江苏省徐州市第一中学2019-2020学年高二下学期开学收心检测数学试题

江苏省徐州市第一中学2019-2020学年高二下学期开学收心检测数学试题

绝密★启用前 ‎2019～2020学年度高二年级第二学期开学收心检测 数 学 ‎ 2020. 4‎ 注意事项：‎ ‎1．测试范围为导数及其应用、数系的扩充与复数的引入、计数原理、概率和统计案例。‎ ‎2．本卷试题及答案共10页，包括单项选择题（第1题～第8题，共40分）、多项选择题（第9题～第12题，共20分）、填空题（第13题～第16题，共20分）、解答题（第17题～第22题，共70分），满分150分。考试时间120分钟。‎ 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。‎ ‎ 1．已知a＋bi(a，b∈R)是的共轭复数，则a＋b＝‎ A．－1 B．－ C． D．1‎ ‎ 2．设随机变量X服从二项分布，且均值E(X)＝3，p＝，则方差V(X)＝‎ A． B． C． D．2‎ ‎ 3．的展开式中x4的系数是 A．－210 B．－‎120 ‎C．120 D．210‎ ‎ 4．已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx－a2－‎7a在x＝1处取得极大值10，则的值为 A．－ B． C． D．－ ‎ 5．一盒中有12个乒乓球，其中9个新的，3个旧的，从盒中任取3个球来用，用完后装回盒中（新球用完后即成旧球），此时盒中旧球个数X是一个随机变量，其分布列为P(X＝k)，则P(X＝5)的值为 A． B． C． D． ‎ 6．设某中学的高中女生体重y(单位：kg)与身高x(单位：cm)具有线性相关关系，根据一组样本数据(xi，yi)(i＝1,2,3，…，n)，用最小二乘法近似得到线性回归方程为＝0.85x ‎－85.71，则下列结论中不正确的是 A．y与x具有正线性相关关系 B．回归直线过样本点的中心 C．若该中学某高中女生身高增加‎1 cm，则其体重约增加‎0.85 kg D．若该中学某高中女生身高为‎160 cm，则可断定其体重必为‎50.29 kg ‎ 7．已知函数，若过原点的直线l与曲线y＝f(x)有三个交点，则直线l的斜率的取值范围为 A． B． C． D．‎ ‎ 8．交强险是车主必须为机动车购买的险种，若普通6座以下私家车投保交强险的基准保费为a元，在下一年续保时，实行费率浮动机制，保费与车辆发生道路交通事故出险的情况相联系，最终保费＝基准保费×(1＋与道路交通事故相联系的浮动比率)，具体情况如下表：‎ 交强险浮动因素和浮动费率比率表 类别 浮动因素 浮动比率 A1‎ 上一个年度未发生有责任道路交通事故 下浮10%‎ A2‎ 上两个年度未发生有责任道路交通事故 下浮20%‎ A3‎ 上三个及以上年度未发生有责任道路交通事故 下浮30%‎ A4‎ 上一个年度发生一次有责任不涉及死亡的道路交通事故 ‎0%‎ A5‎ 上一个年度发生两次及两次以上有责任不涉及死亡的道路交通事故 上浮10%‎ A6‎ 上一个年度发生有责任道路交通死亡事故 上浮30%‎ 为了解某一品牌普通6座以下私家车的投保情况，随机抽取了100辆车龄已满三年的该品牌同型号私家车的下一年续保时的情况，统计如下表：‎ 类型 A1‎ A2‎ A3‎ A4‎ A5‎ A6‎ 数量 ‎20‎ ‎10‎ ‎10‎ ‎38‎ ‎20‎ ‎2‎ 若以这100辆该品牌的投保类型的频率代替一辆车投保类型的概率，则随机抽取一辆该品牌车在第四年续保时的费用的期望为 A．a元 B．‎0.958a元 C．‎0.957a元 D．‎0.956a元 二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，部分选对得3分，有选错的得0分。‎ ‎ 9．下列说法中不正确的是 A．在复平面内，虚轴上的点均表示纯虚数 B．若(a2－1)＋(a2＋‎3a＋2)i(a∈R)是纯虚数，则实数a＝±1‎ C．设a，b，c，d∈R，若(c＋di≠0)为实数，则bc－ad＝0‎ D．若i为虚数单位，右图中复数平面内的点Z表示复数z，则表示复数z(1＋i)的点是H ‎10．