山东省滕州市第一中学2019-2020学年高二5月月考数学试题

山东省滕州市第一中学2019-2020学年高二5月月考数学试题

高二数学月考试题 一、单项选择题：本大题共8小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是复合题目要求的.‎ ‎1.已知集合，，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据对数函数的性质确定集合，由二次函数的性质确定集合，再由交集定义求解．‎ ‎【详解】由题意，，‎ ‎∴．‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】本题考查集合交集运算，考查对数函数与二次函数的性质，属于基础题．‎ ‎2.已知是虚数单位，是关于的方程的一个根，则（ ）‎ A. 4 B. C. 2 D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据实系数方程的虚数根成对出现得出另一个根，然后由韦达定理求出，‎ ‎【详解】∵是关于的方程的一个根，∴方程的另一根为，‎ ‎∴，，，∴． ‎ 故选：A．‎ ‎【点睛】本题考查实系数方程的复数根问题，需掌握下列性质：实系数方程的虚数根成对出现，它们是共轭复数．‎ ‎3.小明的妈妈为小明煮了 个粽子，其中两个腊肉馅三个豆沙馅，小明随机取出两个，事件，事件，则 ‎ ‎（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【详解】由题意，P（A）==，P（AB）==，‎ ‎∴P（B|A）==，‎ 故选B．‎ ‎4.对具有线性相关关系的变量，有一组观测数据（），其回归直线方程是，且，则实数的值是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎ 因为， ‎ ‎ 所以，所以样本中心点的坐标为，‎ ‎ 代入回归直线方程得，解得，故选C.‎ ‎5.有红、黄、蓝三个小球放到7个不同的盒子里，每个盒子最多放两个球，放到同一个盒子的两球不考虑顺序，则不同的放法数为( )‎ A. 336 B. ‎320 ‎C. 240 D. 216‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 分3个球分别放到不同盒子里及3个球中有2个球放到同一个盒子里两种情况求出放法种数，再根据分类加法规则相加即可得解.‎ ‎【详解】3个球分别放到不同盒子里的放法有种；3个球中有2个球放到同一个盒子里的放法有种，所以总共有336种放法.‎ 故选：A ‎【点睛】本题考查分类加法计数原理，简单的排列组合，属于基础题.‎ ‎6.已知，为的导函数，则的图象是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先化简f（x）＝，再求其导数，得出导函数是奇函数，排除B，D．再根据导函数的导函数小于0的x的范围，确定导函数在上单调递减，从而排除C，即可得出正确答案．‎ ‎【详解】由f（x）＝，‎ ‎∴，它是一个奇函数，其图象关于原点对称，故排除B，D．‎ 又，当﹣＜x＜时，cosx＞，∴＜0，‎ 故函数y＝在区间 上单调递减，故排除C．‎ 故选A．‎ ‎【点睛】本题主要考查函数的单调性与其导函数的正负之间的关系，即当导函数大于0时原函数单调递增，当导函数小于0时原函数单调递减，属于基础题．‎ ‎7.已知函数，则使得成立的的取值范围（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 把函数化为，代入不等式直接解对数不等式即可．‎ ‎【详解】由已知，令∴不等式为，，∴，‎ 即，，，∴，‎ ‎∴，．‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】本题考查解对数不等式和指数不等式，掌握对数函数与指数函数性质是解题关键．‎ ‎8.