四川省大数据精准教学2020届高三第一次统一监测数学（文）试题 Word版含解析

四川省大数据精准教学2020届高三第一次统一监测数学（文）试题 Word版含解析

www.ks5u.com 四川省2017级高三大数据精准教学第一次统一监测 文科数学 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.已知集合，，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求出中不等式的解集确定出，找出与的交集即可.‎ ‎【详解】解：由题意知，，‎ 而，‎ ‎∴.‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】本题考查交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解题的关键.‎ ‎2.若复数满足，则（ ）‎ A. B. C. 2 D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数模的计算公式计算.‎ ‎【详解】解：由题意知，，‎ ‎，‎ ‎∴，‎ 故选：D.‎ ‎【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法.‎ - 22 -‎ ‎3.已知且，函数，若，则（ ）‎ A. 2 B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据分段函数的解析式，知当时，且，由于，则，即可求出.‎ ‎【详解】由题意知：‎ 当时，且 由于，则可知：，‎ 则，‎ ‎∴，则，‎ 则.‎ 即.‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】本题考查分段函数的应用，由分段函数解析式求自变量.‎ ‎4.已知向量，，则与的夹角为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由已知向量的坐标，利用平面向量的夹角公式，直接可求出结果.‎ ‎【详解】解：由题意得，设与的夹角为，‎ ‎，‎ - 22 -‎ 由于向量夹角范围为：，‎ ‎∴.‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】本题考查利用平面向量的数量积求两向量的夹角，注意向量夹角的范围.‎ ‎5.函数的部分图像大致为（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据函数解析式，可知的定义域为，通过定义法判断函数的奇偶性，得出，则为偶函数，可排除选项，观察选项的图象，可知代入，解得，排除选项，即可得出答案.‎ ‎【详解】解：因为，‎ 所以的定义域为，‎ 则，‎ ‎∴为偶函数，图象关于轴对称，排除选项，‎ 且当时，，排除选项，所以正确.‎ 故选：A.‎ ‎【点睛】本题考查由函数解析式识别函数图象，利用函数的奇偶性和特殊值法进行排除.‎ - 22 -‎ ‎6.已知双曲线的焦距是虚轴长的2倍，则双曲线的渐近线方程为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据双曲线的焦距是虚轴长的2倍，可得出，结合，得出，即可求出双曲线的渐近线方程.‎ ‎【详解】解：由双曲线可知，焦点在轴上，‎ 则双曲线的渐近线方程为：，‎ 由于焦距是虚轴长的2倍，可得：，‎ ‎∴，‎ 即：，，‎ 所以双曲线的渐近线方程为：.‎ 故选：A.‎ ‎【点睛】本题考查双曲线的简单几何性质，以及双曲线的渐近线方程.‎ ‎7.“”是“”的（ ）‎ A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 直接利用二倍角的正弦公式换化简 - 22 -‎ ‎，再利用齐次式进行弦切互化，得出，即可求出，即可判断充分条件和必要条件.‎ ‎【详解】解：，‎ 则或，‎ 所以“”是“”的必要不充分条件.‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】本题考查必要不充分条件的判断，运用到三角函数中的二倍角正弦公式、同角平方关系、齐次式进行弦切互化.‎ ‎8.“完全数”是一些特殊的自然数，它所有的真因子（即除了自身以外的约数）的和恰好等于它本身.古希腊数学家毕达哥拉斯公元前六世纪发现了第一、二个“完全数”6和28，进一步研究发现后续三个完全数”分别为496，8128，33550336，现将这五个“完全数”随机分为两组，一组2个，另一组3个，则6和28不在同一组的概率为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求出五个“完全数”随机分为两组，一组2个，另一组3个的基本事件总数为，再求出6和28恰好在同一组包含的基本事件个数，根据即可求出6和28不在同一组的概率.