高中数学北师大版新教材必修一课时素养评价： 二十二 函数奇偶性的概念
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课时素养评价
二十二 函数奇偶性的概念
(15分钟 35分)
1.函数f(x)=-x的图象关于 ( )
A.y轴对称 B.直线y=-x对称
C.坐标原点对称 D.直线y=x对称
【解析】选C.函数f(x)=-x是奇函数,其图象关于坐标原点对称.
【补偿训练】
函数f(x)=的图象关于 ( )
A.x轴对称 B.原点对称
C.y轴对称 D.直线y=x对称
【解析】选B.由题意知f(x)=的定义域为[-,0)∪(0,],所以定义域关于原点对称,
又因为f(-x)==-f(x),
所以f(x)是奇函数,其图象关于原点对称.
2.若函数f(x)(f(x)≠0)为奇函数,则必有 ( )
A.f(x)f(-x)>0 B.f(x)f(-x)<0
C.f(x)
f(-x)
【解析】选B.因为f(x)为奇函数,所以f(-x)=-f(x),又f(x)≠0,所以f(x)f(-x)=-[f(x)]2<0.
3.已知f(x)=x5+ax3+bx-8,且f(-2)=10,则f(2)等于 ( )
A.-26 B.-18 C.-10 D.10
【解析】选A.令g(x)=x5+ax3+bx,
则g(-x)=-g(x),所以g(x)为奇函数.
又因为f(x)=g(x)-8,所以f(-2)=g(-2)-8=10⇒g(-2)=18.所以g(2)=-18.
所以f(2)=g(2)-8=-18-8=-26.
4.设f(x)为定义在R上的奇函数.当x≥0时,f(x)=2x+2x+b(b为常数),则f(-1)=
( )
A.3 B.1 C.-1 D.-3
【解析】选D.因为f(x)为定义在R上的奇函数,
所以有f(0)=20+2×0+b=0,解得b=-1,
所以当x≥0时,f(x)=2x+2x-1,
所以f(-1)=-f(1)=-(21+2×1-1)=-3.
【补偿训练】
已知函数f(x)=ax3+bx++5,满足f(-3)=2,则f(3)的值为 .
【解析】因为f(x)=ax3+bx++5,
所以f(-x)=-ax3-bx-+5,
即f(x)+f(-x)=10.
所以f(-3)+f(3)=10,又f(-3)=2,
所以f(3)=8.
答案:8
5.(2020·江苏高考)已知y=f(x)是奇函数,当x≥0时,f(x)=,则f(-8)的值是 .
【解析】y=f(x)是奇函数,当x≥0时,f(x)=,
则f(-8)=-f(8)=-=-4.
答案:-4
6.判断下列函数的奇偶性:
(1)f(x)=3,x∈R;
(2)f(x)=5x4-4x2+7,x∈[-3,3];
(3)f(x)=
【解析】(1)因为f(-x)=3=f(x),
所以函数f(x)是偶函数.
(2)因为x∈[-3,3],f(-x)=5(-x)4-4(-x)2+7=5x4-4x2+7=f(x),所以函数f(x)是偶函数.
(3)当x>0时,f(x)=1-x2,此时-x<0,
所以f(-x)=(-x)2-1=x2-1,
所以f(-x)=-f(x);
当x<0时,f(x)=x2-1,此时-x>0,
f(-x)=1-(-x)2=1-x2,
所以f(-x)=-f(x);
当x=0时,f(0)=0.
综上,对x∈R,总有f(-x)=-f(x),
所以函数f(x)为R上的奇函数.
(20分钟 40分)
一、单选题(每小题5分,共15分)
1.给出下列函数:①f(x)=x3+,②f(x)=,③f(x)=x3+1,④f(x)=,其中是奇函数的有 ( )
A.①③ B.①④
C.③④ D.②④
【解析】选B.②中函数的定义域为(0,+∞),故为非奇非偶函数,③也是非奇非偶函数.
2.若f(x)=(ax+1)(x-a)为偶函数,且函数y=f(x)在x∈(0,+∞)上单调递增,则实数a的值为 ( )
A.±1 B.-1 C.1 D.0
【解析】选C.因为f(x)=(ax+1)(x-a)=ax2+(1-a2)x-a为偶函数,所以1-a2=0.所以a=±1.
当a=1时,f(x)=x2-1,在(0,+∞)上单调递增,满足条件;当a=-1时,f(x)=-x2+1,在(0,+∞)上单调递减,不满足.
3.已知f(x),g(x)分别是定义在R上的偶函数和奇函数,且f(x)-g(x)=x3+x2+1,则f(1)+g(1)= ( )
A.-3 B.-1 C.1 D.3
【解析】选C.因为f(x)-g(x)=x3+x2+1,
所以f(-x)-g(-x)=-x3+x2+1,
又由题意可知f(-x)=f(x),g(-x)=-g(x),
所以f(x)+g(x)=-x3+x2+1,则f(1)+g(1)=1.
【误区警示】分清f(x),g(x)的奇偶性,解决此类问题时,很多学生常混淆f(x),g(x)的奇偶性,导致解题错误或不会解答该题.
二、多选题(共5分,全部选对的得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分)
4.下列判断中哪些是不正确的 ( )
A.f(x)=(x-1)是偶函数
B.f(x)=是奇函数
C.f(x)=+是偶函数
D.f(x)=是非奇非偶函数
【解析】选AD.A.f(x)的定义域为[-1,1),定义域不关于原点对称,
所以f(x)不是偶函数,所以该判断错误;
B.设x>0,-x<0,则f(-x)=x2-x=-(-x2+x)=-f(x),
当x<0时,-x>0,f(-x)=-x2-x=-f(x),
所以f(x)是奇函数,所以该判断正确;
C.解x2-3=0得,x=±,所以f(x)的定义域关于原点对称,且f(x)=0,所以f(x)是偶函数,所以该判断正确;
D.解得,-1≤x<0或00时,f(x)=x2+mx+1,若f(2)=3f(-1),则m= .
【解析】因为x>0时,f(x)=x2+mx+1,
所以f(2)=5+2m,f(1)=2+m,
又f(-1)=-f(1)=-2-m,
所以5+2m=3(-2-m),所以m=-.
答案:-
6.设f(x)是定义在R上的奇函数,当x>0时,f(x)=x2+1,则f(-2)= ,f(0)= .
【解析】由题意知f(-2)=-f(2)=-(22+1)=-5,f(0)=0.
答案:-5 0
四、解答题
7.(10分)已知函数f(x)=是奇函数,且f(2)=.
求实数m和n的值.
【解析】因为f(x)是奇函数,
所以f(-x)=-f(x),
即=-=.
比较得n=-n,则n=0.
又因为f(2)=,所以=,
解得m=2,故实数m和n的值分别是2和0.
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