广东高考理科数学试题及详细答案

广东高考理科数学试题及详细答案

图 1 高中生 2000名 小学生 3500名 初中生 4500名 图 2 近视率/ % 30 10 50 O 小学 初中 高中 年级 2014年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷） 数 学（理科） 一、选择题： 本大题共 8小题，每小题 5分，满分 40分， 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的． 1．已知集合 { 1,0,1}M   ， {0,1,2}N  ，则M N  A．{0,1} B．{ 1,0, 2} C．{ 1,0,1, 2} D．{ 1,0,1} 2．已知复数 z满足 (3 4 ) 25i z  ，则 z  A． 3 4i  B． 3 4i  C．3 4i D．3 4i 3．若变量 ,x y满足约束条件 1 1 y x x y y      ≤ ≤ ≥ ， 且 2z x y  的最大值和最小值分别为m和n，则m n  A．5 B．6 C．7 D．8 4．若实数 k满足 0 9k  ， 则曲线 2 2 1 25 9 x y k    与曲线 2 2 1 25 9 x y k    的 A．焦距相等 B．实半轴长相等 C．虚半轴长相等 D．离心率相等 5．已知向量 (1,0, 1)a = ，则下列向量中与a成60夹角的是 A． ( 1,1,0) B． (1, 1,0) C． (0, 1,1) D． ( 1,0,1) 6．已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图 1和图 2所示. 为了解该地区中小学生的近视形成原因， 用分层抽 样 的 方 法 抽 取 2 %的学 生进行调 查，则样 本容量和 抽 取 的 高中生近 视 人 数 分别为 A．200，20 B．100，20 C．200，10 D．100，10 7．若空间中四条两两不同的直线 1 2 3 4, , ,l l l l ，满足 1 2l l ， 2 3l l ， 3 4l l ，则下列结论一定正确的是 A F E D C B 图 3 A． 1 4l l B． 1 4//l l C． 1l 与 4l 既不垂直也不平行 D． 1l 与 4l 的位置关系不确定 8．设集合     1 2 3 4 5, , , , | 1, 0,1 , 1, 2,3, 4,5iA x x x x x x i   　 ，那么集合 A中满足条件 “ 1 2 3 4 51 3x x x x x   ≤ ≤ ”的元素个数为 A．60 B．90 C．120 D．130 二、填空题：本大题共 7小题，考生作答 6小题，每小题 5分，满分 30分． （一）必做题（9 ~ 13题） 9．不等式 1 2 5x x   ≥ 的解集为 ． 10．曲线 25   xey 在点 )3,0( 处的切线方程为 ． 11．从 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9中任取七个不同的数，则这七个数的中位数是 6的概率为 ． 12．在 ABC 中，角 CBA ,, 所对应的边分别为 cba ,, . 已知 bBcCb 2coscos  ，则  b a ． 13．若等比数列 na 的各项均为正数，且 5 1291110 2eaaaa  ，则 1 2 20ln ln lna a a    ． （二）选做题（14 ~ 15题，考生只能从中选做一题） 14．（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，曲线 1C 和 2C 的方程分别为 2sin cos   和 sin 1   . 以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为 x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，则曲线 1C 和 2C 交点的直 角坐标为 ． 15．（几何证明选讲选做题）如图 3，在平行四边 形 ABCD中，点 E在 AB上且 2EB AE ，AC与 DE 交于点 F ，则 CDF AEF   的面积 的面积 ＝ ． 三、解答题：本大题共 6小题，满分 80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．（本小题满分 12分） 已知函数 ( ) sin( ) 4 f x A x    ， xR，且 2 3) 12 5( f ． （1）求 A的值； （2）若 2 3)()(   ff ， ) 2 ,0(   ，求 ) 4 3(  f ． 