【数学】2019届一轮复习人教A版理第5章第1节　数列的概念与简单表示法教案

【数学】2019届一轮复习人教A版理第5章第1节　数列的概念与简单表示法教案

第章　数　列 第一节　数列的概念与简单表示法 ‎[考纲传真]　(教师用书独具)1.了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图象、通项公式).2.了解数列是自变量为正整数的一类特殊函数．‎ ‎(对应学生用书第78页)‎ ‎[基础知识填充]‎ ‎1．数列的有关概念 概念 含义 数列 按照一定顺序排列的一列数 数列的项 数列中的每一个数 数列的通项 数列{an}的第n项an 通项公式 数列{an}的第n项an与n之间的关系能用公式an＝f(n)表示，这个公式叫做数列的通项公式 前n项和 数列{an}中，Sn＝a1＋a2＋…＋an叫做数列的前n项和 ‎2.数列的表示方法 列表法 列表格表示n与an的对应关系 图象法 把点(n，an)画在平面直角坐标系中 公式法 通项公式 把数列的通项使用公式表示的方法 递推公式 使用初始值a1和an＋1＝f(an)或a1，a2和an＋1＝f(an，an－1)等表示数列的方法 ‎3.an与Sn的关系 若数列{an}的前n项和为Sn，‎ 则an＝ ‎4．数列的分类 分类标准 类型 满足条件 项数 有穷数列 项数有限 无穷数列 项数无限 项与项间的大小关系 递增数列 an＋1＞an 其中 n∈N*‎ 递减数列 an＋1＜an 常数列 an＋1＝an ‎[基本能力自测]‎ ‎1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)‎ ‎(1)相同的一组数按不同顺序排列时都表示同一个数列．(　　)‎ ‎(2)一个数列中的数是不可以重复的．(　　)‎ ‎(3)所有数列的第n项都能使用公式表达．(　　)‎ ‎(4)根据数列的前几项归纳出的数列的通项公式可能不止一个．(　　)‎ ‎(5)如果数列{an}的前n项和为Sn，则对∀n∈N*，都有an＋1＝Sn＋1－Sn.(　　)‎ ‎[答案]　(1)×　(2)×　(3)×　(4)√　(5)√‎ ‎2．已知数列{an}的通项公式为an＝n2－8n＋15，则3(　　)‎ A．不是数列{an}中的项 B．只是数列{an}中的第2项 C．只是数列{an}中的第6项 D．是数列{an}中的第2项或第6项 D　[令an＝3，即n2－8n＋15＝3，解得n＝2或6，‎ 故3是数列{an}中的第2项或第6项．]‎ ‎3．设数列{an}的前n项和Sn＝n2，则a8的值为(　　)‎ A．15　　 B．16　　　　C．49　　　　D．64‎ A　[当n＝8时，a8＝S8－S7＝82－72＝15.]‎ ‎4．在数列{an}中，a1＝1，an＝1＋(n≥2)，则a5等于(　　)‎ A． B． C. D． D　[a2＝1＋＝2，a3＝1＋＝，‎ a4＝1＋＝3，a5＝1＋＝.]‎ ‎5．(教材改编)数列1，，，，，…的一个通项公式an是__________．‎ 　[由已知得，数列可写成，，，…，故通项为.]‎ ‎(对应学生用书第79页)‎ 由数列的前几项归纳数列的通项公式 ‎　写出下面各数列的一个通项公式：‎ ‎(1)3,5,7,9，…；‎ ‎(2)－，，－，，…；‎ ‎(3)，2，，8，，…；‎ ‎(4)5,55,555,5 555，….‎ ‎[解]　(1)各项减去1后为正偶数，所以an＝2n＋1.‎ ‎(2)这个数列的前4项的绝对值都等于序号与序号加1的积的倒数，且奇数项为负，偶数项为正，所以它的一个通项公式是an＝(－1)n×，n∈N*.‎ ‎(3)数列的各项，有的是分数，有的是整数，可将数列的各项都统一成分数再观察．即，，，，，…，分子为项数的平方，从而可得数列的一个通项公式为an＝.‎ ‎(4)将原数列改写为×9，×99，×999，…，易知数列9,99,999，…的通项为10n－1，故所求的数列的一个通项公式为an＝(10n－1)．‎ ‎[规律方法]　1.求数列通项时，要抓住以下几个特征：‎ (1)分式中分子、分母的特征.‎ (2)相邻项的变化特征.‎ (3)拆项后变化的部分和不变的部分的特征.‎ (4)各项符号特征等，并对此进行归纳、化归、联想.‎ ‎2.若关系不明显时，应将部分项作适当的变形，统一成相同的形式，让规律凸显出来.对于正负符号变化，可用(－1)n或(－1)n＋1来调整，可代入验证归纳的正确性.‎ ‎[跟踪训练]　(1)已知n∈N*，给出4个表达式：‎ ‎①an＝ ‎②an＝；‎ ‎③an＝；‎ ‎④an＝.其中能作为数列：0,1,0,1,0,1,0,1，…的通项公式的是(　　)‎ A．①②③　　　　 B．①②④‎ C．②③④ D．①③④‎ ‎(2)数列{an}的前4项是，1，，，则这个数列的一个通项公式是an＝__________.