福建省泉州市泉港区第一中学2019-2020学年高二上学期期中考试 数学

福建省泉州市泉港区第一中学2019-2020学年高二上学期期中考试 数学

泉港一中 2021 届高二年（上）期中考试卷（数学） （范围：直线、圆、圆锥曲线） 一、选择题：（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个 答案中，只有一项是符合题目要求的） 1．直线 的倾斜角为 A． B． C． D． 2．过圆 的圆心，且斜率为 的直线方程为 A． B． C． D． 3．抛物线 的准线方程是 A． B． C． D． 4．焦点为 且与双曲线 有相同的渐近线的双曲线方程是 A． B． C． D． 5．已知点 （ ）到直线 的距离为 ，则 等于 A． B． C． D． 6．设 ，则直线 与圆 的位置关系为 A．相切 B．相交 C．相切或相交 D．相切或相离 7．两圆 与 的公共弦长 A． B． C． D． 8．已知双曲线 的左、右焦点分别为 ， ， 为双曲线右支上一点，且 的 中点 在以 为圆心， 为半径的圆上，则 A．6 B．4 C．2 D．1 9．已知 是椭圆 的左焦点， 为 上一点， ，则 的最小 值为 1 0x y+ − = 3 0x y+ + = 3 0x y− + = 3 0x y− − = 013 =++ yx 150° 120° 60° 30° 2 2( 1) ( 2) 4x y+ + − = 1 21 4y x= 1y = − 1x = − 1y = 1x = 0 6（ ，） 2 2 12 x y− = 2 2 124 12 x y− = 2 2 124 12 y x− = 2 2 112 24 y x− = 2 2 112 24 x y− = ( ,1)m 0m > 02: =+− yxl 1 m 2+1 2 1− 2 2− 2 0>m 0122 =+++ myx myx =+ 22 2 2 2 0x y x+ − = 2 2 4 0x y y+ − = 2 5 5 4 5 5 1 2 2 2 116 20 x y− = 1F 2F P 2PF M O 1OF 2PF = F 2 2 : 19 5 x yC + = P C 4(1, )3A PA PF+ A． B． C． D． 10．已知抛物线 ，以 为中点作抛物线的弦，则这条弦所在直线的方程为 A． B． C． D． 11．已知 是椭圆 的一个焦点，直线 与 交于 两点，则 的周长的取值范围为 A． 　　　　 B． 　　　　　C． 　　　　　D． 12．已知点 是抛物线 的对称轴与准线的交点，点 为抛物线 的焦点， 点 在抛物线 上．在 中，若 ，则 的最大值为 A． B． C． D． 二、填空题：（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分） 13．椭圆 的两个焦点与短轴一个端点构成的三角形的面积等于__________． 14．以双曲线 的右顶点为焦点的抛物线的标准方程为__________． 15．设直线 与圆 相交于 两点， ，则实数 的值是__________． 16．已知双曲线 的中心是坐标原点 ，以 的焦点 为圆心， 为半径的圆与 的一条 渐近线交于 两点．若劣弧 所对的圆心角等于 ，则 的离心率为__________． 三、解答题：（本大题共 6 小题，共 70 分，应写出证明过程或演算步骤） 17．（本小题 10 分） 在平面直角坐标系 中，已知 的顶点坐标为 ． （1）求直线 的方程； （2）求边 上高 所在的直线方程． E 2: 2 ( 0)C y px p= > F C P C EFP∆ 1 0x my− − = 2 2( 1) ( 2) 4x y− + − = m 10 3 11 3 4 13 3 2 4y x= (1,1) 2 1 0x y− + = 2 3 0x y+ − = 2 1 0x y− − = 2 3 0x y+ − = F 2 2: 14 xE y+ = 0x my− = E ,A B ABF△ (2,4) [2,4) (6,8) [6,8) sin sinEFP t FEP∠ = ⋅ ∠ t 2 3 2 2 3 2 2 2: 2 4C x y+ = 2 2 116 9 x y− = ,A B 2 3AB = E O E F OF E ,O A OA 2π 3 E xOy ABC∆ (2,4), (1, 2), ( 2,3)A B C− − BC BC AD 18．（本小题 12 分） 已知椭圆 的焦点为 和 ，长轴长为 ，设直线 交椭圆 C 于 两点． （1）求椭圆 的标准方程； （2）求弦 的中点坐标及 ． 19．（本小题 12 分） 在直角坐标系 中，已知圆 ． （1）求圆 的圆心坐标，及半径； （2）从圆 外一点 向该圆引一条切线，切点为 ，且 ，求使得 取 得最小值时的点 的坐标． 20．（本小题 12 分） 已知抛物线 上的点 到焦点 的距离为 ． （1）求 ， 的值； （2）设 是抛物线上分别位于 轴两侧的两个动点，且 ，其中 为坐标 原点．求证：直线 过定点，并求出该定点的坐标． 21．（本小题 12 分） 椭圆 的左、右焦点分别为 ，离心率为 ，过焦点 且 C 1(0, 2)F − 2 (0,2)F 52 2y x= + ,A B C ,A B AB xOy 2 2: 4 8 16 0C x y x y+ + − + = C C P M PM PO= PM P 2 2 ( 0)y px p= > (3, )T t F 4 t p ,A B x 5OA OB⋅ =  O AB 2 2 2 2: 1( 0)x yC a ba b + = > > 1 2,F F 3 2 2F 垂直于 轴的直线被椭圆 截得的线段长为 ． （1）求椭圆 的方程； （2）已知点 ，直线 经过点 且与椭圆 相交于 两点（异于点 ），记直线 的斜率为 ，直线 的斜率为 ，证明： 为定值． 