山东省泰安市新泰市第二中学2019-2020学年高二第二学期期中考试数学试卷

山东省泰安市新泰市第二中学2019-2020学年高二第二学期期中考试数学试卷

山东省泰安市新泰市第二中学 2019-2020 学年高二期中考试数学试卷 一、选择题 1、已知离散型随机变量 的概率分布如下: 1 3 5 P 0.5 m 0.2 则其数学期望 E 等于( ). A.1 B.0.6 C. D.2.4 2.设 ,函数 的导函数为 ,且 是奇函数,则 为( ) A.0 B.1 C.2 D.-1 3、若(x+1) 5=a 0+a 1(x-1)+a 2(x-1) 2+…+a 5(x-1) 5,则 a 0=( ) A.32 B.1 C.-1 D.-32 4.已知 是复平面内的三个不同点,点 对应的复数分别是 若 ,则点 表示的复数是( ) A. B. C. D. 5、直线 y＝kx＋b 与曲线 y＝x 3＋ax＋1 相切于点(2 , 3)，则 b 的值为(　　) A．－3 B．9 C．－15 D．－7 6、已知离散型随机变量 的概率分布如下: 0 1 2 P 0.3 3k 4k 随机变量 ,则 的数学期望为( ) A.1.1 B.3.2 C.11k D.22k+1 7.设随机变量 服从正态分布 ,若 ,则 ( ) A.1 B.2 C.3 D.4 8.设函数 , 在 上均可导,且 ,则当 时,有( ) A. B. C. D. 二、多项选择题 9.若随机变量 ξ 的分布列为 ξ 0 1 P m n 其中 ，则下列结果中错误的是( ) A. B. C. D. a R∈ ( ) x xf x e ae−= − '( )f x '( )f x a , ,A B C ,A B 2 3 , ,i i− + − AC CB=  C 2 2i− + 2 4i− + 1 i− + 1 2i− + X 2( , )N µ σ ( 4) ( 0)P x P x> = < µ = ( )f x ( )g x [ ],a b '( ) '( )f x g x< a x b< < ( ) ( )f x g x> ( ) ( )f x g x< ( ) ( ) ( ) ( )f x g a g x f a+ < + ( ) ( ) ( ) ( )f x g b g x f b+ < + )1(0m∈ , ( ) ( ) 3E m D nξ ξ= =， ( ) ( ) 2E m D nξ ξ= =， ( ) ( ) 21E m D m mξ ξ= − = −， ( ) ( ) 21E m D mξ ξ= − =， 10.已知函数 ，若 ，则下列结论正确的是( ) A. B. C. D.当 时， 11.已知 的展开式中第 5 项与第七项的二项数系数相等,且展开式 的各项系数之和为 1024,则下列说法正确的是( ) A.展开式中奇数项的二项式系数和为 256 B. 展开式中第 6 项的系数最大 C. 展开式中存在常数项 D. 展开式中含 项的系数为 45 12.下列函数中，存在极值点的是( ) A. B. C. D. 三、填空题 13.若复数 ，则复数 的 =__________. 14.已知 的展开式中含有 的系数是 ,则 __________. 15.若已知随机变量 ,则 ____________. 16.若函数 在 R 上是减函数，则实数 a 的取值范围是______。 四、解答题 17、(本题满分 14 分) 已知复数 当实数 取什么值时,复数 是: (1)零;(2)纯虚数; (3) 18.已知函数 （1）求 的解析式； （2）求 在 处的切线方程． 19、由数字 1,2,3,4 (1)可组成多少个三位数 ( ) lnf x x x= 1 20 x x< < ( ) ( )2 1 1 2x f x x f x< ( ) ( )1 1 2 2x f x x f x+ < + ( ) ( )1 2 1 2 0f x f x x x − <− ln 1x > − ( ) ( ) ( )21 121 22x xx f x f x xf+ > 2 1( ) ( 0)nax a x + > 15x 1y x x = − 2 xy = 32y x x= − − lny x x= z ( )1 3 nx+ 2x 54 n= 1~ (4, )3X B ( 3)P X = = 3 2( ) 2f x x x ax= − + + 2 4( ) , (1) 2, '(1) 1;3f x ax ax b f f= − + = = ( )f x ( )f x (1,2) (2)可组成多少个没有重复数字的三位数 (3)可组成多少个没有重复数字的三位数,且百位数字大于十位数字,十位数字 大于个位数字. 20、(1)若 的展开式中, 的系数是 的系数的 7 倍,求 n; (2)已知 的展开式中, 的系数是 的系数与 的系数的等差中 项,求 ; (3)已知 的展开式中,二项式系数最大的项的值等于 1120,求 x。 21、某校举行了“环保知识竞赛”，为了解本次竞赛 成绩的频率分布表情况，从中随机抽取部分学 生的成绩(得分均为整数，满分 100 分)，进行 统计，请根据频率分布表中所提供 的数据，解答下列问题： (Ⅰ)求 的值及随机抽取一考生其成绩不 低于 70 分的概率； (Ⅱ)按成绩分层抽样抽取 20 人参加社区志愿 者活 动，并从中指派 2 名学生担任负责人， 记这 2 名学生中“成绩低于 70 分”的人数为 ，求 的分布列及期望。 22.已知函数 . (1)若函数 与 的图象在点 处有相同的切线,求 的值; (2)当 时, 恒成立,求整数 a 的最大值; (3)证明: . 