黑龙江省双鸭山市第一中学2018-2019学年高一下学期期末考试数学（理）试题

黑龙江省双鸭山市第一中学2018-2019学年高一下学期期末考试数学（理）试题

www.ks5u.com 双鸭山市第一中学2018-2019学年度下学期高一(理科)数学学科期末考试试题 一、选择题。‎ ‎1.已知一个平面，那么对于空间内的任意一条直线,在平面内一定存在一条直线，使得与（ ）‎ A. 平行 B. 相交 C. 异面 D. 垂直 ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【详解】当直线 与平面 相交时,平面 内的任意一条直线与直线 的关系只有两种:异面,相交,此时就不可能平行了,故 A错.  当直线 与平面 平行时,平面 内的任意一条直线与直线 的关系只有两种:异面,平行,此时就不可能相交了,故 B错.  当直线 在平面 内时,平面 内的任意一条直线与直线 的关系只有两种:平行,相交,此时就不可能异面了,故C 错.  不管直线 与平面 的位置关系相交,平行,还是在平面内,都可以在平面 内找到一条直线与直线 垂直,因为直线在异面与相交时都包括垂直的情况,故 D正确.  故选 D.‎ ‎2.已知不等式解集是，则( )‎ A. B. 1 C. D. 3‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 的两个解为-1和2.‎ ‎【详解】‎ ‎【点睛】函数零点、一元二次等式的解、函数与x轴的交点之间的相互转换。‎ ‎3.在等差数列中，若，，则（ ）‎ A. 8 B. 16 C. 20 D. 28‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 因为为等差数列，则也成等差数列，所以。‎ 故选C。‎ ‎4.直线过点，且与以为端点的线段总有公共点，则直线斜率的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求出 ,判断当斜率不存在时是否满足题意，满足两数之外；不满足两数之间。‎ ‎【详解】，当斜率不存在时满足题意，即 ‎【点睛】本题主要考查斜率公式的应用，属于基础题.‎ ‎5.如图，为正方体，下面结论错误的是（　　）‎ A. 平面 B. ‎ C. 平面 D. 异面直线与所成的角为 ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【详解】在正方体中与 平行，因此有与平面 平行，A正确；在平面 内的射影垂直于，因此有，B正确；与B同理有与 垂直，从而 平面 ，C正确；由知与所成角为45°，D错．故选D．‎ ‎6. 在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若a•cosA=bcosB，则△ABC的形状为（ ）‎ A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等腰三角形或直角三角形 D. 等腰直角三角形 ‎【答案】C ‎【解析】‎ 试题分析：利用正弦定理由a•cosA=bcosB可得sinAcosA=sinBcosB，再利用二倍角的正弦即可判断△ABC的形状．‎ 解：在△ABC中，∵a•cosA=bcosB，‎ ‎∴由正弦定理得：sinAcosA=sinBcosB，‎ 即sin2A=sin2B，‎ ‎∴2A=2B或2A=π﹣2B，‎ ‎∴A=B或A+B=，‎ ‎∴△ABC的形状为等腰三角形或直角三角形．‎ 故选：C．‎ 考点：三角形的形状判断．‎ ‎7.关于的不等式对一切实数都成立，则的取值范围是( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 特值,利用排除法求解即可.‎ ‎【详解】因为当时，满足题意，所以可排除选项B、C、A，故选D ‎【点睛】不等式恒成立问题有两个思路：‎ 求最值，说明恒成立 参变分离，再求最值。‎ ‎8.在空间四边形中，分别是的中点.若，且与所成的角为，则四边形的面积为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【详解】连接EH，因为EH是△ABD的中位线，所以EH∥BD，且EH=BD．‎ 同理，FG∥BD，且FG=BD，‎ 所以EH∥FG，且EH=FG．‎ 所以四边形EFGH为平行四边形．‎ 因为AC=BD=a，AC与BD所成的角为60°‎ 所以EF=EH．所以四边形EFGH为菱形，∠EFG=60°．‎ ‎∴四边形EFGH的面积是2××()2=a2‎ 故答案为a2，故选A.‎ 考点：本题主要是考查的知识点简单几何体和公理四，公理四：和同一条直线平行的直线平行，证明菱形常用方法是先证明它是平行四边形再证明邻边相等，以及面积公式属于基础题．‎ 点评：解决该试题关键是先证明四边形EFGH为菱形，然后说明∠EFG=60°，最后根据三角形的面积公式即可求出所求．