【数学】2019届一轮复习人教A版对数与对数函数学案
第七节对数与对数函数
1．对数
概念
如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x＝logaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数，logaN叫做对数式
性质
对数式与指数式的互化：ax＝N⇔x＝logaN
loga1＝0，logaa＝1，alogaN＝N
运算法则
loga(M·N)＝logaM＋logaN
a>0，且a≠1，M>0，N>0
loga＝logaM－logaN
logaMn＝nlogaM(n∈R)
换底公式
换底公式：logab＝(a>0，且a≠1，c>0，且c≠1，b>0)
2.对数函数的图象与性质
函数
y＝logax(a＞0，且a≠1)
图象
a＞1
0＜a＜1
图象特征
在y轴右侧，过定点(1,0)
当x逐渐增大时，图象是上升的
当x逐渐增大时，图象是下降的
性质
定义域
(0，＋∞)
值域
R
单调性
在(0，＋∞)上是增函数
在(0，＋∞)上是减函数
函数值变化规律
当x＝1时，y＝0
当x>1时，y>0；当
当x>1时，y<0；当0
0
1．判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)函数y＝log2(x＋1)是对数函数．( )
(2)log2x2＝2log2x.( )
(3)当x＞1时，logax＞0.( )
(4)函数y＝ln与y＝ln(1＋x)－ln(1－x)的定义域相同．( )
答案：(1)× (2)× (3)× (4)√
2．已知a>0，a≠1，函数y＝ax与y＝loga(－x)的图象可能是( )
解析：选B 函数y＝loga(－x)的图象与y＝logax的图象关于y轴对称，符合条件的只有B.
3．函数y＝lg|x|( )
A．是偶函数，在区间(－∞，0)上单调递增
B．是偶函数，在区间(－∞，0)上单调递减
C．是奇函数，在区间(0，＋∞)上单调递减
D．是奇函数，在区间(0，＋∞)上单调递增
解析：选B y＝lg|x|是偶函数，由图象知在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增．
4．设a＝log2π，b＝logπ，c＝π－2，则a，b，c的大小关系是( )
A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．a＞c＞b D．c＞b＞a
解析：选C 因为a＝log2π＞1，b＝logπ＜0，c＝π－2＝＞0，但c＜1，所以b＜c＜a.
5．函数y＝的定义域为______．
解析：要使函数有意义，须满足
解得0时，g(x)的图象，然后根据g(x)的图象关于y轴对称画出x<0时g(x)的图象，最后由函数g(x)的图象向上整体平移一个单位即得f(x)的图象，结合图象知选A.
2．已知函数f(x)＝关于x的方程f(x)＋x－a＝0有且只有一个实根，则实数a的取值范围是________．
解析：
问题等价于函数y＝f(x)与y＝－x＋a的图象有且只有一个交点，结合函数图象可知a＞1.
答案：(1，＋∞)
[解题师说]
1．准确审题是关键
(1)要识别对数型函数f(x)＝loga|x|＋1的图象，一般从最基本的对数函数y＝logax的图象入手，抓住图象上的三个关键点(a,1)，(1,0)，
，函数的定义域及单调性，并利用平移、对称变换等手段得到所要求的函数图象，特别地要注意a＞1和0＜a＜1的两种不同情况．
(2)方程f(x)＋x－a＝0有且只有一实根，采用直接求解无法得到，常把这种问题转化为y＝f(x)与y＝－x＋a两函数图象的关系问题，利用数形结合法求解．
2．利用结论是捷径
对数函数图象的特征
(1)底数与1的大小关系决定了图象的升降，即a＞1时，图象上升；0＜a＜1时，图象下降．
(2)对数函数在同一直角坐标系中的图象如图，其中图象的相对位置与底数大小有关，图中0＜c＜d＜1＜a＜b.
在x轴上侧，图象从左到右相应的底数由小变大；
在x轴下侧，图象从右到左相应的底数由小变大．
(无论在x轴的上侧还是下侧，底数都按顺时针方向变大)
[冲关演练]
1．函数f(x)＝ln|x－1|的图象大致是( )
解析：选B 当x>1时，f(x)＝ln(x－1)，
又f(x)的图象关于x＝1对称，故选B.
