上海市崇明区2021届高三上学期第一次高考模拟考试(一模)数学试卷2020

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上海市崇明区2021届高三上学期第一次高考模拟考试(一模)数学试卷2020

上海市崇明区 2021 届第一次高考模拟考试数学试卷 2020.12.11 时间:120 分钟;满分:150 分 一. 填空题(本大题共 12 题,1-6 每题 4 分,7-12 每题 5 分,共 54 分) 1. 设集合 {1,2,3}A  ,集合 {3,4}B  ,则 A B I 2. 不等式 1 02 x x   的解集是 3. 已知复数 z 满足 ( 2)i 1z   (i 是虚数单位),则 z  4. 设函数 1( ) 1f x x   的反函数为 1( )f x ,则 1(2)f   5. 点 (0,0) 到直线 2x y  的距离是 6. 计算: 1 2 3lim ( 2)n n n n     7. 若关于 x 、 y 的方程组 4 6 1 3 2 x y ax y      无解,则实数 a  8. 用数字 0、1、2、3、4、5 组成无重复数字的三位数,其中奇数的个数为 (结果用数值表示) 9. 若 2 3(2 )na b 的二项展开式中有一项为 4 12ma b ,则 m  10. 设 O 为坐标原点,直线 x a 与双曲线 2 2 2 2: 1x yC a b   ( 0a  , 0b  )的两条渐近线 分别交于 D 、 E 两点,若△ODE 的面积为 1,则双曲线 C 的焦距的最小值为 11. 已知函数 ( )y f x ,对任意 x  R ,都有 ( 2) ( )f x f x k   ( k 为常数),且当 [0,2]x  时, 2( ) 1f x x  ,则 (2021)f  12. 已知点 D 为圆 2 2: 4O x y  的弦 MN 的中点,点 A的坐标为 (1,0) ,且 1AM AN  uuur uuur , 则 OA OD uur uuur 的最大值为 二. 选择题(本大题共 4 题,每题 5 分,共 20 分) 13. 若 0a b  ,则下列不等式恒成立的是( ) A. 1 1 a b  B. a b  C. 2 2a b D. 3 3a b 14. 正方体上点 P 、Q 、R 、S 是其所在棱的中点,则直线 PQ 与 RS 异面的图形是( ) A. B. C. D. 15. 设{ }na 为等比数列,则“对于任意的 *m N , 2m ma a  ”是“{ }na 为递增数列”的 ( ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 16. 设函数 ( )y f x 的定义域是 R ,对于下列四个命题: (1)若函数 ( )y f x 是奇函数,则函数 ( ( ))y f f x 是奇函数; (2)若函数 ( )y f x 是周期函数,则函数 ( ( ))y f f x 是周期函数; (3)若函数 ( )y f x 是单调减函数,则函数 ( ( ))y f f x 是单调减函数; (4)若函数 ( )y f x 存在反函数 1( )y f x ,且函数 1( ) ( )y f x f x  有零点, 则函数 ( )y f x x  也有零点; 其中正确的命题共有( ) A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个 三. 解答题(本大题共 5 题,共 14+14+14+16+18=76 分) 17. 如图,已知 AB  平面 BCD , BC BD ,直线 AD 与平面 BCD 所成的角为 30°, 且 2AB BC  . (1)求三棱锥 A BCD 的体积; (2)设 M 为 BD 的中点,求异面直线 AD 与CM 所成角的大小. (结果用反三角函数值表示) 18. 已知函数 21( ) sin2 3cos2f x x x  . (1)求函数 ( )y f x 的最小正周期; (2)在 ABC 中,角 A、 B 、C 的对边分别为 a 、b 、 c ,若锐角 A满足 1 3( ) 2f A  , 6C  , 2c  ,求 ABC 的面积. 19. 