22．（本小题 12 分） 坐标平面 内， 轴的右侧动点 到点 的距离比它到 轴的距离大 ，记 的轨 迹为 ． （1）求 的标准方程； （2）曲线 的左右焦点分别是 ， ，过 的直线 分别与曲线 交于点 和 ，若 与 面积分别是 ，求 的取值范围． 2021 届高二年（上）期中考试卷（数学） 参考答案及评分标准 一、选择题：本大题考查基本概念和基本运算．每小题5分，满分60分． 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 A C A C B D B B D C D A 二、填空题：本大题考查基础知识和基本运算．每小题5分，满分20分． 13． 14． 15． 16． 11． 解析：记椭圆 的另一个焦点为 ，则四边形 为平行四边形（如 图 所 示 ）， 的 周 长 等 于 ， 又 ，故 的周长取值范围 ． 3 3 ± x C 1 C (0, 1)M − l (2,1)N C ,A B M MA 1k MB 2k 1 2+k k xOy y P (1,0) y 1 P 1C 1C 2 2 2 : 14 3 x yC + = 1F 2F 2F l 21,C C ,A B ,M N 1F AB∆ 1F MN∆ 1 2,S S 1 2 S S 2 2 16y x= 2 3 3 2 2: 14 xE y+ = 'F 'AFBF ABF△ ' 2+ + = + + = +AB AF BF AB AF AF AB a [2 ,2 )∈AB b a ABF△ 2 [2 2 ,4 ) [6,8)+ ∈ + =AB a a b a 12．解析：由题意得，准线 ， ， ， 过 作 ，垂足为 ，则由抛物线定义可知 ， 于是 ， 在 上为减函数， 当 取到最大值时（此时直线 与抛物线相切），计算可得 直线 的斜率为 ，从而 ， ． 16 ． 解 析 ： 如 图 ， 设 双 曲 线 的 方 程 为 ， 则 其 渐 近 线 方 程 为 ，由题意，可知 ，故 ，所以 ． 三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分 10 分） 解析：（1）由两点式直线方程得 的方程为 ， ．……………………………………………………………………………5 分 （说明：其他解法参照给分，答案对就给 5 分） （2） 直线的斜率为 ，…………………………………………………………………7 分 ∴ 直线斜率为 ．……………………………………………………………………8 分 : 2 pl x = − ,02 pE −   ,02 pF      P PH l⊥ H PH PF= sin sin EFP PE FEP PF µ ∠= =∠ 1 1 cos cos PE PH EPH PEF = = =∠ ∠ cosy x= (0, )π ∴ PEF∠ PE PE 1 45PEF∠ = ° max 1 2 2 2 µ∴ = = 2 2 2 2 1( 0, 0)x y a ba b − = > > by xa = ± 30AOx∠ =  3tan30 3 b a = = 2 2 2 31 3 c be a a = = + = BC 3 2 2 3 1 2 y x− +=− − + 5 3 1 0x y∴ + + = BC 5 3 − AD 3 5k = 由点斜式得 方程为 ， 整理得 ．…………………10 分 18．（本小题满分 12 分） 解析：（1）依题意，椭圆的焦点在 轴上，设其方程为 ．…………………1 分 已知 ，……………………………………………………………………………3 分 又 …………………………………………………………………………………4 分 得 ，…………………………………………………………………………………………5 分 故椭圆的标准方程 ．…………………………………………………………6 分 （2）设 ， 的中点为 消去 得 ．…………………………………………………8 分 故 ， ， ……………………………………………………………10 分 则 ， ， 弦 AB 的中点坐标为 ．………………………………………………………………11 分 ．…………………………………………………………………6 分 19．（本小题满分 12 分） 解析：（1）依题意， …………………………………………………2 分 故圆心坐标为 ……………………………………………………………………………4 分 半径 ．………………………………………………………………………………………6 分 （2）依题意，设 ，有 ，………………8 分 变形可得 ，则 在直线 上，……………………………9 分 分析可得，若 最小，只需过点 向 作垂线 ，…………………………11 分 与 的交点即为要求的点，联立可得 ， AD ( )34 25y x− = − 3 5 14 0x y− + = y 2 2 2 2 1y x a b + = 2, 5c a= = 2 2 2a b c= + 1b = 2 2: 15 yC x+ = 1 1 2 2( , ), ( , )A x y B x y ,A B 0 0( , )M x y    =+ += 55 2 22 yx xy y 0146 2 =−+ xx 3 2 21 −=+ xx 6 1 21 −=xx 3 1 0 −=x 3 5200 =+= xy )3 5,3 1(− 3 52 3 2 9 42 =+=AB 2 2( +2) ( 4) 4x y+ − = ( 2,4)− 2r = 0 0( , )P x y 2 2 2 2 0 0 0 0( 2) ( 4) 4x y x y+ + − − = + 0 02 4 0x y− + = P : 2 4 0l x y− + = PM O l ': 2l y x= − l 'l 2 4 0 2 x y y x − + =  = − 解可得 ，即 的坐标为 ．