‎ ‎【详解】解：根据题意，将五个“完全数”随机分两组，一组2个，另一组3个，‎ 则基本事件总数为，‎ 则6和28恰好在同一组包含的基本事件个数，‎ ‎∴6和28不在同一组的概率.‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】本题考查古典概型的概率的求法，涉及实际问题中组合数的应用.‎ ‎9.曲线上任意一点处的切线斜率的最小值为（ ）‎ - 22 -‎ A. 3 B. 2 C. D. 1‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意，求导后结合基本不等式，即可求出切线斜率，即可得出答案.‎ ‎【详解】解：由于，根据导数的几何意义得：‎ ‎，‎ 即切线斜率，‎ 当且仅当等号成立，‎ 所以上任意一点处的切线斜率的最小值为3.‎ 故选：A.‎ ‎【点睛】本题考查导数的几何意义的应用以及运用基本不等式求最值，考查计算能力.‎ ‎10.正三棱柱中，，是的中点，则异面直线与所成的角为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 取中点，连接，，根据正棱柱的结构性质，得出//，则即为异面直线与所成角，求出，即可得出结果.‎ ‎【详解】解：如图，取中点，连接，，‎ - 22 -‎ 由于正三棱柱，则底面，‎ 而底面，所以，‎ 由正三棱柱的性质可知，为等边三角形，‎ 所以，且,‎ 所以平面，‎ 而平面，则，‎ 则//，，‎ ‎∴即为异面直线与所成角，‎ 设，则，，，‎ 则，‎ ‎∴.‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】本题考查通过几何法求异面直线的夹角，考查计算能力.‎ ‎11.已知直线：与圆：交于，两点，与平行的直线与圆交于，两点，且与的面积相等，给出下列直线：①，②，③，④.其中满足条件的所有直线的编号有（ ）‎ A. ①② B. ①④ C. ②③ D. ①②④‎ - 22 -‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求出圆心到直线的距离为：，得出，根据条件得出到直线的距离或时满足条件，即可得出答案.‎ ‎【详解】解：由已知可得：圆：的圆心为（0,0），半径为2，‎ 则圆心到直线的距离为：，‎ ‎∴，‎ 而，与的面积相等，‎ ‎∴或，‎ 即到直线的距离或时满足条件，‎ 根据点到直线距离可知，①②④满足条件.‎ 故选：D.‎ ‎【点睛】本题考查直线与圆的位置关系的应用，涉及点到直线的距离公式.‎ ‎12.已知函数在区间有三个零点，，，且，若，则的最小正周期为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意，知当时，，由对称轴的性质可知和，即可求出，即可求出的最小正周期.‎ - 22 -‎ ‎【详解】解：由于在区间有三个零点，，，‎ 当时，，‎ ‎∴由对称轴可知，满足，‎ 即.‎ 同理，满足，即，‎ ‎∴，，‎ 所以最小正周期：.‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】本题考查正弦型函数的最小正周期，涉及函数的对称性的应用，考查计算能力.‎ 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.‎ ‎13.已知圆柱的两个底面的圆周在同一个球的球面上，圆柱的高和球半径均为2，则该圆柱的底面半径为__________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由圆柱外接球的性质，即可求得结果.‎ ‎【详解】解：由于圆柱的高和球半径均为2，,则球心到圆柱底面的距离为1，‎ 设圆柱底面半径为，由已知有，‎ ‎∴，‎ 即圆柱的底面半径为.‎ 故答案为：.‎ - 22 -‎ ‎【点睛】本题考查由圆柱的外接球的性质求圆柱底面半径，属于基础题.‎ ‎14.已知，满足约束条件则的最大值为__________.‎ ‎【答案】1‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先画出约束条件的可行域，根据平移法判断出最优点，代入目标函数的解析式，易可得到目标函数的最大值．‎ ‎【详解】解：由约束条件得如图所示的三角形区域，‎ 由于，则，‎ 要求的最大值，则求的截距的最小值，‎ 显然当平行直线过点时，‎ 取得最大值为：.‎ 故答案为：1．‎ ‎【点睛】本题考查线性规划求最值问题，我们常用几何法求最值.‎ ‎15.