2.已知函数f(x)＝loga(2x＋b－1)(a＞0，且a≠1)的图象如图所示，则a，b满足的关系是( )
A．0＜a－1＜b＜1 B．0＜b＜a－1＜1
C．0＜b－1＜a＜1 D．0＜a－1＜b－1＜1
解析：选A 令g(x)＝2x＋b－1，这是一个增函数，
而由图象可知函数f(x)＝loga(g(x))是单调递增的，所以必有a＞1.
又由函数图象与y轴交点的纵坐标介于－1和0之间，
即－1＜f(0)＜0，所以－1＜logab＜0，
故a－1＜b＜1，因此0＜a－1＜b＜1.
高考对对数函数的性质及其应用的考查，多以选择题或填空题的形式考查，难度低、中、高档都有.,常见的命题角度有：
(1)比较对数值的大小；
(2)简单对数不等式的解法；
(3)对数函数的综合问题.
[题点全练]
角度(一) 比较对数值的大小
1．已知a＝log29－log2，b＝1＋log2，c＝＋log2，则a，b，c的大小关系为( )
A．a>b>c B．b>a>c
C．c>a>b D．c>b>a
解析：选B a＝log29－log2＝log23，
b＝1＋log2＝log22，c＝＋log2＝log2，
因为函数y＝log2x在(0，＋∞)上是增函数，
且2>3>，所以b>a>c.
[题型技法]
比较对数值大小的方法
若底数为同一常数
可由对数函数的单调性直接进行判断；若底数为同一字母，则需对底数进行分类讨论
若底数不同，真数相同
可以先用换底公式化为同底后，再进行比较
若底数与真数都不同
常借助1,0等中间量进行比较
角度(二) 简单对数不等式的解法
2．已知不等式logx(2x2＋1)b>c B．b>a>c
C．c>a>b D．b>c>a
解析：选A 由对数函数的性质可得a＝log0.30.2>log0.30.3＝1，b＝logπ3∈(0,1)，c＝log0.3e<0，所以a>b>c.
2．设函数f(x)＝则满足不等式f(x)≤2的实数x的取值集合为________．
解析：原不等式等价于或解得≤x≤1或1＜x≤4，即实数x的取值集合为.
答案：
3．已知函数f(x)＝loga(8－ax)(a＞0，且a≠1)，若f(x)＞1在区间[1,2]上恒成立，则实数a的取值范围为________．
解析：当a＞1时，f(x)＝loga(8－ax)在[1,2]上是减函数，
由f(x)＞1在[1,2]上恒成立，则f(x)min＝loga(8－2a)＞1，
解得1＜a＜，当0＜a＜1时，f(x)在[1,2]上是增函数，
由f(x)＞1在[1,2]上恒成立，则f(x)min＝loga(8－a)＞1，
且8－2a＞0，故不存在实数a满足题意．
综上可知，实数a的取值范围是.
答案：
(一)普通高中适用作业
A级——基础小题练熟练快
1．函数y＝的定义域是( )
A．[1,2] B．[1,2)
C. D.
解析：选C 由
即解得x≥.
2．若函数y＝f(x)是函数y＝ax(a>0，且a≠1)的反函数，且f(2)＝1，则f(x)＝( )
A．log2x B.
C．logx D．2x－2
解析：选A 由题意知f(x)＝logax(a>0，且a≠1)，
∵f(2)＝1，∴loga2＝1，∴a＝2.
∴f(x)＝log2x.
3．如果logxy>1.
4．若函数y＝a|x|(a＞0，且a≠1)的值域为{y|0＜y≤1}，则函数y＝loga|x|的图象大致是( )
解析：选A 由函数y＝a|x|(a＞0，且a≠1)的值域为{y|0＜y≤1}，知0＜a＜1，由此可知y＝loga|x|的图象大致是A.
5．设函数f(x)＝loga|x|(a>0，且a≠1)在(－∞，0)上单调递增，则f(a＋1)与f(2)的大小关系是( )
A．f(a＋1)>f(2) B．f(a＋1)f(2)．
6．(2018·郑州模拟)已知函数f(x)＝lg，若f(a)＝，则f(－a)＝( )
A．2 B．－2
C. D．－
解析：选D ∵f(x)＝lg的定义域为－1c.