图 4 P A B CE D F 17．（本小题满分 12分） 随机观测生产某种零件的某工厂 25名工人的日加工零件数（单位：件），获得数据如下： 30,42,41,36,44,40,37,37,25,45,29,43,31,36,49,34,33,43,38,42,32,34,46,39,36． 根据上述数据得到样本的频率分布表如下： 分组 频数 频率 [25,30] 3 0.12 (30,35] 5 0.20 (35,40] 8 0.32 (40,45] 1n 1f (45,50] 2n 2f （1）确定样本频率分布表中 1 2 1, ,n n f 和 2f 的值； （2）根据上述频率分布表，画出样本频率分布直方图； （3）根据样本频率分布直方图，求在该厂任取 4人，至少有 1人的日加工零件数落在区间 (30,35]的 概率． 18．（本小题满分 14分） 如图 4，四边形 ABCD 为正方形， PD  平面 ABCD ， 30DPC   ，AF PC 于点 F ，FE∥CD，交 PD于 点 E． （1）证明：CF 平面 ADF ； （2）求二面角D AF E  的余弦值． 19．（本小题满分 14分） 设数列 na 的前 n项和为 nS ， nS 满足 2 12 3 4n nS na n n   ， *nN ，且 3 15S  ． （1）求 1 2 3, ,a a a 的值； （2）求数列 na 的通项公式． 20．（本小题满分 14分） 已知椭圆 2 2 2 2: 1x yC a b   ( 0)a b  的一个焦点为 ( 5,0)，离心率为 5 3 ． （1）求椭圆C的标准方程； （2）若动点 0 0( , )P x y 为椭圆C外一点，且点 P到椭圆C的两条切线相互垂直，求点 P的轨迹方程． 21.（本小题满分 14分） 设函数 2 2 2 1( ) ( 2 ) 2( 2 ) 3 f x x x k x x k        ，其中 2k   ． （1）求函数 ( )f x 的定义域D（用区间表示）； （2）讨论 ( )f x 在区间D上的单调性； （3）若 6k   ，求D上满足条件 ( ) (1)f x f 的 x的集合（用区间表示）． 2014年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷） 数 学（理科）参考答案 一、选择题：本大题共 8小题，每小题 5分，满分 40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的． 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 C D B A B A D D 二、填空题：本大题共 7小题，考生作答 6小题，每小题 5分，满分 30分． （一）必做题（9 ~ 13题） 9. ( , 3] [2, )   10. 5 3 0x y   11. 1 6 12. 2 13.50 （二）选做题（14 ~ 15题，考生只能从中选做一题） 14. (1,1) 15.9 三、解答题：本大题共 6小题，满分 80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16.（本小题满分 12分） 16. 解：（1） 5 5 2 3 3( ) sin( ) sin 12 12 4 3 2 2 f A A A         ，解得 3A  . （2）由（1）得 ( ) 3 sin( ) 4 f x x    ， 所以 ( ) ( ) 3 sin( ) 3 sin( ) 4 4 f f           2 2 2 2 33( cos sin ) 3( cos sin ) 6 cos 2 2 2 2 2           所以 6cos 4   ，又因为 ) 2 ,0(   ，所以 2 10sin 1 cos 4     ， 所以 3 3 10 30( ) 3 sin( ) 3 sin( ) 3 sin 3 4 4 4 4 4 f                 . 17.（本小题满分 12分） 17. 解：（1） 1 7n  ， 2 2n  ， 1 7 0.28 25 f   ， 2 2 0.08 25 f   . （2）所求的样本频率分布直方图如图所示： 频率 组距 x P A B CE D F x y z （3）设“该厂任取 4人，至少有 1人的日加工零件数落在区间 (30,35]”为事件 A， 4( ) 1 (1 0.2) 0.5904P A     ，即至少有 1人的日加工零件数落在区间 (30,35]概率为0.5904 . 