2019-2020学年山西省运城市高一上学期期中调研测试数学试题（解析版）

2019-2020学年山西省运城市高一上学期期中调研测试数学试题（解析版）

‎2019-2020学年山西省运城市高一上学期期中调研测试数学试题 一、单选题 ‎1．若集合，，则（ ）‎ A． B． C． D．或 ‎【答案】C ‎【解析】根据集合的基本运算先求再求即可.‎ ‎【详解】‎ 因为或,所以 故选：C.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查集合的基本运算,属于基础题型.‎ ‎2．函数的定义域是( )‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】根据对数真数大于零，分式分母不为零列不等式组，解不等式组求得函数的定义域.‎ ‎【详解】‎ 由题意得解得.‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】‎ 本小题主要考查函数定义域的求法，属于基础题.‎ ‎3．把“2019”中的四个数字拆开，可构成集合，则该集合的所有真子集的个数为（ ）‎ A．7 B．8 C．15 D．16‎ ‎【答案】C ‎【解析】根据元素个数为的集合真子集个数为 求解即可.‎ ‎【详解】‎ 集合中共有四个元素,故其子集的个数为个,所以其真子集的个数为.‎ 故选：C ‎【点睛】‎ 本题主要考查知识点元素个数为的集合真子集个数为 .属于基础题型.‎ ‎4．已知函数，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】换元设,再反解代入即可.‎ ‎【详解】‎ 设,则,则,即.‎ 故选：A.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查利用换元法求函数解析式的问题,属于基础题型.‎ ‎5．已知，，，则( )‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】根据对数的性质判断，根据指数的性质判断，由此得出三者的大小关系.‎ ‎【详解】‎ 因为，，，所以.‎ 故选：A.‎ ‎【点睛】‎ 本小题主要考查指数式、对数式比较大小，属于基础题.‎ ‎6．函数的图象大致为（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】分析函数的定义域、奇偶性以及函数在和上的函数值符号，可得出正确选项.‎ ‎【详解】‎ 自变量满足，解得且，‎ 则函数的定义域为.‎ ‎，则函数为奇函数，‎ 当时，，，当时，，.‎ 故选：D.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查函数图象的识别，一般从函数的定义域、奇偶性、单调性、零点和函数值符号来进行判断，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.‎ ‎7．函数的单调递增区间为（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】先求出的定义域,再利用同增异减以及二次函数的图像判断单调区间即可.‎ ‎【详解】‎ 令,得f(x)的定义域为,根据复合函数的单调性规律,即求函数在上的减区间,根据二次函数的图象可知为函数的减区间.‎ 故选：B ‎【点睛】‎ 本题主要考查对数函数的定义域以及复合函数的单调区间等,属于基础题型.‎ ‎8．已知函数满足是上的单调函数，则的取值范围是 A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】根据单调递减可知单调递减，从而得到一次函数单调递减及分段处函数值的大小关系，由此求得结果.‎ ‎【详解】‎ 在时单调递减 在时单调递减 ‎ 又在上单调递减 ，即 综上所述：‎ 本题正确选项：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查根据分段函数的单调性求解参数范围的问题，易错点是忽略分段处的函数值的大小关系，属于常考题型.‎ ‎9．已知，分别是定义在上的偶函数和奇函数，若 ‎，则 A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】根据奇偶性可得，构造方程组求得解析式，代入即可求得结果.‎ ‎【详解】‎ 分别为上的偶函数和奇函数 又 ‎ 本题正确选项：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查函数值的求解问题，涉及到构造函数法求解函数解析式、函数奇偶性的应用等知识.‎ ‎10．函数在上的值域为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】令换元得,再根据二次函数的值域求解方法求解即可.