………………………………………………12 分 20．（本小题满分 12 分） 解析：（1）由抛物线的定义得， ，解得 ，………………………………3 分 所以抛物线的方程为 ，代入点 ，可解得 ．………………………6 分 （2）设直线 的方程为 ， ， ，………………………8 分 联立 ，消元得 ，则 ，………………………10 分 由 ，可得 ，所以 或 （舍去）， 即 ，解得 ，所以直线 的方程为 ， 所以直线 过定点 ．…………………………………………………………………12 分 21．（本小题满分 12 分） 解析：（1）将 x＝c 代入方程 中，由 a2﹣c2＝b2 可得 ， 所以弦长为 ．………………………………………………………………………………2 分 所以 ………………………………………………………………………………4 分 解得 ．………………………………………………………………………………………5 分 所以椭圆 C 的方程为： ．…………………………………………………………6 分 （2）若直线 l 的斜率不存在，则直线的方程为 x＝2， 直线与椭圆只有一个交点，不符合题意；…………………………………………………7 分 4 5 8 5 x y  = −  = P 4 8, )5 5 −（ 3 42 p+ = 2p = 2 4y x= (3, )T t 2 3t = ± AB x my n= + 2 1 1( , )4 yA y 2 2 2( , )4 yB y 2 4y x x my n  =  = + 2 4 4 0y my n− − = 1 2 4y y n= − 5OA OB⋅ =  2 1 2 1 2 ( ) 516 y y y y+ = 1 2 20y y = − 1 2 4y y = 4 20n− = − 5n = AB 5x my= + AB (5,0) 设直线 l 的斜率为 k，若 k＝0，则直线 l 与椭圆只有一个交点，不符合题意，故 k≠0； 所以直线 l 的方程为 y﹣1＝k（x﹣2），即 y＝kx﹣2k+1，．……………………………8 分 直线 l 的方程与椭圆的标准方程联立得： 消去 y 得（1+4k2）x2﹣8k（2k﹣1）x+16k2﹣16k＝0， 设 A（x1，y1），B（x2，y2）， 则 ，．………………………………………9 分 ∵ ∴k1+k2＝ + ＝ ＝ ＝ ＝2k﹣ ，……………………10 分 把 代入上式， 得 ．……………………………………………………12 分 22．（本小题满分 12 分） 解析：（1） 依题意， 轴的右侧动点 到点 的距离与到定直线的距离相等，…1 分 故 的方程为 ．………………………………………………………………………3 分 （2）依题意 ，……………………………………………………………………4 分 ①当 不垂直于 轴时，设 的方程是 ， 联立 ，得 ， ，…5 分 y P (1,0) 1C 2 4y x= 1 2 ABS S MN = l x l ( )( )1 0y k x k= − ≠ ( ) 2 1{ 4 y k x y x = − = ( )2 2 2 22 4 0k x k x k− + + = ( )22 4 1 2 4 4 0k k∆ = + − > 设 ， ，则 ， ；…6 分 联立 得： ， ，…………………………………7 分 设 ， ， 则 ， ，…………………………………………………8 分 ，……………………………………9 分 （或 ） 则 ，……………………………………………10 分 ②当 垂直于 轴时，易知 ， ，此时 ………11 分 综上有 的取值范围是 ．………………………………………………………12 分 （设 相应给分；用其他方法的相应给分） ( )1 1,A x y ( )2 2,B x y 2 1 2 2 2 4kx x k ++ = ( )2 1 2 2 4 1 2 k AB x x k + = + + = ( ) 2 2 1 3 4 12 0 y k x x y  = −  + − = ( )2 2 2 23 4 8 4 12 0k x k x k+ − + − = ( )4 2 2 64 4 3 4k k∆ = − + ( ) ( )2 24 12 144 1 0k k− = + > ( )3 3,M x y ( )4 4,N x y 2 3 4 2 8 3 4 kx x k + = + 2 3 4 2 4 12 3 4 kx x k −= + ( ) ( ) ( )2 22 3 4 3 4 2 12 1 1 4 3 4 k MN k x x x x k + = + + − =  + ( ) ( )2 3 4 2 12 1 2 3 4 k MN a e x x k + = − + = + 2 1 2 2 2 3 4 4 1 4 ,3 3 3 ABS k S MN k k +  = = = + ∈ +∞   l x 4AB = 22 3bMN a = = 1 2 4 3 ABS S MN = = 1 2 S S 4 ,3  +∞  : 1l x my= +