北京市2008-2019年中考数学分类汇编新定义pdf含解析

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第 1页（共 26页） 2008～2019 北京中考数学分类(新定义) 一．解答题（共 9 小题） 1．在△ABC 中，D，E 分别是△ABC 两边的中点，如果 上的所有点都在△ABC 的内部或 边上，则称 为△ABC 的中内弧．例如，图 1 中 是△ABC 的一条中内弧． （1）如图 2，在 Rt△ABC 中，AB＝AC＝ ，D，E 分别是 AB，AC 的中点，画出△ ABC 的最长的中内弧 ，并直接写出此时 的长； （2）在平面直角坐标系中，已知点 A（0，2），B（0，0），C（4t，0）（t＞0），在△ABC 中，D，E 分别是 AB，AC 的中点． ① 若 t＝ ，求△ABC 的中内弧 所在圆的圆心 P 的纵坐标的取值范围； ② 若在△ABC 中存在一条中内弧 ，使得 所在圆的圆心 P 在△ABC 的内部或边上， 直接写出 t 的取值范围． 2．对于平面直角坐标系 xOy 中的图形 M，N，给出如下定义：P 为图形 M 上任意一点，Q 为图形 N 上任意一点，如果 P，Q 两点间的距离有最小值，那么称这个最小值为图形 M， N 间的“闭距离“，记作 d（M，N）． 已知点 A（﹣2，6），B（﹣2，﹣2），C（6，﹣2）． （1）求 d（点 O，△ABC）； （2）记函数 y＝kx（﹣1≤x≤1，k≠0）的图象为图形 G．若 d（G，△ABC）＝1，直接 写出 k 的取值范围； （3） ⊙ T 的圆心为 T（t，0），半径为 1．若 d（ ⊙ T，△ABC）＝1，直接写出 t 的取值范 围． 3．在平面直角坐标系 xOy 中的点 P 和图形 M，给出如下的定义：若在图形 M 上存在一点 Q， 使得 P、Q 两点间的距离小于或等于 1，则称 P 为图形 M 的关联点． （1）当 ⊙ O 的半径为 2 时， 第 2页（共 26页） ① 在点 P1（ ，0），P2（ ， ），P3（ ，0）中， ⊙ O 的关联点是 ． ② 点 P 在直线 y＝﹣x 上，若 P 为 ⊙ O 的关联点，求点 P 的横坐标的取值范围． （2） ⊙ C 的圆心在 x 轴上，半径为 2，直线 y＝﹣x+1 与 x 轴、y 轴交于点 A、B．若线段 AB 上的所有点都是 ⊙ C 的关联点，直接写出圆心 C 的横坐标的取值范围． 4．在平面直角坐标系 xOy 中，点 P 的坐标为（x1，y1），点 Q 的坐标为（x2，y2），且 x1≠ x2，y1≠y2，若 P，Q 为某个矩形的两个顶点，且该矩形的边均与某条坐标轴垂直，则称 该矩形为点 P，Q 的“相关矩形”，如图为点 P，Q 的“相关矩形”示意图． （1）已知点 A 的坐标为（1，0）， ① 若点 B 的坐标为（3，1），求点 A，B 的“相关矩形”的面积； ② 点 C 在直线 x＝3 上，若点 A，C 的“相关矩形”为正方形，求直线 AC 的表达式； （2） ⊙ O 的半径为 ，点 M 的坐标为（m，3），若在 ⊙ O 上存在一点 N，使得点 M，N 的“相关矩形”为正方形，求 m 的取值范围． 5．在平面直角坐标系 xOy 中， ⊙ C 的半径为 r，P 是与圆心 C 不重合的点，点 P 关于 ⊙ C 的反称点的定义如下：若在射线 CP 上存在一点 P′，满足 CP+CP′＝2r，则称 P′为 点 P 关于 ⊙ C 的反称点，如图为点 P 及其关于 ⊙ C 的反称点 P′的示意图． 特别地，当点 P′与圆心 C 重合时，规定 CP′＝0． （1）当 ⊙ O 的半径为 1 时． ① 分别判断点 M（2，1），N（ ，0），T（1， ）关于 ⊙ O 的反称点是否存在？