3 x 2 y 当 x =1, y =3 时， 原式 = 整式的乘除法主要包括单项式乘以单项式、单项式乘以多项式、多项式乘以多项式以及单项式除以单项式、多项式除以单项式，其中单项式乘以单项式是整式乘除的基础，必须熟练掌握它们的运算法则 . 整式的混合运算，要按照 先算乘方 ， 再算乘除 ， 最后算加减 的顺序进行，有括号的要算括号里的 . 归纳总结 针对训练 4. 一个长方形的面积是 a 2 -2 ab + a , 宽为 a , 则长方形的长为 ； 5. 已知多项式 2 x 3- 4 x 2 -1 除以一个多项式 A , 得商为 2 x ，余式为 x -1 , 则这个多项式是 . a -2 b +1 6. 计算： (1)( － 2xy 2 ) 2 ·3x 2 y·( － x 3 y 4 ) ． (2)x(x 2 ＋ 3) ＋ x 2 (x － 3) － 3x(x 2 － x － 1) (3)( － 2a 2 )·(3ab 2 － 5ab 3 ) ＋ 8a 3 b 2 ； (4)(2x ＋ 5y)(3x － 2y) － 2x(x － 3y) ； (5)[x(x 2 y 2 － xy) － y(x 2 － x 3 y)]÷x 2 y ； 解：（ 1 ）原式＝－ 12x 7 y 9 （ 2 ）原式＝－ x 3 ＋ 6x （ 3 ）原式＝ 2a 3 b 2 ＋ 10a 3 b 3 （ 4 ）原式＝ 4x 2 ＋ 17xy － 10y 2 （ 5 ）原式＝ 2xy － 2 考点三 乘法公式的运用 例 4 先化简再求值： [( x - y ) 2 +( x + y )( x - y )] ÷2 x , 其中 x =3, y =1.5 . 解析：运用平方差公式和完全平方公式，先计算括号内的，再计算整式的除法运算 . 原式 =3-1.5=1.5. 解：原式 = ( x 2 -2 xy + y 2 + x 2 - y 2 ) ÷2 x =(2 x 2 -2 xy ) ÷2 x = x-y . 当 x =3, y =1.5 时 ， 归纳总结 整式的乘法公式包括平方差公式和完全平方公式，在计算多项式的乘法时，对于符合这三个公式结构特征的式子，运用公式可减少运算量，提高解题速度 . 7 ．下列计算中，正确的是 ( ) A ． ( a ＋ b ) 2 ＝ a 2 － 2 ab ＋ b 2 B ． ( a － b ) 2 ＝ a 2 － b 2 C ． ( a ＋ b )( － a ＋ b ) ＝ b 2 － a 2 D ． ( a ＋ b )( － a － b ) ＝ a 2 － b 2 8 ． 已知 ( x ＋ m ) 2 ＝ x 2 ＋ nx ＋ 36 ，则 n 的值为 ( ) A ． ±6 B ． ±12 C ． ±18 D ． ±72 9 ．若 a ＋ b ＝ 5 ， ab ＝ 3 ，则 2 a 2 ＋ 2 b 2 ＝ ________ ． 针对训练 C B 38 10 ．计算： (1)( x ＋ 2 y )( x 2 － 4 y 2 )( x － 2 y ) ； (2)( a ＋ b － 3)( a － b ＋ 3) ； (3)(3 x － 2 y ) 2 (3 x ＋ 2 y ) 2 . 解： (1) 原式 = ( x ＋ 2 y ) ( x － 2 y ) ( x 2 － 4 y 2 ) (2) 原式 ＝ [ a ＋ ( b － 3)][( a － ( b- 3)] = ( x 2 － 4 y 2 ) 2 =x 4 － 8 x 2 y 2 ＋ 16 y 4 ； =a 2 － ( b － 3) 2 = a 2 － b 2 ＋ 6 b － 9. (3) 原式 ＝ [ (3 x － 2 y )(3 x ＋ 2 y )] 2 =(9 x 2 － 4 y 2 ) 2 =81 x 4 － 72 x 2 y 2 ＋ 16 y 4 11. 用简便方法计算 (1)200 2 － 400×199 ＋ 199 2 ； (2)999×1 001. 解： (1) 原式＝ (200 － 199) 2 =1; (2) 原式＝ (1000 － 1)(1000+1) ＝ 999999. ＝ 1000 2 － 1 考点四 因式分解及应用 例 5 下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是 ( ) A ． a ( x － y ) ＝ ax － ay B ． x 2 － 1 ＝ ( x ＋ 1)( x － 1) C ． ( x ＋ 1)( x ＋ 3) ＝ x 2 ＋ 4 x ＋ 3 D ． x 2 ＋ 2 x ＋ 1 ＝ x ( x ＋ 2) ＋ 1 B 点拨： (1) 多项式的因式分解的定义包含两个方面的条件，第一，等式的左边是一个多项式；其二，等式的右边要化成几个整式的乘积的形式，这里指等式的整个右边化成积的形式； (2) 判断过程要从左到右保持恒等变形 . 例 6 把多项式2 x 2 －8分解因式，结果正确的是( ) A．2( x 2 －8) B．2( x －2) 2 C．2( x ＋2)( x －2) D．2 x ( x － ) C 因式分解是把一个多项式化成几个 整式的积 的形式，它与整式乘法互为逆运算，因式分解时，一般要先提公因式，再用公式法分解，因式分解要求分解到每一个因式都不能再分解为止 . 归纳总结 针对训练 12. 分解因式： x 2 y 2 － 2 xy ＋ 1 的结果是 ________ ． 13. 已知 x － 2 y ＝－ 5 ， xy ＝－ 2 ，则 2 x 2 y － 4 xy 2 ＝ ________ ． 14. 已知 a － b ＝ 3 ，则 a ( a － 2 b ) ＋ b 2 的值为 ________ ． 15. 已知 x 2 － 2( m ＋ 3) x ＋ 9 是一个完全平方式，则 m ＝ ________ ． ( xy － 1) 2 20 9 － 6 或 0 16. 如图所示，在边长为 a 的正方形中剪去边长为 b 的小正方形，把剩下的部分拼成梯形，分别计算这两个图形的阴影部分的面积，验证公式是 ________ . a 2 - b 2 =( a + b )( a - b ). b a a a a b b b b b a - b 17 ．把下列各式因式分解： (1)2 m ( a － b ) － 3 n ( b － a ) ； (2)16 x 2 － 64 ； (3) － 4 a 2 ＋ 24 a － 36. 解： (1) 原式＝ ( a － b )(2 m ＋ 3 n ) ． (2) 原式＝ 16( x ＋ 2)( x － 2) (3) 原式＝－ 4( a － 3) 2 课堂小结 幂的运算性质 整式的乘法 整式的除法 互逆 运算 乘法公式 （平方差、完全平方公式） 特殊 形式 相反变形 因式分解 （提公因式、公式法） 相反变形