已知方程在上有两个不等的实数根，则实数的取值范围为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意可得方程在上有两个不等的实数根，设，求得函数的导数和单调性，可得极值和最值，画出的图象，可得的不等式，即可求解.‎ ‎【详解】由题意，方程在上有两个不等的实数根，‎ 即为在上有两个不等的实数根，‎ 即在上有两个不等的实数根，‎ 设，则，‎ 当时，，函数递减，‎ 当时，，函数递增，‎ 所以当时，函数取得最大值，且，‎ 所以，解得，故选C.‎ ‎ ‎ ‎【点睛】本题主要考查了函数与方程，以及导数在函数中的综合应用，其中解答中把方程的根转化为在上有两个不等的实数根，利用导数求得函数的单调性与最值是解答的关键，着重考查了转化思想，以及推理与运算能力.‎ 二、多项选择题：木大题共4小题，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.‎ ‎9.甲、乙、丙三人在政治、历史、地理、物理、化学、生物、技术7门学科中任选3门．若同学甲必选物理，则下列说法正确的是（ ）‎ A. 甲、乙、丙三人至少一人选化学与全选化学是对立事件 B. 甲的不同的选法种数为15‎ C. 已知乙同学选了物理，乙同学选技术的概率是 D. 乙、丙两名同学都选物理的概率是 ‎【答案】BD ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据对立事件的概念可判断A；直接根据组合的意义可判断B；乙同学选技术的概率是可判断 C；根据相互独立事件同时发生的概率可判断D.‎ ‎【详解】甲、乙、丙三人至少一人选化学与全不选化学是对立事件，故A错误；‎ 由于甲必选物理，故只需从剩下6门课中选两门即可，即种选法，故B正确；‎ 由于乙同学选了物理，乙同学选技术的概率是，故C错误；‎ 乙、丙两名同学各自选物理的概率均为，故乙、丙两名同学都选物理的概率是，故D正确；‎ 故选BD.‎ ‎【点睛】本题主要考查了对立事件的概念，事件概率的求法以及相互独立事件同时发生的概率，属于基础题.‎ ‎10.2020年春节前后，一场突如其来的新冠肺炎疫情在全国蔓延.疫情就是命令，防控就是责任.在党中央的坚强领导和统一指挥下，全国人民众志成城、团结一心，掀起了一场坚决打赢疫情防控阻击战的人民战争.下图表展示了‎2月14日至29日全国新冠肺炎疫情变化情况，根据该折线图，下列结论正确的是（ ）‎ A. 16天中每日新增确诊病例数量呈下降趋势且19日的降幅最大 B. 16天中每日新增确诊病例的中位数小于新增疑似病例的中位数 C. 16天中新增确诊、新增疑似、新增治愈病例的极差均大于2000‎ D. 19日至29日每日新增治愈病例数量均大于新增确诊与新增疑似病例之和 ‎【答案】BC ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据折线图中的数据变化趋势，逐项判断.‎ ‎【详解】选项A，16天中每新增确诊病例数量有起伏，19日的降幅最大，而20日又上升，所以错误；‎ 选项B，根据图象16天中每日新增确诊病例大部分小于新增疑似病例，因此16天中每日新增确诊病例中位数小于新增疑似病例的中位数，所以正确；‎ 选项C，根据图象可得新增确诊、新增疑似、新增治愈病例最大值与最小值的差都大于2000人，所以正确；‎ 选项D，‎2月14日至18日，新增治愈病例数量均明显小于新增确诊与新增疑似病例之和，所以错误.‎ 故选：BC.‎ ‎【点睛】本题考查折线统计图，根据折线图表示的数量，以及折线图上升和下降分析数量的增减变化情况是解题的关键，属于基础题.‎ ‎11.下列说法正确的是（ ）‎ A. 若幂函数的图象过点，则 B. 命题：“，”，则的否定为“，”‎ C. “”是“”的充分不必要条件 D. 若与是相互独立事件，则与也是相互独立事件 ‎【答案】BC ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据幂函数的定义与性质，可判定A不正确；根据全称命题与存在性命题的关系，可判定B是正确的；根据对数函数的性质和充分、必要条件的判定，可得C上正确的；根据事件的关系，可判定D不正确.