18．（本小题满分 14分） 18.（1）证明：因为 PD 平面 ABCD， AD 平面 ABCD，所以 PD AD . 因为在正方形 ABCD中CD AD ，又CD PD D ，所以 AD 平面 PCD . 因为CF 平面 PCD，所以 AD CF . 因为 AF CF ， AF AD A ，所以CF 平面 ADF . （2）方法一：以D为坐标原点，DP、DC、DA分别为 x、 y 、 z轴建立空间直角坐标系 设正方形 ABCD的边长为 1， 则 3 3 3(0,0,0), (0,0,1), (0,1,0), ( 3,0,0), ( ,0,0), ( , ,0) 4 4 4 D A C P E F . 由（1）得 ( 3, 1,0)CP    是平面 BCDE的一个法向量. 设平面 AEF 的法向量为 ( , , )x y zn ， 3(0, ,0) 4 EF   ， 3( ,0,1) 4 EA    ， 所以 3 0 4 3 0 4 EF y EA x z              n n . 令 4x  ，则 0y  ， 3z  ，所以 (4,0, 3)n 是平面 AEF 的一个法向量. 设二面角D AF E  的平面角为，且 (0, ) 2   所以 4 3 2 57cos 192 19 CP CP         n n ， 0 25 30 35 40 45 50 日加工零件数 0.040 0.024 0.016 0.056 0.064 P A B CE D F G H 所以二面角D AF E  的平面角的余弦值为 2 57 19 . 方法二：过点D作DG AE 于G，过点D作DH AF 于 H ，连接GH . 因为CD PD ，CD ED ，ED AD D ，所以CD  平面 ADE . 因为 FE∥CD，所以 FE 平面 ADE . 因为DG 平面 ADE，所以 FE DG . 因为 AE FE E ，所以DG 平面 AEF . 根据三垂线定理，有GH AF ， 所以 DHG 为二面角D AF E  的平面角. 设正方形 ABCD的边长为 1， 在 Rt△ ADF中， 1AD  ， 3 2 DF  ，所以 21 7 DH  . 在 Rt△ ADE中，因为 1 1 2 4 FC CD PC  ，所以 1 3 4 4 DE PD  ，所以 57 19 DG  . 所以 2 2 6 133 133 GH DH DG   ， 所以 2 57cos 19 GHDHG DH    ， 所以二面角D AF E  的平面角的余弦值为 2 57 19 . 19.（本小题满分 14分） 19. 解：（1）当 2n  时， 2 1 2 34 20S a a a    ， 又 3 1 2 3 15S a a a    ，所以 3 34 20 15a a   ，解得 3 7a  . 当 1n  时， 1 1 22 7S a a   ，又 1 2 8a a  ，解得 1 23, 5a a  . 所以 1 2 33, 5, 7a a a   . （2） 2 12 3 4n nS na n n   ① 当 2n≥ 时， 2 1 2( 1) 3( 1) 4( 1)n nS n a n n       ② ①②得 12 (2 2) 6 1n n na na n a n     . 整理得 12 (2 1) 6 1n nna n a n     ，即 1 2 1 6 1 2 2n n n na a n n     . 猜想 2 1na n  ， *nN . 以下用数学归纳法证明： 当 1n  时， 1 3a  ，猜想成立； 假设当 n k 时， 2 1ka k  ， 当 1n k  时， 2 1 2 1 6 1 2 1 6 1 4 1 6 1(2 1) 2 3 2( 1) 1 2 2 2 2 2k k k k k k k ka a k k k k k k k k                   ， 猜想也成立， 所以数列 na 的通项公式为 2 1na n  ， *nN . 20.（本小题满分 14分） 20. 