‎ ‎9.直线（，）过点(-1,-1),则的最小值为 ( )‎ A. 9 B. 1 C. 4 D. 10‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 将点的坐标代入直线方程：，再利用乘1法求最值 ‎【详解】将点的坐标代入直线方程：，‎ ‎，当且仅当时取等号 ‎【点睛】已知和为定值，求倒数和的最小值，利用乘1法求最值。‎ ‎10.一个体积为的正三棱柱（底面为正三角形，且侧棱垂直于底面的棱柱）的三视图如图所示，则该三棱柱的侧视图的面积为（ ）‎ A. B. 3 C. D. 12‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据侧视图的宽为 求出正三角形的边长为4，再根据体积求出正三棱柱的高，再求侧视图的面积。‎ ‎【详解】侧视图的宽即为俯视图的高，即三角形的边长为4，‎ 又 ‎ 侧视图的面积为：‎ ‎【点睛】理解：侧视图的宽即为俯视图的高，即可求解本题。‎ ‎11.若数列满足（，为常数）,则称数列为“调和数列”.已知数列为调和数列，且，则的最大值是（ ）‎ A. 50 B. 100 C. 150 D. 200‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 分析】‎ 根据调和数列定义知为等差数列，再由前20项的和为200知，最后根据基本不等式可求出的最大值。‎ ‎【详解】因为数列为调和数列，所以，‎ 即为等差数列 又，‎ ‎ ‎ 又大于0‎ 所以 ‎【点睛】本题考查了新定义“调和数列”的性质、等差数列的性质及其前n项公式、基本不等式的性质，属于难题。‎ ‎12.长方体中，已知，，棱在平面内，则长方体在平面内的射影所构成的图形面积的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 本题等价于求过BC直线的平面截长方体的面积的取值范围。‎ ‎【详解】长方体在平面内的射影所构成的图形面积的取值范围等价于，‎ 求过BC直线的平面截长方体的面积的取值范围。‎ 由图形知 , ，‎ 故选A.‎ ‎【点睛】将问题等价转换为可视的问题。‎ 二、填空题。‎ ‎13.已知正方体中,，分别为,的中点,那么异面直线与所成角的余弦值为______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 异面直线所成角，一般平移到同一个平面求解。‎ ‎【详解】连接DF， ‎ ‎ 异面直线与所成角等于 ‎ ‎【点睛】异面直线所成角，一般平移到同一个平面求解。不能平移时通常考虑建系，利用向量解决问题。‎ ‎14.设，，为三条不同的直线，，为两个不同的平面，下列命题中正确的是______．‎ ‎(1)若，，，则；‎ ‎(2)若，，，则；‎ ‎(3)若，，，，则；‎ ‎(4)若，，,则．‎ ‎【答案】(1)‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用线线平行的传递性、线面垂直的判定定理判定。‎ ‎【详解】(1) ， ，，则，正确 ‎(2)若，，，则，错误 ‎(3)若，则不成立，错误 ‎(4)若，，,则，错误 ‎【点睛】本题主要考查线面垂直的判定定理判定，考查了空间想象能力，属于中档题.‎ ‎15.设的内角，，所对的边分别为，，.已知，，‎ 如果解此三角形有且只有两个解，则的取值范围是_____．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由余弦定理写出c与x的等式，再由有两个正解，解出x的取值范围 ‎【详解】根据余弦定理： 代入数据并整理有，有且仅有两个解，记为 则：‎ ‎【点睛】本题主要考查余弦定理以及韦达定理，属于中档题。‎ ‎16.在三棱锥中，已知，，则三棱锥内切球的表面积为______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先计算出三棱锥的体积，利用等体积法求出三棱锥的内切球的半径，再求出内切球的表面积。‎ ‎【详解】取CD中点为E，并连接AE、BE 在中，由等腰三角形的性质可得,同理 则在中点A到边BE的距离即为点A到平面BCD的距离h,‎ 在中，‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎【点睛】本题综合考查了三棱锥的体积、三棱锥内切圆的求法、球的表面积，属于中档题.‎ 三、解答题 ‎17.已知直线经过两条直线:和:的交点，直线:；‎ ‎(1)若，求的直线方程；‎ ‎(2)若，求的直线方程．‎ ‎【答案】(1) ； (2) ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)先求出与的交点，再利用两直线平行斜率相等求直线l ‎(2)利用两直线垂直斜率乘积等于-1求直线l ‎【详解】（1）由，得，‎ ‎∴与的交点为.