‎ ‎【详解】对于A中，设幂函数，因为幂函数的图象过点，可得，‎ 解得，所以，则，所以A不正确；‎ 对于B中，根据全称命题与存在性命题关系，可得命题：“，”，则的否定为“，”，所以B是正确的；‎ 对于C中，由，则，即，所以，‎ 所以充分性是成立的；‎ 反之：例如：当，可得，即必要性不成立，‎ 所以“”是“”的充分不必要条件，所以C上正确的；‎ 对于D中，若与是相互独立事件，则与不一定相互独立事件，所以D不正确.‎ 故选：BC.‎ ‎【点睛】本题主要考查了命题的真假判定，其中解答中涉及到幂函数的图象与性质，全称命题与存在性命题的关系，对数函数的性质，以及事件的关系等知识点的应用，属于中档试题.‎ ‎12.已知函数，下列说法正确的是（ ）‎ A. 函数的图象的对称中心是（0，1） B. 函数在上是增函数 C. 函数是奇函数 D. 方程的解为 ‎【答案】ABD ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 选项A. ,通过判断函数为奇函数，得到的对称性. 选项B. 利用导数来判断的单调性. 选项C. ，则,得到结论. 选项D. 由选项A有的图象关于成中心对称，即,从而得到答案.‎ ‎【详解】‎ 选项A. 设，，则，‎ 则函数为奇函数.所以的图象关于原点成中心对称.‎ 所以的图象关于成中心对称，故A正确.‎ 选项B. 由，则，‎ 所以函数在上是增函数，故B正确.‎ 选项C. ，则，函数不是奇函数，故C不正确.‎ 选项D. 由选项A有的图象关于成中心对称，即,‎ 由方程，则，即，故D正确.‎ 故选：ABD ‎【点睛】本题考查函数的对称性和单调性的应用，应用对称性解方程，属于中档题.‎ 三、填空题：本大题共4小题.‎ ‎13.设，已知的实部是1，则的虚部为__________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设，根据复数相等即可 ‎【详解】解：设 因为 所以 则的虚部为 故答案为：‎ ‎【点睛】本题考查复数的基本概念，复数代数形式的乘除运算，是基础题．‎ ‎14.已知随机变量服从正态分布，则_____.‎ ‎【答案】8‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由已知求得，再由得答案．‎ ‎【详解】随机变量服从正态分布，，‎ 则．‎ 故答案为8‎ ‎【点睛】本题主要考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，考查方差的求法，是基础题．‎ ‎15.杨辉三角在我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书记载.在欧洲，这个表叫做帕斯卡三角形，它出现要比杨辉三角迟393年.那么，第15行第13个数是_____.（用数字作答）‎ ‎【答案】455‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 将第1、2、3、4行中的数写为组合数形式，观察可得第n行第r个数为，则第15行第13个数为.‎ ‎【详解】第1行：，，第2行：，第3行：，第4行：，‎ 观察可得第n行第r个数为，‎ 所以第15行第13个数为.‎ 故答案为：455‎ ‎【点睛】本题考查杨辉三角中所包含的二项式定理的性质，合情推理，属于中档题.‎ ‎16.若函数的图象与轴相切，且（、为相邻整数），则的值为________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设切点坐标为，根据题意得出，可得出关于和的方程组，解出，即可求得结果.‎ ‎【详解】设切点坐标为，‎ ‎，，‎ 由题意得，即，整理得，‎ 构造函数，则函数在区间上单调递增，‎ 且，，，，，因此，.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查利用函数图象的切线方程求参数，解题时要从两方面考虑：（1）切线的斜率为函数在切点处的导数值；（2）切点为函数图象和切线的公共点.考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.