2018届二轮复习函数的周期性课件（全国通用）

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第三章　函 数 第 4 节 函数的周期性 1 . 定义 : 对于函数 f ( x ), 如果存在一个不为零的常数 T , 使得当 x 取定义域内的每一个值时 , 都有 f ( x + T ) =f ( x ) 成立 , 那么函数 f ( x ) 叫做周期函数 , 不为零的常数 T 叫做这个函数的周期 . 2 . 周期函数的两个重要性质 : (1) 函数 f ( x ) 的周期为 T , 则 kT ( k ∈Z, k ≠0) 也是 f ( x ) 的周期 ; (2) 函数 f ( x ) 的周期为 T , 则 f ( ωx )( ω ≠0) 的周期为 . 3 . 若 f ( x+a ) =-f ( x ), 则 f ( x ) 的周期为 T= 2 a ; f ( x+a )= , 则 f ( x ) 的周期为 T= 2 a. 【 例 1】 若 f ( x ) 是周期为 3 的函数 , 且 f (1)=1, 则 f (10)= ( ) A.1 B. - 1 C.2 D.0 【 答案 】 A 【 解析 】 因为 f ( x ) 的周期为 3, 所以 f (10)= f (3×3+1)= f (1)=1 . 选 A . 【 例 2】 (2013 全国大纲 ) 设 f ( x ) 是以 2 为周期的函数 , 且当 x ∈[1,3) 时 , f ( x )= x- 2, 则 f ( - 1)= . 【 答案 】 - 1 【 解析 】 因为 f ( x ) 是以 2 为周期的函数 , 所以 f ( - 1) =f ( - 1+2)= f (1), 当 x ∈[1,3) 时 , 满足 f ( x )= x- 2, 所以 f (1) = 1 - 2 =- 1 . 【 例 3】 (2013 湛江一模 ) 已知函数 f ( x ) 是 R 上的奇函数 , 对任意 x ∈R, 都有 f ( x +4)= f ( x ), 若 f ( - 1)=2, 则 f (2013)= ( ) A.2012 B.2 C.2013 D. - 2 【 答案 】 D 【 解析 】 因为对任意 x ∈R, f ( x +4)= f ( x ), 所以 f ( x ) 的周期为 4, f (2013)= f (503×4+1)= f (1), 又因为函数 f ( x ) 是 R 上的奇函数 , f ( - 1)=2, 所以 f (1)= - 2, 所以 f (2013)= f (1)= - 2, 选 D . 1 . 若 f ( x ) 是周期为 5 的函数 , 且 f (0)=1, 则 f (10)= ( ) A.1 B. - 1 C.2 D.0 【 答案 】 A 【 解析 】 因为 f ( x ) 是周期为 5 的函数 , 且 f (10) =f (5×2)= f (0)=1, 选 A . 2 . 若 f ( x ) 是 R 上周期为 3 的奇函数 , 且 f (1)=2, 则 f ( - 4)= ( ) A.2 B. - 2 C.1 D. - 1 【 答案 】 B 【 解析 】 因为 f ( x ) 是 R 上周期为 3 的奇函数 , f ( - 4)= f ( - 3+( - 1))= f ( - 1)= -f (1)= - 2 . 选 B . 3 . 已知定义在 R 上的奇函数 f ( x ), 满足 f ( x +2)= f ( x ), 则 f (4)= ( ) A. - 1 B.0 C.1 D.2 【 答案 】 B 【 解析 】 因为定义在 R 上的奇函数 f ( x ), 满足 f ( x +2)= f ( x ), 所以 f (4)=f(2×2+0)= f (0), 因为定义在 R 上的奇函数函数满足 f (0)=0, 所以 f (4)=0 . 选 B . 4 . 若 f ( x ) 是 R 上周期为 3 的奇函数 , 且 f (1)>1, f (2)= a , 则 ( ) A. a >2 B. a < - 2 C. a >1 D. a < - 1 【 答案 】D 【 解析 】 f ( x ) 是 R 上周期为 3 的奇函数 , 所以 f (2)= f (3 - 1)= f ( - 1)= -f (1), 又 f (1)>1, 所以 -f (1)< - 1, 即 f (2)< - 1, 所以 a < - 1, 选 D . 