已知，，分别为内角，，的对边，，，，则的面积为__________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意，利用余弦定理求得，再运用三角形的面积公式即可求得结果.‎ - 22 -‎ ‎【详解】解：由于，，，‎ ‎∵，∴，，‎ 由余弦定理得，解得，‎ ‎∴的面积.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查余弦定理的应用和三角形的面积公式，考查计算能力.‎ ‎16.已知椭圆：左，右焦点分别为，，过的直线交椭圆于，两点，若，且的三边长，，成等差数列，则的离心率为__________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设，，，根据勾股定理得出，而由椭圆的定义得出的周长为，有，便可求出和的关系，即可求得椭圆的离心率.‎ ‎【详解】解：由已知，的三边长，，成等差数列，‎ 设，，，‎ 而，根据勾股定理有：，‎ 解得：，‎ 由椭圆定义知：的周长为，有，，‎ 在直角中，由勾股定理，，即：，‎ - 22 -‎ ‎∴离心率.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查椭圆的离心率以及椭圆的定义的应用，考查计算能力.‎ 三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.‎ ‎17.已知数列的各项均为正数，且满足.‎ ‎（1）求，及的通项公式；‎ ‎（2）求数列的前项和.‎ ‎【答案】（1）；.；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据题意，知，且，令和即可求出，，以及运用递推关系求出的通项公式；‎ ‎（2）通过定义法证明出是首项为8，公比为4的等比数列，利用等比数列的前项和公式，即可求得的前项和.‎ ‎【详解】解：（1）由题可知，，且，‎ 当时，，则，‎ 当时，，，‎ - 22 -‎ 由已知可得，且，‎ ‎∴的通项公式：.‎ ‎（2）设，则，‎ 所以，，‎ 得是首项为8，公比为4的等比数列，‎ 所以数列的前项和为：‎ ‎，‎ 即，‎ 所以数列的前项和：.‎ ‎【点睛】本题考查通过递推关系求数列的通项公式，以及等比数列的前项和公式，考查计算能力.‎ ‎18.语音交互是人工智能的方向之一，现在市场上流行多种可实现语音交互的智能音箱.主要代表有小米公司的“小爱同学”智能音箱和阿里巴巴的“天猫精灵”智能音箱，它们可以通过语音交互满足人们的部分需求.某经销商为了了解不同智能音箱与其购买者性别之间的关联程度，从某地区随机抽取了100名购买“小爱同学”和100名购买“天猫精灵”的人，具体数据如下：‎ ‎“小爱同学”智能音箱 ‎“天猫精灵”智能音箱 合计 男 ‎45‎ ‎60‎ ‎105‎ 女 ‎55‎ ‎40‎ ‎95‎ 合计 ‎100‎ ‎100‎ ‎200‎ ‎（1）若该地区共有13000人购买了“小爱同学”，有12000人购买了“天猫精灵”，试估计该地区购买“小爱同学”的女性比购买“天猫精灵”的女性多多少人？‎ ‎（2）根据列联表，能否有95%的把握认为购买“小爱同学”、“天猫精灵”与性别有关？‎ - 22 -‎ 附：‎ ‎0.10‎ ‎0.05‎ ‎0.025‎ ‎0.01‎ ‎0.005‎ ‎0.001‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎5.024‎ ‎6.635‎ ‎7.879‎ ‎10.828‎ ‎【答案】（1）多2350人；（2）有95%的把握认为购买“小爱同学”、“天猫精灵”与性别有关.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据题意，知100人中购买“小爱同学”的女性有55人，购买“天猫精灵”的女性有40人，即可估计该地区购买“小爱同学”的女性人数和购买“天猫精灵”的女性的人数，即可求得答案；‎ ‎（2）根据列联表和给出的公式，求出，与临界值比较，即可得出结论.‎ ‎【详解】解：（1）由题可知，100人中购买“小爱同学”的女性有55人，购买“天猫精灵”的女性有40人，‎ 由于地区共有13000人购买了“小爱同学”，有12000人购买了“天猫精灵”，‎ 估计购买“小爱同学”的女性有人.‎ 估计购买“天猫精灵”的女性有人.‎ 则，‎ ‎∴估计该地区购买“小爱同学”的女性比购买“天猫精灵”的女性多2350人.‎ ‎（2）由题可知， ，‎ ‎∴有95%的把握认为购买“小爱同学”、“天猫精灵”与性别有关.‎ ‎【点睛】本题考查随机抽样估计总体以及独立性检验的应用，考查计算能力.‎ - 22 -‎ ‎19.如图，四棱锥中，四边形是矩形，，，为正三角形，且平面平面，、分别为、的中点.