高考数学一轮复习练案23第三章三角函数解三角形第四讲三角函数的图象与性质含解析

高考数学一轮复习练案23第三章三角函数解三角形第四讲三角函数的图象与性质含解析

‎ [练案23]第四讲　三角函数的图象与性质 A组基础巩固 一、单选题 ‎1．(2017·全国卷Ⅱ)函数f(x)＝sin (2x＋)的最小正周期为(　C　)‎ A．4π　 B．2π　‎ C．π　 D． ‎[解析]　函数f(x)的最小正周期为T＝＝π.故选C.‎ ‎2．(2020·山东省实验中学高三第一次诊断)设函数f(x)＝sin (2x－)(x∈R)，则f(x)是(　B　)‎ A．最小正周期为π的奇函数 B．最小正周期为π的偶函数 C．最小正周期为的奇函数 D．最小正周期为的偶函数 ‎[解析]　∵f(x)＝sin (2x－)＝－sin (－2x)＝－cos 2x，∴f(x)的最小正周期T＝＝π，且为偶函数．故选B.‎ ‎3．已知函数y＝2cos x的定义域为[，π]，值域为[a，b]，则b－a的值是(　B　)‎ A．2　 B．3　‎ C．＋2　 D．2－ ‎[解析]　因为x∈[，π]，所以cos x∈[－1，]，故y＝2cos x的值域为[－2,1]，所以b－a＝3.‎ ‎4．y＝|cos x|的一个单调递增区间是(　D　)‎ A．[－，]　　 B． [0，π]‎ C．[π，]　　 D．[，2π]‎ ‎[解析]　将y＝cos x的图象位于x轴下方的图象关于x轴对称，x轴上方(或x轴上)的图象不变，即得y＝|cos x|的图象(如图)．故选D.‎ - 7 -‎ ‎5．若函数y＝sin (ωx＋)在x＝2处取得最大值，则正数ω的最小值为(　D　)‎ A．　 B．　‎ C．　 D． ‎[解析]　由题意得，2ω＋＝＋2kπ(k∈Z)，解得ω＝＋kπ(k∈Z)，因为ω>0，所以当k＝0时，ωmin＝.故选D.‎ ‎6．(2020·辽宁抚顺调研)设函数f(x)＝sin(x＋θ)－cos(x＋θ)(|θ|<)的图象关于原点对称，则角θ＝(　D　)‎ A．－　 B．　‎ C．－　 D． ‎[解析]　∵f(x)＝2sin(x＋θ－)，且f(x)的图象关于原点对称，∴f(0)＝2sin(θ－)＝0，即sin(θ－)＝0，∴θ－＝kπ(k∈Z)，即θ＝＋kπ(k∈Z)，又|θ|<，∴θ＝.‎ 二、多选题 ‎7．(2020·海淀区模拟改编)已知函数f(x)＝sin (ωx＋)的最小正周期为π，则ω＝(　CD　)‎ A．1　 B．－1　‎ C．2　 D．－2‎ ‎[解析]　因为T＝，所以|ω|＝＝2，故ω＝±2.故选C、D.‎ ‎8．(2020·河南南阳四校联考改编)已知函数f(x)＝cos (2x－)(x∈R)，下列结论错误的是(　BC　)‎ A．函数f(x)的最小正周期为π - 7 -‎ B．函数f(x)的图象关于点(，0)对称 C．函数f(x)在区间[0，]上是减函数 D．函数f(x)的图象关于直线x＝对称 ‎[解析]　由题意可得函数f(x)的最小正周期T＝＝π，故A正确；当x＝时，f()＝cos (2×－)＝1，所以函数f(x)的图象不关于点(，0)对称，故B不正确；当0≤x≤时，－≤2x－≤，函数f(x)不单调，故C不正确；当x＝时，f()＝cos (2×－)＝，所以函数f(x)的图象关于直线x＝对称，故D正确．综上选B、C.‎ 三、填空题 ‎9．若y＝cos x在区间[－π，α]上为增函数，则实数α的取值范围是__－π<α≤0__.‎ ‎10．(2018·江苏，7)已知函数y＝sin (2x＋φ)(－<φ<)的图象关于直线x＝对称，则φ的值是　－　.‎ ‎[解析]　本题考查正弦函数的图象和性质．‎ ‎∵函数y＝sin (2x＋φ)的图象关于直线x＝对称，‎ ‎∴x＝时，函数取得最大值或最小值，‎ ‎∴sin (＋φ)＝±1，‎ ‎∴＋φ＝kπ＋(k∈Z)，∴φ＝kπ－(k∈Z)，‎ 又－<φ<，∴φ＝－.‎ ‎11．(2020·山东师范大学附属中学模拟)函数y＝sin2x－4cos x＋1的最大值为__5__.‎ ‎[解析]　y＝sin2x－4cos x＋1＝－cos2x－4cos x＋2＝－(cos x＋2)2＋6，∵－1≤cos x≤1，∴cos x＝－1时，y取得最大值为5.‎ ‎12．函数f(x)＝sin2x＋sin xcos x＋1的最小正周期是__π__，单调减区间是　[kπ＋，kπ＋]，k∈Z　.‎ - 7 -‎ ‎[解析]　∵f(x)＝sin2x＋sin xcos x＋1＝(1－cos 2x)＋sin 2x＋1＝sin (2x－)＋，∴最小正周期是π.由2kπ＋≤2x－≤2kπ＋(k∈Z)，得kπ＋≤x≤kπ＋(k∈Z)．∴单调减区间为[kπ＋，kπ＋]，k∈Z.‎ 四、解答题 ‎13．已知函数f(x)＝sin (ωx＋φ)(ω>0,0<φ<)的最小正周期为π.‎ ‎(1)当f(x)为偶函数时，求φ的值；‎ ‎(2)若f(x)的图象过点(，)，求f(x)的单调递增区间．‎ ‎[解析]　由f(x)的最小正周期为π，‎ 则T＝＝π，所以ω＝2，‎ 所以f(x)＝sin (2x＋φ)．‎ ‎(1)当f(x)为偶函数时，f(－x)＝f(x)．