5 . 设 f ( x ) 是定义在 R 上的周期为 3 的周期函数 , 如图表示该函数在区间 ( - 2,1] 上的图象 , 则 f (2014)+ f (2015)= ( ) A.3 B.2 C.1 D.0 【 答案 】 A 【 解析 】 因为 f ( x ) 是定义在 R 上的周期为 3 的周期函数 , 所以 f (2014)+ f (2015)= f (671×3+1)+ f (672×3-1)= f (1)+ f ( - 1) . 由图可以知道 f (1)=1, f ( - 1)=2, 所以 f (2014)+ f (2015)=1+2=3 . 选 A . 6 . (2013 韶关二模 ) 已知函数 f ( x ) 是 R 上的奇函数 , 若对于 x ≥0, 都有 f ( x +2)= f ( x ), 当 x ∈[0,2) 时 , f ( x )=log 2 ( x +1), f ( - 2013)+ f (2012) 的值为 ( ) A. - 2 B. - 1 C.1 D.2 【 答案 】B 【 解析 】 因为对于 x ≥0, 都有 f ( x +2)= f ( x ), 所以 f (2012)= f (0), 当 x ∈[0,2) 时 , f ( x )=log 2 ( x +1), 所以 f (2012)= f (0)=log 2 (0+1)=log 2 1=0, 因为函数 f ( x ) 是 R 上的奇函数 , f ( - 2013)= -f (2013)= -f (1006×2+1)= -f (1)= - [log 2 (1+1)]= - log 2 2= - 1, 所以 f ( - 2013)+ f (2012)=0+( - 1)= - 1, 选 B . 7 . (2011 全国新课标 (Ⅱ)) 已知函数 y = f ( x ) 的周期为 2, 当 x ∈[ - 1,1] 时 , f ( x )= x 2 , 那么函数 y = f ( x ) 的图象与函数 y= |lg x | 的图象的交点共有 ( ) A.10 个 B.9 个 C.8 个 D.1 个 【答案】A 【解析】 利用周期画出它们的图象,由图可知道, y = f ( x )的图象与 y= |lg( x )|共有10个交点,选A . 10 . 设函数 f ( x ) 是周期为 5 的奇函数 , 当 0< x ≤2 时 , f ( x )=2 x - 3, 则 f (2013)= . 【 答案 】 -1 【 解析 】 因为函数 f ( x ) 是周期为 5 的奇函数 , 所以 f (2013) =f (403×5-2)= f ( - 2)=- f (2)=-(2 2 -3)=-1 . 11 . 已知 f ( x ) 是定义在 R 上的奇函数 , 且 f ( x +4)= f ( x ), 当 x ∈(0,2) 时 , f ( x )= x +2, 则 f (7)= . 【 答案 】 -3 【 解析 】 因为 f ( x ) 是定义在 R 上的奇函数 , 且 f ( x +4)= f ( x ), 周期为 4, 所以 f (7)= f (8 - 1)= f ( - 1)= -f (1)= - (1+2)= - 3 . 12 . 设 f ( x ) 是定义在 (-∞,+∞) 上的奇函数 , 且 f ( x +2)=- f ( x ), 当 0≤ x ≤1 时 , f ( x )= x , 则 f (7.5)= . 【 答案 】 -0 . 5 【 解析 】 由题意得 f ( x +4)= f [( x +2)+2]=- f ( x +2)= f ( x ), 所以 f ( x ) 是以 4 为周期的函数 , 所以 f (7 . 5) =f (7 . 5 - 8) =f ( - 0 . 5)= -f (0 . 5)= - 0 . 5 . 15 . (2017 年山东高考文数 14) 已知 f ( x ) 是定义在 R 上的偶函数 , 且 f ( x +4)= f ( x- 2) . 若当 x ∈[ - 3,0] 时 , f ( x )=6 -x , 则 f (919) = . 【 答案 】 6 【 解析 】 由 f ( x +4)= f ( x- 2) 可知 , f ( x ) 是周期函数且 T =6, 所以 f (919)= f (6×153+1)= f (1)=f(-1)=6 .