数学期中考试试题 分组 频数 频率 [50,60) 5 0.05 [60,70) 0.20 [70,80) 35 [80,90) 30 0.30 [90,100) 10 0.10 合计 1.00 1 )nx+（ 3x x 7( 1) ( 0)ax a+ ≠ 3x 2x 4x a lg 8(2 )xx x+ , ,a b c ξ ξ ( ) e , ( ) ln( )xf x g x x a b= = + + ( )f x ( )g x (0,1) ,a b 0b = ( ) ( ) 0f x g x− > 2 3 eln 2 (ln3 ln 2) (ln 4 ln3) [ln( 1) ln ] e 1 nn n+ − + − + + + − < − 参考答案 答案： 1、 解析： 由分布列性质得 m=1-0.5-0.2=0.3,所以 E =1×0.5+3×0.3+5×0.2=2.4。 2.答案：D 解析： 答案： 3、 解析： 因为(x+1) 5=a 0+a 1(x-1)+a 2(x-1) 2+…+a 5(x-1) 5, 所以令 x=1 得 a 0=2 5=32 故选 A 4.答案：C 解析： 答案： 5、 解析： 解：∵y=x 3+ax+1 过点（2，3） ∴a=-3，∴y'=3x 2-3，∴k=y'| x=2=3×4-3=9，∴b=y-kx=3-9×2=-15， 故答案为：-15． 答案： 6、 解析： 略 7.答案：B 解析： 8.答案：C 解析：令 ,由 ,得 在 上为减函数, 由 ,得 , 即 , 故选 C. 9.答案：ABD 解析： 10.答案：AD 解析： 11.答案：BCD 解析：因为 的展开式中第 5 项与第 7 项的第二项式系数相等,所以 ( ) ( ) ( )F x f x g x= − '( ) '( ) '( ) 0F x f x g x= − < ( )F x [ ],a b a x b< < ( ) ( ) ( ) ( )f x g x f a g a− < − ( ) ( ) ( ) ( )f x g a g x f a+ < + 2 1( )nax x + 4 6 n nC C= 得 ,因为展开式中各项系数之和为 1024,所以令 ,得 得 故给定的二项式为 展开式的系数与对应的二项式系数相等,故 B 正确, 展开式的通项通项公式为 ,令 ,记得 即常数项为第 9 项,故 C 正确,令 ,得 ,故展开式中含 项的系数为 故 D 正确 12.答案：BD 解析： 13.答案： 解析： 14.答案：4 解析： ∴ ,∴ . 15.答案： 解析： 16.答案： 解析： 答案： 17、 解析： 解:(1)由 可得 m=1;……4 分 (2)由 可得 m=0;……8 分 (3)由 可得 m=2; ……12 分 综上:当 m=1 时,复数 是 0;当 m=1 时,复数 是纯虚数; 当 m=2,复数 是 .……14 分 思路分析:本试题主要考查了复数的概念和复数的基本运算。 10n = 1x = 10( 1) 1024a + = 1a = 2 101( )x x + 5202 10 2 10 10 1( ) ( ) ( 0,1,2, 10) k k k kC x C x k x −− ⋅ = =  520 152 k− = 8k = 520 152 k− = 2k = 15x 2 10 45C = 1 5 ( )22 3 54nC x x= ( )1 62 n n − = 4n = 8 81 4, 3  −∞ −   第一问中利用(1)由 可得 m=1; (2)中由 可得 m=0; (3)中由 可得 m=2 18.答案： 解析： 答案： 19、 答案： 20、 答案： 21、 解析： (Ⅰ) 由频率分布表可得成绩不低予 分的概率为： ……………………………………………………………4 分 （Ⅱ)由频率分布表可知，“成绩低予 分”的概率为 按成绩分层抽样抽取 人时．“成绩低于 分”的应抽取 人………………6 分 的取值为 的分布列为 ………………………………………………………9 分 ………… 22.答案：(1).因为函数 和 的图象在点 处有相同的切线, 所以 且 , 解得 ( )f x ( )g x (0,1) (0) (0)f g= '(0) '(0)f g= 1, 1a b= = (2).现证明 ,设 ,则 , 当 时, ,当 时, , 所以 在 上单调递增,在 上单调递减, 所以 ,即 恒成立, 即 同理可得 , 即 , 当 时, , 所以当 时, 恒成立. 当 时, ,即 不恒成立. 故整数 a 的最大值为 2. (3).由(2)知 ,令 , 则 , 即 , 综上: 又 , 所以 . 解析： e 1x x≥ + ( ) e 1xF x x= − − '( ) 1xF x e= − (0, )x∈ +∞ '( ) 0F x > ( ,0)x∈ −∞ '( ) 0F x < ( )F x (0, )+∞ ( ,0)−∞ min( ) (0) 0F x F= = ( ) 0F x ≥ e 1x x≥ + ln( 2) 1x x+ ≤ + e ln( 2)x x> + 2a ≤ ln( ) ln( 2) exx a x+ ≤ + < 2a ≤ ( ) ( ) 0f x g x− > 3a ≥ 0e ln a< e ln( ) 0x x a− + > e ln( 2)x x> + 1nx n − += 1 1e ln( 2) n n n n − + − +> + 1 1e [ln( 2)] [ln( 1) ln ]n n nn n nn − + − +> + = + − 0 1 2 1e e e ... e n− − − ++ + + + 2 3ln 2 (ln3 ln 2) (ln 4 ln3) ... [ln( 1) ln ]nn n> + − + − + + + − 0 1 2 1e e e ... e n− − − ++ + + + 11 1 ee 1 1 e 11 1e e n − = < = −− − 2 3 eln 2 (ln3 ln 2) (ln 4 ln3) ... [ln( 1) ln ] e 1 nn n+ − + − + + + − < −