【数学】2020届一轮复习人教A版与几何概型相结合的问题学案

【数学】2020届一轮复习人教A版与几何概型相结合的问题学案

‎ 专题十 概率、统计 问题一：与几何概型相结合的问题 一、考情分析 数内知识交汇问题,试题比较新颖,具有一定的综合性,因此在近几年的高考中,是出题的热点,而几何概型与其他知识的交汇问题,以其新颖,综合性,而渐成为命题的一个重要的着眼点,体现高考中考查生探究能力和创新能力的立意,及在知识交汇处命题的原则,所以这类题应引起生的注意.‎ 二、经验分享 ‎1.求解与长度、角度有关的几何概型的方法 求与长度(角度)有关的几何概型的概率的方法是把题中所表示的几何模型转化为长度(角度)，然后求解．要特别注意“长度型”与“角度型”的不同．解题的关键是构建事件的区域(长度或角度)．‎ ‎2.求解与面积有关的几何概型的注意点 求解与面积有关的几何概型时，关键是弄清某事件对应的面积，必要时可根据题意构造两个变量，把变量看成点的坐标，找到全部试验结果构成的平面图形，以便求解．‎ ‎3.求解与体积有关的几何概型的注意点 对于与体积有关的几何概型问题，关键是计算问题的总体积(总空间)以及事件的体积(事件空间)，对于某些较复杂的问题也可利用其对立事件去求．‎ ‎4.解决几何概型问题，注意正确区分古典概型与几何概型.‎ 例1：在区间[0，10]上任意取一个整数x，则x不大于3的概率为________.‎ 例2：在区间[0，10]上任意取一个实数x，则x不大于3的概率为________.‎ 例1的基本事件总数为有限个11，不大于3的基本事件有4个，此为古典概型，故所求概率为.例2的基本事件总数为无限个，属于几何概型，所求概率为.‎ ‎5.几何概型并不限于向平面(或直线、空间)投点的试验，如果一个随机试验有无限多个等可能的基本结果，每个基本结果可以用平面(或直线、空间)中的一点来表示，而所有基本结果对应于一个区域Ω，这时，与试验有关的问题可考虑利用几何概型解决.‎ 三、知识拓展 准确分清几何概型中的测度.‎ 例1：在等腰Rt△ABC中，∠C＝90°，在直角边BC上任取一点M，求∠CAM＜30°的概率.‎ 例2：在等腰Rt△ABC中，∠C＝90°，在∠CAB内过点A作射线交线段BC于点M，求∠CAM＜30°的概率.‎ 例1中的测度定性为线段长度，当∠CAM0＝30°，CM0＝AC＝CB.满足条件的点M等可能的分布在线段CM0上，故所求概率等于＝.例2中的测度定性为角度，过点A作射线与线段CB相交，这样的射线有无数条，均匀分布在∠CAB内，∠CAB＝45°.所以所求概率等于＝＝.‎ ‎2.设计变量，数形结合解决问题.‎ 例1：某人午觉醒来，发现表停了，他打开收音机，想听电台整点报时，求他等待时间不多于10分钟的概率.‎ 例2：某人午觉醒来，发现表停了，求表停的分钟数与实际分钟数差异不超过5分钟的概率.‎ 例1中的变量(单变量)可看作是时间的长度，故所求概率为＝.例2容易犯解例1形成的定势思维的错误，得到错误答案＝.原因在于没有认清题中的变量，本题的变量有两个：手表停的分钟数和实际分钟数，都可取[0，60]内的任意时刻，故所求概率需用到面积型几何概型，由|x－y|≤5结合线性规划知识可解，所求概率为＝.通过这两道例题我们也可以看出，单变量多用线型测度，多变量需用面积(或体积)型测度.在画好几何图形后，利用数形结合思想解题.‎ 四、题型分析 与函数,方程,不等式相结合的几何概型 ‎【例1】已知都是区间内任取的一个数,那么函数在上是增函数的概率是 ．‎ ‎【分析】函数在上是增函数,这是一个三次函数,故只需它的导函数在上,即,求出满足的关系式,再有线性规划可求出所求的概率.‎ ‎【 解析】答案填,因为都是区间内任取的一个数,所以点构成边长为4的正方形.‎ ‎,要满足函数在上是增函数,需,即,又都是区间内任取的一个数,所以,画出边长为4的正方形及的可行域,由可行域知：函数是增函数的概率为.‎ ‎【点评】本题将几何概型与方程及不等式交汇在一起,解题时应综合运用相应的知识进行转化,同时数形结合,有利于直观准确求解.