若存 在，求其坐标； ② 点 P 在直线 y＝﹣x+2 上，若点 P 关于 ⊙ O 的反称点 P′存在，且点 P′不在 x 轴上， 求点 P 的横坐标的取值范围； （2） ⊙ C 的圆心在 x 轴上，半径为 1，直线 y＝﹣ x+2 与 x 轴、y 轴分别交于点 A， B，若线段 AB 上存在点 P，使得点 P 关于 ⊙ C 的反称点 P′在 ⊙ C 的内部，求圆心 C 的 第 3页（共 26页） 横坐标的取值范围． 6．对某一个函数给出如下定义：若存在实数 M＞0，对于任意的函数值 y，都满足﹣M≤y ≤M，则称这个函数是有界函数，在所有满足条件的 M 中，其最小值称为这个函数的边 界值．例如，如图中的函数是有界函数，其边界值是 1． （1）分别判断函数 y＝ （x＞0）和 y＝x+1（﹣4＜x≤2）是不是有界函数？若是有界 函数，求其边界值； （2）若函数 y＝﹣x+1（a≤x≤b，b＞a）的边界值是 2，且这个函数的最大值也是 2，求 b 的取值范围； （3）将函数 y＝x2（﹣1≤x≤m，m≥0）的图象向下平移 m 个单位，得到的函数的边界 值是 t，当 m 在什么范围时，满足 ≤t≤1？ 7．对于平面直角坐标系 xOy 中的点 P 和 ⊙ C，给出如下的定义：若 ⊙ C 上存在两个点 A、B， 使得∠APB＝60°，则称 P 为 ⊙ C 的关联点．已知点 D（ ， ），E（0，﹣2），F（2 ， 0）． （1）当 ⊙ O 的半径为 1 时， ① 在点 D、E、F 中， ⊙ O 的关联点是 ． ② 过点 F 作直线 l 交 y 轴正半轴于点 G，使∠GFO＝30°，若直线 l 上的点 P（m，n） 是 ⊙ O 的关联点，求 m 的取值范围； （2）若线段 EF 上的所有点都是某个圆的关联点，求这个圆的半径 r 的取值范围． 第 4页（共 26页） 8．在平面直角坐标系 xOy 中，对于任意两点 P1（x1，y1）与 P2（x2，y2）的“非常距离”， 给出如下定义： 若|x1﹣x2|≥|y1﹣y2|，则点 P1 与点 P2 的“非常距离”为|x1﹣x2|； 若|x1﹣x2|＜|y1﹣y2|，则点 P1 与点 P2 的“非常距离”为|y1﹣y2|． 例如：点 P1（1，2），点 P2（3，5），因为|1﹣3|＜|2﹣5|，所以点 P1 与点 P2 的“非常距 离”为|2﹣5|＝3，也就是图 1 中线段 P1Q 与线段 P2Q 长度的较大值（点 Q 为垂直于 y 轴 的直线 P1Q 与垂直于 x 轴的直线 P2Q 交点）． （1）已知点 A（﹣ ，0），B 为 y 轴上的一个动点， ① 若点 A 与点 B 的“非常距离”为 2，写出一个满足条件的点 B 的坐标； ② 直接写出点 A 与点 B 的“非常距离”的最小值； （2）已知 C 是直线 y＝ x+3 上的一个动点， ① 如图 2，点 D 的坐标是（0，1），求点 C 与点 D 的“非常距离”的最小值及相应的点 C 的坐标； ② 如图 3，E 是以原点 O 为圆心，1 为半径的圆上的一个动点，求点 C 与点 E 的“非常 距离”的最小值及相应的点 E 与点 C 的坐标． 9．如图，在平面直角坐标系 xOy 中，我们把由两条射线 AE，BF 和以 AB 为直径的半圆所 第 5页（共 26页） 组成的图形叫作图形 C（注：不含 AB 线段）．