湖北省黄冈中学高考数学模拟试题

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湖北省黄冈中学高考数学模拟试题

湖北省黄冈中学高考数学模拟考试 1 数学试题(理科) 试卷类型:A 注意事项: 1.答题前,考生务必将自己的学校、班级、姓名、考号填写在试题卷封线内,将考号最后两位 填在答题卷右上方座位号内,同时机读卡上的项目填涂清楚,并认真阅读答题卷和机读卡 上的注意事项。 2.选择题每小题选出答案后,用 2B 铅笔把机读卡对应题目的答案标号涂黑;如需改动,用像 皮擦干净后,再选涂其它答案标号,答在试题卷上无效。 3.将填空题和解答题用 0.5 毫米黑色墨水签字笔或黑色墨水钢笔直接答在答题卷上每题对应 的答题区域内,答在试卷上无效。 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是 满足题目要求的。 1.已知集合 ,若 ,则 等于      (   ) A. B. C. 或   D. 或 2.复数 满足 ,则 ( ) A. B. C. D. 3.已知函数 的定义域为[a,b],值域为[-2,1],则 b-a 的值不可能是 ( ) A. B. C. D. 4. 为互不相等的正数, ,则下列关系中可能成立的是( ) A. B. C. D. 5. 设两个正态分布 和 曲线如图所示,则有 A. B. C. D. 6.下列四个函数图象,只有一个是符合 (其中 为正 实数, 为非零实数)的图象,则根据你所判断的图象, 之间一定成立的关系是 ( ) 2{0, }, { | 2 5 0, }P m Q x x x x Z= = − < ∈ P Q ≠ ∅ m 1 2 1 2 5 1 2 z ( 2)z z i= + z = 1 i+ 1 i− 1 i− + 1 i− − 2siny x= 6 5π π 6 7π π2 , ,a b c 2 2 2a c bc+ = a b c> > b a c> > a c b> > b c a> > 2 1 1 1( , )( 0)N µ σ σ > 2 2 2 2( , )( 0)N µ σ σ > 1 2 1 2,µ µ σ σ< > 1 2 1 2,µ µ σ σ< < 1 2 1 2,µ µ σ σ> > 1 2 1 2,µ µ σ σ> < 1 1 2 2 3 3| | | | | |y k x b k x b k x b= + + + − + 1 2 3, ,k k k 1 2 3, ,b b b 1 2 3, ,k k k x y 2 1 1( , )N µ σ 2 2 2( , )N µ σ A. B. C. D. 7.如图,正四面体 的棱长均为 ,且 平面 于 A,点 B、C、D 均在平面 外,且 在平面 同一侧,则点 B 到平面 的距离是( ) A. B. C. D. 8.若函数 在其定义域内的一个子区间 内不是单调函数,则实数 k 的 取值范围是( ). A. B. C. D. 9.现有四所大学进行自主招生,同时向一所高中的已获省级竞赛一等奖的甲、乙、丙、丁四位学生 发出录取通知书.若这四名学生都愿意进这四所大学的任意一所就读, 则仅有两名学生被录取到同 一所大学的概率为( ) A. B. C. D. 10.已知 , 、 是椭圆上关于原点对称的两点, 是椭圆上任意一点, 且直线 、 的斜率分别为 、 ( ),若 的最小值为 1,则椭圆的离心率 为( ) A. B. C. D. 二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分. 11.已知向量 , ,则 在 方向上的投影等于 . 12.已知 展开式中常数项是 ,则 的值为   。 1 2 3k k k+ = 1 2 3k k k= = 1 2 3k k k+ > 1 2 3k k k+ < ABCD a AD ⊥ α α α α 2 a 3 a 2 2 a 3 3 a 2( ) 2 lnf x x x= − ( 1, 1)k k− + [1, )+ ∞ 3[1, )2 [1, 2) 3[ , 2)2 1 2 9 16 11 16 7 24 2 2 2 2 1( 0)x y a ba b + = > > M N P PM PN 1k 2k 1 2 0k k ≠ 1 2| | | |k k+ 2 2 2 4 3 4 3 2 (2,3)=a ( 2,1)= −b a b 1( )nx x + )( *Nn ∈ 2 nC n α A B C D x y O x y O x y Ox y O ① ② ③ ④ 13.在等比数列 中,若 , ,则     。 14. , , ,当 取得最大值时, , ,则实数 的取值范围是 。 15.设函数 的定义域为 D,若存在非零实数 使得对于任意 ,有 , 且 ,则称 为 M 上的 高调函数。 如果定义域为 的函数 为 上的 高调函数,那么实数 的取值范围 是 。如果定义域为 R 的函数 是奇函数,当 时, ,且 为 R 上的 4 高调函数,那么实数 的取值范围是 。 三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 16.(本小题满分 12 分)已知 中, 、 、 是三个内角 、 、 的对边,关于 的不 等式 的解集是空集. (1)求角 的最大值; (2)若 , 的面积 ,求当角 取最大值时 的值. 17. (本小题满分 12 分)某公司有 10 万元资金用于投资,如果投资甲项目,根据市场分析知道:一 年后可能获利 10﹪,可能损失 10﹪,可能不赔不赚,这三种情况发生的概率分别为 , , ;如果投资乙项目,一年后可能获利 20﹪,也可能损失 20﹪,这两种情况发生的概率分别为 . (1)如果把 10 万元投资甲项目,用 表示投资收益(收益=回收资金-投资资金), 求 的概率分布及 ; (2)若把 10 万元投资投资乙项目的平均收益不低于投资甲项目的平均收益,求 的取值范围. { }na 7 8 9 10 15 8a a a a+ + + = 8 9 9 8a a = − 7 8 9 10 1 1 1 1 a a a a + + + = 0 ( , ) | 0 5 0 y M x y x x y  ≥    = ≥     + − ≤  ( , ) | 3 5 0 y t N x y x x y  ≤    = ≤     + − ≥  ( , )x y M N∈  2x y+ ( , )x y N∈ ( , )x y M∉ t ( )f x l ( )x M M D∈ ⊆ x l D+ ∈ ( ) ( )f x l f x+ ≥ ( )f x l [ 1, )− +∞ 2( )f x x= [ 1, )− +∞ m m ( )f x 0x ≥ 2 2( ) | |f x x a a= − − ( )f x a ABC∆ a b c A B C x 2 cos 4 sin 6 0x C x C+ + < C 7 2c = ABC∆ 3 32S = C a b+ 2 1 4 1 4 1 )(和 1=+ βαβα ξ ξ ξE α 18.(本小题满分 12 分) 在四棱锥 中,侧面 底面 , , 为 中点,底面 是直角梯形, , =90°, , . (1)求证: 平面 ; (2)求证: 平面 ; (3)设 为侧棱 上一点, , 试确定 的值,使得二面角 为 45°. 19. (本小题满分 12 分)已知函数 f(x)= (1)当 时, 求 的最大值; (2) 设 , 是 图象上不同两点的连线的斜率,否存在实数 ,使得 恒成立?若存在,求 的取值范围;若不存在,请说明理由. 20.(本小题满分 13 分)在平面直角坐标系 中,线段 AB 与 y 轴交于点 ,直线 AB 的斜 率为 k,且满足 . (1)证明:对任意的实数 ,一定存在以 y 轴为对称轴且经过 A、B、O 三点的抛物线 C,并求出抛 物线 C 的方程; (2)对(1)中的抛物线 C,若直线 与其交于 M、N 两点,求 ∠MON 的取值范围. 21. (本小题满分 14 分) 设数列 的前 项和为 ,已知 (n∈N*). (1)求数列 的通项公式; (2)设 ,数列 的前 项和为 ,若存在整数 ,使对任意 n∈N*且 n≥2,都有 成立,求 的最大值; (3)令 ,数列 的前 项和为 ,求证:当 n∈N*且 n≥2 时, . xOy )2 1,0(F )0(: >+= mmxyl P ABCD− PCD ⊥ ABCD PD CD⊥ E PC ABCD //AB CD ADC∠ 1AB AD PD= = = 2CD = BE // PAD BC ⊥ PBD Q PC PQ PCλ=  λ Q BD P− − 2 1ln , [ , 2]2 a x x a R xx −  + ∈ ∈   1[ 2, )4a∈ − ( )f x 2( ) [ ( ) ln ]g x f x x x= − ⋅ k ( )g x a 1k < a 2| | | | 1AF BF k× = + k { }na n nS 12 2n n nS a += − { }na 1 log 2nn a n b + = { }nb n nB m 3 20n n mB B− > m 1 1 ( 1) log 2n n n a n c + + = − { }nc n nT 2 2 2nT < A P B C E D 参考答案 理科 B : 答案 1—5 CBCAB 6—10 BDCDA 1.D【解析】 ,因为 ,故 或 。 2. C【解析】 3. D 【解析】值域[-2,1]含最小值不含最大值,故定义域小于一个周期,故选 D 4. B 【解析】若 ,则 ,不合条件,排除 , 又由 ,故 与 同号,排除 ;且当 时, 有可能成立,例如取 ,故选 . 5. A【解析】显然 ,正态曲线越“瘦高”,表示取值越集中, 越小。 6. A【解析】当 足够小时 当 足够大时 可见,折线的两端的斜率必定为相反数,此时只有③符合条件。此时 7.A【解析】取 AD 的中点 M,易证 平面 ,故平面 平面 ,平面 到平面 的距离为 ,即为 B 到平面 的距离。 8. B【解析】因为 定义域为 ,又 ,由 ,得 . 据题意, ,解得 9.B【解析】所有等可能的结果相当于甲、乙、丙、丁四位学生任选四所大学之一,共有 种,仅 有两名学生被录取到同一所大学,可先把四个同学分成 1+1+2 三份,有 种分法,再选择三所大学 就读,即有 种就读方式。故所求的概率为 。 10 . D 【 解 析 】 设 , , , 可 得 , , }2,1{},2 50|{ =∈<<= ZxxxQ P Q φ≠ 1m = 2 2 11 iz ii = = − +− a b> 2 2 2 2 2a c b c bc+ > + ≥ ,A D ( )2 2 2a c c b c− = − a c− b c− B b a c> > 2 2 2a c bc+ = ( ) ( ), , 3,5,1a b c = C 1 2 µ µ< σ x 1 2 3 1 2 3( ) ( )y k k k x b b b= − + − − + − x 1 2 3 1 2 3( ) ( )y k k k x b b b= + − + + − 1 2 3 0k k k+ − = AD ⊥ BCM BCM / / α BCM α 2 a α ( )f x (0, )+∞ 1( ) 4f x x x ′ = − ( ) 0f x′ = 1 2x = 11 12 1 0 k k k  − < < +  − ≥ 31 .2k≤ < 44 2 4C 2 3 4 4C A 2 3 4 4 4 9 4 16 C A = ( cos , sin )M a bα α ( cos , sin )N a bα α− − ( cos , sin )P a bβ β 1 2 (sin sin ) (sin sin ),(cos cos ) (cos cos ) b bk ka a β α β α β α β α − += =− + 2 2 2 2 1 2 2 2 2 2 (sin sin )| | | | | |(cos cos ) b bk k a a β α β α −⋅ = =− ∴ 。 11. 【解析】 在 方向上的投影为 . 12. 3 或 6【解析】展开式的通项为 ,若要其表示常数项,须有 ,即 ,又由题设知 , 或 , 或 . 13. 【解析】 14. 【解析】如图,M、N 表示的区域如图所示, 显然最优解在 C 处取得,过 A 作斜率为-2 的直线交直 线 BC 于 F,则 C 应在点 F 上方,可求得 F(3,4), ∴ 。 15. 【解析】∵ , ,即 , 的图象如图, ∴ 。 16.解:(1)显然 不合题意, 则有 ,即 , 即 , 1 2 1 2 2 2 3| | | | 2 | | 1 2 b bk k k k ea a + ≥ = ⇒ = ⇒ = 5 5 − a b 5cos , 5 = = = − a b a ba a b a a b b 1 3 12 2 1 ( ) ( ) n r r n r r r r n nT C x x C x − − − + = = 3 02 n r- = 1 3r n= 1 2 3n n nC C= 12 3 n = 12 3n n- = 6n = 3n = 5 3 − 7 10 8 9 7 8 9 10 7 10 8 9 7 10 8 9 1 1 1 1 1 1 1 1( ) ( ) a a a a a a a a a a a a a a a a + ++ + + = + + + = + 7 8 9 10 8 9 5 3 a a a a a a + + += = − 4t > 4t > 2; 1 1m a≥ − ≤ ≤ ( 1) (1)f f− = 1 ( 1)m ≥ − − 2m ≥ 2 2( ) | |f x x a a= − − 2 24 3 ( ) 1 1a a a≥ − − ⇒ − ≤ ≤ 0cos =C cos 0 0 C > ∆ ≤ 2 cos 0 16sin 24cos 0 C C C >  − ≤ cos 0 1cos 2 cos 2 C C C > ≤ − ≥ 或 y O x2a 22a 23a2a− C F D E O A B x y N M 故 ,∴角 的最大值为 。………………………………………………6 分 (2)当 = 时, ,∴ ,…………………8 分 由余弦定理得 , ∴ ,∴ 。…………………………………………12 分 17.解:(1)依题意, 的可能取值为 1,0,-1 的分布列为 1 0 p = = ……………………………………6 分 (2)设 表示 10 万元投资乙项目的收益,则 的分布列为 2 p 依题意要求 ………………12 分 18.解:(1)取 PD 的中点 F,连结 EF, AF,因为 E 为 PC 中点,所以 EF//CD, 且 在梯形 ABCD 中,AB//CD,AB=1, 所以 EF//AB,EF=AB, 四边形 ABEF 为平行四边形, 所以 BE//AF, ………2 分 BE 平面 PAD,AF 平面 PAD, 所以 BE//平面 PAD.…………4 分 (2)平面 PCD⊥底面 ABCD,PD⊥CD,所以 PD⊥平面 ABCD, 所以 PD⊥AD. 如图,以 D 为原点建立空间直角坐标系 D—xyz. 则 A(1,0,0),B(1,1,0),C(0,2,0),P(0,0,1) …………6 分 1cos 2C ≥ C 60° C 60° 1 3 3sin 32 4 2ABCS ab C ab∆ = = = 6ab = 2 2 2 22 cos ( ) 2 2 cosc a b ab C a b ab ab C= + − = + − − 2 2 121( ) 3 4a b c ab+ = + = 11 2a b+ = ξ ξ ξ 1− 2 1 4 1 4 1 ξE 2 1 4 1− 4 1 η η η 2− α β 2422 −=−= αβαηE 1 94 2 ,14 16 α α− ≥ ≥ ,12 1 == CDEF ⊄ ⊂ ).0,1,1(),0,1,1( −== BCDB A P B C E D Q F y z x 所以 又由 PD⊥平面 ABCD,可得 PD⊥BC, 所以 BC⊥平面 PBD.………………………8 分 (3)平面 PBD 的法向量为 ,所以 , 设平面 QBD 的法向量为 n=(a,b,c), , 由 n ,n ,得 所以, 所以 n= ……………………10 分 所以 注意到 ,得 ………………12 分 19. (1)当-2≤ < 时,由 =0 得 x1= ………………2 分 显然-1≤x1< , = aayxC 02 2 =−− aakxx ),(),,( BBAA yxByxA 2 axx BA −=⋅ ||1|0|1|| 22 AA xkxkAF +=−+= ||1|0|1|| 22 BB xkxkBF +=−+= 2)1(|2|)1(||)1(|||| 222 akakxxkBFAF BA +=+=⋅+=⋅ 21|||| kBFAF +=⋅ 2=a yxC 2: 2 = ),(),,( NNMM yxNyxM    = += yx mxy 22 0222 =−−⇒ mxx 084 >+=∆ m )0( >m 2=+ NM xx mxx NM 2−=⋅ M OM x mk += 1 N ON x mk += 1 NM xx < 0>m NM xx << 0 2 πθ ≠=∠MON θ 3 3 2 21 2 1 2 2 1 1 1 2 2 1 2 1 2 ( ) ( ) ( )y y a x x x xk a x x x xx x x x − − + −= = = − + +− − 1k < a < 2 2 1 1 2 2( )x x x x+ + 2 2 1 44 x≤ ≤ 7 4a ≤ 7( , )4a∈ −∞ ( )y g x= 0 0( , )P x y 21 2 0 0 1 2 ( ) ( ) '( ) 3 1g x g xk g x a xx x −= = = − <− 2 0 71 3 4a x∴ < + ≤ 7( , )4a∈ −∞ ……………………………9 分 令 ,则 , 且 ∴ 函数 与 在 上皆为增函数 ∴ ∴ ……………………11 分 则 , 又 时, ∴ ………………………………………13 分 21.(1)由 ,得 (n≥2). 两式相减,得 ,即 (n≥2). 于是 ,所以数列 是公差为 1 的等差数列. ……………2 分 又 ,所以 . 所以 ,故 . ……………4 分 (2)因为 ,则 . 令 ,则 . 所以 . 即 ,所以数列 为递增数列. …………7 分 所以当 n≥2 时, 的最小值为 . 据题意, ,即 .