上海市上海交通大学附属中学2019-2020学年高一上学期期中考试数学试题

上海市上海交通大学附属中学2019-2020学年高一上学期期中考试数学试题

www.ks5u.com 交大附中高一期中数学卷 一. 填空题 ‎1.函数的定义域为 .‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 试题分析：函数的定义域为所以 考点：函数定义域的求法．‎ ‎2.已知，，则________‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 对集合中的不等式求出其解集，然后利用集合的交集运算，得到答案.‎ ‎【详解】集合，‎ 而集合 所以 故答案为：‎ ‎【点睛】本题考查解不含参的二次不等式，集合的交集运算，属于简单题.‎ ‎3.当时，函数的值域为________‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据基本不等式，求出当时，函数，得到答案.‎ ‎【详解】因为，‎ 所以函数，‎ 当且仅当，即时，等号成立.‎ 所以函数的值域为，‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本题考查求具体函数的值域，基本不等式求和最小值，属于简单题.‎ ‎4.设或，，，则__‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先对集合进行化简，然后根据集合和集合，由集合的补集运算计算出，再对集合进行化简，然后利用集合的交集运算，得到答案.‎ ‎【详解】集合或，‎ 所以 集合，‎ 所以，‎ 集合,‎ 所以，‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查集合的补集和交集运算，属于简单题.‎ ‎5.已知集合，，若，则实数值集合为________‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由可得，然后分和进行讨论，得到答案.‎ ‎【详解】因为，所以得到，‎ 集合，‎ 当时，，‎ 当时，，则 所以有或，则或，‎ 综上或或 故答案为：‎ ‎【点睛】本题考查由集合的包含关系求参数的值，属于简单题.‎ ‎6.满足条件的所有集合的个数是________个 ‎【答案】16‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先计算，由结果可知集合中应有元素，然后元素与集合的子集中的元素一起，构成集合，从而得到答案.‎ ‎【详解】因为，‎ 而，‎ 所以可得集合中一定有元素，‎ 所以元素与集合的子集中的元素一起，构成集合，‎ 而集合的子集有个，‎ 故满足要求的集合的个数是.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查根据集合的运算结果求满足要求的集合个数，根据集合元素个数求子集的个数，属于简单题.‎ ‎7.已知不等式解集为，且，，则实数的取值范围是________‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意可知，代入可满足不等式，代入则不满足不等式，从而得到关于的不等式组，解得的取值范围.‎ ‎【详解】因为不等式解集为，且，，‎ 所以可得代入，不等式成立，‎ 即，解得，‎ 代入，不等式不成立，‎ 即，解得，‎ 且当时，也不满足不等式，‎ 综上，的范围为，‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本题考查根据分式不等式的解集中的元素求参数的范围，属于中档题.‎ ‎8.若函数为偶函数且非奇函数，则实数的取值范围为________‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 首先满足函数的定义域关于原点对称，得到的取值范围，再验证此时函数为偶函数而非奇函数，从而得到答案.‎ ‎【详解】由函数可得，‎ 函数要为偶函数，‎ 则其定义域需关于原点对称，‎ ‎，解得，‎ 则不等式组有解集，需满足，即 当时，函数 此时既是奇函数，又是偶函数，不符合题意，‎ 所以可得，‎ 此时函数定义域为，‎ ‎，‎ 故为偶函数且非奇函数.