已知 A（﹣1，0），B（1，0），AE∥BF， 且半圆与 y 轴的交点 D 在射线 AE 的反向延长线上． （1）求两条射线 AE，BF 所在直线的距离； （2）当一次函数 y＝x+b 的图象与图形 C 恰好只有一个公共点时，写出 b 的取值范围； 当一次函数 y＝x+b 的图象与图形 C 恰好只有两个公共点时，写出 b 的取值范围； （3）已知▱ AMPQ（四个顶点 A，M，P，Q 按顺时针方向排列）的各顶点都在图形 C 上，且不都在两条射线上，求点 M 的横坐标 x 的取值范围． 第 6页（共 26页） 2008～2019 北京中考数学分类(新定义) 参考答案与试题解析 一．解答题（共 9 小题） 1．在△ABC 中，D，E 分别是△ABC 两边的中点，如果 上的所有点都在△ABC 的内部或 边上，则称 为△ABC 的中内弧．例如，图 1 中 是△ABC 的一条中内弧． （1）如图 2，在 Rt△ABC 中，AB＝AC＝ ，D，E 分别是 AB，AC 的中点，画出△ ABC 的最长的中内弧 ，并直接写出此时 的长； （2）在平面直角坐标系中，已知点 A（0，2），B（0，0），C（4t，0）（t＞0），在△ABC 中，D，E 分别是 AB，AC 的中点． ① 若 t＝ ，求△ABC 的中内弧 所在圆的圆心 P 的纵坐标的取值范围； ② 若在△ABC 中存在一条中内弧 ，使得 所在圆的圆心 P 在△ABC 的内部或边上， 直接写出 t 的取值范围． 【解答】解：（1）如图 2，以 DE 为直径的半圆弧 ，就是△ABC 的最长的中内弧 ， 连接 DE，∵∠A＝90°，AB＝AC＝ ，D，E 分别是 AB，AC 的中点， ∴BC＝ ＝ ＝4，DE＝ BC＝ ×4＝2， ∴弧 ＝ ×2 π ＝ π ； （2）如图 3，由垂径定理可知，圆心一定在线段 DE 的垂直平分线上，连接 DE，作 DE 垂直平分线 FP，作 EG⊥AC 交 FP 于 G， ① 当 t＝ 时，C（2，0），∴D（0，1），E（1，1），F（ ，1）， 设 P（ ，m）由三角形中内弧定义可知，圆心在线段 DE 上方射线 FP 上均可，∴m≥1， ∵OA＝OC，∠AOC＝90° 第 7页（共 26页） ∴∠ACO＝45°， ∵DE∥OC ∴∠AED＝∠ACO＝45° 作 EG⊥AC 交直线 FP 于 G，FG＝EF＝ 根据三角形中内弧的定义可知，圆心在点 G 的下方（含点 G）直线 FP 上时也符合要求； ∴m≤ 综上所述，m≤ 或 m≥1． ② 如图 4，设圆心 P 在 AC 上， ∵P 在 DE 中垂线上， ∴P 为 AE 中点，作 PM⊥OC 于 M，则 PM＝ ， ∴P（t， ）， ∵DE∥BC ∴∠ADE＝∠AOB＝90° ∴AE＝ ＝ ＝ ， ∵PD＝PE， ∴∠AED＝∠PDE ∵∠AED+∠DAE＝∠PDE+∠ADP＝90°， ∴∠DAE＝∠ADP ∴AP＝PD＝PE＝ AE 由三角形中内弧定义知，PD≤PM ∴ AE≤ ，AE≤3，即 ≤3，解得：t≤ ， ∵t＞0 ∴0＜t≤ ． 如图 5，设圆心 P 在 BC 上，则 P（t，0） PD＝PE＝ ＝ ， PC＝3t，CE＝ AC＝ ＝ 第 8页（共 26页） 由三角形中内弧定义知，∠PEC＜90°， ∴PE2+CE2≥PC2 即 + ≥（3t）2，∵t＞0 ∴0＜t≤ ； 综上所述，t 的取值范围为：0＜t≤ ． 2．对于平面直角坐标系 xOy 中的图形 M，N，给出如下定义：P 为图形 M 上任意一点，Q 为图形 N 上任意一点，如果 P，Q 两点间的距离有最小值，那么称这个最小值为图形 M， N 间的“闭距离“，记作 d（M，N）． 第 9页（共 26页） 已知点 A（﹣2，6），B（﹣2，﹣2），C（6，﹣2）． （1）求 d（点 O，△ABC）； （2）记函数 y＝kx（﹣1≤x≤1，k≠0）的图象为图形 G．若 d（G，△ABC）＝1，直接 写出 k 的取值范围； （3） ⊙ T 的圆心为 T（t，0），半径为 1．