圆锥曲线高考大题

圆锥曲线高考大题

‎ 圆锥曲线 ‎1.已知椭圆,直线不过原点且不平行于坐标轴，与有两个交点，，线段的中点为．‎ ‎ (Ⅰ)证明：直线的斜率与的斜率的乘积为定值；‎ ‎（Ⅱ）若过点，延长线段与交于点，四边形能否为平行四边形？若能，求此时的斜率，若不能，说明理由．‎ ‎2. 如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆的离心率为，且右焦点F到左准线l的距离为3. （1）求椭圆的标准方程；‎ B A O x y l P C ‎ （2）过F的直线与椭圆交于A，B两点，线段AB的垂直平分线分别交直线l和AB于 ‎ 点P，C，若PC=2AB，求直线AB的方程.‎ ‎3..已知椭圆E：过点，且离心率为．‎ ‎(Ⅰ)求椭圆E的方程； ‎ ‎(Ⅱ)设直线交椭圆E于A，B两点，判断点G与以线段AB为直径的圆的位置关系，并说明理由．‎ ‎4.已知椭圆上两个不同的点，关于直线对称．‎ ‎（1）求实数的取值范围；‎ ‎（2）求面积的最大值（为坐标原点）．‎ ‎ ‎ ‎5.平面直角坐标系中，已知椭圆的离心率为，左、右焦点分别是，以为圆心以3为半径的圆与以为圆心以1为半径的圆相交，且交点在椭圆上.‎ ‎(Ⅰ)求椭圆的方程；‎ ‎（Ⅱ）设椭圆，为椭圆上任意一点，过点的直线交椭圆 于两点，射线 交椭圆于点. ( i )求的值； （ii）求面积的最大值.‎ ‎6.设椭圆E的方程为，点O为坐标原点，点A的坐标为，点B的坐标为，点M在线段AB上，满足，直线OM的斜率为.‎ ‎ （I）求E的离心率e；‎ ‎（II）设点C的坐标为，N为线段AC的中点，点N关于直线AB的对称点的纵坐标为，求 ‎ E的方程.‎ ‎7.已知椭圆的左焦点为,离心率为，点M在椭圆上且位于第一象限，直线被圆截得的线段的长为c，.‎ ‎(I)求直线的斜率；(II)求椭圆的方程；‎ ‎(III)设动点在椭圆上，若直线的斜率大于，求直线（为原点）的斜率的取值范围.‎ ‎8.如图，椭圆的左、右焦点分别为过的直线交椭圆于两点，且 ‎（1）若，求椭圆的标准方程 ‎（2）若求椭圆的离心率 ‎9.如图，椭圆E：的离心率是，过点P（0,1）的动直线与椭圆相交于A，B两点，当直线平行与轴时，直线被椭圆E截得的线段长为.‎ ‎(1)求椭圆E的方程；‎ ‎（2）在平面直角坐标系中，是否存在与点P不同的定点Q，使得恒成立？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由.‎ ‎10.一种作图工具如图1所示．是滑槽的中点，短杆可绕转动，长杆通过处铰链与连接，上的栓子可沿滑槽AB滑动，且，．当栓子在滑槽AB内作往复运动时，带动绕转动一周（不动时，也不动），处的笔尖画出的曲线记为．以为原点，所在的直线为轴建立如图2所示的平面直角坐标系．‎ ‎（Ⅰ）求曲线C的方程；‎ x D O M N y ‎（Ⅱ）设动直线与两定直线和分别交于两点．若直线总与曲线有且只有一个公共点，试探究：的面积是否存在最小值？若存在，求出该最小值；若不存在，说明理由．‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎11.已知椭圆（）的半焦距为，原点到经过两点，的直线的距离为．‎ ‎（I）求椭圆的离心率；‎ ‎（II）如图，是圆的一条直径，若椭圆经过，两点，求椭圆的 方程．