‎ ‎(1)A　(2)　[(1)检验知①②③都是所给数列的通项公式．‎ ‎(2)数列{an}的前4项可变形为，，，，故an＝.]‎ 由an与Sn的关系求通项an ‎　已知下面数列{an}的前n项和Sn，求{an}的通项公式：‎ ‎(1)Sn＝2n2－3n；‎ ‎(2)Sn＝3n＋b.‎ ‎[解]　(1)a1＝S1＝2－3＝－1，‎ 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(2n2－3n)－[2(n－1)2－3(n－1)]＝4n－5，‎ 由于a1也适合此等式，∴an＝4n－5.‎ ‎(2)a1＝S1＝3＋b，‎ 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(3n＋b)－(3n－1＋b)＝2·3n－1.‎ 当b＝－1时，a1适合此等式．‎ 当b≠－1时，a1不适合此等式．‎ ‎∴当b＝－1时，an＝2·3n－1；‎ 当b≠－1时，an＝ ‎[规律方法]　已知Sn求an的三个步骤 (1)先利用a1＝S1求出a1.‎ (2)用n－1替换Sn中的n得出Sn－1，利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)便可求出当n≥2时an的表达式.‎ (3)看a1是否符合n≥2时an的表达式，如果符合，则可以把数列的通项公式合写；如果不符合，则应写成分段函数的形式.‎ 易错警示：利用an＝Sn－Sn－1求通项时，应注意n≥2这一前提条件，易忽视验证n＝1致误.‎ ‎[跟踪训练]　(1)(2017·石家庄质检(二))已知数列{an}的前n项和为Sn，若Sn＝2an－4(n∈N*)，则an＝(　　) 【导学号：97190166】‎ A．2n＋1 B．2n C．2n－1 D．2n－2‎ ‎(2)(2015·全国卷Ⅱ)设Sn是数列{an}的前n项和，且a1＝－1，an＋1＝SnSn＋1，则Sn＝________.‎ ‎(1)A　(2)－　[(1)由Sn＝2an－4可得Sn－1＝2an－1－4(n≥2)，两式相减可得an＝2an－2an－1(n≥2)，即an＝2an－1(n≥2)．又a1＝2a1－4，a1＝4，∴数列{an}是以4为首项，2为公比的等比数列，则an＝4×2n－1＝2n＋1，故选A．‎ ‎(2)∵an＋1＝Sn＋1－Sn，an＋1＝SnSn＋1，‎ ‎∴Sn＋1－Sn＝SnSn＋1.‎ ‎∵Sn≠0，∴－＝1，即－＝－1.‎ 又＝－1，∴是首项为－1，公差为－1的等差数列．‎ ‎∴＝－1＋(n－1)×(－1)＝－n，∴Sn＝－.]‎ 由递推关系式求数列的通项公式 ‎　分别求出满足下列条件的数列的通项公式．‎ ‎(1)a1＝2，an＋1＝an＋3n＋2(n∈N*)；‎ ‎(2)a1＝1，an＝an－1(n≥2，n∈N*)；‎ ‎(3)a1＝1，an＋1＝3an＋2(n∈N*)．‎ ‎[解]　(1)∵an＋1－an＝3n＋2，‎ ‎∴an－an－1＝3n－1(n≥2)，‎ ‎∴an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1‎ ‎＝(n≥2)．‎ 当n＝1时，a1＝×(3×1＋1)＝2符合公式，‎ ‎∴an＝n2＋.‎ ‎(2)当n≥2，n∈N*时，‎ an＝a1×××…× ‎＝1×××…×××＝n，‎ 当n＝1时，也符合上式，‎ ‎∴该数列的通项公式为an＝n.‎ ‎(3)∵an＋1＝3an＋2，∴an＋1＋1＝3(an＋1)，‎ 又a1＝1，∴a1＋1＝2，‎ 故数列{an＋1}是首项为2，公比为3的等比数列，‎ ‎∴an＋1＝2·3n－1，因此an＝2·3n－1－1.‎ ‎[规律方法]　由数列的递推关系求通项公式的常用方法 (1)已知a1，且an－an－1＝f(n)，可用“累加法”求an.‎ (2)已知a1(a1≠0)，且＝f(n)，可用“累乘法”求an.‎ (3)已知a1，且an＋1＝qan＋b，则an＋1＋k＝q(an＋k)(其中k可由待定系数法确定)，可转化为{an＋k}为等比数列.‎ 易错警示：本题(1)，(2)中常见的错误是忽视验证a1是否适合所求式.‎ ‎[跟踪训练]　(1)在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝an＋，求an. ‎ ‎【导学号：97190167】‎ ‎(2)在数列{an}中，a1＝1，an＋1＝2nan，求an.‎ ‎[解]　(1)an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1＝＋＋…＋＋＋2＝3－.‎ ‎(2)由于＝2n，‎ 故＝21，＝22，…，＝2n－1，‎ 将这n－1个等式叠乘，‎ 得＝21＋2＋…＋(n－1)＝2，故an＝2.‎