又 为整数,故 的最大值为 18. ……………8 分 (3)因为 ,则当 n≥2 时, )2(2 212 1tan ≠− +=⋅+ −= mm m kk kk ONOM ONOMθ mt 21+= 2 12 −= tm 1>t 5≠t ttt t 5 4 5 4tan 2 −+ =−=θ xy = xy 5−= ),0( +∞ −t ),0()0,4(5 +∞∪−∈ t ),0()1,(5 4 +∞∪−−∞∈−+ tt )4 3,2()2,0( πππθ ∪∈ 2=m 2 πθ ==∠MON )4 3,0( π∈∠MON 12 2n n nS a += − 1 12 2n n nS a− −= − 12 2 2n n n na a a −= − − 12 2n n na a −− = 1 1 12 2 n n n n a a − −− = { }2 n n a 2 1 12 2S a= − 1 4a = 2 ( 1) 12 n n a n n= + − = + ( 1) 2n na n= + ⋅ 2 1 log 2 log 2nnn a n b + = = 1 n = 3 1 1 1 1 2 3n nB B n n n − = + + ++ +  1 1 1( ) 1 2 3f n n n n = + + ++ +  1 1 1 1 1 1( 1) 2 3 3 3 1 3 2 3 3f n n n n n n n + = + + + + + ++ + + + + 1 1 1 1( 1) ( ) 3 1 3 2 3 3 1f n f n n n n n + − = + + −+ + + + 1 1 2 1 1 2 03 1 3 2 3 3 3 3 3 3 3 3n n n n n n = + − > + − =+ + + + + + ( 1) ( )f n f n+ > { }( )f n ( )f n 1 1 1 1 19(2) 3 4 5 6 20f = + + + = 19 20 20 m < 19m < m m 1 1( 1)n nc n += − ⋅ . ……………9 分 下面证 方法一:先证一个不等式,当 时, 令 ,则 , ∴ 在 时单调递增, ,即当 时, 令 , , , , ,……, 以上 个式相加,即有 ∴ ……………14 分 方法二:先用数学归纳法证明一个加强不等式 。 ① 时, 成立,故 时不等式成立。 ②假设 时成立,即 则当 时, ,下面用分析法证 即证 即证 , 故即证 ,即证 上式显然成立。 (可以从 到 时引导学生发现 中的 的值,此 2 1 1 1 1 11 2 3 4 2 1 2nT n n = − + − + + −− 1 1 1 1 1 1(1 ) 2( )2 3 2 2 4 2n n = + + + + − + + +  1 1 1 1 2 2n n n = + + ++ +  1 1 1 2 1 2 2 2n n n + + + <+ +  0x > ln( 1) 1 xx x + > + ( ) ln( 1) ( 0)1 xg x x xx = + − >+ 2 2 1 1'( ) 01 ( 1) ( 1) xg x x x x = − = >+ + + ( )g x (0, )+∞ ( ) (0) 0g x g> = 0x > ln( 1) 1 xx x + > + 1x n = 1 1 1ln ln( 1) ln1 1 n n nn n n + > ⇒ + − >+ + 1ln( 2) ln( 1) 2n n n + − + > + 1ln( 3) ln( 2) 3n n n + − + > + 1ln(2 ) ln(2 1) 2n n n − − > n 1 1 1ln(2 ) ln 1 2 2n n n n n − > + + ++ +  1 1 1 2ln(2 ) ln ln 21 2 2 2n nn n n + + + < − = <+ +  1 1 1 2 1 1 2 2 2 4 1n n n n + + + < −+ + + 2n = 1 1 2 1 3 4 2 9 + < − 2n = n k= 1 1 1 2 1 1 2 2 2 4 1k k k k + + + < −+ + + 1n k= + 1 1 1 1 2 1 1 1 1 2 2 2 1 2 2 2 4 1 2 1 2 2 1k k k k k k k k + + + + < − + + −+ + + + + + + 2 1 1 1 2 4 1 2 1 2 2k k k = − + −+ + + 2 1 1 1 2 1 2 4 1 2 1 2 2 2 4 5k k k k − + − < −+ + + + 1 1 1 1 4 1 1 52 1 2 2 4 1 4 5 (4 1)(4 5) (2 )(2 )2 2 k k k k k k k k − < − = =+ + + + + + + + 1 1 1 5(2 1)(2 2) (2 )(2 )2 2 k k k k <+ + + + 1 5(2 1)(2 2) (2 )(2 )2 2k k k k+ + > + + 2 2 54 6 2 4 6 4k k k k+ + > + + n = k 1n k= + 1 1 1 2 1 1 2 2 2 ( )k k k g n + + + < −+ +  ( )g n 种方法对于常数型的关于正整数的不等式的证明很凑效) 方法三:又据柯西不等式,有 . 故 . ……………14 分 湖北省黄冈中学高考数学模拟考试 2 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.卷面共 150 分,考试时间 120 分 第Ⅰ卷 (选择题 共 50 分) 一、选择题:本大题共 10 小题,每题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符 合题目要求的. 1.设 是集合 A 到集合 B 的映射.若 ,则 ( ) A.{0, 3} B.{0}  C.{3}   D.{ ,0} 2.函数 的图像大致是( ) 3.“a = 3”是“直线 与直线 平行”的( )条件 A.充分而不必要 B.必要而不充分 C.充要 D.既不充分也不必要 4.某校为了了解高三学生的身体状况,抽取了 100 名女生 的体重.将所得的数据整理后,画出了如图的频率分布直 方图,则所抽取的女生中体重在 45~50kg 的人数是( ) A.10 B.30 C.50 D.60  2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1(1 1 1 )[ ]1 2 2 ( 1) ( 2) (2 )n n n n n n + + + < + + + + + ++ + + +   1 1 1[ ]( 1) ( 1)( 2) (2 1)(2 )n n n n n n n < + + ++ + + − 1 1 2( )2 2n n n = − = 2 2 2nT < f x x→: { }3 0 3A = − , , A B = 3− 2|log |( ) 2 xf x = 2 1 0ax y− − = 6 4 0x y c− + = 40 45 50 55 60 体重 频率 组距 (kg) 0.10 0.08 0.06 0.04 0.02 A B DC y O x1− 1 1 y O x1− 1 1 y O x1− 1 y O x1− 1 1 5. 若 , 且 , 则 向 量 与 的 夹 角 为 ( ) (4 题图) A.30° B.60° C.150° D.120°  6. 给出四个函数,则同时具有以下两个性质:①最小正周期是 ; ②图象关于点( ,0)对称 的函数是( ) A. B. C. D. 7.从 4 名男生和 3 名女生中选出 3 人,分别从事三项不同的工作,若这 3 人中至少有一名女生,则 选派方案共有( )种 A. 108 B. 186 C. 216 D. 270 8.已知球面的三个大圆所在平面两两垂直,则以三个大圆的交点为顶点的八面体的体积与球体积 之比是( ) A. 1∶π B. 1∶2π C. 2∶π D. 4∶3π 9.已知⊙ ,⊙ ,两圆的内公切线交于 点,外公切线交于 点,则 分 的比为( ) A. B. C. D. 10.若 表示实数 中的最大者.设 , ,记 设 , ,若 ,则 的取值范围为( ) A. B. C. D. 第 II 卷 (共 100 分) 二、填空题:本大题共 5 小题,每题 5 分,共 25 分. 11. 在 展开式所得的 x 的多项式中,系数为有理数的项有__________项. 12. 函数 ,则 ________________. | | 1,| | 2,a b c a b= = = +     c a⊥  a b π 6 π },,,max{ 21 nsss  nsss ,,, 21  ),,( 321 aaaA =           = 3 2 1 b b b B }.,,max{ 332211 bababaBA =⊗ ,1( −= xA )1,1+x           − −= |1| 2 1 x xB 1−=⊗ xBA x ]1,31[ − ]21,1[ + ]1,21[ − ]31,1[ + sin( ) ( 1 0)( ) 3 ( 1) ( 0) x xf x f x x π − ≤ <=   − ≥ (1)f = 13. 甲乙两人进行乒乓球比赛,比赛规则为:3局2胜,即以先赢2局者为胜.根据经验,每局比赛中甲 获胜的概率为 0.6,则本次比赛甲获胜的概率为 。 14. x、y 满足约束条件: ,则 的最小值是______________. 15. 数列 的前 项和为 ,若数列 的各项按如下规律排列: , , , , , , , , , ,…, , ,…, ,…有如下运算和结论: ① ; ② ; ③数列 , , , ,…是等比数列 ④数列 , , , ,…的前 项和为 ; ⑤若存在正整数 ,使 , ,则 . 在后面横线上填写出所有你认为正确运算结果或结论的序号______________. 三、解答题:本题共 6 小题,共 75 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16.(本小题满分 12 分) 已知 (1)求函数 的最小正周期; (2)当 的最大值及最小值。 17.(本小题满分 12 分) 如图,已知四棱锥 中, ⊥平面 , 是直角梯形, , 90º, . (1)求证: ⊥ ; (2)在线段 上是否存在一点 ,使 //平面 , 若存在,指出点 的位置并加以证明;若不存在,请说明理由 2 2 5 0 4 0 y x y x y ≥  + − ≥  + − ≤ 5z x y= + − { }na n nS { }na 1 2 1 3 2 3 1 4 2 4 3 4 1 5 2 5 3 5 4 5 1 n 2 n 1n n − 23 3 8a = 11 11 6S = 1a 2 3a a+ 4 5 6a a a+ + 7 8 9 10a a a a+ + + 1a 2 3a a+ 4 5 6a a a+ + 7 8 9 10a a a a+ + + n 2 4n n nT += k 10kS < 1 10kS + > 5 7ka = .)(),cos2,sin(cos),sin,sin(cos baxfxxxbxxxa ⋅=−=+= 设 )(xf )(]2,0[ xfx 时,求函数π∈ ABCDP − PA ABCD ABCD BCAD // BAD∠ = ADBC 2= AB PD PB E AE PCD E A C D B P 18.(本小题满分 12 分) 已 知 数 列 是 首 项 为 , 公 比 的 等 比 数 列 , 设 , ( ) (1)求数列 的通项公式; (2)求数列 的前 n 项和 Sn. 19.(本小题满分 13 分)某企业投入 81 万元经销某产品,经销时间共 60 个月,市场调研表明,该 企业在经销这个产品期间第 个月的利润 (单位:万元),为了获得 更 多 的 利 润 , 企 业 将 每 月 获 得 的 利 润 投 入 到 次 月 的 经 营 中 , 记 第 个 月 的 当 月 利 润 率 ,例如: . (1)求 ; (2)求第 个月的当月利润率 ; (3)该企业经销此产品期间,哪个月的当月利润率最大,并求该月的当月利润率. 20.(本题满分 12 分) 已知函数 的图象为曲线 C。 (1)若曲线 C 上存在点 P,使曲线 C 在 P 点处的切线与 轴平行,求 的关系; (2)若函数 时取得极值,求此时 的值; (3)在满足(2)的条件下, 的取值范围。 21 ( 14 分 ) 设 是 椭 圆 的 两 点 , , { }na 1 1 4a = 1 4q = *)(log32 4 1 Nnab nn ∈=+ nnn bac = *Nn∈ }{ nb }{ nc x * * 1 (1 20, ) ( ) 1 (21 60,10  ≤ ≤ ∈= ≤ ≤ ∈ ) x x N f x x x x N x ( ) xg x x = 第 个月的利润 第 个月前的资金总和 (3)(3) 81 (1) (2) fg f f = + + (10)g x ( )g x cbxaxxxf ++−= 23)( x ,a b 31)( =−= xxxf 和可以在 ,a b cxcxf 求恒成立在 ,]6,2[2)( −∈< ( ) ( )1 1 2 2, , ,A x y B x y ( )2 2 2 2 1 0y x a ba b + = > > 1 1,x ym b a  =     F E A D B C P F E A D B C P ,且 ,椭圆离心率 ,短轴长为 2,O 为坐标原点。 (1)求椭圆方程; (2)若存在斜率为 的直线 AB 过椭圆的焦点 ( 为半焦距),求 的值; (3)试问 的面积是否为定值?若是,求出该定值;若不是,说明理由。 试 题 答 案 一、选择题:本大题共 10 小题,每题 5 分,共 50 分. 1.A 2.C 3.B 4.C 5.D 6.D 7.B 8.A 9.C 10.B 二、填空题:本大题共 5 小题,每题 5 分,共 25 分. 11.17 12. 13. 0.648 14. 15.②④⑤ 三、解答题:本题共 6 小题,共 75 分. 16.解:(1) (2) …………8 分 17.证明:(1)∵ ⊥平面 , 平面 , ∴ ⊥ . ………… 2 分 ∵ ⊥ , , ∴ ⊥平面 ,………… 5 分 ∵ 平面 , ∴ ⊥ . ………… 6 分 (2)[法 1]: 取线段 的中点 , 的中点 ,连结 , 则 是△ 中位线. ∴ ∥ , , ∵ , , 2 2,x yn b a  =     0m n⋅ =  3 2e = k ( )0,F c c k AOB∆ 3 2 − 3 2 − xxxxxxbaxf cos2sin)sin(cos)sin(cos)( ⋅+−⋅+=⋅= 分的最小正周期 分 分 分 6.)( 5)42sin(2)2sin4cos2cos4(sin2 3)2sin2 22cos2 2(22sin2cos 2cossin2sincos 22     π πππ =∴ +=+= +=+= +−= Txf xxx xxxx xxxx .4 5 424,20 ππππ ≤+≤∴≤≤ xx 分有最小值时即当 分有最大值时即当 12.1)(,2,4 5 42 10.2)(,8,242   −==+ ==+∴ xfxx xfxx πππ πππ PA ABCD AB ⊂ ABCD PA AB AB AD PA  AD A= AB PAD PD ⊂ PAD AB PD PB E PC F DFEFAE ,, EF PBC EF BC BCEF 2 1= BCAD // BCAD 2 1= ∴ . ∴ 四边形 是平行四边形, ………… 8 分 ∴ . ∵ 平面 , 平面 ,………… 10 分 ∴ ∥平面 . …………11 分 ∴ 线段 的中点 是符合题意要求的点. ………… 12 分 [法 2]: 取线段 的中点 , 的中点 ,连结 , 则 是△ 的中位线. ∴ ∥ , , ∵ 平面 , 平面 , ∴ 平面 . ∵ , , ∴ . ∴ 四边形 是平行四边形, ………… 8 分 ∴ . ∵ 平面 , 平面 , ∴ ∥平面 . ∵ , ∴平面 平面 . ………… 10 分 ∵ 平面 , ∴ ∥平面 . ………… 11 分 ∴ 线段 的中点 是符合题意要求的点.………… 12 分 18.解:(1)由题意知, ,……………2 分 又 , 故 ……………4 分 (2)由(1)知, ……………6 分 ……7 分 …9 分 两式相减,得 …12 分 ……………12 分 BC EFADEFAD =,// EFDA DFAE // AE ⊄ PCD DF ⊂ PCD AE PCD PB E PB E F AFEFAE ,, EF PBC EF PC BCCF 2 1= ⊄EF PCD ⊂PC PCD //EF PCD BCAD // BCAD 2 1= CFADCFAD =,// DAFC CDAF // AF ⊄ PCD CD ⊂ PCD AF PDC FEFAF = //AEF PCD ⊂AE AEF AE PCD PB E *)()4 1( Nna n n ∈= 1 4 3log 2n nb a= − 3 2( *)nb n n N= − ∈ *)(23,)4 1( Nnnba n n n ∈−== *)(,)4 1()23( Nnnc n n ∈×−=∴ ,)4 1()23()4 1)53()4 1(7)4 1(44 11 132 nn n nnS ×−+(×−++×+×+×=∴ −  ∴ 1432 )4 1()23()4 1)53()4 1(7)4 1(4)4 1(14 1 +×−+(×−++×+×+×= nn n nnS  132 )4 1()23(])4 1()4 1()4 1[(34 1 4 3 +×−−++++= nn n nS  .)4 1()23(2 1 1+×+−= nn 2 3 2 1( ) ( *)3 3 4 n n nS n N +∴ = − × ∈ 19.解:(1)由题意得 ∴ . …………………………2 分 (2)当 时, ∴ .----------4 分 当 时, ∴当第 个月的当月利润率为 ……………………8 分 (4)当 时, 是减函数, 此时 的最大值为 ---10 分 当 时, 当且仅当 时,即 时, ,又 , ∴当 时, ………………………………………………12 分 答:该企业经销此产品期间,第 40 个月的当月利润率最大,最大值为 …13 分 20.(1) ,…………1 分 (1) (2) (3) (9) (10) 1f f f f f= = = = = = (10) 1(10) 81 (1) (9) 90 = =+ + + fg f f 1 20x≤ ≤ (1) (2) ( 1) ( ) 1f f f x f x= = = − = = ( ) 1 1( ) 81 (1) ( 1) 81 1 80 = = =+ + + − + − + f xg x f f x x x 21 60x≤ ≤ 2 ( )( ) 81 (1) (20) (21) ( 1) 1 10 81 20 (21) ( 1) 1 210 ( 21)( 20) 1600101 20 f xg x f f f f x x f f x x x x x x x = + + + + + + − = + + + + − = =− + − ++    x * * 2 1 (1 20, )80( ) 2 (21 60,1600  ≤ ≤ ∈ +=   ≤ ≤ ∈ − + ) x x Nxg x x x x Nx x 1 20x≤ ≤ 1( ) 80g x x = + ( )g x 1(1) 81g = 21 60x≤ ≤ 2 2 2 2 2( ) 16001600 792 1600 11 xg x x x x x = = ≤ =− + −+ − 1600x x = 40x = max 2( ) 79g x = 2 1 79 81 > 40x = max 2( ) 79g x = 2 79 ),(,22)( 00 2 yxPbaxxxf 设切点为+−=′ (2)若函数 处取得极值, (3)由(2)得 根据题意, 21.