‎ 四、解答题：本题共6小题，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.‎ ‎17.命题：不等式的解集是．命题：不等式在内恒成立，若和一真一假，求的取值范围．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先分别求出当命题，命题为真命题时，参数的范围，然后由和一真一假，分真假，假真求解的范围.‎ ‎【详解】命题：不等式的解集是为真命题时.‎ ‎，解不等式得．‎ 所以所以命题为真命题时, ‎ 命题：不等式在内恒成立 因为,当且仅当时“=”成立．‎ 所以命题为真命题时,．‎ 因为，一真一假．‎ 当真假时有 当假真时有．‎ 综上所述：‎ ‎【点睛】本题考查根据复合命题的真假求参数的范围和不等式恒成立问题，属于中档题.‎ ‎18.南昌市在2018年召开了全球VR产业大会，为了增强对青少年VR知识的普及，某中学举行了一次普及VR知识讲座，并从参加讲座的男生中随机抽取了50人，女生中随机抽取了70人参加VR知识测试，成绩分成优秀和非优秀两类，统计两类成绩人数得到如左的列联表：‎ 优秀 非优秀 总计 男生 a ‎35‎ ‎50‎ 女生 ‎30‎ d ‎70‎ ‎45‎ ‎75‎ ‎120‎ 总计 ‎（1）确定a,d的值；‎ ‎（2）试判断能否有90%的把握认为VR知识测试成绩优秀与否与性别有关；‎ ‎（3）现从该校测试成绩获得优秀的同学中按性别采用分层抽样的方法，随机选出6名组成宣传普及小组．从这6人中随机抽取2名到校外宣传，求“到校外宣传的2名同学中至少有1名是男生”的概率.‎ 附： ‎ ‎0.25‎ ‎015‎ ‎0.10‎ ‎0.05‎ ‎0025‎ ‎0.010‎ ‎1.323‎ ‎2.072‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎5.024‎ ‎6.635‎ ‎【答案】（1）；（2）没有；（3）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）结合题表信息，即可计算a,d，即可．（2）结合，代入数据，计算，判定，即可．（3）计算概率，可以从反面进行进展，计算总数，计算2人全部都是女生的总数，计算概率，即可．‎ ‎【详解】（1），解得 ‎（2）结合卡方计算方法可知n=120，得到而要使得概率为则90%,，不满足条件，故没有．‎ ‎（3）结合a=15，结合分层抽样原理，抽取6人，则男生中抽取2人，女生抽取4人，则从6人中抽取2人，一共有，如果2人全部都是女生，则有，故概率为 ‎.‎ ‎【点睛】本道题考查了古典概率计算方法，考查了计算方法，考查了列联表，难度中等．‎ ‎19.已知 ‎（1）若，求的系数.‎ ‎（2）当，时，求除以7所得的余数.‎ ‎【答案】（1）70（2）6‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）令，根据等式的特点，结合等比数列前项和公式求出、的值，进而求出的值，结合二项式的通项公式、组合数的性质进行求解即可；‎ ‎（2）根据等比数列前项和公式，结合二项式定理进行求解即可.‎ ‎【详解】（1）令，，‎ 又，，所以，‎ 故，∴，‎ 因为的通项公式为：‎ 所以的系数是 ‎（2）当，时，‎ ‎，‎ 而 化简得：，因此除以7所得的余数6.‎ ‎【点睛】本题考查了二项式定理的应用，考查了等比数列前项和公式，考查了数学运算能力.‎ ‎20.已知函数.‎ ‎（1）若函数在点处的切线与直线垂直，求函数的单调区间及在上的最大值与最小值；‎ ‎（2）若时，函数在区间[1，2]上不单调，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1）在单调递减，在单调递增，，（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由求得，得，求得的单调性求得最值;‎ ‎（2）由在区间上不单调等价于在上有解，分离求解即可.‎ ‎【详解】（1）与直线垂直的直线斜率为2，‎ ‎，则 ‎ 则，（），‎ 当时， ，递减；当时，，递增.