‎ ‎【详解】‎ ‎,‎ 令,因为,所以,原函数的值域等价于函数 的值域,所以.‎ 故选：C ‎【点睛】‎ 本题主要考查了与二次函数有关的复合函数问题,利用换元法再根据二次函数的图像性质求解值域即可.属于基础题型.‎ ‎11．已知定义在上的函数满足,且在上单调递增,则（ ）‎ A．‎ B．‎ C．‎ D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】由已知可得的图象关于直线对称.因为，又在上单调递增,即可得解.‎ ‎【详解】‎ 解：依题意可得,的图象关于直线对称.‎ 因为,‎ 则， ‎ 又在上单调递增,‎ 所以.‎ 故选:A.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了函数的对称性及单调性，重点考查了利用函数的性质判断函数值的大小关系，属中档题.‎ ‎12．已知函数若，且，现有结论：①；②；③；④.这四个结论中正确的个数是( )‎ A．1 B．2 C．3 D．4‎ ‎【答案】C ‎【解析】画出函数的图像，根据二次函数的对称性、值域和对数函数运算，结合图像，判断四个结论的正确性.‎ ‎【详解】‎ 画出函数的大致图象如下图.‎ 得出，，故①错误②正确；由图可知，故③正确；‎ 因为，，所以，故④正确.‎ 故选C.‎ ‎【点睛】‎ 本小题主要考查分段函数的图像与性质，考查二次函数的对称性和值域，考查对数运算，考查数形结合的数学思想方法，属于基础题.‎ 二、填空题 ‎13．已知函数则_______.‎ ‎【答案】6‎ ‎【解析】根据分段函数的分段定义域分析代入直至算出具体函数值即可.‎ ‎【详解】‎ 由题意知.‎ 故答案为：6‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查分段函数求值的问题,属于基础题型.‎ ‎14．若幂函数在上为减函数，则m=_______.‎ ‎【答案】1‎ ‎【解析】根据幂函数的定义可知,再代入指数中判断是否为减函数即可.‎ ‎【详解】‎ 由已知,解得或.‎ 当时,在上为增函数,不符合题意；‎ 当时,在上为减函数,符合题意.‎ 故答案为：1‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查根据幂函数求解参数的问题,同时也考查了幂函数的单调性.属于基础题型.‎ ‎15．设函数则函数的零点个数是_______.‎ ‎【答案】5‎ ‎【解析】先求解关于的方程的根,再根据所得的根和与原函数数形结合进行交点个数的求解即可.‎ ‎【详解】‎ 令函数则或者,又函数的图像如图所示：‎ 由图可得方程和共有5个根,即函数有5个零点.‎ 故答案为：5‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了复合函数零点问题,重点是先求出关于的方程的根,再将所求得的根看成纵坐标从而数形结合求与原函数的交点个数即可.属于中等题型.‎ ‎16．用表示三个数中的最大值，设，则的最小值为_______.‎ ‎【答案】0‎ ‎【解析】将中三个函数的图像均画出来,再分析取最大值的函数图像,从而求得最小值.‎ ‎【详解】‎ 分别画出,,的图象,取它们中的最大部分,得出的图象如图所示,故最小值为0.‎ 故答案为：0‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查数形结合的思想与常见函数的图像等,需要注意的是在画图过程中需要求解函数之间的交点坐标从而画出准确的图像,属于中等题型.‎ 三、解答题 ‎17．化简或求值．‎ ‎（1）；‎ ‎（2）．‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】（1）将根式运算化成指数幂运算，根据指数幂的运算法则可求得结果；（2）根据指数幂运算的运算法则求值即可.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）原式 ‎（2）原式 ‎【点睛】‎ 本题考查指数幂运算法则化简求值的问题，属于基础题.‎ ‎18．已知集合，.‎ ‎（1）当时，求；‎ ‎（2）若，求a的取值范围.‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】(1)代入,再计算即可.‎ ‎(2)利用集合的包含关系列出对应的端点的不等式再求解即可.‎ ‎【详解】‎ ‎(1)因为,所以,‎ 因为,所以. ‎ ‎(2)因为,所以.‎ 当时,符合题意,此时,即. ‎ 当时,因为,‎ 所以 ‎ 解得. ‎ 综上,a的取值范围是.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查集合的基本运算,同时注意时需要考虑的情况即可.属于中等题型.‎ ‎19．