若 d（ ⊙ T，△ABC）＝1，直接写出 t 的取值范 围． 【解答】解：（1）如图所示，点 O 到△ABC 的距离的最小值为 2， ∴d（点 O，△ABC）＝2； （2）y＝kx（k≠0）经过原点，在﹣1≤x≤1 范围内，函数图象为线段， 当 y＝kx（﹣1≤x≤1，k≠0）经过（1，﹣1）时，k＝﹣1，此时 d（G，△ABC）＝1； 当 y＝kx（﹣1≤x≤1，k≠0）经过（﹣1，﹣1）时，k＝1，此时 d（G，△ABC）＝1； ∴﹣1≤k≤1， ∵k≠0， ∴﹣1≤k≤1 且 k≠0； （3） ⊙ T 与△ABC 的位置关系分三种情况： ① 当 ⊙ T 在△ABC 的左侧时，由 d（ ⊙ T，△ABC）＝1 知此时 t＝﹣4； ② 当 ⊙ T 在△ABC 内部时， 当点 T 与原点重合时，d（ ⊙ T，△ABC）＝1，知此时 t＝0； 当点 T 位于 T3 位置时，由 d（ ⊙ T，△ABC）＝1 知 T3M＝2， ∵AB＝BC＝8、∠ABC＝90°， 第 10页（共 26页） ∴∠C＝∠T3DM＝45°， 则 T3D＝ ＝ ＝2 ， ∴t＝4﹣2 ， 故此时 0≤t≤4﹣2 ； ③ 当 ⊙ T 在△ABC 右边时，由 d（ ⊙ T，△ABC）＝1 知 T4N＝2， ∵∠T4DC＝∠C＝45°， ∴T4D＝ ＝ ＝2 ， ∴t＝4+2 ； 综上，t＝﹣4 或 0≤t≤4﹣2 或 t＝4+2 ． 3．在平面直角坐标系 xOy 中的点 P 和图形 M，给出如下的定义：若在图形 M 上存在一点 Q， 使得 P、Q 两点间的距离小于或等于 1，则称 P 为图形 M 的关联点． （1）当 ⊙ O 的半径为 2 时， ① 在点 P1（ ，0），P2（ ， ），P3（ ，0）中， ⊙ O 的关联点是 P2，P3 ． ② 点 P 在直线 y＝﹣x 上，若 P 为 ⊙ O 的关联点，求点 P 的横坐标的取值范围． （2） ⊙ C 的圆心在 x 轴上，半径为 2，直线 y＝﹣x+1 与 x 轴、y 轴交于点 A、B．若线段 AB 上的所有点都是 ⊙ C 的关联点，直接写出圆心 C 的横坐标的取值范围． 【解答】解：（1） ① ∵点 P1（ ，0），P2（ ， ），P3（ ，0）， ∴OP1＝ ，OP2＝1，OP3＝ ， ∴P1 与 ⊙ O 的最小距离为 ，P2 与 ⊙ O 的最小距离为 1，OP3 与 ⊙ O 的最小距离为 ， ∴ ⊙ O， ⊙ O 的关联点是 P2，P3； 故答案为：P2，P3； ② 根据定义分析，可得当最小 y＝﹣x 上的点 P 到原点的距离在 1 到 3 之间时符合题意， ∴设 P（x，﹣x），当 OP＝1 时， 由距离公式得，OP＝ ＝1， ∴x＝ ， 第 11页（共 26页） 当 OP＝3 时，OP＝ ＝3， 解得：x＝± ； ∴点 P 的横坐标的取值范围为：﹣ ≤x≤﹣ ，或 ≤x≤ ； （2）∵直线 y＝﹣x+1 与 x 轴、y 轴交于点 A、B， ∴A（1，0），B（0，1）， 如图 1， 当圆过点 A 时，此时，CA＝3， ∴C（﹣2，0）， 如图 2， 当直线 AB 与小圆相切时，切点为 D， ∴CD＝1， ∵直线 AB 的解析式为 y＝﹣x+1， ∴直线 AB 与 x 轴的夹角＝45°， 第 12页（共 26页） ∴AC＝ ， ∴C（1﹣ ，0）， ∴圆心 C 的横坐标的取值范围为：﹣2≤xC≤1﹣ ； 如图 3， 当圆过点 O，则 AC＝1，∴C（2，0）， 如图 4， 当圆过点 B，连接 BC，此时，BC＝3， ∴OC＝ ＝2 ， ∴C（2 ，0）． ∴圆心 C 的横坐标的取值范围为：2≤xC≤2 ； 综上所述；圆心 C 的横坐标的取值范围为：﹣2≤xC≤1﹣ 或 2≤xC≤2 ． 