2.已知函数y＝loga(x＋c)(a，c为常数，其中a>0，a≠1)的图象如图，则下列结论成立的是( )
A．a>1，c>1 B．a>1,01 D．00，所以x＞0或x＜－.当x∈时，M∈(1，＋∞)，f(x)＞0，所以a＞1，又M＝x2＋x图象的对称轴为x＝－，且开口向上，故由复合函数的单调性知，函数f(x)的单调递增区间为(0，＋∞)．
4．设2a＝5b＝m，且＋＝2，则m＝________.
解析：因为2a＝5b＝m，
所以a＝log2m，b＝log5m，
所以＋＝＋＝logm2＋logm5＝logm10＝2，所以m2＝10，m＝.
答案：
5．设函数f(x)＝若f(a)＞f(－a)，则实数a的取值范围是________________．
解析：由f(a)＞f(－a)得
或
即或
解得a＞1或－1＜a＜0.
答案：(－1,0)∪(1，＋∞)
6．设f(x)＝loga(1＋x)＋loga(3－x)(a＞0，且a≠1)，且f(1)＝2.
(1)求a的值及f(x)的定义域；
(2)求f(x)在区间上的最大值．
解：(1)∵f(1)＝2，∴loga4＝2(a＞0，且a≠1)，
∴a＝2.
由得－1＜x＜3，
∴函数f(x)的定义域为(－1,3)．
(2)f(x)＝log2(1＋x)＋log2(3－x)
＝log2[(1＋x)(3－x)]＝log2[－(x－1)2＋4]，
∴当x∈(－1,1]时，f(x)是增函数；
当x∈(1,3)时，f(x)是减函数，
故函数f(x)在上的最大值是f(1)＝log24＝2.
7．已知函数f(x)＝loga(a2x＋t)，其中a＞0且a≠1.
(1)当a＝2时，若f(x)＜x无解，求t的取值范围；
(2)若存在实数m，n(m＜n)，使得x∈[m，n]时，函数f(x)的值域也为[m，n]，求t的取值范围．
解：(1)∵log2(22x＋t)＜x＝log22x，∴22x＋t＜2x无解，等价于22x＋t≥2x恒成立，即t≥－22x＋2x＝g(x)恒成立，即t≥g(x)max，
∵g(x)＝－22x＋2x＝－2＋，
∴当2x＝，即x＝－1时，g(x)取得最大值，
∴t≥，故t的取值范围为.
(2)由题意知f(x)＝loga(a2x＋t)在[m，n]上是单调增函数，
∴即问题等价于关于k的方程a2k－ak＋t＝0有两个不相等的实根，令ak＝u＞0，则问题等价于关于u的二次方程u2－u＋t＝0在u∈(0，＋∞)上有两个不相等的实根，即即得0＜t＜.
∴t的取值范围为.
C级——重难题目自主选做
1．(2018·广东省级名校模拟)已知函数f(x)＝(ex－e－x)x，f(log5x)＋f(logx)≤2f(1)，则x的取值范围是( )
A. B．[1,5]
C. D.∪[5，＋∞)
解析：选C ∵f(x)＝(ex－e－x)x，
∴f(－x)＝－x(e－x－ex)＝(ex－e－x)x＝f(x)，
∴函数f(x)是偶函数．
∵f′(x)＝(ex－e－x)＋x(ex＋e－x)＞0在(0，＋∞)上恒成立．
∴函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增．
∵f(log5x)＋f(logx)≤2f(1)，
∴2f(log5x)≤2f(1)，即f(log5x)≤f(1)，
∴|log5x|≤1，∴≤x≤5.故选C.
2．(2018·沈阳质检)已知函数f(x)＝|log3x|，实数m，n满足0＜m＜n，且f(m)＝f(n)，若f(x)在[m2，n]上的最大值为2，则＝________.
