2018届二轮复习专题六第1讲　概率与统计的基本问题课件（全国通用）

2018届二轮复习专题六第1讲　概率与统计的基本问题课件（全国通用）

第 1 讲　概率与统计的基本问题 高考定位　 1. 对于随机抽样、样本的数字特征、统计图表、回归直线方程、独立性检验、正态分布的考查几乎每年都有一道选择或填空题 ， 属于简单题； 2. 对于排列组合、古典概型、几何概型的考查也会以选择或填空的形式命题 ，属于中档以下题目 . 真 题 感 悟 1. (2016· 山东卷 ) 某高校调查了 200 名学生每周的自习时间 ( 单位：小时 ) ，制成了如图所示的频率分布直方图，其中自习时间的范围是 [17.5 ， 30] ，样本数据分组为 [17.5 ， 20) ， [20 ， 22.5) ， [22.5 ， 25) ， [25 ， 27.5) ， [27.5 ， 30]. 根据直方图，这 200 名学生中每周的自习时间不少于 22.5 小时的人数是 ( 　　 ) A.56 B.60 C.120 D.140 解析　 设所求人数为 N ， 则 N ＝ 2.5 × (0.16 ＋ 0.08 ＋ 0.04) × 200 ＝ 140 ， 故选 D. 答案　 D 2. (2016· 全国 Ⅰ 卷 ) 某公司的班车在 7 ： 30 ， 8 ： 00 ， 8 ： 30 发车，小明在 7 ： 50 至 8 ： 30 之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过 10 分钟的概率是 ( 　　 ) 解析　 如图所示 ， 画出时间轴： 答案　 B 3. (2015· 福建卷 ) 为了解某社区居民的家庭年收入与年支出的关系，随机调查了该社区 5 户家庭，得到如下统计数据表： 收入 x ( 万元 ) 8.2 8.6 10.0 11.3 11.9 支出 y ( 万元 ) 6.2 7.5 8.0 8.5 9.8 A.11.4 万元 B.11.8 万元 C.12.0 万元 D.12.2 万元 答案　 B 4. (2015· 山东卷 ) 已知某批零件的长度误差 ( 单位：毫米 ) 服从正态分布 N (0 ， 3 2 ) ，从中随机取一件，其长度误差落在区间 (3 ， 6) 内的概率为 ( 附：若随机变量 ξ 服从正态分布 N ( μ ， σ 2 ) ， 则 P ( μ － σ < ξ < μ ＋ σ ) ＝ 68.26% ， P ( μ － 2 σ ＜ ξ ＜ μ ＋ 2 σ ) ＝ 95.44%.) ( 　　 ) A.4.56% B.13.59% C.27.18% D.31.74% 答案　 B 考 点 整 合 1. 统计   y 1 y 2 总计 x 1 a b a ＋ b x 2 c d c ＋ d 总计 a ＋ c b ＋ d n 2. 计数原理 3. 概率 热点一　统计与统计案例 [ 微题型 1] 　用样本估计总体 【例 1 － 1 】 (1) 空气污染指数划分为 0 ～ 50( 优 ) ， 51 ～ 100( 良 ) ， 101 ～ 150( 轻度污染 ) ， 151 ～ 200( 中度污染 ) ， 201 ～ 300( 重度污染 ) 和大于 300( 严重污染 ) 六档，对应于空气质量的六个级别，指数越大，级别越高，说明污染越严重，对人体健康的影响也越明显 . 下面图表统计了北京市 2016 年元旦前后两周 (2015— 12—24 至 2016—01—06) 实时空气污染指数和 2015 年 6 月 3 日 11 个监测点数据，两图表空气污染指数中位数之差的绝对值为 ________. (2) 从某中学高一年级中随机抽取 100 名同学，将他们的成绩 ( 单位：分 ) 数据绘制成频率分布直方图 ( 如图 ). 则这 100 名学生成绩的平均数，中位数分别为 ________. 解析　 (1) 将图表 1 所有数据从小到大排列： 105 ， 107 ， 117 ， 190 ， 241 ， 273 ， 319 ， 369 ， 415 ， 437 ， 441 ， 445 ， 479 ， 500 ， 共 14 个数 ， 中间两数为 319 ， 369 ， 中位数为 (319 ＋ 369)÷2 ＝ 344 ；图表 2 共 11 个数 ， 中位数为 262. 