河北省邯郸市永年第二中学2019-2020学年高一下学期期中考试数学试题

河北省邯郸市永年第二中学2019-2020学年高一下学期期中考试数学试题

数学试题 ‎（时间：120分钟）‎ 一、选择题（共12题，每题5分，共60分）‎ ‎1.设集合，，则等于（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求得集合，再集合集合的并集概念与运算，即可求解.‎ ‎【详解】由题意，集合，‎ 又由集合，所以.‎ 故选：A.‎ ‎【点睛】本题主要考查了集合的并集的概念及运算，其中解答中正确求解集合，再结合集合的并集的概念与运算求解是解答的关键，着重考查了运算与求解能力.‎ ‎2.如果两条直线与没有公共点，那么与（ ）‎ A. 共面 B. 平行 C. 异面 D. 平行或异面 ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据空间中直线与直线的位置关系的定义即可判断出直线与的位置关系.‎ ‎【详解】如果两条直线没有公共点，则这两条直线平行或异面，则与平行或异面.‎ 故选：D.‎ ‎【点睛】本题考查空间中两直线位置关系的判断，属于基础题.‎ ‎3.在等比数列中，，，则与的等比中项为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据等比中项的性质进行求解即可.‎ ‎【详解】因为，，所以与的等比中项为.‎ 故选：D ‎【点睛】本题考查了等比中项的性质，考查了数学运算能力.‎ ‎4.若、、为实数，则下列命题正确的是（ ）‎ A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据不等式的基本性质进行判断.‎ ‎【详解】对于选项A，当a<0，b>0时，不成立 对于选项B，当时，不成立 对于选项C，当c=0时，不成立 故选：D ‎【点睛】本题主要考查不等关系与不等式，不等式的性质等基础知识，还考查了理解辨析的能力，属于基础题.‎ ‎5.若，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据得到，再利用二倍角公式得到答案.‎ ‎【详解】，‎ 故选：‎ ‎【点睛】本题考查了二倍角公式，意在考查学生的计算能力.‎ ‎6.已知高为3的棱柱的底面是边长为的正三角形（如图），则三棱锥的体积为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 换顶点再根据三棱锥的体积公式求解即可.‎ ‎【详解】.‎ 故选：D.‎ ‎【点睛】本题主要考查了三棱锥的体积公式,属于基础题型.‎ ‎7.函数最小值是（ ）‎ A. 1 B. ‎2 ‎C. 3 D. 4‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 将函数变形为,再利用基本不等式求解即可.‎ ‎【详解】,即,‎ 当且仅当即时取等号,‎ 所以函数最小值是4,‎ 故选:D.‎ ‎【点睛】本题考查利用基本不等式求最值,注意运用基本不等式时要遵循“一正二定三相等”原则.‎ ‎8.若用与球心距离为1的平面去截球，所得截面圆的面积为，则球的表面积为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设截面圆的半径为r，球的半径为R，根据题设条件，求得，结合球的截面圆的性质，求得，利用球的表面积公式，即可求解.‎ ‎【详解】作轴截面，如图所示，根据球的性质，可得，‎ 设截面圆的半径为r，球的半径为R，‎ 因为截面圆的面积为，可得，解得，‎ 又由，所以，‎ 所以球的表面积为.‎ 故选：A.‎ ‎【点睛】本题主要考查了球的表面积的计算，以及球的截面圆的性质的应用，着重考查运算与求解能力，属于基础题.‎ ‎9.等差数列的前项和为，若，是和的等比中项，则（ ）‎ A. B. C. 或 D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由已知可得，即，从而可求，由等差数列的前项和公式可求.‎ ‎【详解】解：由已知可得，， ∴ ∴或， 由等差数列的前项和公式可得，‎ 或. 故选：C.‎ ‎【点睛】本题主要考查了等比中项的定义，等差数列的通项公式及求和公式的应用，属于基础试题.‎ ‎10.已知不等式在时恒成立，则实数a的取值范围（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设函数，把不等式在上恒成立，转化为对于恒成立，结合函数的性质，即可求解.‎ ‎【详解】设函数，‎ 则不等式在上恒成立，即对于恒成立，‎ 当时，，显然成立；‎ 当时，要使在上恒成立，‎ 需函数开口向上，且与x轴没有交点，‎ 即，解得，‎ 综上知，实数a的取值范围为.‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】本题主要考查了不等式的恒成立问题，以及二次函数的图象与性质的应用，其中解答中把不等式的恒成立问题转化为利用二次函数的性质求解是解答的关键，着重考查转化思想，以及推理与计算能力.‎ ‎11.一船沿北偏西方向航行，正东有两个灯塔A,B, 海里，航行半小时后，看见一灯塔在船的南偏东，另一灯塔在船的南偏东，则这艘船的速度是每小时 （ ）‎ A. 5海里 B. 海里 C. 10海里 D. 海里 ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意作出对应的三角形，结合正弦定理及三角形的边角关系即可得到结论．‎ ‎【详解】‎ 如图所示,∠COA=135°,∠ACO=∠ACB=∠ABC=15°,∠OAC=30°，AB=10，∴AC=10.‎ ‎△AOC中,由正弦定理可得，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ ‎∴这艘船的速度是每小时海里，‎ 故选D.‎ ‎【点睛】正弦定理是解三角形的有力工具，其常见用法有以下三种：（1）知道两边和一边的对角，求另一边的对角（一定要注意讨论钝角与锐角）；（2）知道两角与一个角的对边，求另一个角的对边；（3）证明化简过程中边角互化；（4）求三角形外接圆半径.‎ ‎12.已知正项等比数列的前项和为，且，则的最小值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据是等比数列，由，即可得也是等比数列，结合基本不等式的性质即可求出的最小值.‎ ‎【详解】是等比数列，，即，‎ 也是等比数列，且，‎ ‎，‎ 可得：‎ ‎，当且仅当时取等号，‎ 的最小值为.‎ 故选：B ‎【点睛】本题考查了等比数列的前项和性质以及基本不等式求和的最小值，熟记等比数列的前项和性质是关键，属于基础题.‎ 二、填空题（共4题，每题5分，共20分）‎ ‎13.________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据余弦的二倍角公式求解即可.‎ ‎【详解】原式.‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本题主要考查了余弦的二倍角公式求函数值,属于基础题.‎ ‎14.不等式组，则表示区域的面积为______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 画出不等式组表示的区域即可 ‎【详解】画出不等式组表示的区域，如图，‎ 求得，，，所以.‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本题考查的是二元一次不等式组所表示的区域，较简单.‎ ‎15.如图，在一个圆柱内挖去一个圆锥，圆锥的顶点是圆柱底面的圆心，圆锥的底面是圆柱的另一个底面.若圆柱的母线长为6，底面半径为2，则该组合体的表面积等于_____. ‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求得挖去的圆锥的母线长,从而求得圆锥的侧面积，再求圆柱的侧面积和一个底面积，从而求得组合体的表面积.‎ ‎【详解】挖去的圆锥的母线长为，则圆锥的侧面积等于，‎ 圆柱的侧面积为，圆柱的一个底面面积为，‎ 所以组合体的表面积为.‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本题考查了圆锥，圆柱的侧面积的公式，组合体的表面积的理解，属于容易题.‎ ‎16.在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，则的最大角的大小是________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据，设，根据大角对大边，确定角C是最大角，再利用余弦定理求解.‎ ‎【详解】因为，‎ 所以设，‎ 所以角C是最大角，‎ 因为，所以，‎ 则最大角是.‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本题主要考查正弦定理，余弦定理的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.‎ 三、解答题（共70分）‎ ‎17.已知.‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）求的值.‎ ‎【答案】（1）；（2）．‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由已知利用同角三角函数基本关系式可求的值，进而利用两角和的正弦公式即可计算得解．