解(1)由 解得 所求椭圆方程为 ……3分 (2)设 AB 方程为 由 . ……………………………………………………5 分 由已知: = 解得            ……………………………………………………8分 (3)当 A 为顶点时,B 必为顶点,则 ,当 A,B 不为顶点时,设 AB 方程为 由     , . 2 0 0 0 2 0 0 0 2 2 ( ) ( ) 3 2 ( ) 3 2 0 , 1 4 12 0, 3 3 y f x P k f x x ax b f x x ax b a b a b ′= = = − + ′ = − + = ∴∆ = − ≥ ≥   则曲线 在点 的切线的斜率 由题意知 有解 分 即 分 31)( =−= xxxf 和可以在 2 2( ) 3 2 1 3, 3 , 3, 9 7 f x x ax b x x a b a b ′ = − + = − = ≥ = = −  则 有两个解 和 且满足 易得 分 cxxxxf +−−= 93)( 23 3 2 3 2 3 2 3 9 ( [ 2,6]) 8 ( ) 3 9 ( [ 2,6]) 1 5( ), (6) 54, ( 2) 2 11 ( ) 3 9 ( [ 2,6]) 54, 54. 12 c x x x x g x x x x x x g g g x x x x x c > − − ∈ − = − − ∈ − = − = − = − ∴ = − − ∈ − >     恒成立 分 函数 在 时有极大值 用求导的方法 且 分 函数 的最大值为 所以 分 3 ,2 1 ce a b  = =  = 2, 1.a b= = ∴ 2 2 1.4 y x+ = .y=kx+ 3 2 2 3 14 y kx y x  = + + = ⇒ ( ) 24 2 3 1 0x kx+ + − =2k 1 2 2 2 3 ,4 kx x k −+ = + 1 2 2 1 4x x k −⋅ = + ( )( )1 2 1 2 1 2 1 22 2 10 3 34 x x y ym n x x kx kxb a = = + = + + +   2 2 2 4 1 3 2 3 3.4 4 44 4 k kkk k + − ⋅ − + ⋅ + + +  2.k = ± AOBS 1∆ = .y=kx+m 2 2 14 y kx m y x = + + = ⇒ ( ) 2 24 2 4 0x kmx m+ + + − =2k 1 2 2 2 ,4 mkx x k −+ = + 2 1 2 2 4 4 mx x k −⋅ = + 又 ,即 ,知 ,   ……………11 分 = = = =1 三角形的面积为定值 1.      …………………………………………………14 分 湖北省黄冈中学高考数学模拟考试 3 一、选择题:本小题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分,在每小题所给的四个 选项中,只有一项 是符合题目要求的。 1.已知复数 若 为实数,则实数 的值为( ) A. B. C. D. 2.记函数 的反函数为 ,若 ,则 的最小值是( ) A. B. C. D. 3.已知 是两条不同的直线, 是两个不同的平面,有下列命题: ①若 ,则 ; ②若 , ,则 ; ③若 ,则 ; ④若 ,则 ; 其中真命题的个数是( ) A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个 4.已知“命题 ”是“命题 ”成立的必要不充分条件,则 实数 的取值范围为( ) A. B. C. D. 5.定义行列式运算: 将函数 的图象向左平移 个单位 ,若所得图象对应的函数为偶函数,则 的最小值是( ) A. B. C. D. 6.设集合 ,分别从集合 和 中随机取一个数 和 ,确定平面上的 一个点 ,记“点 落在直线 上”为事件 ,若事 1( ) 2xf x += 1( )f x− 1 1( ) ( ) 0f a f b− −+ = a b+ 1 2 2 2 4 2:( ) 3( )p x m x m− > − 2: 3 4 0q x x+ − < m 1 7m m> < −或 1 7m m≥ ≤ −或 7 1m− < < 7 1m− ≤ ≤ 0m n =   ( )( )1 2 1 2 1 04x x kx m kx m+ + + = 2 22 4m k− = AOB 1 2 1S 2 m x x∆ = ⋅ − ( )2 1 2 1 2 1 42 m x x x x⋅ + − 2 2 2 4 4 16 4 m k m k ⋅ − + + 24 2 m m ∴ 1 22 , 3 4 ,z m i z i= + = − 1 2 z z m 8 3 3 2 8 3 − 3 2 − m n、 α β、 , //m nα α⊂ //m n //m α //m β //α β ,m m nα⊥ ⊥ αn ,m mα β⊥ ⊥ //α β ,3241 43 21 aaaaaa aa −= 3 cos( ) 1 sin xf x x = m ( 0)m > m 3 2π 3 π 8 π π 6 5 {0,1 2,3} {0,1 2 3}A B= =, , ,, A B a b ( )P a b, ( )P a b, x y n+ = (0 6 )nC n n N≤ ≤ ∈, 件 的概率最大,则 的可能值为( ) A.3 B.4 C.2 和 5 D.3 和 4 7.已知 f(x)是定义在 R 上的函数,f(1)=1,且对任意 x∈R 都有 f(x+1)≤f(x)+1,f(x+ 5)≥f(x)+5,则 f(6)的值是( ) A.6    B.5 C.7    D.不能确定 8.称 为两个向量 、 间的“距离”.若向量 、 满足:① ;② ;③对 任意的 ,恒有 则( ) A、 B、 C、 D、 9.直线 与圆 交于 、 两点,若满足 ,则 ( 为 坐标原点)等于( ). A. B. C. D. 10. 已知函数 的定义域为[—2, ,部分对应值如下表, 为 的导函数,函数 的图象如右图所示: 若两正数 满足 ,则 的取值范围是( ) A. B. C. D. 二、填空题:本小题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分,将答案填在题中相应的横线上。 11. 若 的展开式中的 x3 项的系数为 20, 则非零实数 a = 12.在 0, 1,2,3,4,5 这六个数字所组成的没有重复数字的三位数中,其各个数字之和为 9 的 三位数共有 个(用数字做答) 13.若不等式 的解集中的整数有且仅有 1,2,3,则 b 的取值范围 _____ 14.如果直线 y=kx+1 与圆 交于 M、N 两点,且 M、N 关于直线 x+y=0 对称,则不等式组: 表示的平面区域的面积是 )3,3 1(− 0422 =−+++ mykxyx    ≥ ≤− ≥+− 0 0 01 y mykx ykx —2 0 4 1 —1 1 nC n ||),( babad −= a b a b 1|| =b ba ≠ Rt ∈ ),(),( badbtad ≥ ba ⊥ )( baa −⊥ )( bab −⊥ )()( baba −⊥+ 0Ax By C+ + = 2 2 4x y+ = M N 2 2 2C A B= + OM ON⋅  O 2− 1− 0 1 )(xf )∞+ )(' xf )(xf )(' xfy = ,a b (2 ) 1f a b+ < 3 3 b a + + )3 4,7 6( )3 7,5 3( )5 6,3 2( 26 )1()1( axx −+ 3 4x b− < x )(xf 15.已知:对于给定的 及映射 ,若集合 ,且 中所有元素对应 的象之和大于或等于 ,则称 为集合 的好子集。 ①对于 ,映射 ,那么集合 的所有好子集的个数为 ; ②对于给定的 , ,映射 的对应关系如下表: 1 2 3 4 5 6 1 1 1 1 1 若当且仅当 中含有 和至少 中 2 个整数或者 中至少含有 中 5 个整数时, 为集合 的好 子集,写出所有满足条件的数组 : 。 三、解答题:本大题共 6 小题,75 分,解答应写出必要的文字说明,证明过程或演算步骤。 16.(本小题满分 12 分) 已知 ,设 . (1)求函数 的最小正周期; (2)当 时,求函数 的最大值及最小值. 17.(本小题满分 12 分) 如图,在三棱锥 P-ABC 中, PA=3,AC=AB=4,PB=PC=BC=5,D、E 分别是 BC、AC 的中点, F 为 PC 上的一点,且 PF:FC=3:1. (1)求证:PA⊥BC; (2)试在 PC 上确定一点 G,使平面 ABG∥平面 DEF; (3)在满足(2)的情况下,求二面角 G-AB-C 的平面 角的正切值. 18.(本小题满分 12 分) 一个口袋中装有 2 个白球和 个红球( 且 ),每次从袋中摸出两个球(每次摸球后把 这两个球放回袋中),若摸出的两个球颜色相同为中奖,否则为不中奖。 (1)试用含 的代数式表示一次摸球中奖的概率; (2)若 ,求三次摸球恰有一次中奖的概率; A *q N∈ : , *f A B B N→ ⊆ C A⊆ C q C A { }2, , ,q A a b c= = : 1,f x x A→ ∈ q 1,2,3,4,5,6,A π= :f A B→ x π ( )f x y z C π A C A C A ( , , )q y z )cos2,sin(cos),sin,sin(cos xxxbxxxa −=+= baxf ⋅=)( )(xf [0, ]2x π∈ )(xf n 2n ≥ n N ∗∈ n 3n = A P B C DE F (3)记三次摸球恰有一次中奖的概率为 ,当 为何值是时, 最大? 19.(本小题满分 12 分) 已知 ,其中 是自然常数, (1)讨论 时, 的单调性、极值; (2)求证:在(1)的条件下, ; (3)是否存在实数 ,使 的最小值是 3,若存在,求出 的值;若不存在,说明理由. 20.(本题满分 13 分) 在 四 边 形 中 , 已 知 , 点 在 轴 上 , , 且 对 角 线 . (Ⅰ)求点 的轨迹方程; (Ⅱ)若点 是直线 上任意一点,过点 作点 的轨迹的两切线 、 , 、 为切点, 为 的中点.求证: 轴; (Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,直线 是否恒过一定点?若是,请求出这个定点的坐标;若不是, 请说明理由. 21.(本小题满分 14 分) 设单调递增函数 的定义域为 ,且对任意的正实数 x,y 有: 且 . ⑴、一个各项均为正数的数列 满足: 其中 为数列 的前 n 项和,求数列 的通项公式; ⑵、在⑴的条件下,是否存在正数 M 使下列不等式: 对一切 成立?若存在,求出 M 的取值范围;若不存在,请说明理由 x xxgexxaxxf ln)(],,0(,ln)( =∈−= e .a R∈ 1=a ( )f x 1( ) ( ) 2f x g x> + a ( )f x a ( )f p n ( )f p ABCD (0,0), (0,4)A D B x //BC AD AC BD⊥ C P 52 −= xy P C PE PF E F M EF PM ⊥ x EF ( )f x ( )0,+∞ ( ) ( ) ( )f xy f x f y= + 1( ) 12f = − { }na ( ) ( ) ( 1) 1n n nf s f a f a= + + − nS { }na { }na 1 2 1 22 2 1(2 1)(2 1) (2 1)n n na a a M n a a a⋅ ≥ + − − −  *n N∈ 高考数学交流题参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D D A B D A A C A B 11. 5 12. 16 13. 14. 5 < b < 7 15. 4 (5,1,3) 16.(本小题满分 12 分) (1) = = …………2 分 = = = = ∴ 的最小正周期 . …………6 分 (2) ∵ , ∴ . …………8 分 ∴当 ,即 = 时, 有最大值 ; …………10 分 当 ,即 = 时, 有最小值-1. …………12 分 17.(本小题满分 12 分) 解:(1) 在△PAC 中,∵PA=3,AC=4,PC=5, ∴ ,∴ ;……1 分 又 AB=4,PB=5,∴在△PAB 中, 同理可得 …………………………2 分 ∵ ,∴ …… ∵ 平面 ABC,∴PA⊥BC. …………3 分 (2) 如图所示取 PC 的中点 G,…………………4 分 4 1  baxf ⋅=)( xxxxxx cos2sin)sin(cos)sin(cos ⋅+−⋅+ xxxx cossin2sincos 22 +− xx 2sin2cos + )2sin2 22cos2 2(2 xx + 2(sin cos2 cos sin2 )4 4x x π π+ )42sin(2 π+x )(xf π=T 0 x≤ ≤ 2 π 524 4 4x π π π≤ + ≤ 242 ππ =+x x 8 π )(xf 2 52 4 4x π π+ = x 2 π )(xf 222 PCACPA =+ ACPA ⊥ ABPA ⊥ AABAC = ABCPA 平面⊥ ⊂BC 连结 AG,BG,∵PF:FC=3:1,∴F 为 GC 的中点 又 D、E 分别为 BC、AC 的中点, ∴AG∥EF,BG∥FD,又 AG∩GB=G,EF∩FD=F,……………6 分 ∴面 ABG∥面 DEF. 即 PC 上的中点 G 为所求的点. …………… 7 分 (3)由(2)知 G 这 PC 的中点,连结 GE,∴GE⊥平面 ABC,过 E 作 EH⊥AB 于 H,连结 GH,则 GH⊥AB,∴∠EHG 为二面角 G-AB-C 的平面角. …………… 9 分 ∵ 又 ∴ 又 …………… 11 分 ∴ ∴二面角 G-AB-C 的平面角的正切值为 . …………… 12 分 18.(本小题满分 12 分) 解:(1)∵一次摸球从 个球中任选两个,有 种选法, 任何一个球被选出都是等可能的,其中两球颜色相同有 种选法, ∴一次摸球中奖的概率 . (2)若 ,则一次摸球中奖的概率 , 三次摸球是独立重复试验,三次摸球恰有一次中奖的概率是 . (3)设一次摸球中奖的概率为 ,则三次摸球恰有一次中奖的概率为 , , ∵ , ∴ 在 上为增函数,在 上为减函数. ∴当 时, 取得最大值. ∵ ≥ , 解得 . 8 395 2 1 == ∆∆ ABCABE SS EHABS ABE ⋅=∆ 2 1 16 395 4 4 395 2 === ∆ AB SEH ABE 2 3 2 1 == PAGE 65 398 395 16 2 3tan =×==∠ EH EGEHG 65 398 2n + 2 2Cn+ 2 2 2C Cn + 2 2 2 2 2 2 2 C C 2 C 3 2 n n n np n n+ + − += = + + 3n = 2 5p = 1 2 3 3 54(1) C (1 ) 125P p p= ⋅ ⋅ − = p ( ) ( )21 3 2 3 3(1) C 1 3 6 3f p P p p p p p= = ⋅ ⋅ − = − + 0 1p< < ( ) ( )( )29 12 3 3 1 3 1f p p p p p′ = − + = − − ( )f p 10 3     , 1 13     , 1 3p = ( )f p 2 2 2 1 3 2 3 n np n n − += =+ + (n )*2, n∈N且 2n = 故当 时,三次摸球恰有一次中奖的概率最大. 19.(本小题满分 12 分) (1) , ∴当 时, ,此时 单调递减 当 时, ,此时 单调递增 ∴ 的极小值为 (2) 的极小值为 1,即 在 上的最小值为 1, ∴ , 令 , , ……6 分 当 时, , 在 上单调递增 ……7 分 ∴ ∴在(1)的条件下, (3)假设存在实数 ,使 ( )有最小值 3, ①当 时, 在 上单调递减, , (舍去),所以, 此时 无最小值. ……10 分 ②当 时, 在 上单调递减,在 上单调递增 , ,满足条件. ③ 当 时, 在 上单调递减, , (舍去),所 以,此时 无最小值.综上,存在实数 ,使得当 时 有最小值 3. 20.(本小题满分 13 分) (Ⅰ)如图,设点 的坐标为 , 则 ,  xxxf ln)( −= x x xxf 111)( −=−=′ 10 << x / ( ) 0f x < ( )f x ex <<1 / ( ) 0f x > ( )f x ( )f x 1)1( =f  ( )f x ( )f x ],0( e 0)( >xf min( ) 1f x = 2 1ln 2 1)()( +=+= x xxgxh x xxh ln1)( −=′ ex <<0 0)( >′ xh ( )h x ],0( e minmax |)(|12 1 2 1 2 11)()( xfeehxh ==+<+== 1( ) ( ) 2f x g x> + a xaxxf ln)( −= ],0( ex ∈ / 1( )f x a x = − x ax 1−= 0≤a )(xf ],0( e 31)()( min =−== aeefxf ea 4= )(xf ea << 10 )(xf )1,0( a ],1( ea 3ln1)1()( min =+== aafxf 2ea = ea ≥1 )(xf ],0( e 31)()( min =−== aeefxf ea 4= )(xf 2ea = ],0( ex ∈ ( )f x 2n = C ),( yx )0,0( ≠≠ yx ( ,0), ( , ), ( ,4)B x AC x y BD x= = −  , ,即 . ∴所求的轨迹 是除去顶点的抛物线 ……………… 3 分 (解法一)(Ⅱ)对函数 求导得, . 设切点坐标为 ,则过该切点的切线的斜率是 ,该切线方程是 . 又设点 的坐标为 , 切线过点 , 有 , 化简,得 . …………………………6 分 设 、 两点的坐标分别为 、 ,则 、 为方程 的两根, . 因此,当 时,直线 与 轴重合,当 时,直线 与 轴平行 …………9 分 (Ⅲ) . 点 的坐标为 . 又 . 直线 的方程为: ,即 .………( ) 当 时,方程( )恒成立, 对任意实数 ,直线 恒过定点,定点坐标为 . …………………………14 分 ( 解 法 二 ) ( Ⅱ ) 设 点 的 坐 标 为 , 利 用 切 点 弦 直 线 方 程 的 结 论 可 得 出 直 线 的 方 程 为 ,即 …………………………7 分 由 得 . . . 因此,当 时,直线 与 轴重合,当 时,直线 与 轴平行. ……………9 分 (Ⅲ) 由(Ⅱ)得知直线 的方程为 ,即 . 