4．在平面直角坐标系 xOy 中，点 P 的坐标为（x1，y1），点 Q 的坐标为（x2，y2），且 x1≠ 第 13页（共 26页） x2，y1≠y2，若 P，Q 为某个矩形的两个顶点，且该矩形的边均与某条坐标轴垂直，则称 该矩形为点 P，Q 的“相关矩形”，如图为点 P，Q 的“相关矩形”示意图． （1）已知点 A 的坐标为（1，0）， ① 若点 B 的坐标为（3，1），求点 A，B 的“相关矩形”的面积； ② 点 C 在直线 x＝3 上，若点 A，C 的“相关矩形”为正方形，求直线 AC 的表达式； （2） ⊙ O 的半径为 ，点 M 的坐标为（m，3），若在 ⊙ O 上存在一点 N，使得点 M，N 的“相关矩形”为正方形，求 m 的取值范围． 【解答】解：（1） ① ∵A（1，0），B（3，1） 由定义可知：点 A，B 的“相关矩形”的底与高分别为 2 和 1， ∴点 A，B 的“相关矩形”的面积为 2×1＝2； ② 由定义可知：AC 是点 A，C 的“相关矩形”的对角线， 又∵点 A，C 的“相关矩形”为正方形 ∴直线 AC 与 x 轴的夹角为 45°， 设直线 AC 的解析为：y＝x+m 或 y＝﹣x+n 把（1，0）分别 y＝x+m， ∴m＝﹣1， ∴直线 AC 的解析为：y＝x﹣1， 把（1，0）代入 y＝﹣x+n， ∴n＝1， ∴y＝﹣x+1， 综上所述，若点 A，C 的“相关矩形”为正方形，直线 AC 的表达式为 y＝x﹣1 或 y＝﹣ x+1； （2）设直线 MN 的解析式为 y＝kx+b， ∵点 M，N 的“相关矩形”为正方形， 第 14页（共 26页） ∴由定义可知：直线 MN 与 x 轴的夹角为 45°， ∴k＝±1， ∵点 N 在 ⊙ O 上， ∴当直线 MN 与 ⊙ O 有交点时，点 M，N 的“相关矩形”为正方形， 当 k＝1 时， 作 ⊙ O 的切线 AD 和 BC，且与直线 MN 平行， 其中 A、C 为 ⊙ O 的切点，直线 AD 与 y 轴交于点 D，直线 BC 与 y 轴交于点 B， 连接 OA，OC， 把 M（m，3）代入 y＝x+b， ∴b＝3﹣m， ∴直线 MN 的解析式为：y＝x+3﹣m ∵∠ADO＝45°，∠OAD＝90°， ∴OD＝ OA＝2， ∴D（0，2） 同理可得：B（0，﹣2）， ∴令 x＝0 代入 y＝x+3﹣m， ∴y＝3﹣m， ∴﹣2≤3﹣m≤2， ∴1≤m≤5， 当 k＝﹣1 时，把 M（m，3）代入 y＝﹣x+b， ∴b＝3+m， ∴直线 MN 的解析式为：y＝﹣x+3+m， 同理可得：﹣2≤3+m≤2， ∴﹣5≤m≤﹣1； 综上所述，当点 M，N 的“相关矩形”为正方形时，m 的取值范围是：1≤m≤5 或﹣5≤ m≤﹣1 第 15页（共 26页） 5．在平面直角坐标系 xOy 中， ⊙ C 的半径为 r，P 是与圆心 C 不重合的点，点 P 关于 ⊙ C 的反称点的定义如下：若在射线 CP 上存在一点 P′，满足 CP+CP′＝2r，则称 P′为 点 P 关于 ⊙ C 的反称点，如图为点 P 及其关于 ⊙ C 的反称点 P′的示意图． 特别地，当点 P′与圆心 C 重合时，规定 CP′＝0． （1）当 ⊙ O 的半径为 1 时． ① 分别判断点 M（2，1），N（ ，0），T（1， ）关于 ⊙ O 的反称点是否存在？若存 在，求其坐标； ② 点 P 在直线 y＝﹣x+2 上，若点 P 关于 ⊙ O 的反称点 P′存在，且点 P′不在 x 轴上， 求点 P 的横坐标的取值范围； （2） ⊙ C 的圆心在 x 轴上，半径为 1，直线 y＝﹣ x+2 与 x 轴、y 轴分别交于点 A， B，若线段 AB 上存在点 P，使得点 P 关于 ⊙ C 的反称点 P′在 ⊙ C 的内部，求圆心 C 的 横坐标的取值范围． 