【数学】2021届一轮复习人教A版不等式求解方法归纳学案

【数学】2021届一轮复习人教A版不等式求解方法归纳学案

一、不等式基本知识 ‎1、基本性质 性质一：（对称性） ‎ 性质二：（传递性）‎ 性质三： ‎ 性质四：‎ 2、 运算性质 ‎（加法法则）；（乘法法则）‎ ‎（乘方法则）；（开方法则）‎ 3、 常用不等式 （1） ‎ （2） 取等号条件：一正、二定、三相等 （3） ‎ （4）若 ‎（5）()‎ 二、不等式的证明方法 常用的方法有：比较法、分析法、综合法、归纳法、反证法、类比法、放缩法、换元法、判别式法、导数法、几何法、构造函数、数轴穿针法等。‎ 1、 比较法 例1、若求证：。‎ 证明：，。‎ 2、 分析法 例2已知都是正实数，且求证：。‎ 解：都是正实数，要证，只要证，即证，也就是，即而由，知成立，原式得证。‎ 1、 综合法（先用分析法分析寻找思路，再正面求证）‎ 例3、设均为正数，且，求证：。‎ 证明：均为正数，，，，以上三式相加得。‎ 例4、设,且，求证：‎ 证明：‎ ‎，，上述不等式中不能取等号，成立。‎ 式中乘了个1构成不等式.‎ 2、 数学归纳法 例5、设，且求证 证明：（1）当时，，不等式成立 ‎（2）假设当时，不等式成立，即，那么当时，，由归纳假设可得 ‎，即时，不等式也成立，综合以上所述，对于任意，且都成立。‎ 3、 反证法 例6、已知都是小于1的正数，求证：‎ 中至少有一个不大于。‎ 证明：假设三个式子都大于，都是小于1的正数，，从而，但是与上式矛盾，故假设不成立，原命题成立。‎ 1、 类比法 例7、已知函数的图像与轴有两个不同的交点，若，且时，当时，求证：。‎ 证明：直接证明很困难，题中说到函数的性质，那么就要构造成类似的形式，即类比函数，要证，即证，‎ 且，，而，命题得证。‎ 2、 放缩法 常用放缩公式：①；②；③；④；⑤个正数，有，当且仅当时等号成立；‎ ‎⑥；⑦；‎ ‎⑧二项式定理展开式；⑨‎ 例8、已知正项数列满足，且，（1）求证：（2）‎ 证明：（1）‎ ‎，‎ （2） ‎，‎ 命题得证。‎ 1、 换元法 常用的换元方法①若可设。‎ ‎②若，可设。‎ ‎③对于，可设，或。‎ ‎④对于，可设或。‎ ‎⑤对于，可设或。‎ ‎⑥若，可设 例9、已知，求证：。‎ 证明：设，其中，原式可转化为 ‎，‎ 原式，原不等式成立。‎ 2、 判别式法 例10、求证：。‎ 证明：设，则，定义域为R （1） 时，是定义域中的一个值，是值域中的一个值。‎ （2） 时，由，得。‎ 综上所述成立。‎ 推论：判别式法证明对形如具有一般性。‎ 1、 导数法（单调性）‎ 例11、已知各项均为正数的数列的前项和满足，且,‎ (1) 求的通项公式；（2）设数列满足并记为的前项和，求证：，。‎ 解：（1），由已知，又 ‎，得（舍去）‎ 是公差为3，首项为2的等差数列，故通项公式为。‎ （2） 由解得，‎ ‎，，令，则，‎ 因，特别的，。‎ 2、 构造函数法 例12、对于函数，若存在使成立，则称为的不动点，如果函数有且仅有两个不动点0,2，且，‎ （1） 试求函数的单调区间。‎ （2） 已知各项不为零的数列满足，求证：。‎ （1） 设为数列的前项和，求证：。‎ 解：（1）令，由已知0,2时方程的两根，，‎ ‎，，令得或，令，得或，‎ 增区间为和 ，减区间为和。‎ （2） ‎，‎ 两式做差得，数列是以-1为公差，-1为首项的等差数列，，要证原式，即证，令，函数，，递减，‎ 同理可证。‎ （3） 由（2）得，‎ ‎，，‎ ‎。‎ 12、 数轴穿针法（注意奇次幂穿过，偶此幂不穿过，从最大值且从数轴上方开始穿，每过一个值都要穿过，而且也要相应的变换在数轴的上下方）‎ 例13、求解不等式 解：原不等式等价于，根分别为在数轴上标出这些值，考虑到4对应的为偶次幂，所以不穿过。