后面解法同解法一. AC BD⊥   ( ) 4 0x x y∴ ⋅ − + ⋅ = 21 4y x x= ≠ ( 0) T 21 4y x= 1 2y x′ = 2 0 0 1( , )4x x 0 1 2 x 2 0 0 0 1 1 ( )4 2y x x x x− = − P )52,( −tt  P ∴ )(2 1 4 152 00 2 0 xtxxt −=−− 02082 0 2 0 =−+− ttxx A B 2 1 1 1( , )4x x 2 2 2 1( , )4x x 1x 2x 020822 =−+− ttxx 208,2 2121 −==+ txxtxx 1 2 2M x xx t +∴ = = 0=t PM y 0≠t PM y  2 2 1 2 1 1 1( )2 4 4My x x= + 522 1)]208(24[8 1]2)[(8 1 22 21 2 21 +−=−−=−+= ttttxxxx ∴ M )522 1,( 2 +− ttt 2 21 1 1 24 4 1 2 1 2 1 1 1( ) 24 4 2AB x xk x x t tx x −= = + = ⋅ =− ∴ AB )(2 1)522 1( 2 txttty −=+−− 0210)4( =−+− yxt ∗  5,4 == yx ∗ ∴ t AB )5,4( P )52,( −tt AB txty 4 1 2 )52( =−+ 522 1 +−= ttxy    = +−= .4 1 ,52 2 2 1 xy ttxy 020822 =−+− ttxx 208,2 2121 −==+∴ txxtxx 1 2 2M x xx t +∴ = = 0=t PM y 0≠t PM y AB 522 1 +−= ttxy 0210)4( =−+− yxt 21.(本小题满分 13 分) ⑴、 对任意的正数 均有 且 .………2 分 又 ,  ………………………………………………………4 分 又 是定义在 上的单增函数, . 当 时, , . , . 当 时, , . , 为 等 差 数 列 , , . …………………………………………………………………6 分 ⑵、假设 存在满足条件, 即 对一切 恒成立. ……………8分 令 , , ……………………………10 分 故 ,…………………………………12 分 , 单调递增, , . .  ……………………………………………………………………14 分  x y、 ( ) ( ) ( )f xy f x f y= + 1( ) 12f = −  10 ( ) ( ) ( 1) 1 ( ) ( 1) ( )2n n n n n na f S f a f a f a f a f> = + + − = + + +且 ∴ 2 1( ) [( ) ]2n n nf S f a a= + × ( )f x ( ]0,+∞ ∴ 21 ( )2n n nS a a= + 1n = 2 1 1 1 1 ( )2a a a= + 2 1 1 0a a∴ − = 1 0a > 1 1a∴ = 2n ≥ 2 2 1 1 12 2 2n n n n n n na S S a a a a− − −= − = + − − 1 1( )( 1) 0n n n na a a a− −∴ + − − = 10 1( 2)n n na a a n−> ∴ − = ≥ { }na∴ 1 1, 1a d= = na n∴ = M 1 2 1 2 2 2 1(2 1)(2 1) (2 1) n n n a a aM n a a a ≤ + − − −   *n N∈ 1 2 1 2 2( ) 2 1(2 1)(2 1) (2 1) n n n a a ag n n a a a = + − − −   ∴ 12 1 2 ( 1)( 1) 2 3 1 3 (2 1)(2 1) n n ng n n n n + × × × × × ++ = + × × × × − +   2 2 ( 1) 2 2 4 8 4 1( ) 4 8 32 1 2 3 g n n n n g n n nn n + + + += = >+ ++ + ( 1) ( )g n g n∴ + > ∴ ( )g n *n N∴ ∈ ( ) (1)g n g≥ = 2 3 3 ∴ 2 30 3M< ≤ 湖北省黄冈中学高考数学模拟考试 4 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是 满足题目要求的。 1. 不等式 10 成立的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.非充分非必要条件 2.已知 , ,且 ∥ ,则 为( ) A、 B、 C、 或 D、 或 3. 设集合 , , , 若 ,则 b = c 的概率是 A B C D 4. .向量 =( ), 是直线 y=x 的方向向量,a =5,则数列 的前 10 项的和 A 50 B 100 C 150 D 200 5. , 则 被3除的余数是 A.0 B.1 C.2 D.不能确定 6. 已知 x,y 满足条件Error!则 z= x+y+2 x+3 的最小值( ) A 4 B C D - 7. 函数 图象如图,则函数 的单调递减区间为 (A) (B) (C) (D) 8.若动直线 与函数 的图象分别交于 M、N 两点, 则|MN|的最大值为 A. B 1 C 2 D 3 9. 直线 MN 与双曲线 C: 的左右支分别交与 M、N 点,与双曲线 C 的右准线相交于 P 点, F 为右焦点,若 ,又 ( ),,则实数 的值为 A B 1 C 2 D 2 π ( )1,2= → a 52= → b → a → b b → ( )2,4− ( )2,4 ( )2,4 − ( )2,4− ( )2,4 −− ( )2,4 }1,{bP = }2,1,{cQ = QP ⊆ }9,8,7,6,5,4,3,2{, ∈cb 8 1 4 1 2 1 4 3 V n nn n a aaa 2,2 2 1 1 + + − V 1 { }na 2010 2010 2 210 2010)42( xaxaxaax ++++=+  2010420 aaaa ++++  6 13 3 1 3 2 3 2( )f x x bx cx d= + + + )33 2(log 2 2 cbxxy ++= ),2 1[ +∞ ),3[ +∞ ]3,2[− ]2,( −−∞ ax = )12cos()()12sin(3)( ππ +=+= xxgxxf 与 3 12 2 2 2 =− b y a x FNFM 2= PMNP λ= R∈λ λ 2 1 3 1 -2 3 y x 0 10. 已知两个不相等的实数 满足以下关系式: ,则连接 A 、 B 两点的直 线与圆心在原点的单位圆的位置关系是 . A 相离 B 相交 C 相切 D 不能确定 二、填空题:本大题共 5 小题,每题 5 分,共 25 分.请将答案填在答题卡对应题号的位置上。 11. 如果函数 f(x)= 则不等式 xf(x) 的解集为_______________. 12. 设递增等差数列 的公差为 d,若 a ,a ,a ,a ,a ,a ,a 的方差为 1,则 d=________. 13. 将A、B、C、D、E五种不同的文件放入一排编号依次为1、2、3、4、5、6的六个抽屉内,每个 抽屉至多放一种文件.若文件A、B必须放入相邻的抽屉内,文件C、D也必须放相邻的抽屉内,则文 件放入抽屉内的满足条件的所有不同的方法有 96 种. 14. 已知点 M 是抛物线 y =4x 的一点,F 为抛物线的焦点,A 在圆 C:(x-4) +(y-1) =1 上,则 的最小值为__________ 15. . 如 图 , 在 三 棱 锥 中 , 、 、 两 两 垂 直 , 且 . 设 是 底 面 内 一 点 , 定 义 , 其中 、 、 分别是三棱锥 、 三棱锥 、 三 棱 锥 的 体 积 . 若 , 且 恒成立,则正实数 的最小值为________. 1 16.已知锐角 的三内角 A、B、C 的对边分别是 (1)求角 A 的大小; (2)求 的值。 P ABC− PA PB PC 3, 2, 1PA PB PC= = = M ABC ( ) ( , , )f M m n p= m n p M PAB− M PBC− M PCA− 1( ) ( , , )2f M x y= 1 8a x y + ≥ a a b、 2 04a sin a cos πθ θ⋅ + ⋅ − = , 2 04b sin b cos πθ θ⋅ + ⋅ − = ( )2a ,a ( )2b ,b    >− ≤ 11 11 x x 0≥ { }na 1 2 3 4 5 6 7 2 2 2 MFMA + ABC∆ .3tan)(,,, 222 bcAacbcba =−+且 )]10tan(31[)10sin( °−−⋅°+ AA 第 15 题 M C B A P 17..某地区试行高考考试改革:在高三学年中举行 5 次统一测试,学生如果通过其中 2 次测试即可 获得足够学分升上大学继续学习,不用参加其余的测试,而每个学生最多也只能参加 5 次测试. 假 设某学生每次通过测试的概率都是 ,每次测试通过与否互相独立. 规定:若前 4 次都没有通过测 试,则第 5 次不能参加测试. (Ⅰ) 求该学生考上大学的概率. (Ⅱ) 如果考上大学或参加完 5 次测试就结束,记该生参加测试的次数为ξ,求 P( ) 18.如图,在 中, ,斜边 . 可以通过 以直线 为轴旋转得到,且二面角 是直二面角.动点 的斜边 上. (1)求证:平面 平面 ; (2)当 为 的中点时,求异面直线 与 所成角的大小; (3)求 与平面 所成角的最大值. 19. 如图,已知直线 的右焦点 F,且交椭圆 C 于 A,B 两点,点 A,F,B 在直线 上的射影依次为点 D,K,E,若抛物线 的焦点为椭圆 C 的上顶点。 (1)求椭圆 C 的方程; (2)若直线 L 交 y 轴于点 M,且 ,当 m 变 化时,求 的值; Rt AOB△ π 6OAB∠ = 4AB = Rt AOC△ Rt AOB△ AO B AO C− − D AB COD ⊥ AOB D AB AO CD CD AOB 1 3 3>ξ )0(1:1: 2 2 2 2 >>=++= bab y a xCmyxL 过椭圆 2: axG = yx 342 = BFMBAFMA 21 , λλ == 21 λλ + O C A D B 20.已知函数 f(x)=ax +bx +cx 在 x=x 处取得极小值-4,使其导数 f (x)>0 的 x 的取值范围 (1,3)。 (1)求 f(x)的解析式; (2)若过点 A(-1,m)可作曲线 y=f(x)的三条切线,求实数 m 的取值范围。 21.已知数列 满足 , ,若 b = a -a (I)证明:数列 为等比数列,并求数列 的通项公式. (II)求使不等式 成立的所有正整数 m,n 的值. 参考答案 1-10 ADCAC CDCAB 11. 12. 13.96 14.4 15.1 解:(1)由已知条件及余弦定理得 ∴ . ∵ ……………………6 分 (2) = sin70 3 2 0 ' { }na 1 2a 2,a 3= = n+1 n n 12a 3a a −= − ( )*n N n 2∈ ≥且 1+n 1+n n { }nb { }na n n 1 a m 2 a m 3+ − <− { }1x0,1 ≤≤−< 或xx 2 1 3 sin 3tan , ,2 cos cos 2cos bc AA bc A A A = ∴ = 3sin 2A = (0, )2A π∈ , .3A π=故 )50cos 50sin31(70sin)]10tan(31)[10sin( ° °−°=°−−°+ AA    50cos 50sin350cos − =2sin70 = =- =-1 ……….12 17. 解 : ( Ⅰ ) 记 “ 该 生 考 上 大 学 ” 的 事 件 为 事 件 A , 其 对 立 事 件 为 , 则 ∴ ……6 分 (Ⅱ)该生参加测试次数ξ的可能取值为 2,3,4,5. , ∴ P( )=P( =4)+P( =5) = ………………12 18.解:(I)由题意, , , 是二面角 的平面角, 又 二面角 是直二面角, ,又 , 平面 , 又 平面 . 平面 平面 .--------------------------------------------------------4 分 (II)作 ,垂足为 ,连结 ,则 , 是异面直线 与 所成的角. - -------------------------5 分 在 中, , , . 又 . 在 中, . - --------------------7 分 异面直线 与 所成角的大小为 .- ----------------------8 分 (III)由(I)知, 平面 , 是 与平面 所成的角,且 . 当 最小时, 最大 ------------------10 分 CO AO⊥ BO AO⊥ BOC∴∠ B AO C− −  B AO C− − CO BO∴ ⊥ AO BO O=  CO∴ ⊥ AOB CO ⊂ COD ∴ COD ⊥ AOB DE OB⊥ E CE DE AO∥ CDE∴∠ AO CD Rt COE△ 2CO BO= = 1 12OE BO= = 2 2 5CE CO OE∴ = + = 1 32DE AO= = ∴ Rt CDE△ 5 15tan 33 CECDE DE = = = ∴ AO CD 15arctan 3 CO ⊥ AOB CDO∴∠ CD AOB 2tan OCCDO OD OD = = OD CDO∠    50cos )5030sin( −   40sin 20cos20sin2 A .243 112 81 16 243 64)3 2()3 2()3 2)(3 1()( 431 4 =+=+= CAP 112 131( ) 1 ( ) 1 .243 243P A P A= − = − = 2 1 4 3 1 2 1 2 4 16 28( 4) ( )3 3 3 3 27 81 81P Cξ      = = ⋅ ⋅ ⋅ + = + = 3 1 4 1 2 32( 5) .3 3 81P Cξ            = = ⋅ ⋅ = 3>ξ ξ ξ 27 20 这时, ,垂足为 , , , 与平面 所成角的最大值为 .- ----------------------12 19. 解:(1)易知 …………………4 分 (2)设 …………………………8分 又由 同理 …………………………………12分 20.解:(1)f (x)=3ax +2bx+c,依题意有 a>0, 1,3 分别为 f(x)的极值小,极大值点…2 分 解得 a=-1 b=6 c=-9 ……………………6 分 (2)设过 P 点的切线切曲线(x ,y ),则切线的斜率 k=-3 x +12 x -9 切线方程为 y=(-3 x +12 x -9)(x+1)+m, OD AB⊥ D 3=⋅= AB OBOAOD 3 32tan =∠CDO CD∴ AOB 2 3arctan 3 ∴ )0,1(,33 2 Fbb 又=∴= 41 222 =+==∴ cbac 134 22 =+∴ yxC的方程为椭圆 )1,0( mMyl −轴交于与    =−+ += 01243 1),(),,( 222211 yx myxyxByxA 由 0)1(144096)43( 222 >+=∆=−++∴ mmyym (*)3 211 21 m yy =+∴ ),1()1,( 111111 yxmyxAFMA −−=+∴= λλ 1 1 11 my −−=∴λ 2 2 11 my −−=λ 3 8 3 22)11(12 21 21 −=−−=+−−=+∴ yym λλ 3 8 21 −=+∴ λλ ' 2 4)1( 0)3( 0)1( ' ' = = =    f f f 0 0 0 2 0 0 2 0 故 y =(-3 x +12 x -9)(x +1)+m=- x +6 x -9 x ……………..8 分 要使过 P 可作曲线 y=f(x)三条切线,则方程关于(-3 x +12 x -9)(x +1)+m=- x +6 x -9 x 有三解。m=2 x -3 x -12 x +9,令 g(x)= 2 x -3 x -12 x+9, g (x)=6x -6x-12=6(x+1)(x-2)=0,易知 x=-1,2 为 g(x)的极值大、极小值点 …10 分 故 g(x) =-11,g(x) =16, 故满足条件的 m 的取值范围-11a …………8 分 ∴a >m>a ( n 2), 即 当 n=2,解得 2 + − 1 1 n n am am 3≥    << ≥> + − 4 3 1 1 n n am am n n 1 a m 2 a m 3+ − <− ma ma − − 2 1 湖北省黄冈中学高考数学模拟考试 5 一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是 符合题目要求的) 1.已知 为两不相等的实数,集合 ,映射 表示把 中的元素 映射到集合 中仍为 ,则 等于( ) A.1 B.2 C.3 D.4 2.已知 为平面,命题 p:若 ,则 ;命题 q:若 上不共线的三点到 的距离相等,则 .对以上两个命题,下列结论中正确的是( ) A.命题“p 且 q”为真 B.命题“p 或 ”为假 C.命题“p 或 q”为假 D.命题“ ”且“ ”为假 3.设随机变量 服从标准正态分布 ,已知 ,则 = ( ) A.0.025 B.0.050 C.0.950 D.0.975 4. 若不等式 的解集为 ,则实数 的值为( ). A. B. C.36 D. 5.已知函数 为偶函数 ,其图像与直线 y=2 某两个交点的横坐标分别为 x1、 x2,若|x2-x1|的最小值为 ,则该函数在区间( )上是增函数。 A. B. C. D. 6.函数 与 轴交点的个数是 ( ) A、0 B、1 C、2 D、3 7.如果关于 x 的一元二次方程 中,a、b 分别是两次投掷骰子所得的点 数,则该二次方程有两个正根的概率 P= ( ) A. B. C. D. 8.已知 是等比数列, ,则 的取值范围是( ) , ,α β γ ,βα ⊥ β γ⊥ //α γ α β βα // q¬ p¬ q¬ ξ ( 0 1)N , ( 1.96) 0.025Φ − = (| | 1.96)P ξ < ,a b 2 2{ 4 , 1}, { 4 1, 2}M a a N b b= − − = − + − :f M N→ M x N x a b+ 3 2x ax> + ( )4,b b 9 18 48 2sin( )y xω θ= + (0 )θ π< < π ,2 4 π π − −   ,4 4 π π −   0, 2 π     3,4 4 π π     ( ) 2 3 1 2 3 x xf x x= + + + x 09)3(2 22 =+−−− bxax 18 1 9 1 6 1 18 13 { }na 4 1,2 52 == aa ( )∗ + ∈+⋅⋅⋅++ Nnaaaaaa nn 13221 A. B. C. D. 9.