‎ ‎（1）证明：平面；‎ ‎（2）求几何体的体积.‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由题可知，根据三角形的中位线的性质，得出，根据矩形的性质得出，所以，再利用线面平行的判定定理即可证出平面；‎ ‎（2）由于平面平面，根据面面垂直的性质，得出平面，从而得出到平面的距离为，结合棱锥的体积公式，即可求得结果.‎ ‎【详解】解：（1）∵，分别为，的中点，‎ ‎∴，‎ ‎∵四边形是矩形，∴，∴，‎ ‎∵平面，平面，‎ ‎∴平面.‎ ‎（2）取，的中点，，连接，，，，则，‎ 由于为三棱柱，为四棱锥，‎ ‎∵平面平面，∴平面，‎ 由已知可求得，‎ ‎∴到平面的距离为，‎ - 22 -‎ 因为四边形是矩形，，，‎ ‎，‎ 设几何体的体积为，‎ 则，‎ ‎∴，‎ 即：.‎ ‎【点睛】本题考查线面平行的判定、面面垂直的性质和棱锥的体积公式，考查逻辑推理和计算能力.‎ ‎20.在平面直角坐标系中，直线与抛物线：交于，两点，且当时，.‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）设线段的中点为，抛物线在点处的切线与的准线交于点，证明：轴.‎ ‎【答案】（1）1；（2）见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）设，，联立直线和抛物线方程，得，写出韦达定理，根据弦长公式，即可求出；‎ ‎（2）由，得，根据导数的几何意义，求出抛物线在点 - 22 -‎ 点处切线方程，进而求出，即可证出轴.‎ ‎【详解】解：（1）设，，‎ 将直线代入中整理得：，‎ ‎∴，，‎ ‎∴，‎ 解得：.‎ ‎（2）同（1）假设，，‎ 由，得，‎ 从而抛物线在点点处的切线方程为，‎ 即，‎ 令，得，‎ 由（1）知，从而，‎ 这表明轴.‎ ‎【点睛】本题考查直线与抛物线的位置关系，涉及联立方程组、韦达定理、弦长公式以及利用导数求切线方程，考查转化思想和计算能力.‎ ‎21.已知函数，.‎ ‎（1）讨论的单调性；‎ ‎（2）当时，证明：.‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）求导得，分类讨论和，利用导数研究含参数的函数单调性；‎ - 22 -‎ ‎（2）根据（1）中求得的单调性，得出在处取得最大值为，构造函数，利用导数，推出，即可证明不等式.‎ ‎【详解】解：（1）由于，得，‎ 当时，，此时在上递增；‎ 当时，由，解得，‎ 若，则，‎ 若，，‎ 此时在递增，在上递减.‎ ‎（2）由（1）知在处取得最大值为：‎ ‎，‎ 设，则，‎ 令，则，‎ 则在单调递减，∴，‎ 即，则在单调递减 ‎∴，‎ ‎∴，‎ ‎∴.‎ ‎【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性和最值，涉及分类讨论和构造新函数，通过导数证明不等式，考查转化思想和计算能力.‎ - 22 -‎ ‎22.在极坐标系中，曲线的极坐标方程为 ‎（1）求曲线与极轴所在直线围成图形的面积；‎ ‎（2）设曲线与曲线交于，两点，求.‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用互化公式，将曲线的极坐标方程化为直角坐标方程，得出曲线与极轴所在直线围成的图形是一个半径为1的圆周及一个两直角边分别为1与的直角三角形，即可求出面积；‎ ‎（2）联立方程组，分别求出和的坐标，即可求出.‎ ‎【详解】解：（1）由于的极坐标方程为，‎ 根据互化公式得，曲线直角坐标方程为：‎ 当时，，‎ 当时，，‎ 则曲线与极轴所在直线围成的图形，‎ 是一个半径为1的圆周及一个两直角边分别为1与的直角三角形，‎ ‎∴围成图形的面积.‎ - 22 -‎ ‎（2）由得，其直角坐标为，‎ 化直角坐标方程为，‎ 化直角坐标方程为，‎ ‎∴，‎ ‎∴.‎ ‎【点睛】本题考查利用互化公式将极坐标方程化为直角坐标方程，以及联立方程组求交点坐标，考查计算能力.‎ ‎23.设，，，.‎ ‎（1）若的最小值为4，求的值；‎ ‎（2）若，证明：或.‎ ‎【答案】（1）2；（2）见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）将化简为，再利用基本不等式即可求出最小值为4，便可得出的值；‎ - 22 -‎ ‎（2）根据，即，得出，利用基本不等式求出最值，便可得出的取值范围.‎ ‎【详解】解：（1）由题可知，，，，‎ ‎，‎ ‎∴.‎ ‎（2）∵，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ ‎∴，即：或.‎ ‎【点睛】本题考查基本不等式的应用，利用基本不等式和放缩法求最值，考查化简计算能力.‎ - 22 -‎ - 22 -‎