研究表明:在一节 40 分钟的网课中,学生的注意力指数 y 与听课时间 x (单位:分钟) 之间的变化曲线如图所示,当 [0,16]x  时,曲线是二次函数图像的一部分;当 [16,40]x  时,曲线是函数 0.880 log ( )y x a   图像的一部分,当学生的注意力指数不高于 68 时, 称学生处于“欠佳听课状态”. (1)求函数 ( )y f x 的解析式; (2)在一节 40 分钟的网课中,学生处于“欠佳听课状态” 的时间有多长?(精确到 1 分钟) 20. 已知椭圆 2 2: 14 x y   的左右顶点分别为 A、B ,P 为直线 4x  上的动点,直线 PA 与椭圆  的另一交点为 C ,直线 PB 与椭圆  的另一交点为 D . (1)若点 C 的坐标为 (0,1) ,求点 P 的坐标; (2)若点 P 的坐标为 (4,1) ,求以 BD 为直径的圆的方程; (3)求证:直线CD 过定点. 21. 对于数列{ }na ,若从第二项起的每一项均大于该项之前的所有项的和,则称{ }na 为 P 数列. (1)若数列 1,2, x ,8 是 P 数列,求实数 x 的取值范围; (2)设数列 1a , 2a , 3a ,, 10a 是首项为 1 、公差为 d 的等差数列,若该数列是 P 数 列,求 d 的取值范围; (3)设无穷数列{ }na 是首项为 a 、公比为 q 的等比数列,有穷数列{ }nb 、{ }nc 是从{ }na 中 取出部分项按原来的顺序所组成的不同数列,起所有项和分别记为 1T 、 2T ,求证:当 0a  且 1 2T T 时,数列{ }na 不是 P 数列. 上海市崇明区 2021 届第一次高考模拟考试数学试卷(教师解析版)2020.12.11 一. 填空题(本大题共 12 题,1-6 每题 4 分,7-12 每题 5 分,共 54 分) 1. 设集合 {1,2,3}A  ,集合 {3,4}B  ,则 A B I 【答案】{3} 2. 不等式 1 02 x x   的解集是 【答案】 ( 2,1) 3. 已知复数 z 满足 ( 2)i 1z   (i 是虚数单位),则 z  【解析】因为 ( 2) 1z i  ,所以 1 2 2z ii     ,所以 2z i  . 4. 设函数 1( ) 1f x x   的反函数为 1( )f x ,则 1(2)f   【解析】在 1( ) 1f x x   中,令 2y  ,得 1 2x   ,所以 1 1(2) 2f    . 5. 点 (0,0) 到直线 2x y  的距离是 【解析】由点到直线的距离公式得 2 2 2 d   . 6. 计算: 1 2 3lim ( 2)n n n n     【解析】 1 2 3lim lim lim( ( 1) 1 1 2 ( 2) 2( 2) 22)n n n n n n n n n nn n             . 7. 若关于 x 、 y 的方程组 4 6 1 3 2 x y ax y      无解,则实数 a  【解析】由题意得 4 6 12 6 03D aa      ,所以 2a   , 经检验满足题意,所以 2a   . 8. 用数字 0、1、2、3、4、5 组成无重复数字的三位数,其中奇数的个数为 (结果用数值表示) 【解析】先挑个位,有 1 3C 种;再挑百位,有 1 4C 种;最后挑十位,有 1 4C 种; 故奇数的个数为 1 1 1 3 4 4 48C C C  个. 9. 若 2 3(2 )na b 的二项展开式中有一项为 4 12ma b ,则 m  【解析】展开式的通项为 2 2 2 3 1 2 r n r r r n rT C a b    ,令 2 2 4 3 12 n r r     ,解得 6 4 n r    ,所以 4 2 5 2 60m C  . 10. 设 O 为坐标原点,直线 x a 与双曲线 2 2 2 2: 1x yC a b   ( 0a  , 0b  )的两条渐近线 分别交于 D 、 E 两点,若△ODE 的面积为 1,则双曲线 C 的焦距的最小值为 【解析】双曲线的渐近线为 by xa   ,所以 ( , ), ( , )D a b E a b , 因为 ODE 的面积为 1,所以 12 12a b   ,即 1ab  , 因为 2 2 2c a b  ,所以 2 22 2 2 2 2 2c a b ab    , 即双曲线的焦距的最小值为 2 2 . 11. 