某学生想在物理、化学、生物、政治、历史、地理、技术这七门课程中选三门作为选考科目，下列说法错误的是 A．若任意选择三门课程，选法总数为A B．若物理和化学至少选一门，选法总数为CC C．若物理和历史不能同时选，选法总数为C－C D．若物理和化学至少选一门，且物理和历史不能同时选，选法总数为CC－C ‎11．对某两名高三学生连续9次数学测试的成绩（单位：分）进行统计得到如下折线图．下列有关这两名学生数学成绩的分析中，正确的结论是 A．甲同学的成绩折线图具有较好的对称性，与正态曲线相近，故而平均成绩为130分 B．根据甲同学成绩折线图中的数据进行统计，估计该同学平均成绩在区间[110，120]内 C．乙同学的数学成绩与测试次号具有比较明显的线性相关性，且为正相关 D．乙同学在这连续九次测验中的最高分与最低分的差超过40分 ‎12．下列不等式中正确的是 A．ln 3＜ln 2 B．ln π＜ C．＜15 D．3eln 2＞4 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。‎ ‎13．某元宵灯谜竞猜节目，有6名守擂选手和6名复活选手，从复活选手中挑选1名选手为攻擂者，从守擂选手中挑选1名选手为守擂者，则攻擂者、守擂者的不同构成方式共有__________种．‎ ‎14．已知函数f(x)＝(a∈R)的值域是，则常数a＝_______，m＝_______．（本题第一空2分，第二空3分．）‎ ‎15．《易经》是中国传统文化中的精髓，右图是易经八卦图（‎ 含乾、坤、巽、震、坎、离、艮、兑八卦），每卦有三个爻组成（“”表示一个阳爻，“”表示一个阴爻），从八卦中任取两卦，这两卦的六爻中恰有三个阳爻和三个阴爻的概率为__________．‎ ‎16．设函数f(x)＝x2－xln x＋2，若存在区间[a，b]⊆，使f(x)在[a，b]上的值域为[k(a＋2)，k(b＋2)]，则k的取值范围是__________．‎ 四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。‎ ‎17．（10分）已知i为虚数单位，复数z1与z2在复平面上所对应的点关于y轴对称，且z1(1－i)＝z2(1＋i)，|z1|＝．‎ ‎（1）求z1的值；‎ ‎（2）若z1的虚部大于零，且（m，n∈R），求m，n的值．‎ ‎18．（12分）某城市有一块半径为‎40 m的半圆形绿化区域（以O为圆心，AB为直径），现计划对其进行改建．在AB的延长线上取点D，OD＝‎80 m，在半圆上选定一点C，改建后的绿化区域由扇形区域AOC和三角形区域COD组成，其面积为S m2．设∠AOC＝x rad．‎ ‎（1）写出S关于x的函数关系式S(x)，并指出x的取值范围；‎ ‎（2）试问∠AOC多大时，改建后的绿化区域面积S取得最大值．‎ ‎19．（12分）某中学为研究学生的身体素质与体育锻炼时间的关系，对该校200名高三学生平均每天体育锻炼时间进行调查，如表：（平均每天锻炼的时间单位：分钟）‎ 平均每天锻炼的时间/分钟 ‎[0，10)‎ ‎[10，20)‎ ‎[20，30)‎ ‎[30，40)‎ ‎[40，50)‎ ‎[50，60)‎ 总人数 ‎20‎ ‎36‎ ‎44‎ ‎50‎ ‎40‎ ‎10‎ 将学生日均体育锻炼时间在[40，60)的学生评价为“锻炼达标”；‎ ‎（1）请根据上述表格中的统计数据填写下面的2×2列联表；‎ 锻炼不达标 锻炼达标 总计 男 女 ‎20‎ ‎110‎ 总计 并通过计算判断，是否能在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为“锻炼达标”与性别有关？‎ ‎（2）在“锻炼达标”的学生中，按男女用分层抽样方法抽出10人，进行体育锻炼体会交流，‎ ‎①求这10人中，男生、女生各有多少人？‎ ‎②从参加体会交流的10人中，随机选出2人做重点发言，记这2人中女生的人数为X，求X的分布列和期望．‎ 参考公式：K2＝，其中n＝a＋b＋c＋d．