两图表空气质量指数中位数之差的绝对值为 |344 － 262| ＝ 82. (2) 由图可知 ( a ＋ a － 0.005) × 10 ＝ 1 － (0.010 ＋ 0.015 ＋ 0.030) × 10 ， 解得 a ＝ 0.025 ， 则 x ＝ 105 × 0.1 ＋ 115 × 0.3 ＋ 125 × 0.25 ＋ 135 × 0.2 ＋ 145 × 0.15 ＝ 125. 中位数在 120 ～ 130 之间 ， 设为 x ， 则 0.01 × 10 ＋ 0.03 × 10 ＋ 0.025 × ( x － 120) ＝ 0.5 ， 解得 x ＝ 124. 答案　 (1)82 　 (2)125 ， 124 探究提高 　 反映样本数据分布的主要方式：频率分布表、频率分布直方图、茎叶图 . 关于频率分布直方图要明确每个小矩形的面积即为对应的频率 ， 其高低能够描述频率的大小 ， 高考中常常考查频率分布直方图的基本知识 ，同时考查借助频率分布直方图估计总体的概率分布和总体的特征数，具体问题中要能够根据公式求解数据的平均数、众数和中位数、方差等 . [ 微题型 2] 　对回归直线方程的考查 【例 1 － 2 】 (2015· 全国 Ⅰ 卷 ) 某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费 x ( 单位：千元 ) 对年销售量 y ( 单位： t) 和年利润 z ( 单位：千元 ) 的影响，对近 8 年的年宣传费 x i 和年销售量 y i ( i ＝ 1 ， 2 ， … ， 8) 数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值 . 探究提高 　 若 x ， y 为线性相关 ， 可直接求其线性回归方程；若 x ， y 为非线性相关 ， 可通过换元先建立线性回归方程 ， 然后再转化为非线性回归方程 . [ 微题型 3] 　对独立性检验的考查 【例 1 － 3 】 某新闻媒体为了了解观众对央视《开门大吉》节目的喜爱与性别是否有关系，随机调查了观看该节目的观众 110 名，得到如下的列联表：   女 男 总计 喜爱 40 20 60 不喜爱 20 30 50 总计 60 50 110 试根据样本估计总体的思想，估计约有 ________ 的把握认为 “ 喜爱该节目与否和性别有关 ”. 参考附表： P ( K 2 ≥ k 0 ) 0.050 0.010 0.001 k 0 3.841 6.635 10.828 答案　 99% 【训练 1 】 (1) 高考前夕，摸底考试后随机抽取甲、乙两班各 10 名学生的数学成绩，绘成茎叶图如图所示 . (2) (2017· 长安五校联考 ) 从某项综合能力测试中抽取 100 人的成绩，统计如表，则这 100 人成绩的标准差为 ( 　　 ) 分数 5 4 3 2 1 人数 20 10 30 30 10 答案　 (1)A 　 (2)C 热点二　排列组合与概率 [ 微题型 1] 　排列、组合问题 【例 2 － 1 】 (1) 将甲、乙、丙、丁四名学生分到三个不同的班级，每个班至少分到一名学生，且甲、乙两名学生不能分到同一个班级，则不同的分法种数为 ( 　　 ) A.18 B.24 C.30 D.36 (2) 某次联欢会要安排 3 个歌舞类节目， 2 个小品类节目和 1 个相声类节目的演出顺序，则同类节目不相邻的排法种数是 ( 　　 ) A.72 B.120 C.144 D.168 答案　 (1)C 　 (2)B 探究提高 　 解排列、组合的应用题 ，通常有以下途径： ( 1) 以元素为主体 ， 即先满足特殊元素的要求 ， 再考虑其他元素 . (2) 以位置为主体 ， 即先满足特殊位置的要求 ， 再考虑其他位置 . (3) 先不考虑附加条件 ， 计算出排列或组合数 ， 再减去不符合要求的排列或组合数 . [ 微题型 2] 　考查二项式定理 【例 2 － 2 】 (1) (2015· 全国 Ⅰ 卷 ) ( x 2 ＋ x ＋ y ) 5 的展开式中， x 5 y 2 的系数为 ( 　　 ) A.10 B.20 C.30 D.60 (2) 若 ( x 2 ＋ 1)( x － 2) 11 ＝ a 0 ＋ a 1 ( x － 1) ＋ a 2 ( x － 1) 2 ＋ … ＋ a 13 ( x － 1) 13 ，则 a 1 ＋ a 2 ＋ … ＋ a 13 ＝ ________. 