已知函数 ( )y f x ,对任意 x  R ,都有 ( 2) ( )f x f x k   ( k 为常数),且当 [0,2]x  时, 2( ) 1f x x  ,则 (2021)f  【解析】因为对任意 x R ,都有 ( 2) ( )f x f x k   为常数,所以 ( 4) ( 2)f x f x k    , 从而 ( 4) ( )f x f x  ,即 ( )f x 的周期为 4, 所以 (2021) (1) 2f f  . 12. 已知点 D 为圆 2 2: 4O x y  的弦 MN 的中点,点 A的坐标为 (1,0) ,且 1AM AN  uuur uuur , 则 OA OD uur uuur 的最大值为 【解析】设 ( , )D x y ,则 ( ) ( ) ( ) ( )AM AN AD DM AD DN AD DN AD DN                   2 2 2 2 2 2 4 4 1AD DN AD OD AD OD              , 因为 ( 1, ), ( , )AD x y OD x y    ,所以 2 2 2 2( 1) 5x y x y     , 整理得 2 21 9 2 4x y      ,即为点 ( , )D x y 的轨迹方程,所以 1 3 22 2OA OD x      , 故OA OD  的最大值为 2. 二. 选择题(本大题共 4 题,每题 5 分,共 20 分) 13. 若 0a b  ,则下列不等式恒成立的是( D ) A. 1 1 a b  B. a b  C. 2 2a b D. 3 3a b 14. 正方体上点 P 、Q 、R 、S 是其所在棱的中点,则直线 PQ 与 RS 异面的图形是( B ) A. B. C. D. 、 15. 设{ }na 为等比数列,则“对于任意的 *m N , 2m ma a  ”是“{ }na 为递增数列”的 ( C ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【解析】对任意的 * 2, m mm N a a  ,必有 20, 1ma q> > ,即 1q> ,所以 na 为递增数列; 反之,若 na 为递增数列,则 2 1m m ma a a   ,故为充要条件,故选 C. 16. 设函数 ( )y f x 的定义域是 R ,对于下列四个命题: (1)若函数 ( )y f x 是奇函数,则函数 ( ( ))y f f x 是奇函数; (2)若函数 ( )y f x 是周期函数,则函数 ( ( ))y f f x 是周期函数; (3)若函数 ( )y f x 是单调减函数,则函数 ( ( ))y f f x 是单调减函数; (4)若函数 ( )y f x 存在反函数 1( )y f x ,且函数 1( ) ( )y f x f x  有零点, 则函数 ( )y f x x  也有零点; 其中正确的命题共有( B )A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个 【解析】①若 ( )y f x 是奇函数,则 ( ) ( )f x f x   , ( ( )) ( ( )) ( ( ))f f x f f x f f x     也 是奇函数,正确; ②若 ( )y f x 是周期函数,则 ( ) ( )f x T f x  , ( ( )) ( ( ))f f x T f f x  也是周期函数,正 确; ③若 ( )y f x 是单调递减函数,则根据复合函数的性质, ( ( ))y f f x 是单调递增函数,不 正确; ④函数、反函数的图像与直线 y x 可以没有交点,可以只有唯一交点,也可以有 若干个、甚至无穷多个公共点;函数与反函数的图像在直线 y x 之外也可能有交点,函数 16y x 与其反函数 1 16 logy x 确实有三个交点,分别是:  1 1 1 1( , ), 0.3643,0.3643 ,( , )4 2 2 4 ,其中只有一个交点  0.3643,0.3643 是在直线 y x 上.这里 0.3643 是个近似数,它的准确值是个超越数,即无法用有理数的分数指数幂 表示的无理数,不正确;故选 D. 三. 解答题(本大题共 5 题,共 14+14+14+16+18=76 分) 17. 