已知 、 为非零的不共线的向量,设条件 ;条件 对一切 ,不等式 恒成立.则 是 的(  ) A.必要而不充分条件       B.充分而不必要条件 C.充分而且必要条件       D.既不充分又不必要条件 10. 已知双曲线 的离心率为 e,左、右两焦点分别为 F1、F2,焦距为 ,抛物线 C 以 F2 为顶点,F1 为焦点,点 P 为抛物线与双曲线右支上的一个交点,若 a|PF2|+c|PF1| =8a2,则 e 的值为 ( ) A. 3 B. 3 C. 2 D. 6 二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分. 把答案填在答题卡的相应位置上. 11 . 若 , 且 , 则 实 数 的 值 为 __________. 12.在 的边 上有 、 、 、 四点, 边上有 、 、 、 , 五点,共 9 个点,连结线段 ,如果其中两条线段不相交,则称之为一对“和睦线”,则共有 _______________对. 13.如图,O 是半径为 1 的球心,点 A、B、C 在球面上, OA、OB、OC 两两垂直,E、F 分别为大圆弧 AB 与 AC 的中点,则点 E、F 在该球上的球面距离是______ 14.已知 的最大值为 15.直线 和圆 交于点 A、B,以 轴的正方向为始边,OA 为终边(O 是坐标原 点)的角为 ,OB 为终边的角为 ,那么 是 . 三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16. (本小题满分 12 分)已知向量 ,定义函数 [ )16,12 [ )16,8      3 32,8      3 32,3 16 a b :M ( )bab −⊥ :N Rx ∈ babxa −≥− M N 2 2 2 2: 1( 0, 0)x yE a ba b − = > > 2c 6 6 2 210 6)1( xaxaxaamx +⋅⋅⋅+++=+ 1 2 6 63a a a+ +⋅⋅⋅+ = m AOB∠ OA 1A 2A 3A 4A OB 1B 2B 3B 4B 5B (1 4,1 5)i j≤ ≤ ≤ ≤ yxyxz yx yx 42, 3 1)2()2( 22 22 +++=    ≤+ ≤−+− 则 2y x m= + 2 2 1x y+ = x α β sin( )α β+ ( ) ( )2sin ,cos , 3 cos ,2cosm x x n x x= =  ,求函数 的最小正周期、单调递增区间. 17.(本题满分 12 分) 某地区试行高考考试改革:在高三学年中举行 5 次统一测试,学生如果通过其中 2 次测试即可 获得足够学分升上大学继续学习,不用参加其余的测试,而每个学生最多也只能参加 5 次测试. 假 设某学生每次通过测试的概率都是 ,每次测试通过与否互相独立. 规定:若前 4 次都没有通过测 试,则第 5 次不能参加测试. (Ⅰ) 求该学生考上大学的概率. (Ⅱ) 如果考上大学或参加完 5 次测试就结束,记该生参加测试的次数为ξ,求ξ的分布列及ξ的 数学期望. 18(本小题满分 12 分)如图,在四棱锥 P-ABCD 中,底面 ABCD 为直角梯形,且 AB//CD,AB⊥AD, AD=CD=2AB=2.侧面 为正三角形,且平面 PAD⊥平面 ABCD. (1) 若 M 为 PC 上一动点,则 M 在何位置时,PC⊥平面 MDB? 并加已证明. (Ⅱ)若 G 为 的重心,求二面角 G—BD—C 大小 19.(本小题满分 12 分)设函数 。 (Ⅰ)若在定义域内存在 ,而使得不等式 能成立,求实数 的最小值; (Ⅱ)若函数 在区间 上恰有两个不同的零点,求实数 的取值范围。 20.(本题满分 13 分) 已知椭圆 ,直线 与椭圆交于 、 两点, 是线段 的中点,连接 并延长交椭圆于点 。 (Ⅰ)设直线 与直线 的斜率分别为 、 ,且 ,求椭圆的离心率的取值范 围。 (Ⅱ)若直线 经过椭圆的右焦点 ,且四边形 是面积为 的平行四边形,求直线 倾 斜 角 的大小。 2( ) (1 ) 2ln(1 )f x x x= + − + 0x 0( ) 0f x m− ≤ m 2( ) ( )g x f x x x a= − − − [ ]0,2 a ( ) ( )( )log 1 0, 1af x m n a a= − > ≠   ( )f x 1 3 PAD∆ PBC∆ 2 2 2 2 1( 0)x y a ba b + = > > l A B M AB OM C AB OM 1k 2k 1 2 1 2k k⋅ ≥ − AB ( ,0)F c OACB 3 5 10 ac AB A B C D P (21)(本小题共 14 分) 如果正数数列 满足:对任意的正数 M,都存在正整数 ,使得 ,则称数列 是 一个无界正数列. (Ⅰ)若 , 分别判断数列 、 是否为无界正数列,并说明理由; (Ⅱ)若 ,是否存在正整数 ,使得对于一切 ,有 成立; (Ⅲ)若数列 是单调递增的无界正数列,求证:存在正整数 ,使得 . 参考答案及评分标准 1-5 DCCCA 6-10 BACCA 11.1 或-3 12。 60 13。 14。15 15。 16.解:因为 所以 故 …………6 分 令 ,则 的单调递增的正值区间是 ,单调递减的正值区间是 { }na 0n 0na M> { }na ( )3 2sin( ) 1,2,3,na n n= + =  1 , 1,3,5, , 1, 2,4,6, ,2 n nnb n n  ==  + =   { }na { }nb 2na n= + k n k≥ 1 2 2 3 1 1 2 n n aa a na a a + + + + < − { }na m 1 2 2 3 1 2009m m m aa a a a a + −+ + + < 3 π 4 5 − 22 3sin cos 2cos 3sin 2 cos2 1m n x x x x x= + = + +   ( ) ( )log 3 sin 2 cos 2 log 2sin 2 6a af x x x x   = + = +     π 2 2T = =π π ( ) 2sin 2 6g x x = +   π ( )g x ( ),12 6k k k Z − + ∈   π ππ π ( )5,6 12k k k Z π ππ π + + ∈  当 时,函数 的单调递增区间为 当 时,函数 的单调递增区间为 (注:区间为开的不扣 分)…………12 分 17 . 解 : ( Ⅰ ) 记 “ 该 生 考 上 大 学 ” 的 事 件 为 事 件 A , 其 对 立 事 件 为 , 则 ∴ ……6 分 (Ⅱ)该生参加测试次数ξ的可能取值为 2,3,4,5. , , , 故ξ的分布列为: ……12 分 18.解:(1)当 M 为 PC 的中点时,PC⊥平面 MDB.------------------1 分 事实上,连 BM,DM,取 AD 的中点 N,连 NB,NP. 因为 ,且平面 PAD 平面 ABCD,所以 PN⊥平面 ABCD. 在 中, ,所以 ,又 所以 ,又 , 平面 MDB, 而 PD=DC=2,所以 ,所以 平面 MDB------------------6 分 (2)易知 G 在中线 BM 上,过 M 作 于 F,连 CF, 因为 平面 MDB,所以 , 故 是二面角 G—BD—C 的平面角 ------------------9 分 在 中, ,所以 ,又 所以 ,故二面角 G—BD—C 的大小为 ----------------12 分 19.解:(Ⅰ)要使得不等式 能成立,只需 。 求 导 得 : , ∵ 函 数 得 定 义 域 为 0( ) 0f x m− ≤ min( )m f x≥ 1 2 ( 2)( ) 2(1 ) 21 1 x xf x x x x +′ = + − =+ + ( )f x 0 1a< < ( )f x ( )5,6 12k k k Z + + ∈  π ππ π 1a > ( )f x ( ),12 6k k k Z − + ∈   π ππ π A .243 112 81 16 243 64)3 2()3 2()3 2)(3 1()( 431 4 =+=+= CAP 112 131( ) 1 ( ) 1 .243 243P A P A= − = − = 21 1( 2) 3 9P ξ      = = = 1 2 1 2 1 4( 3) . . .3 3 3 27P Cξ = = = 2 1 4 3 1 2 1 2 4 16 28( 4) ( )3 3 3 3 27 81 81P Cξ      = = ⋅ ⋅ ⋅ + = + = 3 1 4 1 2 32( 5) .3 3 81P Cξ            = = ⋅ ⋅ = .81 326 81 32581 28427 439 12 =×+×+×+×=ξE PN AD⊥ ⊥ Rt PNB∆ 3, 2PN NB= = 5PB = 5BC = BN PC⊥ MD BM M= ,MD BM ⊂ DM PC⊥ PC ⊥ MF BD⊥ PC ⊥ CF BD⊥ MFC∠ Rt BDC∆ 5, 2, 5BD DC BC= = = 4 5 5CF = 2CM = 10sin 4MFC∠ = 10arcsin 4 ,当 时, ,∴函数 在区间 上是减函数; 当 时, ,∴函数 在区间(0,+∞)上是增函数。 ∴ , ∴ 。故实数 的最小值为 。 ………6 分 (Ⅱ)由 得: 原题设即方程 在区间 上恰有两个相异实根。 设 。∵ ,列表如下: - 0 + 减函数 增函数 ∵ ,∴ 。 从而有 , 画出函数 在区间 上的草图(见右下) 易知要使方程 在区间 上恰有 两 个 相 异实根, 只需: , 即: 。 ………12 分 20.(1)解法一:设 , , ,则 两式相减,得: 又 , , , 可得 ( 1, )− +∞ ( 1,0)x∈ − ( ) 0f x′ < ( )f x ( 1,0)− (0, )x∈ +∞ ( ) 0f x′ > ( )f x min( ) (0) 1f x f= = 1m ≥ m 1 2( ) (1 ) 2ln(1 )f x x x= + − + 2 2( ) (1 ) 2ln(1 ) ( ) 1 2ln( 1)g x x x x x a x x a= + − + − + + = + − + − (1 ) 2ln(1 )x x a+ − + = [ ]0,2 ( ) (1 ) 2ln(1 )h x x x= + − + ( ) 2 11 1 1 xh x x x −′ = − =+ + x 0 ( )0,1 1 ( )1,2 2 ( )h x′ ( )h x 1 2 2ln 2− 3 2ln3− ( ) ( )0 2 1 (3 2ln3) 2(ln3 1) 2(ln 1) 0h h e− = − − = − > − = ( ) ( )0 2h h> ( )max 1h x = ( )min 2 2ln 2h x = − ( )h x [ ]0,2 ( )h x a= [ ]0,2 2 2ln 2 3 2ln3a− < ≤ − ( ]2 2ln 2,3 2ln3a∈ − − ( )1 1,A x y ( )2 2,B x y ( )0 0,C x y 2 2 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 x y a b x y a b  + =  + = ( )( ) ( )( )1 2 1 2 1 2 1 2 2 2 0x x x x y y y y a b + − + −+ = 1 2 0 2 x xx += 1 2 0 2 y yy += 1 2 1 1 2 y yk x x −= − 0 2 0 yk x = ( )2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 22 bk k a b a ca ⋅ = − ≥ − ⇒ ≥ = − 则 , …………………………………………(5 分) 解法二:设 , , ,,直线 ① , ,又 由条件: 则 , ……………………………………(5 分) (1) 设直线 AB 的倾斜角为 α 由①及 ,可知 代入椭圆方程,得 ②…………………………………………………………………(7 分) 又 ③………………………………………………………………(9 分) 由②代入③,得 = 原点 O 到直线 AB 的距离 得 或 ……………………(13 分) (21)(本小题共 12 分) 2 2 2 1 2 ce a = ≥ 20 1 12e e< < ⇒ ≤ < ( )1 1,A x y ( )2 2,B x y ( )0 0,C x y : ( 0)l x my n m= + ≠ ( )2 2 2 2 2 4 2 2 2 2 2 2 2 0x my n m b a y b mny b b x a y a b = + ⇒ + + − = + = ⇒ 1 2 0 2 y yy += 2 2 2 2 b mn m b a = − + 2 0 0 2 2 2 a nx my n m b a = + = + 2 2 2 bk ma ⇒ = − 1 1k m = 2 1 2 2 bk k a ⇒ = − ( )2 2 2 2 2 1 2 2 1 2 22 bk k a b a ca = − ≥ − ⇒ ≥ = − 2 2 2 1 2 ce a = ≥ 0 1e< < 2 12 e⇒ ≤ < n c= 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2,a c b mcC m b a m b a  − + +  2 2 2 24c m b a= + ( )2 2 2 1 2 1 2 a a aAB AF FC e x e x e x xc c c      = + = − + − = − +           2 2 2 22 (1 )ca m b a = − + AB 3 2 a 21 cd m = + 2 3 3 5 102 1OACB ac acS AB d m ⇒ = ⋅ = = + 2m = ± 1tan 2ABk α⇒ = = ± 1arctan 2 α⇒ = 1arctan 2 π − 解:(Ⅰ) 不是无界正数列.理由如下: 取 M = 5,显然 ,不存在正整数 满足 ; 是无界正数列.理由如下: 对任意的正数 M,取 为大于 2M 的一个偶数,有 ,所以 是无界正数列. ………………………………………4 分 (Ⅱ)存在满足题意的正整数 .理由如下: 当 时, 因为 , 即取 ,对于一切 ,有 成立. …………7 分 注:k 为大于或等于 3 的整数即可. (Ⅲ)证明:因为数列 是单调递增的正数列, 所以 . 即 . 因为 是无界正数列,取 ,由定义知存在正整数 ,使 . 所以 . 由定义可知 是无穷数列,考察数列 , , ,…,显然这仍是一个单调递 增 的 无 界 正 数 列 , 同 上 理 由 可 知 存 在 正 整 数 , 使 得 . 重复上述操作,直到确定相应的正整数 . { }na 3 2sin( ) 5na n= + ≤ 0n 0 5na > { }nb 0n 0 0 1 2 1 2 2n n Mb M + += > > { }nb k 3n ³ 1 2 2 3 1 n n aa an a a a +  − + + +    3 2 12 1 2 3 1 n n n a a a aa a a a a + + − −−= + + + 1 1 1 1 1 1 1 4 5 3 4 5 6 2n = + + + ≥ + + >+ 3k = n k≥ 1 2 2 3 1 1 2 n n aa a na a a + + + + < − { }na 1 2 2 3 1 n n aa an a a a +  − + + +    3 2 12 1 2 3 1 n n n a a a aa a a a a + + − −−= + + + 3 2 1 1 12 1 1 1 1 1 1 1 1n n n n n n n n a a a a a aa a a a a a a a + + + + + + + − − −−> + + + = = − 1 2 1 2 3 1 1 1n n n aa a ana a a a+ + + + + < − + { }na 12M a= 1n 1 1 12na a+ > 1 1 1 2 1 2 3 1 1 2 n n aa a na a a + + + + < − { }na 1 1na + 1 2na + 1 3na + 2n ( )1 1 2 1 1 2 1 2 2 1 2 3 1 1 2 n n n n n n a a a n na a a + + + + + + + + < − − 4018n 则 . 即存在正整数 ,使得 成立. ………………………………………14 分 说明:其它正确解法按相应步骤给分. 湖北省黄冈中学高考数学模拟考试 6 本试卷满分共 150 分,考试时间 120 分钟 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是 符合题目要求的. 1.直线 的倾斜角是( ) A. B. C. D. 2.已知 为平面,命题 p:若 ,则 ;命题 q:若 上不共线的三点到 的距离相等,则 .对以上两个命题,下列结论中正确的是( ) A.命题“p 且 q”为真 B.命题“p 或 ”为假 C.命题“p 或 q”为假 D.命题“ ”且“ ”为假 3. 某学校共有 2009 名学生,将从中选派 5 名学生在某天去国家大剧院参加音乐晚会,若采用以下 方法选取:先用简单随机抽样从 2009 名学生中剔除 9 名学生,再从 2000 名学生中随机抽取 5 名,则其中学生甲被选取的概率是( ) A. B. C. D. , ,α β γ ,βα ⊥ β γ⊥ //α γ α β βα // q¬ p¬ q¬ 4018 4018 1 2 1 2 1 4018 4017 2 3 1 1 1 1 2 2 2 n n aa a n n n n na a a +      + + + < − + − − + + − −            4018 2009n= − 4018m n= 1 2 2 3 1 2009m m maa a a a a + −+ + + < 013 =++ yx 6 π 3 π 3 2π 6 5π 5 2009 1 2009 1 2000 1 400 4. 若不等式 的解集为 ,则实数 的值为( ). A. B. C.36 D. 5.已知 ﹑ 均为非零向量,条件 条件 的夹角为锐角,则 是 成立的 ( ) A.充要条件 B.充分而不必要的条件 C.必要而不充分的条件 D.既不充分也不必要的条件 6.已知函数 为偶函数 ,其图像与直线 y=2 某两个交点的横坐标分别为 x1、 x2,若|x2-x1|的最小值为 ,则该函数在区间( )上是增函数. A. B. C. D. 7.函数 与 轴交点的个数是( ) A、0 B、1 C、2 D、3 8.如果关于 x 的一元二次方程 中,a、b 分别是两次投掷骰子所得的点 数,则该二次方程有两个正根的概率 P=( ) A. B. C. D. 9.