【数学】2018届一轮复习人教A版4-6正弦定理和余弦定理学案

【数学】2018届一轮复习人教A版4-6正弦定理和余弦定理学案

第06节 正弦定理和余弦定理 ‎【考纲解读】‎ 考 点 考纲内容 ‎5年统计 分析预测 正弦定理和余弦定理 掌握正弦定理、余弦定理及其应用 ‎2013浙江文18； ‎ ‎2014浙江文18；理10，18；‎ ‎2015浙江文16；理16；‎ ‎2016浙江文16；理16；‎ ‎2017浙江14.‎ ‎1.正弦定理或余弦定理独立命题；‎ ‎2.正弦定理与余弦定理综合命题；‎ ‎3.与三角函数的变换结合命题.‎ ‎4.备考重点：‎ ‎ (1) 掌握正弦定理、余弦定理；‎ ‎(2) 掌握几种常见题型的解法.‎ ‎【知识清单】‎ ‎1.正弦定理 正弦定理：＝＝＝2R，其中R是三角形外接圆的半径．由正弦定理可以变形为：‎ a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C；‎ a＝2Rsin_A，b＝2Rsin_B，c＝2Rsin_C；‎ sin A＝，sin B＝，sin C＝等形式，以解决不同的三角形问题．‎ 面积公式S＝absin C＝bcsin A＝acsin B 对点练习：‎ ‎【2017浙江省高考模拟】在中，内角，，所对的边分别是，，，若，，，则________，__________.‎ ‎【答案】，.‎ ‎ 2. 余弦定理 余弦定理： ， ， .‎ 变形公式cos A＝，cos B＝，os C＝ ‎3. 正弦定理与余弦定理的综合运用 应熟练掌握正、余弦定理及其变形．解三角形时，有时可用正弦定理，也可用余弦定理，应注意用哪一个定理更方便、简捷就用哪一个定理．‎ 对点练习：‎ ‎【2017浙江湖州、衢州、丽水三市4月联考】在中，内角所对的边分别是 若， ，A=60°，则__________， 的面积S=__________．‎ ‎【答案】 1或2 或 ‎【考点深度剖析】‎ 高考对正弦定理和余弦定理的考查较为灵活，题型多变，选择题、填空题的形式往往独立考查正弦定理或余弦定理，解答题往往综合考查定理在确定三角形边角中的应用，多与三角形周长、面积有关；有时也会与平面向量、三角恒等变换等结合考查，试题难度控制在中等以下，主要考查灵活运用公式求解计算能力、推理论证能力、数学应用意识、数形结合思想等．‎ ‎【重点难点突破】‎ 考点1 正弦定理 ‎【1-1】【2018届河南省新乡市第一中学8月】在中，内角的对边分别为， ，则 ( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】 ,故选A .‎ ‎【1-2】【2017浙江台州上学期】已知在错误！未找到引用源。中，内角错误！未找到引用源。的对边分别为错误！未找到引用源。且错误！未找到引用源。，则错误！未找到引用源。的面积为__________．‎ ‎【答案】错误！未找到引用源。‎ ‎【1-3】在中，角的对边分别为，若角依次成等差数列，且，，则 .‎ ‎【答案】‎ ‎∴. ‎ ‎【领悟技法】‎ 已知两角一边可求第三角，解这样的三角形只需直接用正弦定理代入求解即可．‎ 已知两边和一边对角，解三角形时，利用正弦定理求另一边的对角时要注意讨论该角，这是解题的难点，应引起注意．‎ 已知两边和其中一边的对角，解三角形时，注意解的情况．如已知a，b，A，则 A为锐角 A为钝角或直角 图形 关系式 a＜bsin A a＝bsin A bsin A＜a＜b a≥b a＞b a≤b 解的个数 无解 一解 两解 一解 一解 无解 ‎【触类旁通】‎ ‎【变式1】【2018届安徽合肥一中、马鞍山二中等六校第一次联考】在中，角的对边分别为.已知，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】由得，由正弦定理，所以，‎ 故选A.‎ ‎【变式2】在中，已知，‎ ‎ ，则为（ ）‎ A.等边三角形 B.