‎ ‎（2）利用二倍角公式可求的值，进而利用两角差的余弦公式即可计算得解．‎ ‎【详解】（1）因为.则，‎ 所以．‎ ‎（2）由（1）得，，‎ 所以 ‎【点睛】本题主要考查了同角三角函数基本关系式，两角和的正弦公式，二倍角公式，两角差的余弦公式在三角函数化简求值中的应用，考查了转化思想.‎ ‎18.已知的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且.‎ ‎(1)若,求的值;‎ ‎(2)若,求b,c的值.‎ ‎【答案】(1);(2)‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)先求出，再利用正弦定理可得结果；‎ ‎(2)由求出，再利用余弦定理解三角形.‎ ‎【详解】(1)∵,且，‎ ‎∴，‎ 由正弦定理得，‎ ‎∴；‎ ‎(2)∵，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ 由余弦定理得，‎ ‎∴.‎ ‎【点睛】本题考查正弦余弦定理解三角形，是基础题.‎ ‎19.如图，已知四棱锥，底面四边形为正方形，，M，N分别是线段、的中点.‎ ‎（1）求证：∥平面；‎ ‎（2）求异面直线MN与BC所成角的大小.‎ ‎【答案】（1）证明见解析；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）连接，在中，证得，再结合线面平行的判定定理，即可求解；‎ ‎（2）由（1）知，把异面直线与所成的角转化为直线与所成的角，在正方形中，即可求解.‎ ‎【详解】（1）如图所示，连接，在中，分别是的中点，‎ 所以是三角形的中位线，所以，‎ 又由平面，平面，‎ 所以平面.‎ ‎（2）由（1）知，可得异面直线与所成的角即为直线与所成的角，即是异面直线与所成角，‎ 因为四边形是正方形，所以，‎ 即异面直线与所成的角为.‎ ‎【点睛】本题主要考查了直线与平面平行的判定，以及异面直线所成角的求解，其中解答中熟记线面平行的判定定理和异面直线所成角的概念，合理转化是解答的关键，着重考查推理与运算能力.‎ ‎20.已知的内角的对边分别为，且.‎ ‎（Ⅰ）求；‎ ‎（Ⅱ）若的周长是否有最大值？如果有，求出这个最大值，如果没有，请说明理由.‎ ‎【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）有最大值，最大值为3.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（Ⅰ）利用正弦定理将角化边，再由余弦定理计算可得；‎ ‎（Ⅱ）由正弦定理可得，则，再根据正弦函数的性质计算可得；‎ ‎【详解】（Ⅰ）由得 再由正弦定理得 因此，‎ 又因为，所以.‎ ‎（Ⅱ）当时，的周长有最大值，且最大值为3，‎ 理由如下：‎ 由正弦定理得，‎ 所以，‎ 所以.‎ 因，所以，‎ 所以当即时，取到最大值2，‎ 所以的周长有最大值，最大值为3.‎ ‎【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理解三角形，以及三角函数的性质的应用，属于中档题.‎ ‎21.‎ 投资商到一开发区投资72万元建起一座蔬菜加工厂，经营中，第一年支出12万元，以后每年支出增加4万元，从第一年起每年蔬菜销售收入50万元，设表示前n 年的纯利润总和（前年总收入-前年的总支出 -投资额72万元）‎ ‎（Ⅰ）该厂从第几年开始盈利？‎ ‎（Ⅱ）该厂第几年平均纯利润达到最大？并求出年平均纯利润的最大值.‎ ‎【答案】（I）从第三年开始盈利；（II）第6年，投资商年平均纯利润达到最大，年平均纯利润最大值16万元 ‎【解析】‎ ‎【详解】(Ⅰ)依题意前年总收入- 前年的总支出- 投资额72万元,可得 由得,解得 由于,所以从第3年开始盈利. ‎ ‎(Ⅱ)年平均利润 当且仅当,即时等号成立 ‎ 即第6年, 投资商平均年平均纯利润最大,最大值为16万元 ‎22.设数列前项和为，，且1，，成等差数列．‎ ‎（1）求数列的通项公式 ‎（2）求数列的前项和为 ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】‎ 分析】‎ ‎（1）由已知可得，利用可得与之间的递推关系，结合等比数列的通项公式可求；‎ ‎（2）由（1）可得，利用错位相减法求和即可；‎ ‎【详解】解：（1）因为1，，成等差数列，‎ 所以，①；‎ 所以，②；‎ ‎①减②得：‎ 所以，‎ 又，‎ 所以数列是以为首项，为公比的等比数列，‎ 所以 ‎（2）‎ 所以③‎ ‎④‎ ‎③减④得：‎ 所以 ‎【点睛】本题考查等比数列的通项公式的计算，以及错位相减法求出，属于中档题.‎