‎ ‎12.在直角坐标系中，曲线C：y=与直线(＞0)交与M,N两点，‎ ‎（Ⅰ）当k=0时，分别求C在点M和N处的切线方程；‎ ‎（Ⅱ）y轴上是否存在点P，使得当k变动时，总有∠OPM=∠OPN？说明理由.‎ ‎13.已知椭圆：的离心率为，点和点都在椭圆上，直线交轴于点．‎ ‎（Ⅰ）求椭圆的方程，并求点的坐标（用，表示）；‎ ‎（Ⅱ）设为原点，点与点关于轴对称，直线交轴于点．问：轴上是否存在点，使得？若存在，求点的坐标；若不存在，说明理由．‎ ‎14.已知抛物线的焦点也是椭圆的一个焦点，与的公共弦的长为.‎ ‎（1）求的方程；‎ ‎（2）过点的直线与相交于，两点，与相交于，两点，且与同向 ‎（ⅰ）若，求直线的斜率 ‎（ⅱ）设在点处的切线与轴的交点为，证明：直线绕点旋转时，总是钝角三角形 ‎15.已知椭圆，过原点的两条直线和分别于椭圆交于、和、，记得到的平行四边形的面积为.‎ ‎（1）设，，用、的坐标表示点到直线的距离，并证明；‎ ‎（2）设与的斜率之积为，求面积的值.‎ ‎1.【答案】(Ⅰ)详见解析；（Ⅱ）能，或．‎ ‎【解析】(Ⅰ)设直线，，，．‎ 将代入得，故，‎ ‎．解得，．因为，，，所以当的斜率为 或时，四边形为平行四边形．‎ ‎2.【答案】（1）（2）或．（1）由题意，得且，解得，，则，所以椭圆的标准方程为．（2）当轴时，，又，不合题意．当与轴不垂直时，设直线的方程为，，，将的方程代入椭圆方程，得，‎ 则，的坐标为，且 若，则线段的垂直平分线为轴，与左准线平行，不合题意．‎ ‎3.【答案】(Ⅰ)；(Ⅱ) G在以AB为直径的圆外．‎ ‎【解析】解法一：(Ⅰ)由已知得 解得，所以椭圆E的方程为．‎ ‎(Ⅱ)设点AB中点为．‎ 由所以从而.‎ 所以.‎ ‎ ,‎ 故 所以，故G在以AB为直径的圆外．‎ 解法二：(Ⅰ)同解法一.‎ ‎(Ⅱ)设点，则由所以从而 ‎ 所以不共线，所以为锐角.故点G在以AB为直径的圆外．‎ ‎4.【答案】（1）或；（2）.（1）由题意知，可设直线AB的方程为，由，消去，得，∵直线与椭圆有两 个不同的交点，∴，①，将AB中点代入直线方程解得，②。由①②得或；（2）令 ‎，则，且O到直线AB的距离为，设的面积为，‎ ‎∴，当且仅当时，等号成立，故面积的最大值为.‎ ‎5.【答案】（I）；（II）( i )2；（ii） . （I）由题意知 ，则 ,又 可得 ,所以椭圆C的标准方程为. （II）由（I）知椭圆E的方程为,‎ ‎（i）设， ，由题意知 因为,又 ，即 ,所以 ，即 .（ii）设 将代入椭圆E的方程，‎ 可得由 ，可得 …①则有 所以 因为直线与轴交点的坐标为 所以的面积 ‎ 令 ,将 代入椭圆C的方程可得 由 ，可得 …②由①②可知 因此 ,故 当且仅当 ，即 时取得最大值 由（i）知， 面积为 ,所以面积的最大值为 .‎ ‎6.【答案】（I）；（II）.‎ ‎7.【答案】(I) ； (II) ；(III) .‎ ‎【解析】(I) 由已知有，又由，可得，，设直线的斜率为，则直线的方程为，由已知有，解得.‎ ‎(II)由(I)得椭圆方程为，直线的方程为，两个方程联立，消去，整理得 ‎，解得或，因为点在第一象限，可得的坐标为，由，解得，所以椭圆方程为 ‎(III)设点的坐标为，直线的斜率为，得，即,与椭圆方程联立，消去，整理得，又由已知，得，解得或，‎ 设直线的斜率为，得，即，与椭圆方程联立，整理可得.