等腰直角三角形 C.锐角非等边三角形 D.钝角三角形 ‎【答案】B 又，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，，，‎ ‎，所以是等腰直角三角形.‎ 考点2 余弦定理 ‎【 2-1】【2018届安徽合肥调研】在中，角对应的边分别为， ，则的面积为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】由余弦定理得，即，故，应选答案A. ‎ ‎【2-2】中，角所对的边分别为．若，则边（ ）‎ A．1 B．‎2 C．4 D．6‎ ‎【答案】C ‎【2-3】【2017浙江温州二模】在错误！未找到引用源。中，内角错误！未找到引用源。，错误！未找到引用源。，错误！未找到引用源。的对边分别为错误！未找到引用源。，错误！未找到引用源。，错误！未找到引用源。若错误！未找到引用源。，错误！未找到引用源。，错误！未找到引用源。，则错误！未找到引用源。_______，错误！未找到引用源。的面积错误！未找到引用源。_______．‎ ‎【答案】错误！未找到引用源。‎ ‎【解析】由余弦定理可得错误！未找到引用源。；由三角形的面积公式可得错误！未找到引用源。，应填答案 错误！未找到引用源。 和 错误！未找到引用源。.‎ ‎【领悟技法】‎ ‎ 已知三边，由余弦定理求，再由求角，在有解时只有一解.‎ ‎ 已知两边和夹角，余弦定理求出对对边.‎ ‎【触类旁通】‎ ‎【变式1】在中，内角所对应的边分别为，若，，则的面积为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】 由可得；由及余弦定理可得，所以，所以．‎ ‎【变式2】各角的对应边分别为，满足，则角的范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】由，得，整理得，由余弦定理得，. ‎ 考点3 正弦定理与余弦定理的综合运用 ‎【3-1】在中，三内角，，的对边分别为，，且，，为的面积，则的最大值为（ ）‎ ‎（A）1 （B） （C） （D）‎ ‎【答案】C ‎【3-2】【2018届广东省阳春市第一中学上学期第一次月考】在中，内角的对边分别为，且．‎ ‎（1）求；‎ ‎（2）若，求．‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】试题分析：（1）由正弦定理将边化为角得，即得．再根据三角形内角范围得．（2）由正弦定理将角化为边得，再根据余弦定理得，解方程组可得．‎ ‎（2）由及正弦定理，得，①‎ 由余弦定理得， ‎ 即，②‎ 由①②，解得．‎ ‎【3-3】【2017届浙江嘉兴测试】在中，内角所对的边分别为，已知．‎ ‎（1）求角的大小；‎ ‎（2）若的面积，求的值．‎ ‎【答案】（1）；（2）．‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）由正弦定理，将条件中的边化成角，可得，进而可得的值；（2）由三角形面积公式可得，再由余弦定理可得，得最后结论．‎ 试题解析：（1），又∴‎ ‎ 又 得 ‎（2）由， ∴‎ 又 得， ∴ 得.‎ ‎【领悟技法】‎ 依据已知条件中的边角关系判断三角形的形状时，主要有如下两种方法：‎ ‎(1)利用正、余弦定理把已知条件转化为边边关系，通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状；‎ ‎(2)利用正、余弦定理把已知条件转化为内角的三角函数间的关系，通过三角函数恒等变形，得出内角的关系，从而判断出三角形的形状，此时要注意应用A＋B＋C＝π这个结论．‎ ‎[注意]　在上述两种方法的等式变形中，一般两边不要约去公因式，应移项提取公因式，以免漏解．‎ 判断三角形的形状的基本思想是：利用正、余弦定理进行边角的统一．