已知 是等比数列, ,则 的取值范围是( ) A. B. C. D. 10. 已知双曲线 的离心率为 e,左、右两焦点分别为 F1、F2,焦距为 ,抛物线 C 以 F2 为顶点,F1 为焦点,点 P 为抛物线与双曲线右支上的一个交点,若 a|PF2|+ c|PF1|=8a2,则 e 的值为 ( ) A. 3 B. 3 C. 2 D. 6 二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分. 把答案填在答题卡的相应位置上. 11 . 若 , 且 , 则 实 数 的 值 为 __________. 12.如果把个位数字是 1,且恰有 3 个数字相同的四位数叫做“好数”, 那么在由 1,2,3,4 四个数字组成的有重复数字的四位数中 “好数”共有 个. 3 2x ax> + ( )4,b b 9 18 48 a b :p 0,a b⋅ >  :q a b 与 p q 2sin( )y xω θ= + (0 )θ π< < π ,2 4 π π − −   ,4 4 π π −   0, 2 π     3,4 4 π π     ( ) 2 3 1 2 3 x xf x x= + + + x 09)3(2 22 =+−−− bxax 18 1 9 1 6 1 18 13 { }na 4 1,2 52 == aa ( )1 2 2 3 1n na a a a a a n ∗ ++ +⋅⋅⋅+ ∈N [ )16,12 [ )16,8      3 32,8      3 32,3 16 2 2 2 2: 1( 0, 0)x yE a ba b − = > > 2c 6 6 2 210 6)1( xaxaxaamx +⋅⋅⋅+++=+ 1 2 6 63a a a+ +⋅⋅⋅+ = m 13.如图,O 是半径为 1 的球心,点 A、B、C 在球面上,OA、OB、 OC 两两垂直,E、F 分别为大圆弧 AB 与 AC 的中点,则点 E、 F 在该球上的球面距离是______. 14.已知 的最大值为 . 15.直线 和圆 交于点 A、B,以 轴的正方向为始边,OA 为终边(O 是坐标 原点)的角为 ,OB 为终边的角为 ,那么 是 . 三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16. (本小题满分 12 分) 已知向量 ,定义函数 ,求函数 的最小正周期、单调递增区间. 17.(本题满分 12 分) 某地区试行高考考试改革:在高三学年中举行 5 次统一测试,学生如果通过其中 2 次测试即可 获得足够学分升上大学继续学习,不用参加其余的测试,而每个学生最多也只能参加 5 次测试. 假 设某学生每次通过测试的概率都是 ,每次测试通过与否互相独立. 规定:若前 4 次都没有通过测 试,则第 5 次不能参加测试. (1)求该学生恰好经过 4 次测试考上大学的概率; (2) 求该学生考上大学的概率. 1 3 yxyxz yx yx 42, 3 1)2()2( 22 22 +++=    ≤+ ≤−+− 则 2y x m= + 2 2 1x y+ = x α β sin( )α β+ ( ) ( )2sin ,cos , 3 cos ,2cosm x x n x x= =  ( ) ( )( )log 1 0, 1af x m n a a= − > ≠   ( )f x 18(本小题满分 12 分) 如图,在四棱锥 P-ABCD 中,底面 ABCD 为直角梯形,且 AB//CD,AB⊥AD,AD=CD=2AB=2.侧 面 为正三角形,且平面 PAD⊥平面 ABCD. (1)若 M 为 PC 上一动点,则 M 在何位置时,PC⊥平面 MDB?并加已证明; (2)若 G 为 的重心,求二面角 G-BD-C 大小. 19. (本小题满分 12 分) 已知函数 , , 的最小值恰好是方程 的三个根,其中 . (1)求证: ; (2)设 是函数 的两个极值点.若 , 求函数 的解析式. 20.(本题满分 13 分) 已知椭圆 ,直线 与椭圆交于 、 两点, 是线段 的中点,连接 并延长交椭圆于点 . (1) 设直线 与直线 的斜率分别为 、 ,且 ,求椭圆的离心率. (2) 若直线 经过椭圆的右焦点 ,且四边 形 是平行四边形,求直线 斜率 的取值范围. | | 1y x= + 2 2 2y x x t= − + + 1 1( )2 ty x x −= + ( 0)x > 3 2 0x ax bx c+ + + = 0 1t< < 2 2 3a b= + 1,x 2x 3 2( )f x x ax bx c= + + + 1 2 2| | 3x x− = ( )f x PAD∆ PBC∆ 2 2 2 1( 2)x y aa + = ≥ l A B M AB OM C AB OM 1k 2k 1 2 1 2k k⋅ = − AB F OACB AB A B C D P 21. (本题满分 14 分) 已 知 点 ( N ) 顺 次 为 直 线 上 的 点 , 点 ( N )顺次为 轴上的点,其中 ,对任意的 N ,点 、 、 构成以 为顶点的等腰三角形. (Ⅰ)证明:数列 是等差数列; (Ⅱ)求证:对任意的 N , 是常数,并求数列 的通项公式; (Ⅲ)在上述等腰三角形 中是否存在直角三角形,若存在,求出此时 的值;若不存在,请说 明理由. 参考答案 1-5 DCACC 6-10 ABACA 11.1 或-3 12.12 13. 14.15 15. 16.解:因为 所以 故 …………6 分  ),,(,),,2(),,1( 2211 nn ynByByB ∈n ∗ 12 1 4 += xy )0,(),0,( 2211 xAxA  ),0,(, nn xA ∈n ∗ x )10(1 <<= aax ∈n ∗ nA nB 1+nA nB { }ny ∈n ∗ nn xx −+2 { }nx 1+nnn ABA a 3 π 4 5 − 22 3sin cos 2cos 3sin 2 cos2 1m n x x x x x= + = + +   ( ) ( )log 3 sin 2 cos 2 log 2sin 2 6a af x x x x   = + = +     π 2 2T = =π π 令 ,则 的单调递增的正值区间是 , 单调递减的正值区间是 当 时,函数 的单调递增区间为 当 时,函数 的单调递增区间为 (注:区间为开的不扣 分)…………12 分 17.(本题满分 12 分) 解 : ( Ⅰ ) 记 “ 该 学 生 恰 好 经 过 4 次 测 试 考 上 大 学 ” 的 事 件 为 事 件 A , 则 ……6 分 ( Ⅱ ) 记 “ 该 生 考 上 大 学 ” 的 事 件 为 事 件 B , 其 对 立 事 件 为 , 则 ∴ ……12 分 18.解:(1)当 M 为 PC 的中点时,PC⊥平面 MDB.------------------1 分 事实上,连 BM,DM,取 AD 的中点 N,连 NB,NP. 因为 ,且平面 PAD 平面 ABCD,所以 PN⊥平面 ABCD. 在 中, ,所以 ,又 所以 ,又 , 平面 MDB, 而 PD=DC=2,所以 ,所以 平面 MDB------------------6 分 (2)易知 G 在中线 BM 上,过 M 作 于 F,连 CF, 因为 平面 MDB,所以 , 故 是二面角 G—BD—C 的平面角 ------------------9 分 在 中, ,所以 ,又 所以 ,故二面角 G—BD—C 的大小为 ----------------12 分 2 1 3 .1 2 1 4( ) 3 3 3 27P A C      = ⋅ ⋅ ⋅ = B 1 3 4 4 1 2 2 2 64 16 112( ) ( )( ) ( ) ( ) .3 3 3 3 243 81 243P B C= + = + = 112 131( ) 1 ( ) 1 .243 243P B P B= − = − = ( ) 2sin 2 6g x x = +   π ( )g x ( ),12 6k k k Z − + ∈   π ππ π ( )5,6 12k k k Z π ππ π + + ∈  0 1a< < ( )f x ( )5,6 12k k k Z + + ∈  π ππ π 1a > ( )f x ( ),12 6k k k Z − + ∈   π ππ π PN AD⊥ ⊥ Rt PNB∆ 3, 2PN NB= = 5PB = 5BC = BN PC⊥ MD BM M= ,MD BM ⊂ DM PC⊥ PC ⊥ MF BD⊥ PC ⊥ CF BD⊥ MFC∠ Rt BDC∆ 5, 2, 5BD DC BC= = = 4 5 5CF = 2CM = 10sin 4MFC∠ = 10arcsin 4 19.21.解:(1)三个函数的最小值依次为 , , 由 ,得 ∴ , 故方程 的两根是 , . 故 , . , 即 ∴ .………………6 分 (2)①依题意 是方程 的根, 故有 , , 且△ ,得 . 由 ……………9 分 ;得, , . 由(1)知 ,故 , ∴ , ∴ .………………………12 分 20.(1)解法一:设 , , ,则 两式相减,得: 又 , , , 1 1 t+ 1 t− (1) 0f = 1c a b= − − − 3 2 3 2( ) ( 1)f x x ax bx c x ax bx a b= + + + = + + − + + 2( 1)[ ( 1) ( 1)]x x a x a b= − + + + + + 2 ( 1) ( 1) 0x a x a b+ + + + + = 1 t− 1 t+ 1 1 ( 1)t t a− + + = − + 1 1 1t t a b− ⋅ + = + + 2 2( 1 1 ) ( 1)t t a− + + = + 22 2( 1) ( 1)a b a+ + + = + 2 2 3a b= + 1 2,x x 2'( ) 3 2 0f x x ax b= + + = 1 2 2 3 ax x+ = − 1 2 3 bx x = 2(2 ) 12 0a b= − > 3b < 2 2 1 2 1 2 1 2 2 3 2 3| | ( ) 4 3 3 a b bx x x x x x − −− = + − = = 2 3 3 b− 2 3 = 2b = 2 2 3 7a b= + = 1 1 ( 1) 0t t a− + + = − + > 1a < − 7a = − ( 1) 7 3c a b= − + + = − 3 2( ) 7 2 7 3f x x x x= − + + − ( )1 1,A x y ( )2 2,B x y ( )0 0,C x y 2 21 12 2 22 22 1 1 x ya x ya  + =  + = ( )( ) ( )( )1 2 1 2 1 2 1 22 0x x x x y y y ya + − + + − = 1 2 0 2 x xx += 1 2 0 2 y yy += 1 2 1 1 2 y yk x x −= − 0 2 0 yk x = 可得 ……………………………………(5 分) 解法二:设 , , ,,直线 ① , ,又 由条件: 即 ……………………………………………………………………(5 分) (2)由①及 ,可知 代入椭圆方程,得 ………………………………………………………………………(10 分) 又 …………………………………………………(13 分) 21.解: (Ⅰ)依题意有 ,于是 . 所以数列 是等差数列. ………………….2 分 (Ⅱ)由题意得 ,即 , ( ) ① 所以又有 . ② ………4 分 由② ①得 , 可知 都是等差数列.那么得 , 2 2 1 2 1 1 222 2k k a ea ⋅ = − = − ⇒ = ⇒ = ( )1 1,A x y ( )2 2,B x y ( )0 0,C x y : ( 0)l x my n m= + ≠ ( )2 2 2 2 2 2 2 2 1 0x my n m a y mny x a y a = + ⇒ + + − = + = ⇒ 1 2 0 2 y yy += 2 2 mn m a = − + 2 0 0 2 2 a nx my n m a = + = + 2 2 1k ma ⇒ = − 1 1k m = 1 2 2 1k k a ⇒ = − ( )2 2 2 2 2 1 2 2 1 2 22 bk k a b a ca = − ≥ − ⇒ ≥ = − 2 22 2a e= ⇒ = n c= 2 2 2 2 2 2 2,a c mcC m a m a  − + +  2 2 24c m a= + 2 2 1c a= − 2a ≥ 0m ≠ 2 2 2 1 1 1 3 4 8ABk m a ⇒ = = ≤− 2 2,0 0,4 4ABk    ⇒ ∈ −        12 1 4 += nyn 4 1 1 =−+ nn yy { }ny nxx nn =+ + 2 1 nxx nn 21 =+ + n ∗∈ N )1(212 +=+ ++ nxx nn − 22 =−+ nn xx  ,,,;,,, 642531 xxxxxx 22)1(2112 −+=−+=− akkxx k . ( 故 …………8 分 (Ⅲ)当 为奇数时, ,所以 当 为偶数时, 所以 作 轴,垂足为 则 ,要使等腰三角形 为直角三角形,必 须且只需 . 当 为奇数时,有 ,即 . ① 当 时, ;当 时, ;当 , ①式无解. 当 为偶数时,有 ,同理可求得 . 综上所述,上述等腰三角形 中存在直角三角形,此时 的值为 或 或 . ……………………..14 分 湖北省黄冈中学高考数学模拟考试 7 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是 满足题目要求的。 1. 若 sin2θ-1+i( cosθ+1)是纯虚数(其中 i 是虚数单位),且θ∈[0,2π),则θ的值 A B C D 或 2. 设集合 , , , 若 ,则 b = c 的概率是 A B C D akkakxx k −=−+−=−+= 2)1(22)1(222 ∈k ∗N ) 1 ( (n n a nx n a n + −=  − 为奇数) 为偶数). n )0,1(),0,1( 1 anAanA nn −+−+ + );1(21 aAA nn −=+ n ),0,(),0,( 1 anAanA nn +− + ;21 aAA nn =+ xCB nn ⊥ ,nC 12 1 4 += nCB nn 1+nnn ABA nnnn CBAA 21 =+ n )12 1 4(2)1(2 +=− na na 31112 −= 1=n 3 2=a 3=n 6 1=a 5≥n n 1312 += na 12 7=a 1+nnn ABA a 3 2 6 1 12 7 2 4 π 4 3π 4 5π 4 π 4 3π }1,{bP = }2,1,{cQ = QP ⊆ }9,8,7,6,5,4,3,2{, ∈cb 8 1 4 1 2 1 8 3 3. .向量 =( ), 是直线 y=x 的方向向量,a =5,则数列 的前 10 项的和 A 50 B 100 C 150 D 200 4. , 则 被3除的余数是 A.0 B.1 C.2 D.不能确定 5. 已知 x,y 满足条件 Error! 则 z= x+y+2 x+3 的最小值( ) A 4 B C D - 6.已知函数 的反函数为 ,在 上的导函数为 , 则 = A. B. C. D. 7.已知函数 ,动直线 与 、 的图象分别 交于点 、 , 的取值范围是 A.[0,1] B.[0,2] C.[0, ] D.[1, ] 8.已知两个不相等的实数 满足以下关系式: ,则连接 A 、 B 两点的直 线与圆心在原点的单位圆的位置关系是 . A 相离 B 相交 C 相切 D 不能确定 9. 直线 MN 与双曲线 C: 的左右支分别交与 M、N 点,与双曲线 C 的右准线相交于 P 点,F 为右焦点,若 ,又 ( ),,则实数 的值为 A B 1 C 2 D 10. 已知 为定义在 上的可导函数,且 对于 恒成立,则 A. , B. , C. , 1 2 2 log ( ) ( 1) x f x x =   − ( 1) ( 1) x x ≥ < 1( )f x− ( ,1) (1, )−∞ +∞ ( )f x′ 1(4) ( 1)f f− ′+ − 6− 1 1− 5− V n nn n a aaa 2,2 2 1 1 + + − V 1 { }na 2010 2010 2 210 2010)42( xaxaxaax ++++=+  2010420 aaaa ++++  6 13 3 1 3 2 ( ) sin cos , ( ) 2sinf x x x g x x= + = x t= ( )f x ( )g x P Q | |PQ 2 2 a b、 2 04a sin a cos πθ θ⋅ + ⋅ − = , 2 04b sin b cos πθ θ⋅ + ⋅ − = ( )2a ,a ( )2b ,b 12 2 2 2 =− b y a x FNFM 2= PMNP λ= R∈λ λ 2 1 3 1 )(xf ),( +∞−∞ )()( xfxf ′< Rx ∈ )0()2( 2 fef ⋅> )0()2010( 2010 fef ⋅> )0()2( 2 fef ⋅< )0()2010( 2010 fef ⋅> )0()2( 2 fef ⋅> )0()2010( 2010 fef ⋅< 数学(理工农医类)试题第 2 页(共 4 页) D. , 二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分.请将答案填在答题卡对应题号的位置上,一题 两空的题,其答案按先后次序填写. 11. 设函数 f(x)= ,要使 f(x)在(-∞,+∞)内连续,则 =______ 12. 已知随机变量 服从正态分布,且方程 x +2x+ =0 有实数解得概率为 ,若 P( ) =0.8,则 P(0 )=___________ 13. 将 A、B、C、D、E 五种不同的文件放入一排编号依次为 1、2、3、4、5、6 的六个抽屉内,每 个抽屉至多放一种文件.若文件 A、B 必须放入相邻的抽屉内,文件 C、D 也必须放相邻的抽屉内, 则文件放入抽屉内的满足条件的所有不同的方法有 种. 14.已知点 M 是抛物线 y =4x 的一点,F 为抛物线的焦点,A 在圆 C:(x-4) +(y-1) =1 上,则 的最小值为__________; 15. . 如 图 , 在 三 棱 锥 中 , 、 、 两 两 垂 直 , 且 . 设 是 底 面 内 一 点 , 定 义 , 其中 、 、 分别是三棱锥 、 三棱锥 、三棱锥 的体积.若 ,且 恒成立,则正实数 的最小值为________. 三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 16. 已知锐角 的三内角 A、B、C 的对边分别是 (1)求角 A 的大小; (2)求 的值。 17. 如图,在 中, ,斜边 . 可以通过 以直线 为轴旋转得到,且二面角 是直二面角.