其结果如图 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ -7 -6 4 8 9‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 在数轴上方的为大于0的解，下方的为小于0的解，因此不等式的解为或 ‎ 三、含绝对值不等式的解法 一、 分类讨论法 ‎ 例1、求的解集。‎ 解：①当时，有或此时原式即为解得或，与或求交集得解或。‎ ‎②当时，有，原式即为，解得，与求交集得。‎ 综上①②所述，原不等式解集为或。‎ 二、 两边平方法（承接例1）‎ ‎①当时，原不等式可化为分解因式得，所以或或，故或。②当时，原不等式恒成立。‎ 综合①②可得解集为或。‎ 三、 图像法（承接例1）‎ 令分别在坐标轴上画出两者的图像，解方程可得从图像可得不等式的解为或， y= ‎ 四、 等价转化法（承接例1）‎ ‎ 原不等式等价于或，或或，‎ 不等式解集为或。‎ 五、运用线性规划求解 例2、的定义域为，则的取值范围？‎ 解：由已知 ‎ 以为横纵坐标轴，画出其可行域，令，可知直线经过时有最小值，。‎ 六、运用绝对值的几何意义 ‎ 例3、对任意实数，不等式恒成立，求的取值范围。‎ 解：的几何意义是到的距离减去到2的距离 ‎ ‎ 由数轴可知，，。 x -1 2 x ‎ ‎ 四、 含参一元二次不等式例解 ‎ 含有参数的不等式应用的比较多的是分类讨论思想，①其思路是一般先将式子因式分解或分解因式或分母有理化，然后再结合参数对称轴、判别式、根的正负进行讨论②当无法进行因式分解的时候多涉及对称轴或者利用导数求解，下面结合例题解析。‎ 一．二次项不含参数 例1.解关于x的不等式：‎ 解：原不等式可化为，这里有两个根：，此时需要讨论两根的大小，①当，即时，解为；‎ ‎②当，即时，解为；‎ ‎③，即时，解为；‎ 综合①②③知时，或；时，；时，或 例2.解关于的不等式：‎ 解：此时显然无法因式分解，因此通过判别式来解，‎ ‎①当，即或时，不等式有两个根，，解为，或；②当，即，此时不等式恒成立；‎ ‎③当，即或时，解为，或 综上所述，解为或时，或；时；时，；时，。‎ 例3.解关于的不等式：‎ 解：①时，不等式成立，此时；‎ ‎②时，原不等式可化为，当时成立，，。‎ 综合①②得 二、二次项含参数 例4.解关于的不等式：‎ 解：①时，解为；‎ ‎②时，；⑴即时，解为或；⑵，即时，不等式恒成立；⑶，即时；综上所述时，解为；时，解为或；时。‎ 例5.解关于的不等式：‎ 解：㈠时，；‎ ㈡时，①时，原不等式可化为，此时有两根；‎ ‎⑴时，解为或⑵时，解为或⑶时，解为 ‎②时，原不等式可化为，解为；‎ 综上所述：时；时；时或；时；时或。‎ 例6.解关于的不等式： ‎ 解：①时，不等式恒成立；‎ ‎②时，；⑴，即时，或；‎ ‎⑵，即时，‎ ‎⑶，即时，不等式恒成立；‎ ‎③时，不等式化为，，此时解为；‎ 综上所述：时，；时，或；，}。‎ 五、不等式恒成立问题 恒成立问题的基本类型：‎ 类型1：设，(1)上恒成立；（2）上恒成立。‎ 类型2：设,（1）当时，上恒成立，‎ 上恒成立 ‎（2）当时，上恒成立 上恒成立 类型3：‎ ‎。‎ 类型4： 。‎ ‎ 恒成立问题的解题的基本思路是：根据已知条件将恒成立问题向基本类型转化，正确选用函数法、最小值法、数形结合等解题方法求解。‎ 一、利用判别式解 例1.已知在。‎ 解：原式等价于。‎ 例2.‎ 解：原不等式等价于。‎ 或解：①；②，令。‎ 例3.‎ 解：①‎ ‎②；‎ 综上所述：‎ 二、 利用分离常数解 例4.已知。‎ 解：，，在，。‎ 二、 利用变换参数来解(该法适用于题中已给出参数的界限)‎ 例5.若对满足。‎ 解：原不等式可化为，将，那么，那么只需，解得 三、 利用最值 此时有两种情况：；。‎ 例6.不等式恒成立，求。‎ 解：原不等式等价于，，‎ 例7.函数，若对任意，恒成立，求实数的取值范围。‎ 解：，，，‎ 四、 数形结合 例8.已知 解：不等式可化为，则，原不等式表示，易求的解为 以上方法也适用于含参不等式恒成立问题。‎ ‎ ‎ 练习题 ‎1.