即将条件化为只含角的三角函数关系式，然后利用三角恒等变换得出内角之间的关系式；或将条件化为只含有边的关系式，然后利用常见的化简变形得出三边的关系．结论一般为特殊的三角形．如等边三角形、等腰三角形、直角三角形、等腰直角三角形等．另外，在变形过程中要注意A，B，C 的范围对三角函数值的影响．‎ 提醒：1．在△ABC中有如下结论sin A＞sin B⇔a＞b.‎ ‎2．当b2＋c2－a2＞0时，角A为锐角，若可判定其他两角也为锐角，则三角形为锐角三角形；‎ 当b2＋c2－a2＝0时，角A为直角，三角形为直角三角形；‎ 当b2＋c2－a2＜0时，角A为钝角，三角形为钝角三角形．‎ ‎【触类旁通】‎ ‎【变式1】在中，内角所对的边分别是.已知，，则的值为_______.‎ ‎【答案】‎ ‎【变式2】【2018届河南省名校联盟第一次段考】锐角错误！未找到引用源。的内角错误！未找到引用源。，错误！未找到引用源。，错误！未找到引用源。的对边分别为错误！未找到引用源。，错误！未找到引用源。，错误！未找到引用源。，已知错误！未找到引用源。的外接圆半径为错误！未找到引用源。，且满足错误！未找到引用源。.‎ ‎（1）求角错误！未找到引用源。的大小；‎ ‎（2）若错误！未找到引用源。，求错误！未找到引用源。周长的最大值.‎ ‎【答案】（1）错误！未找到引用源。；（2）当错误！未找到引用源。为正三角形时，错误！未找到引用源。周长的最大值为6.‎ ‎【解析】试题分析：（1）根据已知条件，由正弦定理，求出角错误！未找到引用源。；（2）由余弦定理和基本不等式求出错误！未找到引用源。，再求出周长的最大值。‎ 试题解析：（1）由正弦定理，得错误！未找到引用源。，‎ 再结合错误！未找到引用源。，得错误！未找到引用源。，‎ 解得错误！未找到引用源。，由错误！未找到引用源。为锐角三角形，得错误！未找到引用源。.‎ 故当错误！未找到引用源。为正三角形时，错误！未找到引用源。周长的最大值为6. ‎ ‎【易错试题常警惕】‎ 易错典例：在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C所对的边长，a＝，b＝，1＋2cos(B＋C)＝0，求边BC上的高．‎ 易错分析：忽视三角形中“大边对大角”的定理，产生了增根．‎ 正确解析：∵在△ABC中，cos(B＋C)＝－cos A，‎ 又∵1＋2cos(B＋C)＝0，∴1－2cos A＝0，∴A＝.‎ 在△ABC中，根据正弦定理＝，得sin B＝＝.‎ ‎∴B＝或.‎ ‎∵a＞b，∴B＝.‎ 温馨提醒：应用正弦定理解三角形，最易出现的错误，就是角的增解问题.解题过程中应特别注意，一般要注意利用“大边对大角”结合已知角确定取舍.‎ ‎【学科素养提升之思想方法篇】‎ 数形结合百般好，隔裂分家万事休——数形结合思想 我国著名数学家华罗庚曾说过:"数形结合百般好，隔裂分家万事休。""数"与"形"反映了事物两个方面的属性。我们认为，数形结合，主要指的是数与形之间的一一对应关系。数形结合就是把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形、位置关系结合起来，通过"以形助数"或"以数解形"即通过抽象思维与形象思维的结合，可以使复杂问题简单化，抽象问题具体化，从而起到优化解题途径的目的.‎ 向量的几何表示，三角形、平行四边形法则，使向量具备形的特征，而向量的坐标表示和坐标运算又具备数的特征，因此，向量融数与形于一身，具备了几何形式与代数形式的“双重身份”.因此，在应用向量解决问题或解答向量问题时，要注意恰当地运用数形结合思想，将复杂问题简单化、将抽象问题具体化，达到事半功倍的效果.‎ ‎【典例】【2017云南昆明二测】在平面四边形中， 的面积为.‎ ‎（1）求的长；‎ ‎（2）求的面积.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】试题分析：‎ 试题解析：‎ ‎(2)由，得，所以，又 所以. ‎