‎ 设与直线平行的直线为，‎ 则，∴.‎ ‎∴所求直线方程为.‎ ‎（2）设与直线垂直的直线为，‎ 则，解得。‎ ‎∴所求直线方程为.‎ ‎【点睛】两直线平行斜率相等，两直线垂直斜率乘积等于-1。‎ ‎18.已知数列是等差数列，且，。‎ ‎(1)求数列的通项公式；‎ ‎(2)若等比数列满足，，求数列的前项和.‎ ‎【答案】(1) ； (2) ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）将、用和表示，联立方程组，解出和，再写出数列的通项公式；‎ ‎（2）根据第一问写出，求出公比q，写出 ‎【详解】（1）设等差数列的公差，因为，，‎ 所以 解得，，所以。‎ ‎（2）设等比数列的公比为，因为，，‎ 所以，即。‎ 所以的前项和公式为。‎ ‎【点睛】本题考查等差数列与等比数列的基础公式应用，属于简单题。‎ ‎19.在中，角，，对应的边分别为，，且有.‎ ‎(1)求的值．‎ ‎(2)若的面积，，求的值．‎ ‎【答案】(1) ；(2) ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用 ,将等式中的变量全部化为A,再化简等式。‎ ‎（2）根据已知条件求出c的值，再利用余弦定理求出比值，角化边得出答案 ‎【详解】（1）由已知条件得：，‎ 所以，解得，角。‎ ‎（2），‎ 由余弦定理得：，，‎ ‎，故。‎ ‎【点睛】本题主要考查利用正弦定理进行角化边的运算。‎ ‎20.如图已知平面，，，，，，点，分别为，的中点.‎ ‎(1)求证：//平面;‎ ‎(2)求直线与平面所成角的大小.‎ ‎【答案】(1)见证明；(2) ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）要证线面平行即证线线平行，本题连接A1B, ‎ ‎（2）取中点,连接证明平面，再求出，得到 ‎。‎ ‎【详解】（1）如图，连接，在中，因为和分别是和中点，‎ 所以。又因为平面，所以平面；‎ 取中点和中点，连接，，。‎ 因为和分别为和，所以，，‎ 故且，所以，且。‎ 又因为平面，所以平面，‎ 从而为直线与平面所成的角。‎ 在中，可得，所以。‎ 因为，，所以，，，‎ 所以，，又由，有。‎ 在中，可得 ‎；‎ 在中，，因此。‎ 所以直线与平面所成角为。‎ ‎【点睛】求线面角一般有两个方法：‎ 几何法做出线上一点到平面的高，求出高；或利用等体积法求高 向量法。‎ ‎21.已知数列为单调递增数列，，其前项和为，且满足 ‎.‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）若数列，其前项和为，若成立，求的最小值.‎ ‎【答案】（1）；（2）10‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）先根据和项与通项关系得项之间递推关系，再根据等差数列定义及其通项公式得数列的通项公式；（2）先根据裂项相消法求，再解不等式得，即得的最小值.‎ 试题解析：（1）由知：，‎ 两式相减得: ，‎ 即，又数列为单调递增数列，，∴，‎ ‎∴，‎ 又当时，，即，解得或 (舍），‎ 符合，∴是以1为首项，以2为公差的等差数列，‎ ‎∴.‎ ‎（2），‎ ‎∴，‎ 又 ∵，即，解得，‎ 又，所以的最小值为10.‎ 点睛：裂项相消法是指将数列的通项分成两个式子的代数和的形式，然后通过累加抵消中间若干项的方法，裂项相消法适用于形如 (其中是各项均不为零的等差数列，c为常数)的数列. 裂项相消法求和，常见的有相邻两项的裂项求和(如本例)，还有一类隔一项的裂项求和，如或.‎ ‎22.如图,在四棱锥中,丄平面,，，，，.‎ ‎(1)证明丄;‎ ‎(2)求二面角的正弦值;‎ ‎(3)设为棱上的点,满足异面直线与所成的角为,求的长.‎ ‎【答案】(1)见证明；(2) ；(3) ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）要证异面直线垂直，即证线面垂直，本题需证平面 ‎（2）作于点，连接。 为二面角的平面角，在中解出即可。‎ ‎（3）过点作的平行线与线段相交，交点为，连接，；计算出AF、BF，再在中利用的余弦公式，解出EF,即可求出AE的长 ‎【详解】（1）证明：由平面，可得，‎ 又由，，故平面。‎ 又平面，所以。‎ ‎（2）如图，作于点，连接。‎ 由，，可得平面。‎ 因此，从而为二面角的平面角。‎ 在中，，，由此得 由（1）知，故在中，‎ 因此所以二面角 的正弦值为。‎ ‎（3）因为，故过点作的平行线必与线段相交，‎ 设交点为，连接，；‎ ‎∴或其补角为异面直线与所成的角；‎ 由于，故；‎ 在中，，；‎ ‎∴；‎ ‎∴在中，由，，‎ 可得：；‎ 由余弦定理，可得，，‎ 解得：，设；‎ 在中，；‎ 在中，；‎ ‎∴在中，，∴；‎ ‎；‎ 解得；∴‎ ‎【点睛】本题主要考查线线垂直、二面角的平面角、异面直线所成角的。属于中档题。‎ ‎ ‎