河南省新安县第一高级中学2019-2020学年高二5月月考数学（理）试题

河南省新安县第一高级中学2019-2020学年高二5月月考数学（理）试题

绝密★启用前 新安一高高二年级5月份月考（数学理）‎ 数学试卷 ‎ 学校：__________ 姓名：__________ 班级：__________ 考号：__________‎ 题号 一 二 总分 得分 注意事项 ‎ ‎1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 评卷人 得分 一、单选题（共60.0分）‎ ‎1.已知i 为虚数单位，则z=‎i‎1-2i 在复平面内对应的点位于（    ）‎ A、第四象限 B、第三象限 C、第二象限 D、第一象限 ‎2.已知f‎′‎‎(x)‎ 是函数f(x)‎ 的导数，且f‎′‎‎(x‎0‎)=2‎ ，则limt→0‎f(x‎0‎+t)-f(x‎0‎-3t)‎t‎=‎ （    ）‎ A、‎‎2‎ B、‎‎8‎ C、‎‎-4‎ D、不能确定 ‎3.‎(x‎2‎-‎2‎x)‎‎6‎ 的展开式中常数项为（    ）‎ A、‎‎-240‎ B、‎‎-160‎ C、‎‎240‎ D、‎‎160‎ ‎4.有一段演绎推理：“对数函数y=logax 是增函数；已知y=log‎0.5‎x 是对数函数，所以y=log‎0.5‎x 是增函数”，结论显然是错误的，这是因为（    ）‎ A、大前提错误 B、小前提错误 C、推理形式错误 D、非以上错误 ‎5.函数y=‎2‎‎|x|‎sin2x 的图像大致为（    ）‎ A、‎ B、‎ C、‎ D、‎ ‎6.下列使用类比推理正确的是（    ）‎ A、“平面内平行于同一直线的两直线平行”类比推出“空间中平行于同一平面的两直线平行”‎ B、“若x+‎1‎x=2‎ ，则x‎2‎‎+‎1‎x‎2‎=2‎ ”类比推出“若x-‎1‎x=2‎ ，则x‎2‎‎-‎1‎x‎2‎=2‎ ”‎ C、“实数a,b,c 满足运算‎(ab)c=a(bc)‎ ”类比推出“平面向量a‎⟶‎‎,b‎⟶‎,‎c‎⟶‎ 满足运算‎(a‎⟶‎⋅b‎⟶‎)c‎⟶‎=‎‎⟶‎‎(b‎⟶‎⋅c‎⟶‎)‎ ”‎ D、“正方形的内切圆切于各边的中点”类比推出“正方体的内切球切于各面的中心”‎ ‎7.limn→∞‎k=1‎n‎(‎1‎nkn)‎‎=‎ （    ）‎ A、‎‎1‎‎2‎ B、‎‎2‎‎3‎ C、‎‎1‎ D、‎‎3‎‎2‎ ‎8.已知f(x)=alnx+‎1‎‎2‎x‎2‎(a>0)‎ ，若对任意两个不等的正实数x‎1‎‎,‎x‎2‎ ，都有f(x‎1‎)-f(x‎2‎)‎x‎1‎‎-‎x‎2‎‎>2‎ 恒成立，则a 的取值范围是（    ）‎ A、‎‎(0,1]‎ B、‎‎(1,+∞)‎ C、‎‎(0,1)‎ D、‎‎[1,+∞)‎ ‎9.观察如图中各多边形图案，每个图案均由若干个全等的正六边形组成，记第n 个图案中正六边形的个数是f(n)‎ ．由f(1)=1,f(2)=7,f(3)=9,⋯‎ ，可推出f(10)=‎ （    ）‎ A、‎‎271‎ B、‎‎272‎ C、‎‎273‎ D、‎‎274‎ ‎10.设函数f(x)=(x-a)(x-b)(x-c)‎ （a,b,c 是互不相等的常数），则af‎′‎‎(a)‎‎+bf‎′‎‎(b)‎+‎cf‎′‎‎(c)‎ 等于（    ）‎ A、‎‎0‎ B、‎‎1‎ C、‎‎3‎ D、‎a+b+c ‎11.定义在R 上的可导函数f(x)‎ ，当x∈(1,+∞)‎ 时，f(x)+f'(x)2‎ ，求证：‎1+2yx 与‎1+2xy 中至少有一个小于‎3‎ .‎ ‎(2)当a+b>0‎ 时，求证：a‎2‎‎+‎b‎2‎‎⩾‎2‎‎2‎(a+b)‎ .‎ ‎21.已知函数f(x)=‎1‎‎3‎x‎3‎-‎1‎‎2‎ax‎2‎+(a-1)x+1‎ ，a 为实数.‎ ‎(1)当a⩾2‎ 时，讨论f(x)‎ 的单调性；‎ ‎(2)若f(x)‎ 在区间‎[1,4]‎ 上是减函数，求a 的取值范围.‎ ‎22.已知函数f(x)=alnx+‎x‎2‎ ，其中a∈R .