【解答】解：（1）当 ⊙ O 的半径为 1 时． ① 点 M（2，1）关于 ⊙ O 的反称点不存在； N（ ，0）关于 ⊙ O 的反称点存在，反称点 N′（ ，0）； T（1， ）关于 ⊙ O 的反称点存在，反称点 T′（0，0）； 第 16页（共 26页） ② ∵OP≤2r＝2，OP2≤4，设 P（x，﹣x+2）， ∴OP2＝x2+（﹣x+2）2＝2x2﹣4x+4≤4， ∴2x2﹣4x≤0， x（x﹣2）≤0， ∴0≤x≤2． 当 x＝2 时，P（2，0），P′（0，0）不符合题意； 当 x＝0 时，P（0，2），P′（0，0）不符合题意； ∴0＜x＜2； （2）∵直线 y＝﹣ x+2 与 x 轴、y 轴分别交于点 A，B， ∴A（6，0），B（0，2 ）， ∴ ＝ ， ∴∠OBA＝60°，∠OAB＝30°． 设 C（x，0）． ① 当 C 在 OA 上时，作 CH⊥AB 于 H，则 CH≤CP≤2r＝2， 所以 AC≤4， C 点横坐标 x≥2（当 x＝2 时，C 点坐标（2，0），H 点的反称点 H′（2，0）在圆的内 部）； ② 当 C 在 A 点右侧时，AC 最大值为 2， 所以 C 点横坐标 x≤8． 综上所述，圆心 C 的横坐标的取值范围是 2≤x≤8． 第 17页（共 26页） 6．对某一个函数给出如下定义：若存在实数 M＞0，对于任意的函数值 y，都满足﹣M≤y ≤M，则称这个函数是有界函数，在所有满足条件的 M 中，其最小值称为这个函数的边 界值．例如，如图中的函数是有界函数，其边界值是 1． （1）分别判断函数 y＝ （x＞0）和 y＝x+1（﹣4＜x≤2）是不是有界函数？若是有界 函数，求其边界值； （2）若函数 y＝﹣x+1（a≤x≤b，b＞a）的边界值是 2，且这个函数的最大值也是 2，求 b 的取值范围； （3）将函数 y＝x2（﹣1≤x≤m，m≥0）的图象向下平移 m 个单位，得到的函数的边界 值是 t，当 m 在什么范围时，满足 ≤t≤1？ 【解答】解：（1）根据有界函数的定义知，函数 y＝ （x＞0）不是有界函数． y＝x+1（﹣4≤x≤2）是有界函数．边界值为：2+1＝3； （2）∵函数 y＝﹣x+1 的图象是 y 随 x 的增大而减小， ∴当 x＝a 时，y＝﹣a+1＝2，则 a＝﹣1 第 18页（共 26页） 当 x＝b 时，y＝﹣b+1．则 ， ∴﹣1＜b≤3； （3）若 m＞1，函数向下平移 m 个单位后，x＝0 时，函数值小于﹣1，此时函数的边界 t ＞1，与题意不符，故 m≤1． 当 x＝﹣1 时，y＝1 即过点（﹣1，1） 当 x＝0 时，y 最小＝0，即过点（0，0）， 都向下平移 m 个单位，则 （﹣1，1﹣m）、（0，﹣m） ≤1﹣m≤1 或﹣1≤﹣m≤﹣ ， ∴0≤m≤ 或 ≤m≤1． 7．对于平面直角坐标系 xOy 中的点 P 和 ⊙ C，给出如下的定义：若 ⊙ C 上存在两个点 A、B， 使得∠APB＝60°，则称 P 为 ⊙ C 的关联点．已知点 D（ ， ），E（0，﹣2），F（2 ， 0）． （1）当 ⊙ O 的半径为 1 时， ① 在点 D、E、F 中， ⊙ O 的关联点是 D，E ． ② 过点 F 作直线 l 交 y 轴正半轴于点 G，使∠GFO＝30°，若直线 l 上的点 P（m，n） 是 ⊙ O 的关联点，求 m 的取值范围； （2）若线段 EF 上的所有点都是某个圆的关联点，求这个圆的半径 r 的取值范围． 