动点 的斜边 上. a P ABC− PA PB PC 3, 2, 1PA PB PC= = = M ABC ( ) ( , , )f M m n p= m n p M PAB− M PBC− M PCA− 1( ) ( , , )2f M x y= 1 8a x y + ≥ a Rt AOB△ π 6OAB∠ = 4AB = Rt AOC△ Rt AOB△ AO B AO C− − D AB )0()2( 2 fef ⋅< )0()2010( 2010 fef ⋅<    ≥+ <−− )0( )0(11 2 xxa xx x ξ 2 ξ 2 1 ξ 2≤ ≤ ξ 2≤ 2 2 2 MFMA + ABC∆ .3tan)(,,, 222 bcAacbcba =−+且 )]10tan(31[)10sin( °−−⋅°+ AA 第 15 题 M C B A P (1)求证:平面 平面 ; (2)当 为 的中点时,求异面直线 与 所成角的大 小; (3)求 与平面 所成角的最大值. 18. 某地区试行高考考试改革:在高三学年中举行 5 次统一测试, 学生如果通过其中 2 次测试即可获得足够学分升上大学继续学 习,不用参加其余的测试,而每个学生最多也只能参加 5 次测试. 假设某学生每次通过测试的概率 都是 ,每次测试通过与否互相独立. 规定:若前 4 次都没有通过测试,则第 5 次不能参加测试. (Ⅰ) 求该学生考上大学的概率. (Ⅱ) 如果考上大学或参加完 5 次测试就结束,记该生参加测试的次数为ξ,求变量ξ的分布列及 数学期望 Eξ。 19. 已知二次函数 g(x)对任意实数 x 都满足 ,且 .令 . (1)求 g(x)的表达式; (2)设 , , 证明:对任意 x ,x ,恒有 20. 如图,已知直线 的右焦点 F,且交椭圆 C 于 A,B 两点,点 A,F,B 在直线 上的射影依次为点 D,K,E, COD ⊥ AOB D AB AO CD CD AOB 1 3 ( ) ( ) 21 1 2 1g x g x x x− + − = − − ( )1 1g = − ( )1 9( ) ln ( , 0)2 8f x g x m x m x= + + + ∈ >R 1 em< ≤ ( ) ( ) ( 1)H x f x m x= − + 1 2 [ ]m,1∈ 1 2| ( ) ( ) | 1.H x H x− < )0(1:1: 2 2 2 2 >>=++= bab y a xCmyxL 过椭圆 2: axG = O C A D B (1)已知抛物线 的焦点为椭圆 C 的上顶点。 ①求椭圆 C 的方程; ②若直线 L 交 y 轴于点 M,且 , 当 m 变化时,求 的值; (2)连接 AE,BD,试探索当 m 变化时,直线 AE、BD 是否相交 于一定点 N?若交于定点 N,请求出 N 点的坐标并给予证 明;否则说明理由. 21. 已知数列 的首项 , , . (1)求 的通项公式; (2)证明:对任意的 , , ; (3)证明: . 参考答案 1-10 ACACC DCBAA 11. 12 .0.6 13. 96 14.4 15 .1 16. 解:(1)由已知条件及余弦定理得 ∴ .∵ ……………………6 分 (2) = sin70 =2sin70 ==- =-1 ….12 分 17.解:(I)由题意, , , 是二面角 的平面角, { }na 1 3 5a = 1 3 2 1 n n n aa a+ = + 1 2n = ,, { }na 0x > 2 1 1 2 1 (1 ) 3n na xx x  − − + +  ≥ 1 2n = ,, 2 1 2 1n na a a n + + + > + CO AO⊥ BO AO⊥ BOC∴∠ B AO C− − yx 342 = BFMBAFMA 21 , λλ == 21 λλ + 2 1 3 sin 3tan , ,2 cos cos 2cos bc AA bc A A A = ∴ = 3sin 2A = (0, )2A π∈ , .3A π=故 )50cos 50sin31(70sin)]10tan(31)[10sin( ° °−°=°−−°+ AA    50cos 50sin350cos −    50cos )5030sin( −   40sin 20cos20sin2 又 二面角 是直二面角, ,又 , 平面 ,又 平面 . 平面 平面 . --------4 分 (II)作 ,垂足为 ,连结 ,则 , 是异面直线 与 所成的角. - -------------------------5 分 在 中 , , , . 又 . 在 中, . ----------7 分 异面直线 与 所成角的大小为 . ----------------------8 分 ( III ) 由 ( I ) 知 , 平 面 , 是 与 平 面 所 成 的 角 , 且 .当 最小时, 最大………………10 分 这时, ,垂足为 , , , 与平面 所成角的最大值为 .- ----------------------12 18. 解 : ( Ⅰ ) 记 “ 该 生 考 上 大 学 ” 的 事 件 为 事 件 A , 其 对 立 事 件 为 , 则 ∴ ……6 分 (Ⅱ)该生参加测试次数ξ的可能取值为 2,3,4,5. , , , 故ξ的分布列为: ……12 分 19.解 (1)设 ,于是 所以 又 ,则 .所以 . ……………5 分  B AO C− − CO BO∴ ⊥ AO BO O=  CO∴ ⊥ AOB CO ⊂ COD ∴ COD ⊥ AOB DE OB⊥ E CE DE AO∥ CDE∴∠ AO CD Rt COE△ 2CO BO= = 1 12OE BO= = 2 2 5CE CO OE∴ = + = 1 32DE AO= = ∴ Rt CDE△ 5 15tan 33 CECDE DE = = = ∴ AO CD 15arctan 3 CO ⊥ AOB CDO∴∠ CD AOB 2tan OCCDO OD OD = = OD CDO∠ OD AB⊥ D 3=⋅= AB OBOAOD 3 32tan =∠CDO CD∴ AOB 2 3arctan 3 A .243 112 81 16 243 64)3 2()3 2()3 2)(3 1()( 431 4 =+=+= CAP 112 131( ) 1 ( ) 1 .243 243P A P A= − = − = 21 1( 2) 3 9P ξ      = = = 1 2 1 2 1 4( 3) . . .3 3 3 27P Cξ = = = 2 1 4 3 1 2 1 2 4 16 28( 4) ( )3 3 3 3 27 81 81P Cξ      = = ⋅ ⋅ ⋅ + = + = 3 1 4 1 2 32( 5) .3 3 81P Cξ            = = ⋅ ⋅ = .81 326 81 32581 28427 439 12 =×+×+×+×=ξE ( ) 2g x ax bx c= + + ( ) ( ) ( ) ( )2 21 1 2 1 2 2 1 2g x g x a x c x− + − = − + = − − , 1 2 1. a c  =  = − , ( )1 1g = − 1 2b = − ( ) 21 1 12 2g x x x= − − (2)因为对 , 所以 在 内单调递减. 于是 …………………8 分 记 ,则 所以函数 在 是单调增函数, 所以 ,故命题成立. ………………… 12 分 20. 解:(1)易知 , …………………3 分 设 …………………………5分 又由 同理 ……………………………………8分 (3) ,先探索,当m=0时,直线L⊥ox轴,则ABED为矩形,由对称性知,AE 与BD相交FK中点N,且 猜想:当m变化时,AE与BD相交于定点 ……………………9分 证明:设 [1 ]x m∀ ∈ , ( 1)( )( ) 0x x mH x x − −′ = ≤ , ( )H x [1, ]m 2 1 2 1 1| ( ) ( ) | (1) ( ) ln .2 2H x H x H H m m m m− ≤ − = − − 2 1 2 1 1 1 3| ( ) ( ) | 1 ln 1 ln 0.2 2 2 2H x H x m m m m m m − < ⇐ − − < ⇔ − − < 1 3( ) ln (1 e)2 2h m m m mm = − − < ≤ ( )2 2 1 1 3 3 1 1 1( ) 02 2 3 32h' m m mm = − + = − + > , 1 3( ) ln2 2h m m m m = − − (1 e], ( )( )e 3 e 1e 3( ) (e) 1 02 2e 2eh m h − +≤ = − − = < )0,1(,33 2 Fbb 又=∴= 41 222 =+==∴ cbac 134 22 =+∴ yxC的方程为椭圆 )1,0( mMyl −轴交于与    =−+ += 01243 1),(),,( 222211 yx myxyxByxA 由 0)1(144096)43( 222 >+=∆=−++∴ mmyym (*)3 211 21 m yy =+∴ ),1()1,( 111111 yxmyxAFMA −−=+∴= λλ 1 1 11 my −−=∴λ 2 2 11 my −−=λ 3 8 3 22)11(12 21 21 −=−−=+−−=+∴ yym λλ )0,(),0,1( 2akF = )0,2 1( 2 +aN )0,2 1( 2 +aN ),(),,(),,(),,( 1 2 2 2 2211 yaDyaEyxByxA 当m变化时首先AE过定点N A、N、E三点共线, 同理可得B、N、D三点共线 ∴AE与BD相交于定点 ……………………13分 21.解法一:(Ⅰ) , , , 又 , 是以 为首项, 为公比的等比数列. ………3 分 , . ……………………4 分 (Ⅱ)由(Ⅰ)知 , ……………………5 分 , 原不等式成立.………………8 分 1 3 2 1 n n n aa a+ = + 1 1 2 1 3 3n na a+ ∴ = + 1 1 1 11 13n na a+  ∴ − = −    1 21 3na − = 1 1 na  ∴ −    2 3 1 3 ∴ 1 1 2 1 21 3 3 3n n na −− = ⋅ = 3 3 2 n n na∴ = + 3 03 2 n n na = >+ 2 1 1 2 1 (1 ) 3n xx x  − − + +   2 1 1 2 1 11 (1 ) 3n xx x  = − + − − + +   2 1 1 1 (1 )1 (1 ) n xx x a  = − − + + +   2 1 1 2 (1 ) 1na x x = − ⋅ ++ + 21 1 1 n n n a aa x  = − − + +  na≤ ∴ 2 1, 2 1 )1(0)1(4 0)1(2)( 0 1 2 2 1 2 1 22222 2222222 222222 a yK mya yK abmaba abymbymba bayaxb myx ENAN − −= −− −= >>−+=∆ =−+++    =−+ += 又 即   )2 1(2 1 )(2 1 1 22 2121 2 myaa ymyyya KK ENAN −−− −+− =−而 )0)()1( )1()2(2 1)(2 1( 222 222 222 22 222 22 2121 2 =+ −⋅−= + −⋅−+−⋅−=−+− bma mbmba bma abmbma mbaymyyya  ∴=∴ ENAN KK )0,2 1( 2 +aN (Ⅲ)由(Ⅱ)知,对任意的 ,有 . ……………………10 分 取 ,…………12 分 则 . 原不等式成立. ……………………14 分 注:(Ⅱ)设 ,用导数求得当 时, 取得最大值为an.参 照本标准给分。 湖北省黄冈中学高考数学模拟考试 8 参考公式:锥体的体积公式 ,其中 是锥体的底面积, 是锥体的高. 柱体的体积公式 V=Sh , 其中 是柱体的底面积, 是柱体的高 如果事件 、 互斥,那么 . 如果事件 、 相互独立,那么 . 如果事件 在一次试验中发生的概率是 ,那么在 次独立重复试验中恰好发生 次的概率 . 一.选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符 合题目要求的 0x > 1 2 2 2 2 2 1 1 2 1 1 2 1 1 2 1 (1 ) 3 1 (1 ) 3 1 (1 ) 3n na a a x x xx x x x x x      + + + − − + − − + + − −     + + + + + +      ≥ 2 2 1 2 2 2 1 (1 ) 3 3 3n n nxx x  = − + + + − + +   ∴ 2 2 111 2 2 2 1 13 3 113 3 3 31 3 n n nx n nn  −     = + + + = = −       −    2 2 1 2 11 1 111 1 33 n nn n n na a a nn n + + + = > +  + −+ −    ≥ ∴ 2 1 1 2( ) 1 (1 ) 3nf x xx x  = − − + +   2 3nx = ( )f x 1 3V Sh= S h S h A B ( ) ( ) ( )P A B P A P B+ = + A B ( ) ( ) ( )P A B P A P B⋅ = ⋅ A p n k ( ) ( )C 1 n kk k n nP k p p −= − 1.已知α、β都是第二象限角,且 cosα>cosβ,则( ) A.α<β B.sinα>sinβ C.tanα>tanβ D.cotα x 1 3 1 2 1 0 1,a< < (1 ) (1 )log (1 ) log (1 ) 2a aa a+ −− + + > (1 ) (1 )log (1 ) log (1 )a aa a+ −− < + (1 ) (1 ) (1 ) (1 )log (1 ) log (1 ) log (1 ) log (1 )a a a aa a a a+ − + −− + + < − + + (1 ) (1 ) (1 ) (1 )log (1 ) log (1 ) log (1 ) log (1 )a a a aa a a a+ − + −− − + > − − + 2( ) log ( 3)( 0 1)af x x ax a a= − + > ≠且 1x 2x 221 axx ≤< 0)()( 21 >− xfxf a )3,1()1,0(  )3,1( )32,1()1,0(  )32,1( ,)1(,3)1( jmibiima −+=−+= )()( baba −⊥+ )(xf 1=x 21 )(lim 1 =−→ x xf x )1(f 1− 0 1 2 2xy = { }4,1 A.7 个 B.8 个 C.9 个 D.10 个 10.如图,在 中, ,AC、BC 边上的高分别为 BD、AE,则以 A、B 为焦点,且过 D、E 的椭圆与双曲线的离心率的倒数和为 ( ) A. B. C. D. 11.给出下列命题中 ① 向量 满足 ,则 的夹角为 ; ② >0,是 的夹角为锐角的充要条件; ③ 将函数 y = 的图象按向量 =(-1,0)平移,得到的图象对应的函数表达式为 y = ; ④ 若 ,则 为等腰三角形; 以上命题正确的个数是( ) A.4 个 B.1 个 C.3 个 D.2 个 12.如图,在正三棱锥 S—ABC 中,M、N 分别为棱 SC、BC 的中点,并且 AM MN,若侧棱 长 SA= ,则正三棱锥 S—ABC 的外接球的表面积为 ( ) A.9 B.12 C.16 D.32 二.填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分. 13.一个几何的三视图如图所示:其中,正视图中△ABC 的边长是 2 的正三角形,俯视图为正 六边形,那么该几何体几的体积为 . ABC∆ 030=∠=∠ CBACAB 3 1 32 2 a b 、 a b a b= = −    与a a b+   030 a ⋅ b a b 、 1−x a x )( →−→− + ACAB 0)( =−⋅• →−→− ACAB ABC∆ ⊥ 3 π π π π E D C A B 1 4 1 1,2 4 3 3 3, ,4 8 1 6  14.下表给出一个“直角三角形数阵”:满足每一列成等 差数列,从第三行起,每一行的数成等比数列,且每一行 的公比相等,记第 行第 列的数为 为 . 15.如右图,E、F 分别是正方体的面 ADD1A1、面 BCC1B1 的中心,则四边形 BFD1E 在该正方体的面上的射影可能是     .(要求:把可能的图的序号 都填上) 16.如下图,给出了一个程序框图,其作用是输入 的值,输出相应的 的值,若要使输入的 的值与 输出的 的值相等,则这样的 的值的集合为 . 三.解答题:本大题共 6 小题,共 74 分. 17.(本小题满分 12 分)已知复数 , , i j ( )*, ,ija i j i j N≥ ∈ x y x y x 开始 y输出 结束 2x ≤ ? x输入 2y x= 5x ≤ ? 2 3y x= − 1y x = 1图 是 否 是 否 1 3sin 2 z x iλ= + 2 ( cos2 ) ( , , ,)z m m x i m x Rλ= + − ∈ ○1 ○2 ○3 ○4 A B D C F A1 C1D1 且 .(Ⅰ)若 且 ,求 的值;(Ⅱ)设 = ,求 的最小正周期 和单调增区间. 18.(本小题满分 12 分)已知 是数列{ }的前 项和, (1)分别计算 的值; (2)证明:当 ≥1 时, ≥1 2,并指出等号成立条件; (3)利用(2)的结论,找出一个适当的 ∈N,使得 >2008; (4)是否存在关于正整数 的函数 ,使得 对于大于 1 的正整数 都成立?证明你的结论。 19.(本小题满分 12 分)在四棱锥 中, , , 底面 , ,直线 与底面 成 角,点 分别是 的中点. (1)求二面角 的大小; (2)当 的值为多少时, 为直角三角形. 20.(本小题满分 12 分)一种电脑屏幕保护画面,只有 符 号 “○”和“×”随机地反复出现,每秒钟变化一次,每次变化只出现“○”和“×”之一,其中出 现“○”的概率为 p,出现“×”的概率为 q,若第 k 次出现“○”,则记 ;出现“×”,则记 ,令 (I)当 时,记 ,求 的分布列及数学期望; (II)当 时,求 的概率. 21.(本小题满分 13 分)一束光线从点 出发,经直线 上一点 反 射后,恰好穿过点 .