若实数满足，则的最大值是__________________。‎ ‎2.设函数，，（Ⅰ）求的单调区间；（Ⅱ）求所有实数，使对恒成立．注：为自然对数的底数．‎ ‎3.若变量x，y满足约束条件，则的最小值是_________‎ ‎4.设函数，其中．‎ ‎（I）当a=1时，求不等式的解集．‎ ‎（II）若不等式的解集为｛x|，求a的值．‎ ‎5.已知，则的最小值为__________。‎ ‎6.函数的最大值为 。‎ ‎7.不等式的解为 。‎ ‎8.若不等式对任意恒成立，则a的取值范围是__________。‎ ‎9.设。（Ⅰ）求的单调区间和最小值；（Ⅱ）讨论与的大小关系；（Ⅲ）求的取值范围，使得＜对任意＞0成立。‎ ‎10.函数的定义域为，，对任意，，则的解集为 A．（，1） B．（，+） C．（，）D．（，+）11.已知函数=|x-2|x-5|．（I）证明：≤≤3；（II）求不等式≥x2x+15的解集．‎ ‎12.对于，不等式的解集为 。 ‎ ‎13.设在约束条件下，目标函数的最大值为4，则的值为 ．‎ ‎14.设集合, ‎ ‎, 若 则实数m的取值范围是______________‎ ‎15.设函数。（Ⅰ）画出函数的图像：‎ ‎（Ⅱ）若不等式的解集非空，求的取值范围 ‎16.设函数f(x)=x-,对任意x恒成立，则实数m的取值范围是________‎ ‎17.已知函数，（1）当时，求不等式的解集；‎ ‎（2）若的解集包含，求的取值范围。‎ ‎18.已知函数f(x)= ∣x-a∣.‎ ‎（Ⅰ）若不等式f(x) 3的解集为，求实数a的值；‎ ‎（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，若f(x)+f(x+5)≥m对一切实数x恒成立，求实数m的取值范围。‎ ‎19.已知均为正数，证明：，并确定为何值时，等号成立。‎ ‎20.已知，不等式的解集为｝。‎ ‎（Ⅰ）求a的值；（Ⅱ）若恒成立，求k的取值范围。‎ 答案：1. 3. 5. 18 6. 7. 8. ‎ 10. B 12. 13. 3 14. 15.（Ⅱ）‎ ‎16.‎ ‎2,（Ⅰ）解：因为,,由于，所以的增区间为，减区间为 ‎ （Ⅱ）证明：由题意得，,由（Ⅰ）知内单调递增，‎ 要使恒成立，只要解得 ‎4. （Ⅰ）当时，可化为。由此可得 或。‎ 故不等式的解集为或。‎ ‎(Ⅱ) 由 得此不等式化为不等式组 或即 或因为，所以不等式组的解集为，由题设可得= ，故 9. ‎（Ⅰ）由题设知，∴令0得=1，①当∈（0，1）时，＜0，故（0，1）是的单调减区间。‎ ‎②当∈（1，+∞）时，＞0，故（1，+∞）是的单调递增区间，因此，=1是的唯一值点，且为极小值点，从而是最小值点，所以最小值为 ‎（II），设，则，①当时，即，②当时，因此，在内单调递减，③当时，即④当，‎ ‎（III）由（I）知的最小值为1，所以，，对任意，成立即从而得。‎ ‎11. （I）当 ‎ 所以 ‎ ‎（II）由（I）可知， ①当的解集为空集；‎ ‎ ②当；‎ ‎ ③当.‎ ‎ 综上，不等式 ‎ ‎17.（1）当时，或或或（还可以利用其几何意义求）‎ ‎（2）原命题在上恒成立在上恒成立 在上恒成立 18. ‎（Ⅰ）得，得又已知不等式f(x) 3的解集为，所以解得a=2。‎ ‎（Ⅱ）当a=2时，f(x)=∣x-2∣.设g(x)=f(x)+f(x+5).由∣x-2∣+∣x+3∣≥∣(x-2)-(x+3)∣=5 （当且仅当-3x2时等号成立）得，g(x)的最小值为5.‎ 从而，若f(x)+f(x+5) ≥m 即 g(x) ≥m对一切实数x恒成立，则m的取值范围为(-，5].‎ 19. ‎ 解法一：，当且仅当时成立，当且仅当时成立，当且仅当时成立，，当且仅当时成立。‎ 解法二：，，当且仅当 时成立，，当且仅当时等式成立。‎ ‎20.解：（Ⅰ）不等式的解集为｝，原不等式等价于，此时有解得。‎ ‎（Ⅱ），，则 原不等式可化为，根据绝对值得几何意义可以解得，。‎