‎ 所以的取值范围为.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查根据函数的奇偶性求参数的范围，属于简单题.‎ ‎9.已知、是常数，且，若函数的最大值为10，则的最小值为_____‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设函数，则可得到为奇函数，且，从而得到，从而得到.‎ ‎【详解】函数，‎ 设，其定义域，‎ 则 所以为奇函数，‎ 可得的最大值点和最小值点关于原点对称，‎ ‎，‎ 所以，‎ 所以.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查利用函数奇偶性的性质求函数的最值，属于中档题.‎ ‎10.设正实数、满足，那么的最小值为________‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由，可得，从而得到关于的不等式，解出的范围，得到的范围，进而得到答案.‎ ‎【详解】因为，‎ 所以 当且仅当时，即时，等号成立.‎ 整理得，‎ 解得，所以，‎ 即，‎ 所以可得.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查基本不等式求和的最小值，解二次不等式，属于中档题.‎ ‎11.已知函数，且为的最小值，则实数a的取值范围是______．‎ ‎【答案】[0，4]‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 若f（0）为f（x）的最小值，则当x≤0时，函数f（x）＝（x﹣a）2为减函数，当x＞0时，函数f（x）的最小值4+3a≥f（0），进而得到实数a的取值范围．‎ ‎【详解】若f（0）为f（x）的最小值，‎ 则当x≤0时，函数f（x）＝（x﹣a）2为减函数，‎ 则a≥0，‎ 当x＞0时，函数f（x）的最小值4+3a≥f（0），‎ 即4+3a≥a2，‎ 解得：﹣1≤a≤4，‎ 综上所述实数a的取值范围是[0，4]，‎ 故答案为：[0，4]‎ ‎【点睛】本题考查的知识点是分段函数的应用，熟练掌握并理解二次函数和对勾函数的图象和性质，是解答的关键，属于中档题．‎ ‎12.若方程在内恰有一解，则实数的取值范围为________‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 当时，判断是否符合题意，当时，设，可知，则要求，从而得到关于的不等式，解得的范围，再单独研究当时的的值是否满足题意，从而得到答案.‎ ‎【详解】当时，方程为，解得，满足题意；‎ 当时，设 则 要使函数在内恰有一个零点，则需满足 即，‎ 解得，‎ 当时，解得或，‎ 当时，，零点为，不满足题意，‎ 当时，，零点为，其中，满足题意，‎ 综上所述，符合要求的的取值范围为.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查二次函数根的分布求参数的范围，属于中档题.‎ 二. 选择题 ‎13.下列命题中，正确的是（ ）‎ A. 的最小值是4 B. 的最小值是2‎ C. 如果，，那么 D. 如果，那么 ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用基本不等式和对勾函数的性质，以及不等式的性质，分别对四个选项进行判断，得到答案.‎ ‎【详解】选项A中，若，则无最小值，所以错误；‎ 选项B中，，则函数转化为函数，在上单调递增，所以最小值为，所以错误；‎ 选项C中，若，则，所以错误；‎ 选项D中，如果，则，所以，所以可得.‎ 故选：D.‎ ‎【点睛】本题考查基本不等式，对勾函数的性质，不等式的性质，判断命题是否正确，属于简单题.‎ ‎14.设甲为“”，乙为“”，那么甲是乙的（ ）条件 A. 充分非必要 B. 必要非充分 C. 充要 D. 既非充分又非必要 ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 对命题乙进行化简，然后由命题甲和命题乙的范围大小关系，得到答案.‎ ‎【详解】命题乙：，解得；‎ 命题甲：；‎ 显然命题甲的范围比命题乙的范围要小，‎ 故由命题甲可以推出命题乙，而由命题乙不能推出命题甲，‎ 所以甲是乙的充分非必要条件，‎ 故选：A.