(Ⅰ)求点 关于直线 的对称点 的坐标;(Ⅱ)求以 、 为 焦点且过点 的椭圆 的方程;(Ⅲ)设直线 与椭圆 的两条准线分别交于 、 两点,点 为 线段 上的动点,求点 到 的距离与到椭圆 右准线的距离之比的最小值,并求取得最小值 时点 的坐标. 1 2z z= 0λ = 0 x π< < x λ ( )f x ( )f x nS n 1 n 482412 ,, SSSSSS −−− n 122 −− nn SS T TS n )(nf )1)((121 −=+⋅⋅⋅++ − nn SnfSSS n ABCDP − ABAD ⊥ ABCD // ⊥PD ABCD 2= AD AB PA ABCD 060 NM , PBPA, DMNP −− AB CD CDN∆ 1=ka 1−=ka .21 nn aaaS +++=  2 1== qp || 3S=ξ ξ 3 2,3 1 == qp )4,3,2,1(028 =≥= iSS i且 )0,1(1 −F 032: =+− yxl P )0,1(2F 1F l 1F′ 1F 2F P C l C A B Q AB Q 2F C Q 22.(本小题满分 13 分)设 是满足不等式 的自然数 的个 数 , 其 中 .(Ⅰ ) 求 的 值 ; ( Ⅱ ) 求 的 解 析 式 ; ( Ⅲ ) 记 ,令 ,试比较 与 的大小. 备选题:已知函数 . (1)求函数 在区间 ( 为自然对数的底)上的最大值和最小值; (2)求证:在区间 上,函数 的图象在函数 的图象的下方; (3)求证: ≥ . 参考答案: B B A AAD D DC A DA 1.在第二象限角内通过余弦函数线 cosα>cosβ找出α、β的终边位置关系,再作出判断,得 B。 2.取 f(x)= -x,逐项检查可知①④正确。故选 B。 3. 为抛物线 的内部(包括周界), 为动圆 的内部(包括周界).该题 的几何意义是 为何值时,动圆进入区域 ,并被 所覆盖. 是动圆圆心的纵坐标,显然结论应是 ,故可排除 ,而当 时, (可验证点 到抛物线上点的最小距离为 ).故选 . 4.具有伙伴关系的元素组有-1,1, 、2, 、3 共四组,它们中任一组、二组、三组、四 组均可组成非空伙伴关系集合,个数为 C + C + C + C =15, 选 A. 5.取满足题设的特殊数值 a= , , 0> ,检验不等式(B),(C),(D)均不成立,选 (A). ( )f k 2 23 ( ) 2 ( ) 0 x g k x g k− ⋅ ⋅ + ≤ x 1 *( ) 2 ( )kg k k N−= ∈ (1)f ( )f k 1 ( ) n n i S f i = = ∑ ( )∗∈−+= NnnnPn 12 nS nP 21( ) ln 12f x x x= + − ( )f x [1, ]e e (1, )+∞ ( )f x 32( ) 3g x x= [ '( )] '( )n nf x f x− 2 2n − ( )n N ∗∈ E 2y x= F ( )22 1x y a+ − = a E E a ( )a c c R+≥ ∈ ( ) ( ),B D 1a = .E F F≠ ( )0,1 3 2 ( )A 2 1 3 1 1 4 2 4 3 4 4 4 2 1 13 2log2 1log)1(log 2 3 2 3)1( −=<=−+ aa 12log2 3log)1(log 2 1 2 1)1( −=>=+− aa 6.“对任意的 x1、x2,当 时, ”实质上就是“函数单调递减”的 “伪装”,同时还隐含了“ 有意义”。事实上由于 在 时递减,从而 由此得 a 的取值范围为 。故选 D。 7. ∵ , ∴ ∴ , 而 i,j 为互相垂直的单位向量,故可得 ∴ 。故选 8.特殊值法, 令 , 得 . 9.由题意知同族函数的定义域非空, 且由 中的两个(这里 和 中各有一 个), 或三个, 或全部元素组成, 故定义域的个数为 。 10.设 , 则在椭圆中, 有 , , 而在双曲线中, 有 , , ∴ 11.对于 ① 取特值零向量错误,若前提为非零向量由向量加减法的平行四边形法则与夹角的概 念正确; 对②取特值夹角为直角错,认识数量积和夹角的关系,命题应为 >0,是 的夹角为锐 角的必要条件; 对于③,注意按向量平移的意义,就是图象向左移 1 个单位,结论正确; 对于④;向量的数量积满足分配率运算,结论正确; 故选 D. 12. 三棱锥 S—ABC 正棱锥, SB AC(对棱互相垂直) MN AC 又 MN AM 而 AM AC=A, MN 平面 SAC 即 SB 平面 SAC ASB= BSC= ASC= ,将此三棱锥补成正方体,则它们有相同的外接球 2R= , R= , S= = =9 ,故选 A. 13. 221 axx ≤< 0)()( 21 >− xfxf )(xf 3)( 2 +−= axxxg 2 ax ≤    > > .0)2( ,1 ag a )32,1( .)2(,)4()2( jmmibajmimba +−=−−++=+ )()( baba −⊥+ 0)()( =−⋅+ baba 0)4)(2()]4()2([)2( 222 =−+−⋅−++−++ jmmjimmmjmm ,0)4)(2()2( =−+−+ mmmm 2−=m ( )D )1)(1()( +−= xxxf 2)1( =f 2,1,2,1 −− 1,1− 2,2− 911 2 1 2 1 2 1 2 =++ CCCC cAB 2|| = acc 23 =+ 2 311 1 +== c a e acc 23 =− 2 131 2 −== c a e 32 13 2 3111 21 =−++=+ ee a ⋅ b a b 、  ∴ ⊥ ∴ ⊥  ⊥  ∴ ⊥ ⊥ ∴ ∠ ∠ ∠ 90 ∴ 3 3⋅ ∴ 3 2 ∴ 24 Rπ 234 ( )2 π ⋅ π 11 3 33, 1, 1 6 33 4 2h a V= = = × × × × = 14. ; 15.因为正方体是对称的几何体,所以四边形 BFD1E 在该正方体的面上的射影可分为:上下、 左右、前后三个方向的射影,也就是在面 ABCD、面 ABB1A1、面 ADD1A1 上的射影. 四边形 BFD1E 在面 ABCD 和面 ABB1A1 上的射影相同,如图○2 所示; 四边形 BFD1E 在该正方体对角面的 ABC1D1 内,它在面 ADD1A1 上的射影显然是一条线段,如 图○3 所示. 故应填○2 ○3 . 16.解:依题意得 ,或 ,或 ,解得 ,或 , . 17.解:(Ⅰ)∵ ∴ ∴ -----------------2 分 若 则 得 ----------------------------4 分 ∵ ∴ 或 ∴ -------------------------------------6 分 (Ⅱ)∵ = ----------------------------------9 分 ∴函数的最小正周期为 T=π-----------------------------------------10 分 由 得 ∴ 的单调增区间 .----------------12 分 18.(1) = 1 2, = 1 3+ 1 4= 7 12, = 1 5+ 1 6+ 1 7+ 1 8= 168+140+120+105 840 = 533 840。 …………2 分 ( )81 11 1 1 78 1 2,4 4 4a a= + − × = + = 4 85 81 1 1 122 16 8a a  = × = × =   ( )1 11 11 ,4 4i ia a i= + − × = 1 1 1 1 1 1 1 2 4 2 2 j j j ij i ia a i − − +     = × = × = ×           2 2x x x ≤  = 2 5 2 3 x x x < ≤  − = 1 5 x x x >  = 0x = 1x = 3x = 1 2z z= 3sin 2 cos2 x m m xλ  = = − 3sin 2 cos2x xλ −= 0λ = 3sin 2 cos2 0x x− = 3tan 2 3x = 0 ,x π< < 0 2 2x π∴ < < 2 ,6x π= 72 ,6x π= 7,12 12x π π= 3 1( ) 3sin 2 cos2 2( sin 2 cos2 )2 2f x x x x xλ = = − = − 2(sin 2 cos cos2 sin )6 6x x π π− 2sin(2 )6x π= − 2 2 2 ,2 6 2k x k k Z π π ππ π− ≤ − ≤ + ∈ ,6 3k x k k Z π ππ π− ≤ ≤ + ∈ ( )f x [ , ],6 3k k k Z π ππ π− + ∈ 12 SS − 24 SS − 48 SS − (2)当 ≥1 时, = 1 2n-1+1+ 1 2n-1+2+…+ 1 2n(共 2n-1 项) ≥ ×2n-1= 1 2,当且仅当 =1 时,等号成立。 …………4 分 (3)由于 =1,当 ≥1 时, ≥ 1 2, 于是,要使得 ST>2008,只需 >2007。将 按照第一组 21 项,第 二组 22 项,……,第 组 项的方式分组,……6 分 由(2)可知,每一组的和不小于 1 2,且只有 =1 时等于 1 2,将这样的分组连续取 2×2007 组,加 上 a1,共有 24015 项,这 24015 项之和一定大于 1+2007=2008,故只需取 =24015,就能使得 > 2008; …………8 分 (注:只要取出的 不小于 24015,并说出相应理由,都给满分) (4)设这样的 存在, =2 时,有 1= ⇒ , =3 时,有 = ⇒ , 猜测 = ( ≥2).下面用数学归纳法证明: ① =2,3 时,上面已证,猜测正确; ②设 = ( ≥2)时, 即 成立 则 即 = 时,猜测也正确。综上所述,存在 = ,使得 对 于 大 于 1 的 正 整 数 都 成 立。 …………12 分 19.(1)由已知 , 得 平面 , 又 , ∴ 平面 , ∴ 为二面角 的平面角. ----------3 分 由已知 , 得 , n 122 −− nn SS n2 1 n 1S n 122 −− nn SS n 1 3 1 2 1 +⋅⋅⋅++ n 1 3 1 2 1 +⋅⋅⋅++ n n2 n T TS T )(nf n )12 11)(2( −+f 2)2( =f n 2 5 )13 1 2 11)(3( −++f 3)3( =f )(nf n n n n k k knf =)( )1(121 −=+⋅⋅⋅++ − kn SkSSS kkkn SSkSSSS +−=++⋅⋅⋅++ − )1(121 。)1)(1( )11 1)(1( )1( 1 −+= −+++= −+= +k k k Sk kSk kSk n )1( +k )(nf n )1)((121 −=+⋅⋅⋅++ − nn SnfSSS n ABPDADAB ⊥⊥ , ⊥AB PAD ABMN // ⊥MN PAD ,, DMMNPMMN ⊥⊥ PMD∠ DMNP −− 060=∠PAD 030=∠MPD ∵ 是 斜边 上的中线, ∴ 为等腰三角形, , 即二面角 的大小为 . -------------7 分 (2)显然 . 若 , 则 平面 , 而 平面 ,故平面 与平面 重合,与题意不符. 由 是 ,则必有 , 连 BD,设 ,由已知得 ,从而 , 又 ,∴ ,得 , 故 平面 , -----------9 分 ∴ ,又 ,∴ 平面 , ∴ ,反之亦然. ∵ ∴ , ∴ ∽ -------11 分 ∴ . --------12 分 20.解:(I) 的取值为 1, 3,又 ………………4 分 ∴ξ的分布列为 …………………………5 分 ∴Eξ=1× +3× = . ………………………………6 分 (II)当 S8=2 时,即前八秒出现“○”5 次和“×”3 次,又已知 若第一、三秒出现“○”,则其余六秒可任意出现“○”3 次; 若第一、二秒出现“○”,第三秒出现“×”,则后五秒可任出现“○”3 次. 故此时的概率为 …………12 分 21.解:(Ⅰ)设 的坐标为 ,则 且 . 解得 , 因此,点 的坐标为 . (Ⅱ) ,根据椭圆定义, 得 , , . ∴所求椭圆方程为 . DM PDARt∆ PA MPMD = PMD∆ 0120=∠PMD DMNP −− 0120 090≠∠DCN 090=∠CDN ⊥CD PAN ⊥CD PAD PAN PAD CDN∆ ∆Rt DNCN ⊥ aAD = aAB 2= aBD 3= aADPD 360tan 0 == BDPD = PBDN ⊥ ⊥DN PBC BCDN ⊥ BCPD ⊥ ⊥BC PBD BCBD ⊥ CDAB // CDBABD ∠=∠ ABDRt∆ CDBRt∆ 2 3,, 2 22 ==== AB BD AB CD AB BDCDAB BD BD CD || 3S=ξ ,2 1== qp .4 1)3 1()2 1()3(,4 32)2 1()2 1()1( 3321 3 =⋅+===⋅⋅==∴ ξξ PCP 4 3 4 1 2 3 ),4,3,2,1(0 =≥ iSi ).2187 80(3 80 3 830)3 2()3 1()( 78 353 5 3 6 或=×=⋅⋅+= CCP 1F′ ),( nm 2 1 1 −=+m n 0322 12 =+−−⋅ nm 5 2,5 9 =−= nm 1F′ )5 2,5 9(− 11 PFFP =′ ||||||2 2121 FFPFFPa ′=+′= 22)05 2()15 9( 22 =−+−−= 2=∴ a 112 =−=b 12 2 2 =+ yx ξ 1 3 P 4 3 4 1 (Ⅲ) , 椭圆的准线方程为 . 设点 的坐标为 , 表示点 到 的距离, 表示点 到椭圆的右 准线的距离. 则 , . , 令 , 则 , 当 , , , . ∴ 在 时取得最小值. 因此, 最小值= ,此时点 的坐标为 -----------------13 分 22.解:(Ⅰ)当 时,原不等式即 ,解得 , ∴ 即 ------------------------------2 分 (Ⅱ)原不等式等价于 ……………………………………………..4 分 ………………………………………………………..6 分 ∴ ……8 分 (Ⅲ)∵ n=1 时, ;n=2 时, n=3 时, ;n=4 时, n=5 时, ;n=6 时, …………………………………………9 分 猜想: 时 下面用数学归纳法给出证明 ①当 n=5 时, ,已证…………………………………………………….10 分 2 2 = c a  ∴ 2±=x Q )32,( +tt )22( <<− t 1d Q 2F 2d Q 10105)32()1( 222 1 ++=++−= ttttd 22 −= td 2 22 2 1 )2( 2252 10105 − ++⋅=− ++= t tt t tt d d 2 2 )2( 22)( − ++= t tttf )22( <<− t 34 22 )2( )86( )2( )2(2)22()2()22()( − +−=− −⋅++−−⋅+=′ t t t ttttttf  0)(,3 42 <′−<<− tft 0)(,23 4 >′<<− tft 3 4−=t 0)( =′ tf )(tf 3 4−=t 2 1 d d 2 2)3 4(5 =−⋅ f Q )3 1,3 4(− 1k = 2 3 2 0x x− + ≤ 1 2x≤ ≤ x N+∈ 1,2x = (1) 2f = 1 1( 2 )( 2 ) 0 2 2k k k kx x x− −− − ≤ ⇔ ≤ ≤ ( ) 12122 11 +=+−= −− kkkkf 0 1 1 1 ( ) (1) (2) ( ) 2 2 2 2 1 n n n n i S f i f f f n n n− = = = + + + = + + + + = + −∑   22 nPS n nn −=− ;012 21 >− ;022 22 =− ;032 23 <− ;042 24 =− ;052 25 >− ;062 26 >− 5≥n nn PS > 55 PS > ②假设 时结论成立即 那么 n=k+1 时, 在 范围内, 恒成立,则 ,即 由①②可得,猜想正确,即 时, ………………………………….. 12 分 综上所述:当 n=2,4 时, ;当 n=3 时, ;当 n=1 或 时 ;---13 分 备选题:解:(1)∵ -------------------------------------------1 分 当 时, ,∴函数 在 上为增函数----------------3 分 ∴ , --------------------------4 分 (2)证明:令 则 ∵当 时 ,∴函数 在区间 上为减函数 ∴ ,即在 上, ∴在区间 上,函数 的图象在函数 的图象的下方-----8 分 (3)证明:∵ ,当 时,不等式显然成立 当 时 ∵ = -----① -------------②-----10 分 ①+②得 ≥ (当且仅当 时“=”成立)---------------13 分 ∴当 时,不等式成立 ( )5≥= kkn 22, kPS k kk >> 1 2 2 2 22 ( 1) 2 2 2 1 2 2 1k kk k k k k k+ − + = ⋅ − − − > ⋅ − − − 2 22 1 ( 1) 2k k k= − − = − − 5≥k ( ) 021 2 >−−k 1 22 ( 1)k k+ > + 11 ++ > kK PS 5≥n nn PS > nn PS = nn PS < 5≥n nn PS > 1'( )f x x x = + [1, ]x e∈ '( ) 0f x > ( )f x [1, ]e 2 max 1( ) ( ) 2f x f e e= = min 1( ) (1) 2f x f= = − 2 31 2( ) ( ) ( ) ln 12 3F x f x g x x x x= − = + − − 2 3 2 21 1 2 (1 )(1 )'( ) 2 x x x x xF x x xx x x + − − + += + − = = 1x > '( ) 0F x < ( )F x (1, )+∞ 1 2( ) (1) 1 02 3F x F< = − − < (1, )+∞ ( ) ( )f x g x< (1, )+∞ ( )f x 32( ) 3g x x= 1'( )f x x x = + 1n = 2n ≥ 1 1[ '( )] '( ) ( ) ( )n n n n nf x f x x xx x − = + − + 1 2 2 3 1 2 1n n n n n n nC x C x C x − − − −+ + + [ '( )] '( )n nf x f x− = 1 2 1 2 2 3 1 1n n n n n nn nC C C xx x − − − − −+ + + 2 1 3 2 2 1 2 3 2 1 1 1 1[ '( )] '( ) [( ) ( ) ( ) ]2 n n n n n n n n nn n nf x f x x C x C x Cx x x − − − − − − −− = + + + + + + 1 2 1 2 2n n n n nC C C −+ + + = − 1x = 2n ≥ 综上所述得 ≥ .--------------------------14 分[ '( )] '( )n nf x f x− 2 2n − ( )n N ∗∈
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