‎ 所以的单减区间为；的单增区间为. ‎ 因为在上减，在上增,又>‎ 所以函数在上的最大值为， 最小值为 ‎ ‎（2）若时， ‎ 若函数在区间上不单调，则在（1，2）有解.‎ 即，设，，‎ 所以在上单调递增， ,所以 .‎ ‎【点睛】本题考查函数的单调性与最值，考查方程在给定区间有解问题，注意转化化归的应用，考查运算能力，是中档题 ‎21.为评估设备生产某种零件的性能，从设备生产零件的流水线上随机抽取100件零件作为样本，测量其直径后，整理得到下表：‎ 直径 ‎58‎ ‎59‎ ‎61‎ ‎62‎ ‎63‎ ‎64‎ ‎65‎ ‎66‎ ‎67‎ ‎68‎ ‎69‎ ‎70‎ ‎71‎ ‎73‎ 合计 件数 ‎1‎ ‎1‎ ‎3‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎19‎ ‎33‎ ‎18‎ ‎4‎ ‎4‎ ‎2‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎1‎ ‎100‎ 经计算，样本的平均值，标准差，以频率值作为概率的估计值.‎ ‎（1）由以往统计数据知，设备的性能根据以下不等式进行评判（表示相应事件的概率）；①；②；③，评判规则为：若同时满足上述三个不等式，则设备等级为甲；仅满足其中两个，则等级为乙；若仅满足其中一个，则等级为丙；若全部不满足，则等级为丁.为评判一台设备的性能，从该设备加工的零件中任意抽取一件，记其直径为 ‎，试判断设备的性能等级 ‎（2）将直径小于等于或直径大于的零件认为是次品.‎ ‎（i）若从设备的生产流水线上随意抽取2件零件，求恰有一件次品的概率；‎ ‎（ii）若从样本中随意抽取2件零件，计算其中次品个数分布列和数学期望.‎ ‎【答案】（1）该设备的性能为丙级别（2）（i）（ii）详见解析，‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）通过计算可得答案；‎ ‎（2）（i）根据独立重复事件的概率公式计算可得答案；（ii）根据二项分布的概率公式计算可得分布列，根据期望公式即可得期望.‎ ‎【详解】（1）由题意知道：，，，，，.‎ 所以由图表知道：，‎ ‎，‎ ‎，‎ 所以该设备的性能为丙级别；‎ ‎（2）由图表知道：直径小于或等于的零件有2件，大于的零件有4件，共计6件.‎ ‎（i）从设备的生产流水线上任取一件，取到次品的概率为，所以恰有一件次品的概率为（或等于0.1128）；‎ ‎（ii）从100件样品中任意抽取2件，次品数可能取值为0，1，2，‎ ‎，，‎ ‎.‎ 所以，随机变量的分布列为 ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ 故.‎ ‎【点睛】本题考查了古典概型的概率公式，考查了离散型随机变量的分布列和数学期望，属于中档题.‎ ‎22.已知函数，其中．‎ ‎（1）求函数的单调区间；‎ ‎（2）若函数存在两个极值点，，且，证明：．‎ ‎【答案】(1)答案见解析；(2)证明见解析.‎ ‎【解析】‎ 分析：（1）对m分类讨论求函数的单调区间.(2)先求出，再构造函数，，求它的范围.‎ 详解：（1）函数定义域为，且，，‎ 令，，‎ 当，即时，，∴在上单调递减；‎ 当，即时，由，解得，‎ ‎，‎ 若，则，∴时，，单调递减；‎ 时，，单调递增；时，，单调递减；‎ 若，则，∴时，，单调递减；时，，单调递增；‎ 综上所述：时，的单调递减区间为，单调递增区间为；‎ 时，的单调递减区间为，，单调递增区间为；‎ 时，的单调递减区间为．‎ ‎（2）因为函数定义域为，且，‎ ‎∵函数存在两个极值点，∴在上有两个不等实根，，‎ 记，则∴，‎ 从而由且，可得，，‎ ‎∴ ，‎ 构造函数，，‎ 则，‎ 记，，则，‎ 令，得（，故舍去），‎ ‎∴在上单调递减，在上单调递增，‎ 又，，‎ ‎∴当时，恒有，即，‎ ‎∴在上单调递减，‎ ‎∴，即，‎ ‎∴．‎ 点睛：（1）本题主要考查利用导数求函数的单调性和函数的取值范围，意在考查学生对这些 基础知识的掌握能力和分析推理能力.(2)解答本题的关键有两点，其一是求出，其二是构造函数，，求它 的范围.‎