‎ ①当时，有，因此，于是，得 ②当时，有，因此，于是，得 综上，直线的斜率的取值范围是 ‎8.【答案】（1）；（2）‎ (1) 由椭圆的定义，设椭圆的半焦距为c，由已知，‎ 因此即从而 故所求椭圆的标准方程为.(2)解法一：如图(21)图，设点P在椭圆上，且，则 求得由,得,从而 由椭圆的定义，,从而由，有 又由，知，因此 于是解得.‎ ‎9.【答案】（1）；（2）存在，Q点的坐标为.‎ ‎【解析】（1）由已知，点在椭圆E上.‎ 因此，解得.所以椭圆的方程为.学优高考网 ‎（2）当直线与轴平行时，设直线与椭圆相交于C、D两点.如果存在定点Q满足条件，则，即.所以Q点在y轴上，可设Q点的坐标为.‎ 当直线与轴垂直时，设直线与椭圆相交于M、N两点.则，‎ 由，有，解得或.所以，若存在不同于点P的定点Q满足条件，则Q点的坐标只可能为.下面证明：对任意的直线，均有.当直线的斜率不存在时，由上可知，结论成立.当直线的斜率存在时，可设直线的方程为，A、B的坐标分别为.‎ 联立得.其判别式，所以，.因此.‎ 易知，点B关于y轴对称的点的坐标为.‎ ‎10.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）存在最小值8.（Ⅰ）设点，，依题意，‎ ‎，且，所以，且即且 ‎ 由于当点不动时，点也不动，所以不恒等于0，‎ 于是，故，代入，可得，即所求的曲线的方程为 ‎ ‎（Ⅱ）（1）当直线的斜率不存在时，直线为或，都有. ‎ ‎（2）当直线的斜率存在时，设直线， 由 消去，可得.因为直线总与椭圆有且只有一个公共点，‎ 所以，即. ①‎ 又由 可得；同理可得.由原点到直线的距离为和，可得 ‎ ‎ ‎11.【答案】（I）；（II）．（I）过点，的直线方程为，学优高考网 则原点到直线的距离，由，得，解得离心率.‎ ‎(II)解法一：由（I）知，椭圆的方程为. (1)依题意，圆心是线段的中点，且.‎ 易知，不与轴垂直，设其直线方程为，代入(1)得 设则 由，得解得.‎ 从而.于是.‎ 由，得，解得.故椭圆的方程为.‎ 12. ‎【答案】（Ⅰ）或（Ⅱ）存在（Ⅰ）由题设可得，，或，.∵，故在=处的到数值为，C在处的切线方程为，即.故在=-处的到数值为-，C在处的切线方程为，即. 故所求切线方程为或. ‎ ‎（Ⅱ）存在符合题意的点，证明如下：设P（0，b）为复合题意得点，，，直线PM，PN的斜率分别为.将代入C得方程整理得.‎ ‎ ∴. ∴==.‎ ‎ 当时，有=0，则直线PM的倾斜角与直线PN的倾斜角互补，‎ ‎ 故∠OPM=∠OPN，所以符合题意. ‎ ‎13.【答案】(1),,(2)存在点 ‎14.【答案】（1）；（2）（i），（ii）详见解析.‎ ‎（1）由：知其焦点的坐标为，∵也是椭圆的一焦点，‎ ‎∴ ①，又与的公共弦的长为，与都关于轴对称，且的方程为，由此易知与的公共点的坐标为，∴②，联立①，②，得，，故的方程为；（2）如图，，，，，‎ ‎（i）∵与同向，且，∴，从而，即，于是③，设直线的斜率为，则的方程为，由得，而 ‎，是这个方程的两根，∴，④，由 ‎15.【答案】（1）详见解析（2）‎ ‎【解析】证明：（1）直线，点到的距离.‎ ‎，‎ 所以.‎ 解：（2）设，则.设 ‎，.‎ 由，得.‎ 同理.‎ 由，，‎ 整理得.‎