【解答】解：（1） ① 如图 1 所示，过点 E 作 ⊙ O 的切线设切点为 R， 第 19页（共 26页） ∵ ⊙ O 的半径为 1，∴RO＝1， ∵EO＝2， ∴∠OER＝30°， 根据切线长定理得出 ⊙ O 的左侧还有一个切点，使得组成的角等于 30°， ∴E 点是 ⊙ O 的关联点， ∵D（ ， ），E（0，﹣2），F（2 ，0）， ∴OF＞EO，DO＜EO， ∴D 点一定是 ⊙ O 的关联点，而在 ⊙ O 上不可能找到两点与点 F 的连线的夹角等于 60°， 故在点 D、E、F 中， ⊙ O 的关联点是 D，E； 故答案为：D，E； ② 如图 2，由题意可知，若 P 要刚好是 ⊙ C 的关联点， 需要点 P 到 ⊙ C 的两条切线 PA 和 PB 之间所夹的角为 60°， 由图 2 可知∠APB＝60°，则∠CPB＝30°， 连接 BC，则 PC＝ ＝2BC＝2r， ∴若 P 点为 ⊙ C 的关联点，则需点 P 到圆心的距离 d 满足 0≤d≤2r； 由上述证明可知，考虑临界点位置的 P 点， 如图 3，点 P1 到原点的距离 OP1＝2×1＝2， 过点 O 作直线 l 的垂线 OH，垂足为 H，tan∠OGF＝ ＝ ＝ ， ∴∠OGF＝60°， ∴OH＝OGsin60°＝ ； sin∠OP1H＝ ＝ ， ∴∠OP1H＝60°， 可得点 P1 与点 G 重合， 过点 P2 作 P2M⊥x 轴于点 M， 可得∠P2OM＝30°， ∴OM＝OP2cos30°＝ ， 从而若点 P 为 ⊙ O 的关联点，则 P 点必在线段 P1P2 上， 第 20页（共 26页） ∴0≤m≤ ； （2）若线段 EF 上的所有点都是某个圆的关联点，欲使这个圆的半径最小，则这个圆的 圆心应在线段 EF 的中点； 考虑临界情况，如图 4， 即恰好 E、F 点为 ⊙ K 的关联时，则 KF＝2KN＝ EF＝2， 此时，r＝1， 故若线段 EF 上的所有点都是某个圆的关联点，这个圆的半径 r 的取值范围为 r≥1． 第 21页（共 26页） 8．在平面直角坐标系 xOy 中，对于任意两点 P1（x1，y1）与 P2（x2，y2）的“非常距离”， 给出如下定义： 若|x1﹣x2|≥|y1﹣y2|，则点 P1 与点 P2 的“非常距离”为|x1﹣x2|； 若|x1﹣x2|＜|y1﹣y2|，则点 P1 与点 P2 的“非常距离”为|y1﹣y2|． 例如：点 P1（1，2），点 P2（3，5），因为|1﹣3|＜|2﹣5|，所以点 P1 与点 P2 的“非常距 离”为|2﹣5|＝3，也就是图 1 中线段 P1Q 与线段 P2Q 长度的较大值（点 Q 为垂直于 y 轴 的直线 P1Q 与垂直于 x 轴的直线 P2Q 交点）． （1）已知点 A（﹣ ，0），B 为 y 轴上的一个动点， ① 若点 A 与点 B 的“非常距离”为 2，写出一个满足条件的点 B 的坐标； ② 直接写出点 A 与点 B 的“非常距离”的最小值； （2）已知 C 是直线 y＝ x+3 上的一个动点， ① 如图 2，点 D 的坐标是（0，1），求点 C 与点 D 的“非常距离”的最小值及相应的点 C 的坐标； ② 如图 3，E 是以原点 O 为圆心，1 为半径的圆上的一个动点，求点 C 与点 E 的“非常 距离”的最小值及相应的点 E 与点 C 的坐标． 第 22页（共 26页） 【解答】解：（1） ① ∵B 为 y 轴上的一个动点， ∴设点 B 的坐标为（0，y）． ∵|﹣ ﹣0|＝ ≠2， ∴|0﹣y|＝2， 解得，y＝2 或 y＝﹣2； ∴点 B 的坐标是（0，2）或（0，﹣2）； ② 点 A 与点 B 的“非常距离”的最小值为 （2） ① 如图 2，取点 C 与点 D 的“非常距离”的最小值时，需要根据运算定义“若|x1 ﹣x2|≥|y1﹣y2|，则点 P1 与点 P2 的“非常距离”为|x1﹣x2|”解答，此时|x1﹣x2|＝|y1﹣y2|．