天津理数高考试题

天津理数高考试题

绝密★启用前 ‎ ‎2018年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）‎ 数 学（理工类）‎ 本试卷分为第I卷(选择题)和第II卷(非选择题)两部分，共150分，考试用时120分钟。第I卷1至2页，第II卷3至5页。‎ ‎ 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考号填写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试条形码。答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。‎ ‎ 祝各位考生考试顺利！‎ 第Ⅰ卷 注意事项：‎ ‎1.每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。‎ ‎2.本卷共8小题，每小题5分，共40分。‎ 参考公式：‎ 如果事件A，B互斥，那么 如果事件A，B相互独立，那么.‎ 棱柱的体积公式，其中表示棱柱的底面面积，表示棱柱的高.‎ 棱锥的体积公式，其中表示棱锥的底面面积，表示棱锥的高.‎ 一. 选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎(1)设全集为R，集合，，则 ‎ ‎(A) (B) (C) (D) ‎ ‎(2)设变量x，y满足约束条件 则目标函数的最大值为 ‎ ‎(A) 6 (B) 19 (C) 21 (D) 45‎ ‎(3)阅读右边的程序框图，运行相应的程序，若输入N的值为20，则输出T的值为 ‎ ‎(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4‎ ‎(4)设，则“”是“”的 ‎ ‎(A)充分而不必要条件 (B)必要而不充分条件 ‎(C)充要条件 (D)既不充分也不必要条件 ‎(5)已知，，，则a，b，c的大小关系为 ‎ ‎(A) (B) (C) (D) ‎ ‎(6)将函数的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数 ‎ ‎(A)在区间上单调递增 (B)在区间上单调递减 ‎(C)在区间上单调递增 (D)在区间上单调递减 ‎(7)已知双曲线的离心率为2，过右焦点且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点. 设A，B到双曲线同一条渐近线的距离分别为和，且，则双曲线的方程为 ‎ ‎(A) (B) (C) (D) ‎ ‎(8)如图，在平面四边形ABCD中，，，，. 若点E为边CD上的动点，则的最小值为 ‎ ‎(A) (B) (C) (D) ‎ ‎2018年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）‎ 数 学（理工类）‎ 第Ⅱ卷 注意事项：‎ ‎1. 用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上。‎ ‎2. 本卷共12小题，共110分。‎ 二．填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。‎ ‎(9) i是虚数单位，复数 .‎ ‎(10) 在的展开式中，的系数为 .‎ ‎(11)已知正方体的棱长为1，除面外，该正方体其余各面的中心分别为点E，F，G，H，M（如图），则四棱锥的体积为 .‎ ‎(12)已知圆的圆心为C，直线(为参数)与该圆相交于A，B两点，则的面积为 . ‎ ‎(13)已知，且，则的最小值为 . ‎ ‎(14)已知，函数若关于的方程恰有2个互异的实数解，则的取值范围是 . ‎ 三．解答题：本大题共6小题，共80分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.‎ ‎(15)（本小题满分13分）‎ 在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知.‎ ‎（Ⅰ）求角B的大小；‎ ‎（Ⅱ）设a=2，c=3，求b和的值.‎ ‎(16)(本小题满分13分)‎ ‎ 已知某单位甲、乙、丙三个部门的员工人数分别为24，16，16. ‎ 现采用分层抽样的方法从中抽取7人，进行睡眠时间的调查.‎ ‎（Ⅰ）应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取多少人？‎ ‎（Ⅱ）若抽出的7人中有4人睡眠不足，3人睡眠充足，现从这7人中随机抽取3人做进一步的身体检查.‎ ‎（i）用X表示抽取的3人中睡眠不足的员工人数，求随机变量X的分布列与数学期望；‎ ‎（ii）设A为事件“抽取的3人中，既有睡眠充足的员工，也有睡眠不足的员工”，求事件A发生的概率.‎ ‎(17)(本小题满分13分)‎ ‎ 如图，AD∥BC且AD=2BC，AD⊥CD，EG∥AD且EG=AD，CD∥FG且CD=2FG，DG⊥平面ABCD，DA=DC=DG=2.‎ ‎（Ⅰ）若M为CF的中点，N为EG的中点，求证：MN⊥平面CDE；‎ ‎（Ⅱ）求二面角的正弦值； ‎ ‎（Ⅲ）若点P在线段DG上，且直线BP与平面ADGE所成的角为60°，求线段DP的长.‎ ‎(18)(本小题满分13分)‎ ‎ 设是等比数列，公比大于0，其前n项和为，是等差数列. 已知，，，.‎ ‎（Ⅰ）求和的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）设数列的前n项和为，‎ ‎ （i）求；‎ ‎ （ii）证明.‎ ‎(19)(本小题满分14分)‎ 设椭圆(a>b>0)的左焦点为F，上顶点为B. 已知椭圆的离心率为，点A的坐标为，且.‎ ‎（Ⅰ）求椭圆的方程；‎ ‎（Ⅱ）设直线l：与椭圆在第一象限的交点为P，且l与直线AB交于点Q. 若(O为原点) ，求k的值.‎ ‎(20)(本小题满分14分)‎ 已知函数，，其中.‎ ‎（Ⅰ）求函数的单调区间；‎ ‎（Ⅱ）若曲线在点处的切线与曲线在点 处的切线平行，证明；‎ ‎（Ⅲ）证明：当时，存在直线l，使l是曲线的切线，也是曲线的切线.‎