【数学】2020届一轮复习人教B版简单的三角恒等变换第课时学案
§5.4 简单的三角恒等变换
最新考纲
考情考向分析
1.掌握两角和与两角差的正弦、余弦、正切公式，掌握正弦、余弦、正切二倍角的公式．
2.掌握简单的三角函数式的化简、求值及恒等式证明.
三角恒等变换是三角变换的工具，主要考查利用两角和与差的三角函数公式、二倍角公式进行三角函数的化简与求值，重在考查化简、求值，公式的正用、逆用以及变式运用，可单独考查，也可与三角函数的图象和性质、向量等知识综合考查，加强转化与化归思想的应用意识．题型选择、填空、解答均有可能出现，中低档难度.
1．两角和与差的余弦、正弦、正切公式
cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ(C(α－β))
cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ(C(α＋β))
sin(α－β)＝sinαcosβ－cosαsinβ(S(α－β))
sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ(S(α＋β))
tan(α－β)＝(T(α－β))
tan(α＋β)＝(T(α＋β))
2．二倍角公式
sin2α＝2sinαcosα；
cos2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α；
tan2α＝.
概念方法微思考
1．诱导公式与两角和差的三角函数公式有何关系？
提示 诱导公式可以看成和差公式中β＝k·(k∈Z)时的特殊情形．
2．怎样研究形如f(x)＝asinx＋bcosx函数的性质？
提示 先根据辅助角公式asinx＋bcosx＝·sin(x＋φ)，将f(x)化成f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋k的形式，再结合图象研究函数的性质．
题组一 思考辨析
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)存在实数α，β，使等式sin(α＋β)＝sinα＋sinβ成立．( √ )
(2)对任意角α都有1＋sinα＝2.( √ )
(3)y＝3sinx＋4cosx的最大值是7.( × )
(4)公式tan(α＋β)＝可以变形为tanα＋tanβ＝tan(α＋β)(1－tanαtanβ)，且对任意角α，β都成立．( × )
题组二 教材改编
2．[P127T2]若cosα＝－，α是第三象限的角，则sin等于( )
A．－B.C．－D.
答案 C
解析 ∵α是第三象限角，∴sinα＝－＝－，
∴sin＝－×＋×＝－.
3．[P131T5]sin347°cos148°＋sin77°cos58°＝.
答案
解析 sin347°cos148°＋sin77°cos58°
＝sin(270°＋77°)cos(90°＋58°)＋sin77°cos58°
＝(－cos77°)·(－sin58°)＋sin77°cos58°
＝sin58°cos77°＋cos58°sin77°
＝sin(58°＋77°)＝sin135°＝.
4．[P146A组T4(2)]tan10°＋tan50°＋tan10°tan50°＝.
答案
解析 ∵tan60°＝tan(10°＋50°)＝，
∴tan10°＋tan50°＝tan60°(1－tan10°tan50°)
＝－tan10°tan50°，
∴原式＝－tan10°tan50°＋tan10°tan50°＝.
题组三 易错自纠
5.＝.
答案
解析 原式＝
＝
＝＝sin30°＝.
6．化简：＝.
答案
解析 原式＝
＝＝＝.
7．已知θ∈，且sin＝，则tan2θ＝.
答案 －
解析 方法一 sin＝，得sinθ－cosθ＝，①
θ∈，①平方得2sinθcosθ＝，
可求得sinθ＋cosθ＝，∴sinθ＝，cosθ＝，
∴tanθ＝，tan2θ＝＝－.
方法二 ∵θ∈且sin＝，
∴cos＝，
∴tan＝＝，∴tanθ＝.
故tan2θ＝＝－.
8．化简：＝.
答案 4sinα
解析 ＝＝＝4sinα.
第1课时 两角和与差的正弦、余弦和正切公式
题型一 和差公式的直接应用
1．(2018·嘉兴检测)sin215°－cos215°的值为( )
A.B.C．－D．－
答案 C
解析 sin215°－cos215°＝－(cos215°－sin215°)
＝－cos30°＝－，故选C.
2．已知tan＝，tan＝，则tan(α＋β)的值为( )
A.B.C.D．1
答案 D
解析 ∵tan＝，tan＝，
∴tan(α＋β)＝tan
＝
＝＝1.
3．已知sinα＝，α∈，tan(π－β)＝，则tan(α－β)的值为( )
A．－B.C.D．－
答案 A
解析 ∵α∈，∴cosα＝－，tanα＝－，
又tanβ＝－，
∴tan(α－β)＝
＝＝－.
4．计算的值为．
答案
解析 ＝
＝＝＝.
思维升华 (1)使用两角和与差的三角函数公式，首先要记住公式的结构特征．
(2)使用公式求值，应先求出相关角的函数值，再代入公式求值．
题型二 和差公式的灵活应用
命题点1 角的变换
例1(1)设α，β都是锐角，且cosα＝，sin(α＋β)＝，则cosβ＝.