‎ 临界值表 P(K2≥k0)‎ ‎0.10‎ ‎0.05‎ ‎0.025‎ ‎0.010‎ k0‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎5.024‎ ‎6.635‎ 第0行 ‎1‎ 第1行 ‎1 1‎ 第2行 ‎1 2 1‎ 第3行 ‎1 3 3 1‎ 第4行 ‎1 4 6 4 1‎ 第5行 ‎1 5 10 10 5 1‎ 第6行 ‎1 6 15 20 15 6 1 ‎ ‎20．（12分）杨辉三角，是二项式系数在三角形中的一种几何排列．中国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中出现了杨辉三角．在欧洲，帕斯卡在1654年也发现了这一规律，所以这个表又叫做帕斯卡三角形．杨辉三角是中国古代数学的杰出研究成果之一，它把二项式系数图形化，把组合数内在的一些代数性质直观地从图形中体现出来，是一种离散型的数与形的结合．‎ ‎（1）记杨辉三角的前n行所有数之和为Tn，求Tn的通项公式；‎ ‎（2）在杨辉三角中是否存在某一行，且该行中三个相邻的数之比为3∶4∶5？若存在，试求出是第几行；若不存在，请说明理由；‎ ‎（3）已知n，r为正整数，且n≥r＋3．求证：任何四个相邻的组合数，，，不能构成等差数列．‎ ‎21．（12分）已知函数，函数，其中，x0是g(x)的一个极值点，且g(x0)＝2．‎ ‎（1）讨论f(x)的单调性；‎ ‎（2）求实数x0和a的值；‎ ‎（3）证明．‎ ‎22．（12分）绿色已成为当今世界主题，绿色动力已成为时代的驱动力，绿色能源是未来新能源行业的主导．某汽车公司顺应时代潮流，最新研发了一款新能源汽车，并在出厂前对100辆汽车进行了单次最大续航里程（理论上是指新能源汽车所装载的燃料或电池所能够提供给车行驶的最远里程）的测试．现对测试数据进行分析，得到如图所示的频率分布直方图．‎ ‎（1）估计这100辆汽车的单次最大续航里程的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）；‎ ‎（2）根据大量的汽车测试数据，可以认为这款汽车的单次最大续航里程X近似地服从正态分布，经计算第（1）问中样本标准差s的近似值为50．用样本平均数作为的近似值，用样本标准差s作为的估计值；‎ ‎（ⅰ）现从该汽车公司最新研发的新能源汽车中任选一辆汽车，求它的单次最大续航里程恰好在‎200千米到‎350千米之间的概率；‎ ‎（ⅱ）从该汽车公司最新研发的新能源汽车中随机抽取10辆，设这10辆汽车中单次最大续航里程恰好在‎200千米到‎350千米之间的数量为Y，求E(Y)；‎ ‎（3）某汽车销售公司为推广此款新能源汽车，现面向意向客户推出“玩游戏，送大奖”活动，客户可根据抛掷硬币的结果，操纵微型遥控车在方格图上行进，若遥控车最终停在“胜利大本营”，则可获得购车优惠券．已知硬币出现正、反面的概率都是，方格图上标有第0格、第1格、第2格、…、第50格．遥控车向前移动一格（从k到k＋1），若掷出方面，遥控车向前移动两格（从k到k ‎＋2），直到遥控车移到第49格（胜利大本营）或第50格（失败大本营）时，游戏结束．设遥控车移到第n格的概率为Pn（n＝1，2，…，50），其中P0＝1，试说明{Pn－Pn－1}是等比数列，并解释此方案能否成功吸引顾客购买该款新能源汽车．‎ 参考数据：若随机变量服从正态分布，则≈0.682 7，≈0.954 5，≈0.997 3．‎ ‎2019～2020学年度高二年级第二学期开学收心检测 数 学 参考答案与评分标准 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。‎ ‎1．D 2．C 3．B 4．A 5．A 6．D 7．B 8．D 二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，部分选对得3分，有选错的得0分。‎ ‎9．AB 10．ABD 11．BCD 12．AC 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。‎ ‎13．36 14．（2分） 1（3分） 15． 16．