即 AC＝AD， ∵C 是直线 y＝ x+3 上的一个动点，点 D 的坐标是（0，1）， ∴设点 C 的坐标为（x0， x0+3）， ∴﹣x0＝ x0+2， 此时，x0＝﹣ ， 第 23页（共 26页） ∴点 C 与点 D 的“非常距离”的最小值为：|x0|＝ ， 此时 C（﹣ ， ）； ② 当点 E 在过原点且与直线 y＝ x+3 垂直的直线上时，点 C 与点 E 的“非常距离”最 小，设 E（x，y）（点 E 位于第二象限）．则 ， 解得， ， 故 E（﹣ ， ）． ﹣ ﹣x0＝ x0+3﹣ ， 解得，x0＝﹣ ， 则点 C 的坐标为（﹣ ， ）， 最小值为 1． 9．如图，在平面直角坐标系 xOy 中，我们把由两条射线 AE，BF 和以 AB 为直径的半圆所 组成的图形叫作图形 C（注：不含 AB 线段）．已知 A（﹣1，0），B（1，0），AE∥BF， 且半圆与 y 轴的交点 D 在射线 AE 的反向延长线上． （1）求两条射线 AE，BF 所在直线的距离； （2）当一次函数 y＝x+b 的图象与图形 C 恰好只有一个公共点时，写出 b 的取值范围； 当一次函数 y＝x+b 的图象与图形 C 恰好只有两个公共点时，写出 b 的取值范围； （3）已知▱ AMPQ（四个顶点 A，M，P，Q 按顺时针方向排列）的各顶点都在图形 C 上，且不都在两条射线上，求点 M 的横坐标 x 的取值范围． 第 24页（共 26页） 【解答】解：（1）如图 1，分别连接 AD、DB，则点 D 在直线 AE 上， ∵点 D 在以 AB 为直径的半圆上， ∴∠ADB＝90°， ∴BD⊥AD， 在 Rt△DOB 中，由勾股定理得，BD＝ ， ∵AE∥BF， ∴两条射线 AE、BF 所在直线的距离为 ． （2）当一次函数 y＝x+b 的图象与图形 C 恰好只有一个公共点时，b 的取值范围是 b＝ 或﹣1＜b＜1； 当一次函数 y＝x+b 的图象与图形 C 恰好只有两个公共点时，b 的取值范围是 1＜b＜ （3）假设存在满足题意的平行四边形 AMPQ，根据点 M 的位置，分以下四种情况讨论： ① 当点 M 在射线 AE 上时，如图 2 ∵AMPQ 四点按顺时针方向排列， ∴直线 PQ 必在直线 AM 的上方， ∴PQ 两点都在弧 AD 上，且不与点 A、D 重合， ∴0＜PQ＜ ． ∵AM∥PQ 且 AM＝PQ， ∴0＜AM＜ ∴﹣2＜x＜﹣1， ② 当点 M 在弧 AD 上时，如图 3 ∵点 A、M、P、Q 四点按顺时针方向排列， ∴直线 PQ 必在直线 AM 的下方， 此时，不存在满足题意的平行四边形． ③ 当点 M 在弧 BD 上时， 设弧 DB 的中点为 R，则 OR∥BF， 当点 M 在弧 DB 上时，如图 4， 第 25页（共 26页） 过点 M 作 OR 的垂线交弧 DB 于点 Q，垂足为点 S，可得 S 是 MQ 的中点． ∴四边形 AMPQ 为满足题意的平行四边形， ∴0≤x＜ ． 当点 M 在弧 RB 上时，如图 5， 直线 PQ 必在直线 AM 的下方， 此时不存在满足题意的平行四边形． ④ 当点 M 在射线 BF 上时，如图 6， 直线 PQ 必在直线 AM 的下方， 此时，不存在满足题意的平行四边形． 综上，点 M 的横坐标 x 的取值范围是﹣2＜x＜﹣1 或 0≤x＜ ． 第 26页（共 26页） 声明：试 题解析著作权 属菁优网所有 ，未经书面同 意，不得复制 发布 日期：2020/1/19 9:39:10 ；用户： 金雨教育；邮 箱：309593466@qq.com ；学号： 335385