2019年，随着中国第一款5G手机投入市场，5G技术已经进入高速发展阶段.已知某5G手机生产厂家通过数据分析，得到如下规律：每生产手机万台，其总成本为，其中固定成本为800万元，并且每生产1万台的生产成本为1000万元（总成本=固定成本+生产成本），销售收入万元满足 ‎（1）将利润表示为产量万台的函数；‎ ‎（2）当产量为何值时，公司所获利润最大？最大利润为多少万元？‎ ‎【答案】(1) (2) 当产量为4万台时，公司所获利润最大，最大利润为5600万元.‎ ‎【解析】（1）先求得总成本函数，然后用求得利润的函数表达式.‎ ‎（2）用二次函数的最值的求法，一次函数最值的求法，求得当产量为何值时，公司所获利润最大，且求得最大利润.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）由题意得.‎ 因为 所以 ‎（2）由（1）可得，当时，.‎ 所以当时，（万元）‎ 当时，，单调递增，‎ 所以（万元）.‎ 综上，当时，（万元）.‎ 所以当产量为4万台时，公司所获利润最大，最大利润为5600万元.‎ ‎【点睛】‎ 本小题主要考查分段函数模型在实际生活中的运用，考查二次函数、一次函数最值有关问题的求解，属于基础题.‎ ‎20．已知二次函数满足，且.‎ ‎（1）求的解析式；‎ ‎（2）设函数，当时，求的最小值；‎ ‎（3）设函数，若对任意，总存在，使得成立，求m的取值范围.‎ ‎【答案】（1）；（2）；（3）‎ ‎【解析】(1) 根据二次函数,则可设,再根据题中所给的条件列出对 应的等式对比得出所求的系数即可.‎ ‎(2)根据(1)中所求的求得,再分析对称轴与区间的位置关系进行分类讨论求解的最小值即可.‎ ‎(3)根据题意可知需求与在区间上的最小值.再根据对数函数与二次函数的单调性求解最小值即可.‎ ‎【详解】‎ ‎(1)设.‎ ‎①∵,∴,‎ 又∵,‎ ‎∴,可得,‎ ‎∴解得即.‎ ‎(2)由题意知,,,对称轴为.‎ ‎①当,即时,函数h(x)在上单调递增,‎ 即； ‎ ‎②当,即时,函数h(x)在上单调递减,在上单调递增,‎ 即. ‎ 综上, ‎ ‎(3)由题意可知,‎ ‎∵函数在上单调递增,故最小值为,‎ 函数在上单调递减,故最小值为,‎ ‎∴,解得.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查利用待定系数法求解二次函数解析式的方法,二次函数对称轴与区间关系求解最值的问题,以及恒成立和能成立的问题等.属于中等题型.‎ ‎21．已知函数是定义域为R的奇函数.‎ ‎（1）求t的值；‎ ‎（2）判断在R上的单调性，并用定义证明；‎ ‎（3）若函数在上的最小值为-2，求k的值. ‎ ‎【答案】（1）或；（2）增函数，证明见解析；（3）‎ ‎【解析】(1)由是定义域为R的奇函数,利用求解得出t的值.‎ ‎(2) 设,再计算的正负进行单调性的判断即可.‎ ‎(3)代入至中,令进行换元,再利用二次函数的方法分析最值求参数即可.‎ ‎【详解】‎ ‎(1)因为是定义域为R的奇函数,‎ 所以,即,解得或,‎ 可知,经检验,符合题意.‎ ‎(2) 在R上单调递增.‎ 证明如下：设,则 ‎. ‎ 因为,所以,‎ 所以,,可得.‎ 因为当时,有,‎ 所以在R单调递增.‎ ‎(3)由(1)可知,‎ 令,则,‎ 因为是增函数,且,所以.‎ 因为在上的最小值为-2,‎ 所以在上的最小值为-2.‎ 因为,‎ 所以当时,,解得或(舍去)；‎ 当时,,不合题意,舍去.‎ 综上可知,.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查奇函数的性质,单调性的证明以及换元法求解二次函数的复合函数问题的最值与范围问题.属于中等题型.‎ ‎22．已知函数，，且函数是偶函数.‎ ‎（1）求的解析式；.‎ ‎（2）若不等式在上恒成立，求n的取值范围；‎ ‎（3）若函数恰好有三个零点，求k的值及该函数的零点.‎ ‎【答案】（1）；（2）；（3），该函数的零点为0，，2.‎ ‎【解析】(1)根据是偶函数求得表达式算出的值,进而求得的解析式即可.‎ ‎(2)换元令,再求解的最小值,化简利用二次不等式进行范围运算即可.‎ ‎(3)换元令,结合复合函数的零点问题,分析即可.‎ ‎【详解】‎ ‎(1)∵,‎ ‎∴.‎ ‎∵是偶函数,∴,∴. ‎ ‎∴,‎ ‎∴. ‎ ‎(2)令,∵,‎ ‎∴,不等式在上恒成立,等价于在上恒成立, ‎ ‎∴. ‎ 令,,则,,∴. ‎ ‎(3)令,则,方程 可化为,即,也即. ‎ 又∵方程有三个实数根,‎ ‎∴有一个根为2,∴. ‎ ‎∴,解得或.‎ 由,得,‎ 由,得,∴该函数的零点为0,-2,2.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了二次函数的解析式的求解方法以及换元法求复合函数的应用,包括二次函数的范围问题等与函数零点的问题.属于难题.‎