‎ 四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。‎ ‎17．（1）设（x，y∈R），则＝－x＋yi，………………1分 ‎∵z1(1－i)＝z2(1＋i)，||=，∴，…………3分 ‎∴或，即或 ………………5分 ‎（2）∵的虚部大于零，∴，∴，………………7分 则有，∴，∴．………………10分 ‎18．（1）因为扇形 AOC的半径为 ‎40 m，∠AOC＝x rad，‎ 所以扇形AOC的面积S扇形AOC＝＝800x，0＜x＜π．………………2分 在△COD中，OD＝80，OC＝40，∠COD＝π－x，‎ 所以S△COD＝·OC·OD·sin∠COD＝1600sin(π－x)＝1600sinx．………………4分 从而 S＝S△COD＋S扇形AOC＝1600sinx＋800x，0＜x＜π．………………5分 ‎（2）由（1）知， S(x)＝1600sinx＋800x，0＜x＜π．‎ ‎ S′(x)＝1600cosx＋800＝1600(cosx＋)．………………7分 由 S′(x)＝0，解得x＝．‎ 从而当0＜x＜时，S′(x)＞0；当＜x＜π时，S′(x)＜0 ．………………9分 因此 S(x)在区间(0，)上单调递增；在区间(，π)上单调递减．…………10分 所以 当x＝，S(x)取得最大值．‎ 答：当∠AOC为时，改建后的绿化区域面积S最大．………………12分 ‎19．（1）填2×2列联表：‎ 锻炼不达标 锻炼达标 总计 男 ‎60‎ ‎30‎ ‎90‎ 女 ‎90‎ ‎20‎ ‎110‎ 总计 ‎150‎ ‎50‎ ‎200‎ 由2×2列联表中数据，计算得到K2的观测值为 k＝＝≈6.061＞5.024，所以可以在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为“锻炼达标”与性别有关. .………………4分 ‎（2）①“锻炼达标”的学生有50人，男、女生人数比为3∶2，故用分层抽样方法从中抽出10人，男生有6人，女生有4人 .………………7分 ‎②X的可能取值为0，1，2；‎ P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝，……………9分 ‎∴X的分布列为 X ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ P ‎∴X的期望E(X)＝0×＋1×＋2×＝ ………………12分 ‎20．（1）由二项式定理的性质，杨辉三角第n－1行的n个数的和为：‎ ‎，‎ ‎∴………………2分 ‎（2）杨辉三角形的第行由二项式系数，，，，，组成．‎ 如果第行中有，，………………4分 那么，，‎ 解这个联立方程组，得，．‎ 即第62行有三个相邻的数，，的比为3∶4∶5．………………6分 ‎（3）若有n，r（），使得，，，成等差数列，‎ 则，，‎ 即，‎ ‎．………………8分 所以有，‎ ‎，‎ 经整理得到，．‎ 两式相减可得，于是，，，成等差数列，……10分 而由二项式系数的性质可知，‎ 这与等差数列性质矛盾，从而要证明的结论成立．………………12分 ‎21．（1）由已知可得函数的定义域为，且，………1分 令，则有，由，可得，‎ 可知当x变化时，的变化情况如下表：‎ x ‎(0，1)‎ ‎1‎ ‎(1，＋∞)‎ h’(x)‎ ‎－‎ ‎0‎ ‎＋‎ h(x)‎ 极小值 ‎……………………2分 ‎，即，可得在区间单调递增；………3分 ‎（2）由已知可得函数的定义域为，且，……4分 由已知得，即，①‎ 由可得，，② ‎ 联立①②，消去a，可得，③…………………6分 令，则，‎ 由（1）知，，故，‎ 在区间单调递增，‎ 注意到，所以方程③有唯一解，代入①，可得，‎ ‎； …………………………………8分 ‎（3）证明：由（1）知在区间单调递增，‎ 故当时，，，‎ 可得在区间单调递增，…………………………………9分 因此，当时，，‎ 即，亦即，‎ 这时，故可得，……………………10分 取，可得，‎ 而，…………………………………11分 故 ‎．…………………………………12分