高考数学概率统计专题复习专题训练

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高考数学《概率统计》复习 知识结构 ‎1.注意：互斥事件不一定是对立事件，但对立事件一定是互斥事件。‎ 定义 符号表示 互斥事件 若A∩B为不可能事件，则事件A与事件B互斥 A∩B＝∅‎ 对立事件 若A∩B为不可能事件，A∪B为必然事件，那么称事件A与事件B互为对立事件 A∩B＝∅‎ P(A∪B)＝‎ P(A)＋P(B)＝1‎ ‎2.古典概型：具有以下两个特征的随机试验的数学模型称为古典的概率模型，简称古典概型。‎ ‎（1）试验的所有可能结果为有限个，每次试验只出现其中的一个结果；（2）每一个试验结果出现的可能性相等。（3）古典概型的概率公式：P(A)＝＝.‎ ‎3.几何概型：如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（或面积或体积）成比例，则称这样的概率模型为几何概型。几何概型的概率公式：设某一事件（也是S中的某一区域），S包含A，它的量度大小（长度、面积或体积）为，考虑到均匀分布性，事件A发生的概率.‎ ‎4.统计学中的几个基本概念： ‎ ‎（1）样本平均数：样本中所有个体的平均数叫做样本平均数。‎ ‎（2）平均数计算公式：一般地，如果有n个数，则.‎ ‎（3）加权平均数：如果n个数中，出现次，出现次，…，出现次 ‎（这里），那么，根据平均数的定义，这n个数的平均数可以表示为，这样求得的平均数叫做加权平均数，其中叫做权。‎ ‎（4）众数：在一组数据中，出现次数最多的数据叫做这组数据的众数。‎ ‎（5）中位数：将一组数据按大小依次排列，把处在最中间位置的一个数据（或最中间两个数据的平均数）叫做这组数据的中位数。‎ ‎（6）方差：在一组数据中，各数据与它们的平均数的差的平方的平均数，叫做这组数据的方差，通常用“s2”表示。方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定。‎ ‎（7）方差计算公式：.‎ 简化计算公式，有：‎ 也可写成.‎ 此公式的记忆方法是：方差等于原数据平方的平均数减去平均数的平方。‎ ‎（8）标准差：方差的算数平方根叫做这组数据的标准差，用“s”表示，即 ‎（9）如果一组数据的平均数为，方差为，标准差为，‎ 则数据的平均数为，方差为，标准差为.‎ ‎5.抽样方法：简单随机抽样、系统抽样、分层抽样。‎ ‎（1）简单随机抽样：设一个总体的个体数为N，如果通过逐个抽取的方法从中抽取一个样本，且每次抽取时各个个体被抽到的概率相等，就称这样的抽样为简单随机抽样。如从含有N个个体的总体中抽取一个容量为的样本时，每次抽取一个个体时任一个体被抽到的概率为；在整个抽样过程中各个个体被抽到的概率为.简单随机抽样的特点：逐个不放回抽样、等概率抽样，体现了抽样的客观性与公平性，是其他复杂抽样方法的基础。‎ 随机抽样常用方法：①抽签法：先将总体中的所有个体（共有N个）编号（号码可从1到N），‎ 并把号码写在形状、大小相同的号签上（号签可用小球、卡片、纸条等制作），然后将这些号签放在同一个箱子里，进行均匀搅拌，抽签时每次从中抽一个号签，连续抽取n次，就得到一个容量为n的样本。适用范围：总体的个体数不多时。优点：简便易行。‎ ②随机数表法： 随机数表抽样“三步曲”：第一步，将总体中的个体编号；第二步，选定开始的数字；第三步，获取样本号码。‎ ‎（2）系统抽样（又叫等距抽样）：当总体中的个体数较多时，可将总体分成均衡的几个部分，然后按预先定出的规则，从每一部分抽取一个个体，得到需要的样本，这种抽样叫做系统抽样。系统抽样的步骤：①采用随机的方式将总体中的个体编号，为简便起见，有时可直接采用个体所带有的号码，如考生的准考证号、街道上各户的门牌号等等。②为将整个的编号分段（即分成几个部分），要确定分段的间隔k：当（N为总体中的个体的个数，n为样本容量）是整数时，k=；当不是整数时，通过简单随机抽样先从总体中剔除一些个体使剩下的总体中个体的个数能被n整除，这时k=.③在第一段用简单随机抽样确定起始的个体编号.④按照事先确定的规则抽取样本（通常是将加上间隔k，得到第2个编号+k,第3个编号+2k，这样继续下去，直到获取整个样本）。系统抽样适用于总体中的个体数较多的情况，它与简单随机抽样的联系在于：将总体均分后的每一部分进行抽样时，采用的是简单随机抽样；与简单随机抽样一样，系统抽样是等概率抽样，它是客观的、公平的；总体中的个体数恰好能被样本容量整除时，可用它们的比值作为系统抽样的间隔。‎ ‎（3）分层抽样：当已知总体由差异明显的几部分组成时，为了使样本更充分地反映总体的情况，常将总体分成几部分，然后按照各部分所占的比例进行抽样，这种抽样叫做分层抽样，所分成的部分叫做层。‎ 常用的抽样方法及它们之间的联系和区别：‎ 类别 共同点 各自特点 相互联系 适用范围 随机抽样 抽样过程中每个个体被抽取的概率是相同的 从总体中逐个抽取 总体中的个数比较少 系统抽样 将总体均匀分成几个部分，按照事先确定的规则在各部分抽取 在起始部分抽样时采用简单随机抽样 总体中的个数比较多 分层抽样 将总体分成几层，分层进行抽取 各层抽样时采用简单抽样或者相同抽样 总体由差异明显的几部分组成 不放回抽样和放回抽样：在抽样中，如果每次抽出个体后不再将它放回总体，称这样的抽样为不放回抽样。