如图,已知 AB  平面 BCD , BC BD ,直线 AD 与平面 BCD 所成的角为 30°, 且 2AB BC  . (1)求三棱锥 A BCD 的体积; (2)设 M 为 BD 的中点,求异面直线 AD 与 CM 所成角的大小. (结果用反三角函数值表 示) 【解析】(1)因为 AB  平面 BCD ,所以 ADB 就是 AD 与平面 BCD所成的角, 即 30ADB   ,所以 2 3BD  ,所以 1 4 33 3A BCD BCDV S AB    ; (2)取 AB 中点 E ,连结 ,EM EC ,则 / /EM AD , 所以 EMC 就是异面直线 AD 与CM 所成的角(或其补角), 在 EMC 中, 72, , 5EM CM EC   , 所以 2 2 2 4 3 5 3 7cos 2 142 2 3 EM CM ECEMC EM CM          , 即 3 7arccos 14EMC  , 所以异面直线 AD 与CM 所成的角为 3 7arccos 14 . 18. 已知函数 21( ) sin2 3cos2f x x x  . (1)求函数 ( )y f x 的最小正周期; (2)在 ABC 中,角 A、 B 、C 的对边分别为 a 、b 、 c ,若锐角 A满足 1 3( ) 2f A  , 6C  , 2c  ,求 ABC 的面积. 【解析】(1) 21 1 1 cos2( ) sin2 3cos sin2 32 2 2 xf x x x x     1 3 3 3sin2 cos2 sin(2 )2 2 2 3 2 πx x x      ,所以最小正周期 2 2 πT π  ; (2)因为 3sin(2 )) 2 1 3( 23 πf AA    ,所以 1sin(2 )3 2 πA   , 又 A为锐角,所以 22 ,3 3 2 π π πA       ,所以 2 3 6 π πA  ,所以 4 πA  , 又 , 26 πC c  ,由正弦定理得 sin sin a c A C  ,解得 2 2a  , 而 6 2sin sin( ) sin 4 6 4 π πB A C         , 所以 ABC 的面积 1 6 2sin 2 2 3 12 4S ac B      . 19. 研究表明:在一节 40 分钟的网课中,学生的注意力指数 y 与听课时间 x (单位:分钟) 之间的变化曲线如图所示,当 [0,16]x  时,曲线是二次函数图像的一部分;当 [16,40]x  时,曲线是函数 0.880 log ( )y x a   图像的一部分,当学生的注意力指数不高于 68 时, 称学生处于“欠佳听课状态”. (1)求函数 ( )y f x 的解析式; (2)在一节 40 分钟的网课中,学生处于“欠佳听课状态” 的时间有多长?(精确到 1 分钟) 【解析】(1)当 (0,16]x 时,设 2( ) ( 12) 84( 0)f x b x b    , 因为 2(16) (16 12) 84 80f b    ,所以 1 4b   , 所以 21( ) ( 12) 844f x x    , 当 (16,40]x 时, 0.8( ) log ( ) 80f x x a   , 由 0.8(16) log (16 ) 80 80f a    ,解得 15a   ,所以 0.8( ) log ( 15) 80f x x   , 综上, 2 0.8 1 ( 12) 84, (0,16]( ) 4 log ( 15) 80, (16,40] x xf x x x          ; (2)当 (0,16]x 时,令 21( ) ( 12) 84 684f x x     ,得 [0,4]x  , 当 (16,40]x 时,令 0.8( ) log ( 15) 80 68f x x    ,得 1215 0.8 29.6x    , 所以 [30,40]x  ,所以学生处于“欠佳听课状态”的时间长为 4 0 40 30 14    分钟. 20. 已知椭圆 2 2: 14 x y   的左右顶点分别为 A、B ,P 为直线 4x  上的动点,直线 PA 与椭圆  的另一交点为 C ,直线 PB 与椭圆  的另一交点为 D . (1)若点 C 的坐标为 (0,1) ,求点 P 的坐标; (2)若点 P 的坐标为 (4,1) ,求以 BD 为直径的圆的方程; (3)求证:直线CD 过定点. 