解析：f(x)＝|log3x|＝所以f(x)在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，由0＜m＜n且f(m)＝f(n)，可得则所以0＜m2＜m＜1，则f(x)在[m2,1)上单调递减，在(1，n]上单调递增，所以f(m2)＞f(m)＝f(n)，则f(x)在[m2，n]上的最大值为f(m2)＝－log3m2＝2，解得m＝，则n＝3，所以＝9.
答案：9
(二)重点高中适用作业
A级——保分题目巧做快做
1．若函数y＝f(x)是函数y＝ax(a>0，且a≠1)的反函数，且f(2)＝1，则f(x)＝( )
A．log2x B.
C．logx D．2x－2
解析：选A 由题意知f(x)＝logax(a>0，且a≠1)，
∵f(2)＝1，∴loga2＝1，∴a＝2.∴f(x)＝log2x.
2.若函数f(x)＝lg(x2－2ax＋1＋a)在区间(－∞，1]上递减，则a的取值范围为( )
A．[1,2) B．[1,2]
C．[1，＋∞) D．[2，＋∞)
解析：选A 令函数g(x)＝x2－2ax＋1＋a＝(x－a)2＋1＋a－a2，对称轴为x＝a，要使函数在(－∞，1]上递减，则有即解得1≤a<2，即a∈[1,2)．
3.(2018·广东韶关南雄模拟)函数f(x)＝xa满足f(2)＝4，那么函数g(x)＝|loga(x＋1)|的图象大致为( )
解析：选C ∵f(2)＝4，∴2a＝4，解得a＝2，∴g(x)＝|log2(x＋1)|＝∴当x≥0时，函数g(x)
单调递增，且g(0)＝0；当－1c.
5.已知函数f(x)＝loga(2x－a)在区间上恒有f(x)>0，则实数a的取值范围是( )
A. B.
C. D.
解析：选A 当00，即0<－a<1，
解得1时，函数f(x)在区间上是增函数，
所以loga(1－a)>0，
即1－a>1，解得a<0，此时无解．
综上所述，实数a的取值范围是.
6．已知函数f(x)＝loga(x＋b)(a＞0，且a≠1)的图象过两点(－1,0)和(0,1)，则logba＝________.
解析：f(x)的图象过两点(－1,0)和(0,1)．
则f(－1)＝loga(－1＋b)＝0，且f(0)＝loga(0＋b)＝1，
所以即所以logba＝1.
答案：1
7.函数f(x)＝log2 ·log(2x)的最小值为________．
解析：依题意得f(x)＝log2x·(2＋2log2x)＝(log2x)2＋log2x＝2－≥－，当且仅当log2x＝－，即x＝时等号成立，因此函数f(x)的最小值为－.
答案：－
8．设函数f(x)＝若f(a)＞f(－a)，则实数a的取值范围是________________．
解析：由f(a)＞f(－a)得
或
即或
解得a＞1或－1＜a＜0.
答案：(－1,0)∪(1，＋∞)
9.已知函数f(x)＝log2(a为常数)是奇函数．
(1)求a的值与函数f(x)的定义域；
(2)若当x∈(1，＋∞)时，f(x)＋log2(x－1)>m恒成立，求实数m的取值范围．
解：(1)∵函数f(x)＝log2是奇函数，
∴f(－x)＝－f(x)，
∴log2＝－log2，
即log2＝log2，
∴a＝1，f(x)＝log2.
令>0，得或
解得x<－1或x>1.
∴函数f(x)的定义域为{x|x<－1或x>1}．
(2)∵f(x)＋log2(x－1)＝log2(1＋x)，
当x>1时，x＋1>2，∴log2(1＋x)>log22＝1.
∵当x∈(1，＋∞)时，f(x)＋log2(x－1)>m恒成立，
∴m≤1.
∴m的取值范围是(－∞，1]．
10.已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，f(0)＝0，当x>0时，f(x)＝logx.
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)解不等式f(x2－1)>－2.