‎ ‎【小试牛刀】【江西省新余市2016届高三第二次模拟】设不等式组所表示的区域为,函数的图象与轴所围成的区域为,向内随机投一个点,则该点落在内的概率为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B 二．与解析几何相结合的几何概型 ‎【例2】已知直线与曲线恰有两个不同的交点,记k的所有可能取值构成集合A；,是椭圆上一动点,与点关于直线y＝x＋1对称,记的所有可能取值构成集合B,若随机的从集合A,B中分别抽出一个元素,则的概率是___________ 【分析】直线与曲线恰有两个不同的交点,求出满足的条件,即得集合；再根据与点关于直线y＝x＋1对称,求出对称椭圆的方程,从而得的范围,即得集合；可由几何概型的求法,求出的概率.‎ ‎【解析】答案填,由,当时,显然,两边平方得,,即 ‎,由题意,该方程有两个不相等的正实数根,即即结合解得,即,对于椭圆,由于原点关于的对称点为,所以,椭圆关于的对称椭圆为, 在改椭圆上,可知,于是,即.‎ ‎【方法一】由,分别以为横坐标和纵坐标,可知点()构成一个面积为2的矩形,其中满足的是图中阴影部分,面积为,所以,满足的概率是.‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎1‎ ‎－1‎ ‎【方法二】当时,此事件发生的概率为,此时必有,当时,此事件发生的概率为,此时与概率相等,各占,于是此时满足的概率为,以上两事件互斥,且[－1,0]与(0,1]的区间长度相等,故满足的概率为.‎ ‎【点评】本题将直线与曲线的交点,轴对称图形,坐标的取值范围,几何概型交汇在一起,综合性强,解题时把各个知识点分解转化；注意：当基本事件受两个连续变量控制时,一般是把两个连续变量分别作为一个点的横坐标和纵坐标,这样基本事件就构成了平面上的一个区域,即可借助平面区域解决．#‎ ‎【小试牛刀】【湖南百所重点中2017届高三上期阶段诊测】若是集合中任意选取的一个元素,则圆与圆内含的概率为__________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】数形结合可得,只能是圆在圆内部,则有,即,则圆与圆内含的概率为.‎ 三．与向量,三角相结合的几何概型 ‎【例3】已知三点,且,则动点P到点C的距离小于的概率为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【分析】根据条件与,找出满足的条件,作出图像,数形结合,即可求出动点P到点C的距离小于的概率.‎ ‎【点评】本题是将向量,不等式,几何概型结合在一起,具有一定的综合性,求解几何概型的概率问题,一定要正确确定试验的全部结果构成的区域,从而正确选择合理的测度,进而利用概率公式求解．‎ ‎【小试牛刀】【河南省豫北名校联盟2017届高三年级精英对抗赛】已知函数,当时,的概率为（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】由及得,所以所求概率为 ‎,故选D.‎ 解几何概型题注意：‎ ‎1．区分古典概型和几何概型最重要的是看基本事件的个数是有限个还是无限多个．‎ ‎2．转化思想的应用 对一个具体问题,可以将其几何化,如建立坐标系将试验结果和点对应,然后利用几何概型概率公式．‎ ‎(1)一般地,一个连续变量可建立与长度有关的几何概型,只需把这个变量放在坐标轴上即可；‎ ‎(2)若一个随机事件需要用两个变量来描述,则可用这两个变量的有序实数对来表示它的基本事件,然后利用平面直角坐标系就能顺利地建立与面积有关的几何概型；‎ ‎(3)若一个随机事件需要用三个连续变量来描述,则可用这三个变量组成的有序数组来表 示基本事件,利用空间直角坐标系建立与体积有关的几何概型．‎ 失误与防范：1． 准确把握几何概型的“测度”是解题关键；‎ ‎2． 几何概型中,线段的端点、图形的边框是否包含在事件之内不影响所求结果．‎