‎ ‎(1)讨论f(x)‎ 的单调性；‎ ‎(2)当a=1‎ 时，证明：f(x)⩽x‎2‎+x-1‎ ；‎ ‎(3)试比较ln‎2‎‎2‎‎+ln‎3‎‎2‎+ln‎4‎‎2‎+⋯+‎lnn‎2‎ 与‎(n-1)(2n+1)‎‎2(n+1)‎ （n∈‎N‎*‎ 且n⩾2‎ ）的大小，并证明你的结论.‎ ‎2019-2020学年新安一高高二下学期5月份摸底考试 数学(理)答案 一、选择题答案：1—5 CBCAD 6—10 DBDAA 11—12 AD ‎ 二、填空题答案：‎ ‎13、-2 14、 01　15、 16、VO－BCD·＋VO－ACD·＋VO－ABD·＋VO－ABC·＝‎ 三、解答题答案：‎ ‎17解：由题可得.‎ ‎（1）因为，所以 由，解得或；‎ 由，解得或；‎ 若满足题意，故. …………………………………… 5分 ‎（2）因为为纯虚数，所以，‎ 由，解得或；‎ 由，解得且；‎ 所以. …………………………………………………… 10分 ‎18【解】　因为f(x)＝16x3－20ax2＋8a2x－a3，其中a≠0，‎ 所以f′(x)＝48x2－40ax＋8a2＝8(6x2－5ax＋a2)‎ ‎＝8(2x－a)(3x－a)，‎ 令f′(x)＝0，得x1＝，x2＝. ……………………………… 2分 ‎(1)当a>0时，<，则随着x的变化，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：‎ x ‎(－∞，)‎ ‎(，)‎ ‎(，＋∞)‎ f′(x)‎ ‎＋‎ ‎0‎ ‎－‎ ‎0‎ ‎＋‎ f(x)‎ 极大值 极小值 所以当x＝时，函数f(x)取得极大值f()＝；‎ 当x＝时，函数f(x)取得极小值f()＝0. ……………………………… 6分 ‎(2)当a<0时，<，则随着x的变化，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：‎ x ‎(－∞，)‎ ‎(，)‎ ‎(，＋∞)‎ f′(x)‎ ‎＋‎ ‎0‎ ‎－‎ ‎0‎ ‎＋‎ f(x)‎ 极大值 极小值 所以当x＝时，函数f(x)取得极大值f()＝0；‎ 当x＝时，函数f(x)取得极小值f()＝.‎ 综上，当a>0时，函数f(x)在x＝处取得极大值，在x＝处取得极小值0；‎ 当a<0时，函数f(x)在x＝处取得极大值0，在x＝处取得极小值. ……… 12分 ‎19、解：（1）=4，=8；=16，=32 …………………………………… 4分 ‎（2）猜想：数列的通项公式为. …………………………………… 5分 下面用数学归纳法证明其成立.‎ ‎①当时，猜想成立 ‎②假设当时，猜想成立，即，‎ 那么当时，有，‎ 所以，‎ 即，‎ 解得或，‎ 因为是正项数列，而时，，‎ 所以.‎ 这就是说，当时猜想也成立.‎ 根据①和②可知，猜想成立，即. …………………………………… 12分 ‎20、证明：⑴（反证法）假设结论不成立，即有且，由已知，‎ ‎ 所以有且，故，‎ ‎ 与已知矛盾，假设不成立.所以有与中至少有一个小于成立.‎ ‎……………………………………………………………… 6分 ‎（2）证明：(分析法)要证≥，‎ 只需证≥，‎ 即证≥，‎ 即证≥.‎ 因为≥对一切实数恒成立，‎ 所以 ≥成立. ……………………………………………… 12分 ‎21、解：（1），‎ 当即时，，在R上单调递增；‎ 当即时，由得或，由得.‎ 分别在与单调递增，在单调递减.‎ 综上所述，当时，在R上单调递增；‎ 当时，分别在与单调递增，在单调递减.…… 6分 ‎（2）由已知得在区间上恒成立.‎ 在区间上恒成立.‎ 当时，.‎ 当时，.‎ 而在上单调递增，时，，则.‎ 综上. ………………………………………………………………12分 ‎22、解：（1）函数的定义域为：， ‎ ‎①当时，，所以在上单调递增 ‎ ‎②当时，令，解得 ．‎ 当时，，所以， 所以在上单调递减； ‎ 当时，，所以，所以在上单调递增． ‎ 综上，当时，函数在上单调递增；‎ 当时，函数在上单调递减，在上单调递增. ……4分 ‎（2）当 时，，要证明，‎ 即证，即证：. ‎ 设，则 ，令得，.‎ 当时，，当时，.‎ 所以为极大值点，且在处取得最大值。‎ 所以，即。故. ………………… 8分 ‎（3）证明：（当且仅当时等号成立），即,‎ 则有+‎ ‎,‎ 故：+ ……………………………… 12分