答案　 (1)C 　 (2)2 探究提高 　 (1) 在应用通项公式时 ， 要注意以下几点： ① 它表示二项展开式的任意项 ， 只要 n 与 r 确定 ， 该项就随之确定； ② 对二项式 ( a － b ) n 展开式的通项公式要特别注意符号问题； ③ ( x ＋ y ) n 展开式中的每一项相当于从 n 个因式 ( x ＋ y ) 中每个因式选择 x 或 y 组成的 . (2) 在二项式定理的应用中 ，“ 赋值思想 ” 是一种重要方法 ， 是处理组合数问题、系数问题的经典方法 . 要根据二项展开式的结构特征灵活赋值 . [ 微题型 3] 　古典概型与几何概型 【例 2 － 3 】 (1) (2016· 深圳一调 ) 4 名同学参加 3 项不同的课外活动，若每名同学可自由选择参加其中的一项，则每项活动至少有一名同学参加的概率为 ( 　　 ) 探究提高 　 (1) 解答有关古典概型的概率问题 ， 关键是正确求出基本事件总数和所求事件包含的基本事件数 ， 这常用到计数原理与排列、组合的相关知识 . (2) 当构成试验的结果的区域为长度 、面积、体积、弧长、夹角等时 ， 应考虑使用几何概型求解 . 【训练 2 】 (1)( a ＋ x )(1 ＋ x ) 4 的展开式中 x 的奇数次幂项的系数之和为 32 ，则 a ＝ ____________. (2) (2016· 全国 Ⅱ 卷 ) 从区间 [0 ， 1] 随机抽取 2 n 个数 x 1 ， x 2 ， … ， x n ， y 1 ， y 2 ， … ， y n ，构成 n 个数对 ( x 1 ， y 1 ) ， ( x 2 ， y 2 ) ， … ， ( x n ， y n ) ，其中两数的平方和小于 1 的数对共有 m 个，则用随机模拟的方法得到的圆周率π的近似值为 ( 　　 ) 解析　 (1) 设 ( a ＋ x )(1 ＋ x ) 4 ＝ a 0 ＋ a 1 x ＋ a 2 x 2 ＋ a 3 x 3 ＋ a 4 x 4 ＋ a 5 x 5 ， 令 x ＝ 1 ， 得 16( a ＋ 1) ＝ a 0 ＋ a 1 ＋ a 2 ＋ a 3 ＋ a 4 ＋ a 5 ，① 令 x ＝－ 1 ， 得 0 ＝ a 0 － a 1 ＋ a 2 － a 3 ＋ a 4 － a 5 . ② ① － ② ，得 16( a ＋ 1) ＝ 2( a 1 ＋ a 3 ＋ a 5 ) ， 即展开式中 x 的奇数次幂的系数之和为 a 1 ＋ a 3 ＋ a 5 ＝ 8( a ＋ 1) ， 所以 8( a ＋ 1) ＝ 32 ， 解得 a ＝ 3. 答案　 (1)3 　 (2)C 1. 用样本估计总体 (1) 在频率分布直方图中，各小长方形的面积表示相应的频率，各小长方形的面积的和为 1. (2) 众数、中位数及平均数的异同：众数、中位数及平均数都是描述一组数据集中趋势的量，平均数是最重要的量 . (3) 当总体的个体数较少时，可直接分析总体取值的频率分布规律而得到总体分布；当总体容量很大时，通常从总体中抽取一个样本，分析它的频率分布，以此估计总体分布 . 利用频率分布直方图求众数、中位数和平均数时易出错，应注意区分这三者，在频率分布直方图中： ① 中位数：在频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图的面积相等，由此可以估计中位数的值 . ② 平均数：平均数为频率分布直方图的 “ 重心 ” ，等于图中每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标之和 . ③ 众数：在频率分布直方图中，众数是最高的矩形底边的中点的横坐标 . 2. 求解排列、组合问题常用的解题方法 (1) 元素相邻的排列问题 —— “ 捆邦法 ” ； (2) 元素相间的排列问题 —— “ 插空法 ” ； (3) 元素有顺序限制的排列问题 —— “ 除序法 ” ； (4) 带有 “ 含 ” 与 “ 不含 ”“ 至多 ”“ 至少 ” 的排列组合问题 —— 间接法 . 4. 古典概型中基本事件数的探求方法 (1) 列举法 . (2) 树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本事件的探求 . 对于基本事件有 “ 有序 ” 与 “ 无序 ” 区别的题目，常采用树状图法 . (3) 列表法：适用于多元素基本事件的求解问题，通过列表把复杂的题目简单化、抽象的题目具体化 . (4) 排列组合法：适用于限制条件较多且元素数目较多的题目 .