解：(1)当x<0时，－x>0，则f(－x)＝log(－x)．
因为函数f(x)是偶函数，所以f(－x)＝f(x)．
所以函数f(x)的解析式为
f(x)＝
(2)因为f(4)＝log4＝－2，f(x)是偶函数，
所以不等式f(x2－1)>－2可化为f(|x2－1|)>f(4)．
又因为函数f(x)在(0，＋∞)上是减函数，
所以|x2－1|<4，解得－0，所以x＞0或x＜－.当x∈时，M∈(1，＋∞)，f(x)＞0，所以a＞1，又M＝x2＋x图象的对称轴为x＝－，且开口向上，故由复合函数的单调性知，函数f(x)的单调递增区间为(0，＋∞)．
2.设方程10x＝|lg(－x)|的两个根分别为x1，x2，则( )
A．x1x2＜0 B．x1x2＝0
C．x1x2＞1 D．0＜x1x2＜1
解析：选D 作出y＝10x与y＝|lg(－x)|的大致图象如图所示．
显然x1＜0，x2＜0.
不妨设x1＜x2，
则x1＜－1，－1＜x2＜0，
所以10x1＝lg(－x1)，
10x2＝－lg(－x2)，
此时10x1＜10x2，即lg(－x1)＜－lg(－x2)，
由此得lg(x1x2)＜0，所以0＜x1x2＜1.
3．设2a＝5b＝m，且＋＝2，则m＝________.
解析：因为2a＝5b＝m，
所以a＝log2m，b＝log5m，
所以＋＝＋＝logm2＋logm5＝logm10＝2，所以m2＝10，m＝.
答案：
4．(2018·沈阳质检)已知函数f(x)＝|log 3x|，实数m，n满足0＜m＜n，且f(m)＝f(n)，若f(x)在[m2，n]上的最大值为2，则＝________.
解析：f(x)＝|log3x|＝所以f(x)在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，由0＜m＜n且f(m)＝f(n)，可得则
所以0＜m2＜m＜1，则f(x)在[m2,1)上单调递减，在(1，n]上单调递增，所以f(m2)＞f(m)＝f(n)，则f(x)在[m2，n]上的最大值为f(m2)＝－log3m2＝2，解得m＝，则n＝3，所以＝9.
答案：9
5．已知函数f(x)＝loga(a2x＋t)，其中a＞0且a≠1.
(1)当a＝2时，若f(x)＜x无解，求t的取值范围；
(2)若存在实数m，n(m＜n)，使得x∈[m，n]时，函数f(x)的值域也为[m，n]，求t的取值范围．
解：(1)∵log2(22x＋t)＜x＝log22x，∴22x＋t＜2x无解，等价于22x＋t≥2x恒成立，即t≥－22x＋2x＝g(x)恒成立，即t≥g(x)max，∵g(x)＝－22x＋2x＝－2＋，
∴当2x＝，即x＝－1时，g(x)取得最大值，
∴t≥，故t的取值范围是.
(2)由题意知f(x)＝loga(a2x＋t)在[m，n]上是单调增函数，
∴即问题等价于关于k的方程a2k－ak＋t＝0有两个不相等的实根，令ak＝u＞0，则问题等价于关于u的二次方程u2－u＋t＝0在u∈(0，＋∞)上有两个不相等的实根，即即得0＜t＜.
∴t的取值范围为.
6.已知函数f(x)＝3－2log2x，g(x)＝log2x.
(1)当x∈[1,4]时，求函数h(x)＝[f(x)＋1]·g(x)的值域；
(2)如果对任意的x∈[1,4]，不等式f(x2)·f()>k·g(x)恒成立，求实数k的取值范围．
解：(1)h(x)＝(4－2log2x)·log2x＝－2(log2x－1)2＋2，
因为x∈[1,4]，所以log2x∈[0,2]，
故函数h(x)的值域为[0,2]．
(2)由f(x2)·f()>k·g(x)，
得(3－4log2x)(3－log2x)>k·log2x，
令t＝log2x，因为x∈[1,4]，所以t＝log2x∈[0,2]，
所以(3－4t)(3－t)>k·t对一切t∈[0,2]恒成立，
①当t＝0时，k∈R；
②当t∈(0,2]时，k<恒成立，
即k<4t＋－15，
因为4t＋≥12，当且仅当4t＝，即t＝时取等号，
所以4t＋－15的最小值为－3.所以k<－3.
综上，实数k的取值范围为(－∞，－3)．