‎ 所以sin (2x＋φ)＝sin (－2x＋φ)，‎ 展开整理得sin 2xcos φ＝0，‎ 由已知上式对∀x∈R都成立，‎ 所以cos φ＝0.因为0<φ<，所以φ＝.‎ ‎(2)因为f()＝，所以sin (2×＋φ)＝，‎ 即＋φ＝＋2kπ或＋φ＝＋2kπ(k∈Z)，‎ 故φ＝2kπ或φ＝＋2kπ(k∈Z)，‎ 又因为0<φ<，所以φ＝，即f(x)＝sin (2x＋)，‎ 由－＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ(k∈Z)得 kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)，‎ 故f(x)的递增区间为[kπ－，kπ＋](k∈Z)．‎ ‎14．(2020·武汉市调研测试)已知函数f(x)＝sin 2x＋cos 2x＋a(a为常数)．‎ ‎(1)求f(x)的单调递增区间；‎ ‎(2)若f(x)在[0，]上有最小值1，求a的值．‎ - 7 -‎ ‎[解析]　(1)f(x)＝2(sin 2x＋cos 2x)＋a ‎＝2sin (2x＋)＋a，‎ 令2kπ－≤2x＋≤2kπ＋，k∈Z，‎ 所以kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z，‎ 所以f(x)的单调递增区间为[kπ－，kπ＋](k∈Z)．‎ ‎(2)当0≤x≤时，≤2x＋≤π，‎ 所以－≤sin (2x＋)≤1，‎ 所以当x＝时，f(x)有最小值，最小值为a－1＝1，‎ 所以a＝2.‎ B组能力提升 ‎1．(多选题)已知函数f(x)＝2cos2x－sin2x＋2，则(　AD　)‎ A．f(x)的最小正周期为π B．f(x)最大值为3‎ C．f(x)的最小正周期为2π D．f(x)最大值为4‎ ‎[解析]　本题主要考查三角函数变换及三角函数的性质．‎ f(x)＝2cos2x－sin2x＋2＝2(1－sin2x)－sin2x＋2＝4－3sin2x＝4－3×＝＋，‎ ‎∴f(x)的最小正周期T＝π，当cos 2x＝1时，f(x)取最大值为4，故选A、D.‎ ‎2．(多选题)(2020·武汉调研测试改编)已知函数f(x)＝sin (2x＋φ)＋acos (2x＋φ)(0<φ<π)的最大值为2，且满足f(x)＝f(－x)，则φ＝(　BC 　)‎ A．　　 B． C.　　 D． ‎[解析]　由f(x)的最大值为2，知＝2，即a＝±，所以f(x)＝2sin (2x＋φ±)，由f(x)＝f(－x)知f(x)的图象关于直线x＝对称，所以当x＝时，2x＋φ±＝kπ＋ - 7 -‎ ‎，即φ＝kπ±(k∈Z)．又因为0<φ<π，所以φ＝或.故选B、C.‎ ‎3．如果函数y＝sin ωx在区间[－，]上单调递减，那么ω的取值范围是(　B　)‎ A．[－6,0)　　 B．[－4,0)‎ C．(0,4]　　 D．(0,6]‎ ‎[解析]　解法一：因为函数y＝sin ωx在区间[－，]上单调递减，所以ω<0且函数y＝sin (－ωx)在区间[－，]上单调递增，则 即求得－4≤ω<0.故选B.‎ 解法二：代值检验法，当ω＝1时，y＝sin x在[－，]上单调递增，排除选项C，D；当ω＝－6时，y＝sin (－6x)＝－sin 6x在[－，－]上单调递增，在[－，]上单调递减，排除选项A.故选B.‎ ‎4．(2020·广东高三六校第一次联考)已知A是函数f(x)＝sin(2 018x＋)＋cos (2 018x－)的最大值，若存在实数x1，x2使得对任意实数x总有f(x1)≤f(x)≤f(x2)成立，则A·|x1－x2|的最小值为(　B　)‎ A．　　 B． C.　　 D． ‎[解析]　函数f(x)＝sin (2 018x＋)＋cos [－＋(2 018x＋)]＝sin (2 018x＋)＋cos [－(2 018x＋)]＝2sin (2 018x＋)，所以A＝2.因为存在实数x1，x2使得对任意实数x总有f(x1)≤f(x)≤f(x2)成立，则|x1－x2|的最小值是函数f(x)＝2sin (2 018x＋)的周期的二分之一，则A·|x1－x2|的最小值为函数的一个周期＝.故选B.‎ ‎5．已知函数f(x)＝4tan xsin (－x)cos (x－)－.‎ ‎(1)求f(x)的定义域与最小正周期；‎ ‎(2)讨论f(x)在区间[－，]上的单调性．‎ ‎[解析]　(1)f(x)的定义域为，‎ f(x)＝4tan xcos xcos (x－)－ - 7 -‎ ‎＝4sin xcos (x－)－＝4sin x(cos x＋sin x)－ ‎＝2sin xcos x＋2sin2x－＝sin 2x＋(1－cos 2x)－ ‎＝sin 2x－cos 2x＝2sin (2x－)．‎ 所以，f(x)的最小正周期T＝＝π.‎ ‎(2)由－＋2kπ≤2x－≤＋2kπ，‎ 得－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z.‎ 所以，当x∈[－，]时，f(x)在区间[－，]上单调递增，在区间[－，－]上单调递减．‎ - 7 -‎