随机抽样、系统抽样、分层抽样都是不放回抽样。如果每次抽出个体后再将它放回总体，称这样的抽样为放回抽样。‎ ‎6.统计估计：‎ ‎（1）概率估计：用频率来估计概率。‎ ‎（2）参数估计：‎ ①样本的平均值作为总体均值的点估计值，；‎ ②样本的方差（标准差）作为总体方差（标准差）的点估计值，‎ ‎；‎ 注意：不是除以n，而是除以n-1，除以n-1是为了消除系统性偏差。‎ ③叫做均值的的区间估计；把叫做均值的的区间估计；‎ ‎（3）计算平均数和方差时，常取各区间段的中点值进行计算；‎ 例1.给出以下结论：‎ ‎①互斥事件一定对立；②对立事件一定互斥；‎ ‎③互斥事件不一定对立；④事件A与B的和事件的概率一定大于事件A的概率；‎ ‎⑤事件A与B互斥，则有P(A)＝1－P(B)；‎ 其中，正确命题为_________________（填序号）‎ 例2.（2014浙江）已知甲盒中仅有1个球且为红球，乙盒中有m个红球和n个蓝球(m≥3，n≥3)，从乙盒中随机抽取i(i＝1，2)个球放入甲盒中。放入i个球后，从甲盒中取1个球是红球的概率记为pi(i＝1，2)，则p1_______p2（比较大小）‎ 例3.在区间‎[-π，π]‎内随机取两个数分别记为a，b，则使得函数f(x)=x‎2‎+2ax-b‎2‎+π有零点的概率为___________‎ 例4.下列四个结论，其中正确的有______________（填序号）‎ ‎①‎在频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图的面积相等； ‎②‎如果一组数据中每个数减去同一个非零常数，则这一组数的平均数改变，方差不改变； ‎③‎一个样本的方差是s‎2‎‎=‎1‎‎20‎[(x‎1‎-3‎)‎‎2‎+(x‎2‎-3‎)‎‎2‎+…+(x‎20‎-3‎)‎‎2‎]‎，则这组样本数据的总和等于60； ‎④‎数据a‎1‎‎，a‎2‎，a‎3‎，…，‎an的方差为 δ‎2‎，则数据‎2a‎1‎，2a‎2‎，2a‎3‎，…，2‎an的方差为‎4‎δ‎2‎．‎ 例5.某学校为了调查高三年级的200名文科学生完成课后作业所需时间，采取了两种抽样调查的方式：第一种由学生会的同学随机抽取20名同学进行调查；第二种由教务处对该年级的文科学生进行编号，从001到200，抽取学号最后一位为2的同学进行调查，则这两种抽样的方法依次为（ ）‎ A.分层抽样，简单随机抽样     B.简单随机抽样，分层抽样 ‎ C.分层抽样，系统抽样        D.简单随机抽样，系统抽样 变式训练：‎ ‎1.正三棱锥A-BCD的所有棱长都相等，从该三棱锥6条棱的中点任意选3个点连成三角形，再把剩下的3个点也连成三角形，则所得的2个三角形全等的概率为_________‎ ‎2.如图，某地区有7条南北向街道，5条东西街道，从A点走向B点最短的走法中，必须经过C点的概率__________‎ ‎3.（2014陕西）从正方形四个顶点及其中心这5个点中，任取2个点，则这2个点的距离不小于该正方形边长的概率为________‎ ‎4.（2011陕西）甲乙两人一起去游“2011西安世园会”，他们约定，各自独立地从1到6号景点中任选4个进行游览，每个景点参观1小时，则最后一小时他们同在一个景点的概率是_______‎ ‎5.（2016山东）在上随机的取一个数，则事件“直线与圆相 交”发生的概率为__________‎ ‎6.（2016全国II）从区间随机抽取个数,，…，，，，…，，构成n个数对，，…，，其中两数的平方和小于1的数对共有个，则用随机模拟的方法得到的圆周率的近似值为___________ ‎ ‎7.甲乙两人各自在300米长的直线形跑道上跑步，则在任一时刻两人在跑道上相距不超过50米的概率是_________ ‎ ‎ ‎ ‎8.甲每次解答一道几何体所用的时间在5至7分钟，乙每次解答一道几何体所用的时间在6至8分钟，现甲、乙各解同一道几何体，则乙比甲先解答完的概率为__________‎ ‎9.（2015湖北）在区间上随机取两个数，记为事件“”的概率，‎ 为事件“”的概率，为事件“”的概率，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎10.已知矩形ABCD中，AB=，AD=1，在矩形ABCD内部随机取一个点E，则的概率为__________________‎ ‎11.如图所示，在长方体ABCDA1B1C1D1中，E，H分别是棱A1B1，D1C1上的点(点E与B1不重合)，且EH∥A1D1，过EH的平面与棱BB1，CC1相交，交点分别为F，G.若AB＝2AA1＝2a，EF＝a，B1E＝B1F，在长方体ABCDA1B1C1D1内随机选取一点，则该点取自于几何体A1ABFED1DCGH内的概率为__________‎ ‎12.已知三个正数a，b，c满足a

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