答案
解析 依题意得sinα＝＝，
因为sin(α＋β)＝
α，
所以α＋β∈，所以cos(α＋β)＝－.
于是cosβ＝cos[(α＋β)－α]
＝cos(α＋β)cosα＋sin(α＋β)sinα
＝－×＋×＝.
(2)(2018·浙江名校联盟联考)已知sin＝，则cos等于( )
A．－B.C．－D.
答案 C
解析 设θ＝－α，则2θ＝－2α，∴2α＋＝π－2θ，
∴cos＝cos(π－2θ)＝－cos2θ＝2sin2θ－1
＝－1＝－.
命题点2 三角函数式的变换
例2(1)化简： (0<θ<π)；
(2)求值：－sin10°.
解 (1)由θ∈(0，π)，得0<<，∴cos>0，
∴＝＝2cos.
又(1＋sinθ＋cosθ)
＝
＝2cos
＝－2coscosθ，
故原式＝＝－cosθ.
(2)原式＝－sin10°
＝－sin10°·
＝－sin10°·
＝－2cos10°＝
＝
＝
＝＝.
引申探究
化简： (0<θ<π)．
解 ∵0<θ<π，∴0<<，∴＝2sin，
又1＋sinθ－cosθ＝2sincos＋2sin2
＝2sin，
∴原式＝
＝－cosθ.
命题点3 公式的逆用与变形
例3(1)已知sinα＋cosβ＝，sinβ－cosα＝，则sin(α－β)＝.
答案 －
解析 ∵sinα＋cosβ＝，sinβ－cosα＝，
∴(sinα＋cosβ)2＝，(sinβ－cosα)2＝，
即sin2α＋2sinαcosβ＋cos2β＝，①
sin2β－2sinβcosα＋cos2α＝.②
①＋②得sin2α＋2sinαcosβ＋cos2β＋sin2β－2sinβcosα＋cos2α＝(sin2α＋cos2α)＋(cos2β＋sin2β)＋2(sinαcosβ－sinβcosα)＝1＋1＋2sin(α－β)＝2＋2sin(α－β)＝，则sin(α－β)＝－.
(2)已知α－β＝，tanα－tanβ＝3，则cos(α＋β)的值为．
答案 －
解析 ∵tanα－tanβ＝－＝＝3，且α－β＝，∴cosαcosβ＝，又cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ＝，∴sinαsinβ＝－，那么cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ＝－.
思维升华 (1)解决三角函数的求值问题的关键是把“所求角”用“已知角”表示．①当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式；②当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系．
(2)常见的配角技巧：2α＝(α＋β)＋(α－β)，α＝(α＋β)－β，β＝－，α＝＋，＝－等．
跟踪训练 (1)计算：
＝.(用数字作答)
答案
解析 ＝＝＝＝.
(2)已知α∈，β∈，且cosα＝，cos(α＋β)＝－，则sinβ＝.
答案
解析 由已知可得sinα＝，sin(α＋β)＝，
∴sinβ＝sin[(α＋β)－α]＝sin(α＋β)cosα－cos(α＋β)sinα＝×－×＝.
(3)若sinx＋cosx＝，则tan＝.
答案 ±
解析 由sinx＋cosx＝，得2sin＝，即sin＝，所以cos＝±，所以tan＝±，即tan＝tan＝±.
用联系的观点进行三角变换
三角变换的关键是找到条件和结论中的角和式子结构之间的联系．变换中可以通过适当地拆角、凑角或对式子整体变形达到目的．
例(1)(2018·绍兴一中期中)(1＋tan21°)(1＋tan20°)(1＋tan25°)(1＋tan24°)的值为( )
A．2B．4C．8D．16
答案 B
解析 (1＋tan21°)(1＋tan20°)(1＋tan25°)(1＋tan24°)＝[1＋tan(45°－24°)]·(1＋tan24°)[1＋tan(45°－25°)](1＋tan25°)＝·(1＋tan24°)··(1＋tan25°)＝·(1＋tan24°)··(1＋tan25°)＝4，故选B.
(2)设α为锐角，若cos＝，则sin的值为．
答案
解析 ∵α为锐角且cos＝>0，
∴α＋∈，∴sin＝.
∴sin＝sin
＝sin2cos－cos2sin
＝sincos－
＝××－
＝－＝.
(3)已知sinα＝，α∈，则＝.
答案 －
解析 ＝
＝cosα－sinα，
∵sinα＝，α∈，
∴cosα＝－，∴原式＝－.
1．(2018·台州模拟)已知cosα＝1，则sin等于( )
A.B.C．－D．－
答案 C
解析 因为cosα＝1，所以sinα＝0，则sin
＝sinαcos－cosαsin＝－sin＝－，故选C.
2．(2018·温州检测)已知α是第二象限角，且tanα＝－，则sin2α等于( )
A．－ B.