解：（1）依题意得 5c  ， 5 3 ce a   ， 所以 3a  ， 2 2 2 4b a c   ， 所以椭圆C的标准方程为 2 2 1 9 4 x y   （2）当过点 P的两条切线 1 2,l l 的斜率均存在时， 设 1 0 0: ( )l y y k x x   ，则 2 0 0 1: ( )l y y x x k     联立 2 2 0 0 1 9 4 ( ) x y y y k x x         ， 得 2 2 2 0 0 0 0(4 9 ) 18 ( ) 9( ) 36 0k x k y kx x y kx       ， 所以 2 2 2 2 0 0 0 0(18 ) ( ) 4(4 9 )[9( ) 36] 0k y kx k y kx        ， 整理得 2 2 0 0( ) 4 9y kx k   ， 即 2 2 2 0 0 0 0( 9) 2 4 0x k x y k y     ， 因为 1 2l l ，所以 2 0 1 2 2 0 4 1 9 yk k x      ， 整理得 2 2 0 0 13x y  ； 当过点 P的两条切线 1 2,l l 一条斜率不存在，一条斜率为 0时， P为 (3, 2) 或 ( 3, 2)  ，均满足 2 2 0 0 13x y  . 综上所述，点 P的轨迹方程为 2 2 13x y  . 21.（本小题满分 14分） 21. 解：（1） 2 2 1( ) ( 2 3)( 2 1) f x x x k x x k        ， 由 2 2( 2 3)( 2 1) 0x x k x x k       ，得 2 2 3x x k    或 2 2 1x x k   ， 即 2( 1) 2x k    或 2( 1) 2x k    ， 所以 1 2 1 2k x k          或 1 2x k     或 1 2x k     ，其中 2k   . 所以函数 ( )f x 的定义域 ( , 1 2) ( 1 2, 1 2) ( 1 2, )D k k k k                     . （2）令 2 2 2( ) ( 2 ) 2( 2 ) 3g x x x k x x k       ，则 1( ) ( ) f x g x  ， x D 2 2( ) 2( 2 )(2 2) 2(2 2) 4( 1)( 2 1)g x x x k x x x x x k            ， 令 ( ) 0g x  ，解得 1 1x k    ， 2 1x   ， 3 1x k    ，其中 2k   . 因为 1 31 2 1 2 1 1 2 1 2k x k k x k                       ， 所以 ( ), ( )g x g x 随 x的变化情况如下表： x ( , 1 2)k     ( 1 2, 1)k     1 ( 1, 1 2)k     ( 1 2, )k     ( )g x   0   ( )g x ↘ ↗ 极大值 ↘ ↗ 因为函数 ( )y f x 与 ( )y g x 在区间D上的单调性相反， 所以 ( )f x 在 ( , 1 2)k     和 ( 1, 1 2)k     上是增函数， 在 ( 1 2, 1)k     和 ( 1 2, )k     上是减函数. （3）因为 ( 1 ) ( 1 )g x g x     ，所以 ( 1 ) ( 1 )f x f x     ， 所以函数 ( )y f x 与 ( )y g x 的图象关于直线 1x   对称， 所以 (1) ( 3)f f  . 因为 6k   ，所以 1 2 3 1 1 2k k            . ①当 ( 1 2, 1 2)x k k         时， 要使 ( ) (1)f x f ，则 ( 1 2, 3) (1, 1 2)x k k           ； ②当 ( , 1 2) ( 1 2, )x k k            时， 令 ( ) (1)f x f ，即 ( ) (1)g x g ， 2 2( 2 3)( 2 1) ( 6)( 2)x x k x x k k k         ， 令 2 2t x x k   ( 1)t  ，则 ( 3)( 1) ( 6)( 2)t t k k     ， 整理得 2 22 ( 8 15) 0t t k k     ，即[ ( 3)][ ( 5)] 0t k t k     ， 因为 1t  且 6k   ，所以 ( 5)t k   ，即 2 2 5x x k k     ， 所以 2 2 2 5 0x x k    ，解得 1 2 4x k     ( , 1 2) ( 1 2, )k k            ， 所以 ( ) (1) ( 1 2 4)f x f f k      . 要使 ( ) (1)f x f ，则 ( 1 2 4, 1 2) ( 1 2, 1 2 4)x k k k k                  . 综上所述， 当 6k   时，在D上满足条件 ( ) (1)f x f 的 x的集合为 ( 1 2 4, 1 2) ( 1 2, 3) (1, 1 2) ( 1 2, 1 2 4)k k k k k k                            .