【解析】(1)因为 ( 2,0), (0,1)A C ,所以直线 PA 的方程为 1 12y x  , 令 4x  ,得 3y  ,所以 (4,3)P ; (2)因为 ( 2,0), (2,0), (4,1)A B P ,所以直线 PB 的方程为 1 ( 2)2y x  , 由 2 2 1 ( 2)2 14 y x x y         得 2 2 0x x  ,所以 10, ( 2) 12D D Dx y x     , 所以以 BD 为直径的圆的方程为 ( 2) ( 1) 0x x y y    , 即 2 2 1 5( 1) 2 4x y       ; (3)设 (4, )P t ,因为 ( 2,0), (2,0)A B ,直线 PA 的方程为 ( 2)6 ty x  , 由 2 2 ( )6 4 2 1 ty x x y         得 2 2 2 2( 9) 4 4 36 0t x t x t     , 由韦达定理得 2 2 4 362 9c tx t    ,所以 2 2 2 18 9c tx t    , 所以 2 6( 2)6 9C C t ty x t     ,同理,直线 PB 的方程为 ( 2)2 ty x  , 由 2 2 ( )2 4 2 1 ty x x y         得 2 2 2 2( 1) 4 4 4 0t x t x t     , 由韦达定理得 2 2 4 42 1D tx t   ,所以 2 2 2 2 1D tx t   , 所以 2 2( 2)2 1D D t ty x t     , 由椭圆的对称性知这样的定点在 x 轴上,设为 ( ,0)E m , 则 , ,C E D 三点共线, 所以 2 2 2 2 2 2 2 18 6 2 2 2, , ,9 9 1 1 t t t tEC m ED mt t t t                      共线, 所以 2 2 2 2 2 2 2 18 2 2 2 6 9 1 1 9 t t t tm mt t t t                            恒成立, 整理得 2(4 4) 12 12 0m t m    恒成立,所以 1m  ,故直线 CD 过定点 (1,0) . 21. 对于数列{ }na ,若从第二项起的每一项均大于该项之前的所有项的和,则称{ }na 为 P 数列. (1)若数列 1,2, x ,8 是 P 数列,求实数 x 的取值范围; (2)设数列 1a , 2a , 3a ,, 10a 是首项为 1 、公差为 d 的等差数列,若该数列是 P 数 列,求 d 的取值范围; (3)设无穷数列{ }na 是首项为 a 、公比为 q 的等比数列,有穷数列{ }nb 、{ }nc 是从{ }na 中 取出部分项按原来的顺序所组成的不同数列,起所有项和分别记为 1T 、 2T ,求证:当 0a  且 1 2T T 时,数列{ }na 不是 P 数列. 【解析】(1)由题意得 1 2 8 1 2 x x       ,所以 3 5x  ; (2)由题意得,该数列的前 n 项和为 1 ( 1) , 12n n n nS n d a nd       , 由数列 1 2 3 10, , , ,a a a a 是 P 数列,得 2 1 1a S a  ,故公差 0d  , 2 1 31 1 02 2n n dS a n d n          对满足 1,2,3 ,9n   的所有 n 都成立, 则 2 39 9 1 1 02 2 d d        ,解得 8 27d  ,所以 d 的取值范围是 80, 27      ; (3)若 na 是 P 数列,则 1 2a S a aq   , 因为 0a  ,所以 1q  ,又由 1n na S  对所有 n 都成立,得 1 1 n n qaq a q    恒成立,即 12 n q q       恒成立,因为 1 10, lim 0 n n nq q            ,故 2 0q  ,所以 2q  , 若 nb 中的每一项都在 nc 中,则由这两数列是不同数列可知 1 2T T , 若 nc 中的每一项都在 nb 中,同理可得 1 2T T , 若 nb 中至少有一项不在 nc 中,且 nc 中至少有一项不在 nb 中, 设   ,n nb c  是将   ,n nb c 中的公共项去掉之后剩余项依次构成的数列, 它们的所有项之和分别为 1 2,T T  ,不妨设    ,n nb c  中的最大项在  nb 中,设为 ( 2)ma m  , 则 2 1 2 1 1m mT a a a a T       ,故总有 2 1T T  与 2 1T T  矛盾,故假设错误,原命题 正确.
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