‎ ‎【点睛】本题考查解绝对值不等式，充分非必要条件，属于简单题.‎ ‎15.非空集合、满足，，，Ü，则下列关系一定成立的是（ ）‎ A. B. C. D. Ü ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据集合是集合的子集所构成的集合，集合是集合的真子集所构成的集合，以及非空集合、满足，从而可以得到集合与集合没有相同元素，从而得到答案.‎ ‎【详解】因为，Ü 所以可得集合是集合的子集所构成的集合，‎ 集合是集合的真子集所构成的集合 而非空集合、满足，，‎ 可知集合与集合中没有相同元素，‎ 则其各自的子集或真子集也不会由相同的集合，‎ 所以可得，‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】本题考查元素与集合之间的关系，集合与集合之间的关系，属于简单题.‎ ‎16.已知函数为偶函数，则下列关系一定成立的是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 函数为偶函数，可得函数的图像关于对称，在四个选项中选择能表示函数的图像关于对称的，得到答案.‎ ‎【详解】函数为偶函数，‎ 可得的图像向左平移个单位后关于轴对称，‎ 所以的图像关于对称，‎ 在所给四个选项中，只有选项B. 也表示的图像关于对称，‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】本题考查函数的奇偶性和对称性，属于简单题.‎ 三. 解答题 ‎17.已知集合，集合.‎ ‎（1）求集合；‎ ‎（2）若集合，，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）解集合分式不等式，从而得到集合；（2）根据（1）得到，解集合内的不等式，得到集合，再由，可得，从而得到关于的不等式，解出的取值范围.‎ ‎【详解】（1）集合，‎ 解不等式，即，‎ 解得，‎ 所以集合.‎ ‎（2）由（1）知集合，集合 所以，‎ 集合 解不等式，即 解得 所以集合 因为，所以可得，‎ 所以或，解得或 所以的范围为.‎ ‎【点睛】本题考查解分式不等式，解二次不等式，根据集合的运算结果和集合包含关系求参数范围，属于简单题.‎ ‎18.己知函数 ‎（1）若，，求不等式的解；‎ ‎（2）对任意，，试确定函数的最小值（用含，的代数式表示），若正数、满足，则、分别取何值时，有最小值，并求出此最小值.‎ ‎【答案】（1）；（2），，最小值为.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据题意，解不等式，按，，进行讨论，判断出绝对值的正负，解相应的不等式，得到答案；（2）按，，‎ ‎，进行讨论，得到函数的最小值，再将转化为，利用基本不等式求出的最小值，并求出此时、的值.‎ ‎【详解】（1）函数，代入，，‎ 由得 当时，，解得，所以，‎ 当时，，解得，所以，‎ 当时，，解得，所以，‎ 综上，不等式的解集为.‎ ‎（2）因为，，‎ 所以当时，，‎ 此时单调递减，所以，‎ 当时，，‎ 此时为常函数，所以，‎ 当时，，‎ 此时单调递增，所以 综上可得，的最小值，‎ 又因为，，且，即，‎ 所以 ‎，‎ 当且仅当时，即时，等号成立.‎ 故当，，最小值为.‎ ‎【点睛】本题考查分类讨论解绝对值不等式，求分段函数的最小值，基本不等式的妙用求和的最小值，属于中档题.‎ ‎19.为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层。某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元。该建筑物每年的能源消耗费用C（单位：万元）与隔热层厚度x（单位：cm）满足关系：C（x）=若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元。设f（x）为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和。‎ ‎（Ⅰ）求k的值及f(x)的表达式。‎ ‎（Ⅱ）隔热层修建多厚时，总费用f(x)达到最小，并求最小值。‎ ‎【答案】，因此.,当隔热层修建厚时，总费用达到最小值为70万元。‎ ‎【解析】‎ 解：（Ⅰ）设隔热层厚度为，由题设，每年能源消耗费用为.