C．－ D.
答案 C
解析 因为α是第二象限角，且tanα＝－，
所以sinα＝，cosα＝－，
所以sin2α＝2sinαcosα＝2××＝－，
故选C.
3．(2018·衢州模拟)设a＝cos50°cos127°＋cos40°sin127°，b＝(sin56°－cos56°)，c＝，则a，b，c的大小关系是( )
A．a>b>c B．b>a>c
C．c>a>b D．a>c>b
答案 D
解析 a＝sin40°cos127°＋cos40°sin127°
＝sin(40°＋127°)＝sin167°＝sin13°，
b＝(sin56°－cos56°)＝sin56°－cos56°
＝sin(56°－45°)＝sin11°，
c＝＝cos239°－sin239°＝cos78°
＝sin12°，
∵sin13°>sin12°>sin11°，∴a>c>b.
4．已知α为锐角，若sin＝，则cos等于( )
A. B.
C. D.
答案 A
解析 由于α为锐角，且sin＝，
则cos＝，
则cos＝cos
＝coscos＋sinsin
＝×＋×＝，故选A.
5．(2018·绍兴一中期中)已知sinα＝＋cosα，且α∈，则的值为( )
A．－B．－C.D.
答案 A
解析 由sinα＝＋cosα可得sinα－cosα＝，
即sin＝，可得sin＝>0，
又α∈，则α－∈，
可得cos＝＝，
则＝
＝＝－2cos
＝－，故选A.
6．已知cosα＝，cos(α＋β)＝－，且α，β∈，则cos(α－β)的值为( )
A．－B.C．－D.
答案 D
解析 因为α∈，所以2α∈(0，π)，
因为cosα＝，所以cos2α＝2cos2α－1＝－，
所以sin2α＝＝，
而α，β∈，所以α＋β∈(0，π)，
所以sin(α＋β)＝＝，
所以cos(α－β)＝cos[2α－(α＋β)]
＝cos2αcos(α＋β)＋sin2αsin(α＋β)
＝×＋×＝.
7．已知锐角α，β满足sinα－cosα＝，tanα＋tanβ＋tanαtanβ＝，则α，β的大小关系是( )
A．α<<β B．β<<α
C.<α<β D.<β<α
答案 B
解析 ∵α为锐角，sinα－cosα＝>0，∴<α<.
又tanα＋tanβ＋tanαtanβ＝，
∴tan(α＋β)＝＝，
∴α＋β＝，又α>，∴β<<α.
8．(2018·杭州二中期中)若0<α<，－<β<0，cos＝，cos＝，则cos等于( )
A.B．－C.D．－
答案 C
解析 因为0<α<，－<β<0，
所以<＋α<，<－<，
所以sin＝，sin＝，
所以cos＝cos
＝coscos＋sin·sin
＝×＋×＝，故选C.
9.的值是．
答案
解析 原式＝
＝
＝＝.
10.＝.
答案
解析 ＝
＝＝.
11．(2018·浙江第二次联盟校联考)已知cos2＝，则sin2α的值为．
答案
解析 因为cos2＝＝＝，所以sin2α＝.
12．已知sin(α－β)cosα－cos(β－α)sinα＝，β是第三象限角，求sin的值．
解 依题意可将已知条件变形为
sin[(α－β)－α]＝－sinβ＝，sinβ＝－.
又β是第三象限角，所以cosβ＝－.
所以sin＝－sin
＝－sinβcos－cosβsin
＝×＋×＝.
13．若α∈，且3cos2α＝sin，则sin2α的值为( )
A．－ B.
C．－ D.
答案 C
解析 由3cos2α＝sin可得
3(cos2α－sin2α)＝(cosα－sinα)，
又由α∈可知，cosα－sinα≠0，
于是3(cosα＋sinα)＝，
所以1＋2sinαcosα＝，故sin2α＝－.故选C.
14．已知coscos＝，求sin4θ＋cos4θ的值．
解 因为coscos
＝
＝(cos2θ－sin2θ)＝cos2θ＝.
所以cos2θ＝.
故sin4θ＋cos4θ＝2＋2
＝＋＝.
15．化简：·＝.
答案 －4
解析 原式＝·＝·
＝－4·tan(45°＋15°)＝－4.
16．设α，β∈[0，π]，且满足sinαcosβ－cosαsinβ＝1，求sin(2α－β)＋sin(α－2β)的取值范围．
解 由sinαcosβ－cosαsinβ＝1，得sin(α－β)＝1，
又α，β∈[0，π]，∴α－β＝，
∴
即≤α≤π，
∴sin(2α－β)＋sin(α－2β)
＝sin＋sin(α－2α＋π)
＝cosα＋sinα＝sin.
∵≤α≤π，
∴≤α＋≤，
∴－1≤sin≤1，
即取值范围为[－1,1]．