‎ 再由，得，因此.‎ 而建造费用为 最后得隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和为 ‎（Ⅱ），令，即.‎ 解得，（舍去）.‎ 当时，，当时，，故是的最小值点，对应的最小值为。‎ 当隔热层修建厚时，总费用达到最小值70万元。‎ ‎20.已知函数，且满足.‎ ‎（1）判断函数在上的单调性，并用定义证明；‎ ‎（2）设函数，求在区间上的最大值；‎ ‎（3）若存在实数m，使得关于x的方程恰有4个不同的正根，求实数m的取值范围.‎ ‎【答案】(1)见解析(2) 时，. (3) ‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）根据确定a.再任取两数，作差，通分并根据分子分母符号确定差的符号，最后根据定义确定函数单调性（2）先根据绝对值定义将函数化为分段函数，都可化为二次函数，再根据对称轴与定义区间位置关系确定最值，最后取两个最大值中较大值（3）先对方程变形得，设,转化为方程方程在有两个不等的根，根据二次函数图像，得实根分布条件，解得实数m的取值范围.‎ 试题解析：(1) 由，得或0. ‎ 因为，所以，所以. ‎ 当时，，任取，且，‎ 则 ， ‎ 因为，则，，‎ 所以在上为增函数； ‎ ‎（2）， ‎ 当时，，‎ 因为，所以当时，； ‎ 当时，，‎ 因时，所以，所以当时，；‎ 综上，当即时，. ‎ ‎（3）由（1）可知，在上为增函数,当时，.‎ 同理可得在上为减函数，当时，.‎ 方程可化为， ‎ 即. ‎ 设,方程可化为. ‎ 要使原方程有4个不同的正根，‎ 则方程在有两个不等的根， ‎ 则有，解得，‎ 所以实数m的取值范围为.‎ ‎21.已知函数 ‎(1)求证：函数f(x)-g(x)必有零点；‎ ‎(2)设函数G(x)=f(x)-g(x)-1‎ ‎①若函数G(x)有两相异零点且在上是减函数，求实数m的取值范围。‎ ‎②是否存在整数a,b使得的解集恰好为若存在，求出a,b的值，若不存在，请说明理由。‎ ‎【答案】（1）详见解析；（2）①（﹣∞，0]∪[2，+∞）；②或.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）判断对应方程的△与0的关系，易得结论；‎ ‎（2）由函数f（x）＝mx+3，g（x）＝x2+2x+m，我们易给出函数G（x）＝f（x）﹣g（x）﹣1，①若|G（x）|在[﹣1，0]上是减函数，根据对折变换函数图象的特征，我们分△≤0和△＞0两种情况进行讨论，可得到满足条件的m的取值范围；②若a≤G（x）≤b的解集恰好是[a，b]，则将a，b代入消去m，可以求出a，b的值．‎ ‎【详解】证明：（1）f（x）﹣g（x）＝﹣x2+（m﹣2）x+3﹣m．‎ 令f（x）﹣g（x）＝0．‎ 则△＝（m﹣2）2﹣4（m﹣3）＝m2﹣8m+16＝（m﹣4）2≥0恒成立．‎ 所以方程f（x）﹣g（x）＝0有解．‎ 所以函数f（x）﹣g（x）必有零点．‎ ‎（2）①G（x）＝f（x）﹣g（x）﹣1＝﹣x2+（m﹣2）x+2﹣m．‎ ‎①令G（x）＝0，△＝（m﹣2）2﹣4（m﹣2）＝（m﹣2）（m﹣6）．‎ 当△≤0，即2≤m≤6时，G（x）＝﹣x2+（m﹣2）x+2﹣m≤0恒成立，‎ 所以|G（x）|＝x2﹣（m﹣2）x+m﹣2．‎ 因为|G（x）|在[﹣1，0]上是减函数，所以0．解得m≥2．‎ 所以2≤m≤6．‎ 当△＞0，即m＜2或m＞6时，|G（x）|＝|x2﹣（m﹣2）x+m﹣2|．‎ 因为|G（x）|在[﹣1，0]上是减函数，‎ 所以方程x2﹣（m﹣2）x+m﹣2＝0的两根均大于零或一根大于零另一根小于零 且x1．‎ 所以或 解得m＞2或m≤0．‎ 所以m≤0或m＞6．‎ 综上可得，实数m的取值范围为（﹣∞，0]∪[2，+∞）．‎ ‎②因为a≤G（x）≤b的解集恰好是[a，b]，‎ 所以 由 消去m，得ab﹣2a﹣b＝0，显然b≠2．‎ 所以a1． ‎ 因为a，b均为整数，所以b﹣2＝±1或b﹣2＝±2．‎ 解得或或或因为a＜b，且ab 所以或 ‎【点睛】本题考查的知识点是函数的零点，函数图象的对折变换，函数的单调性，函数的值域，（1）中解答的关键是“三个二次”之间的辩证关系，即函数有零点，则对应的方程有根；（2）中①的切入点是函数图象对折变换后的函数图象特征；②中消参思想是解答的关键．‎ ‎ ‎