【数学】河南省南阳市第一中学2019-2020学年高二下学期第三次月考（6月）（理）（解析版）

【数学】河南省南阳市第一中学2019-2020学年高二下学期第三次月考（6月）（理）（解析版）

河南省南阳市第一中学 2019-2020 学年 高二下学期第三次月考（6 月）（理） 一、单选题 1．若 服从正态分布 2(10, )N  ，若 ( 11) 0.9P    ，则 (| 10| 1)P     （ ） A． 0.1 B． 0.2 C． 0.4 D． 0.8 2．如图，在正方形OABC 内任取一点 M ，则点 M 恰好取自阴影部分 内的概率为（ ） A． 1 4 B． 1 3 C． 2 5 D． 3 7 3．若 3 4 1 iz izi   （i是虚数单位），则| |z  （ ） A． 3 2 B．2 C． 5 2 D．3 4．已知 7 2 7 0 1 2 7x m a a x a x a x      的展开式中 4x 的系数是 35 ，则各项系数最 大的是（ ） A． 0a B． 3a C． 4a D． 5a 5．对平面中的任意平行四边形 ABCD ，可以用向量方法证明： 2 2 2 22AC BD AB BC   ， 若 将 上 述 结 论 类 比 到 空 间 的 平 行 六 面 体 1 1 1 1ABCD A B C D ，则得到的结论是（ ） A． 2 2 2 2 1 1 2AC AC AB AD   B． 2 2 2 2 2 1 1 12AC BD AB AD AA    C． 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 13AC BD AC DB AB AD AA      D． 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 14AC BD AC DB AB AD AA      6．设 ( )f x 是 2 61( )2x x  展开式的中间项，若 ( )f x mx 在区间 2[ , 2]2 上恒成立，则实 数 m 的取值范围是（ ） A．[0, ) B． 5[ , )4  C． 5[ ,5]4 D．[5, ) 7．函数 1( ) ln 1f x x x    的图象大致是( ) A． B． C． D． 8．如图为我国数学家赵爽 ( 约 3 世纪初 ) 在为《周髀算经》作注时验 证勾股定理的示意图，现在提供 5 种颜色给其中 5 个小区域涂色，规 定每个区域只涂一种颜色，相邻区域颜色不同，则 ,A C 区域涂色不相 同的概率为 ( ) A． 1 7 B． 2 7 C． 3 7 D． 4 7 9．设函数  f x 在 R 上存在导函数  f x ，对任意的实数 x 都有     2f x f x x   ，当  0 2 1x f x x  时， .若    1 2 1f a f a a     ，则实数 a 的取值范围是( ) A． 1 ,2     B． 3 ,2     C． 1,  D． 2,  10．某人设计一项单人游戏，规则如下：先将一棋子放在如图所示正方 形 ABCD （边长为 2 个单位）的顶点 A 处，然后通过掷骰子来确定棋 子 沿 正 方 形 的 边 按 逆 时 针 方 向 行 走 的 单 位 ， 如 果 掷 出 的 点 数 为 ( 1,2, ,6)i i   ，则棋子就按逆时针方向行走 i个单位，一直循环下去. 则某人抛掷三次骰子后棋子恰好又回到点 A 处的所有不同走法共有（ ） A．22 种 B．24 种 C．25 种 D．27 种 11．已知 7 2 8 0 1 2 8( 2) ( 1) ( 1) ( 1)x x a a x a x a x        ，则 5 6a a  ( ) A． 14 B．0 C．14 D． 28 12．若对任意的 1x ，  2 2,0x   ， 1 2x x ， 1 2 2 1 1 2 x xx e x e ax x   恒成立，则 a 的最小值为( ) A． 2 3 e  B． 2 2 e  C． 2 1 e  D． 1 e  二、填空题 13．某种产品的加工需要 A，B，C，D，E 五道工艺，其中 A 必须在 D 的前面完成（不一 定相邻），其它工艺的顺序可以改变，但不能同时进行，为了节省加工时间，B 与 C 必须相 邻，那么完成加工该产品的不同工艺的排列顺序有____种.（用数字作答） 14．已知甲、乙、丙三名同学同时独立地解答一道导数试题，每人均有 2 3 的概率解答正确， 且三个人解答正确与否相互独立，在三人中至少有两人解答正确的条件下，甲解答不正确的 概率_______ 15．甲、乙两人被随机分配到 , ,A B C 三个不同的岗位（一个人只能去一个工作岗位）．记分 配到 A 岗位的人数为随机变量 X ，则随机变量 X 的数学期望 ( )E X _____． 16．已知函数   2 ln 2 , 0 3 , 02 x x x x f x x x x      ，函数     1g x f x kx   有四个零点，则实数 k 的 取值范围是______． 三、解答题 17．已知曲线 C 的直角坐标方程是 122  yx ，把曲线 C 的点横坐标变为原来的 2 倍， 纵坐标不变，得到曲线 E，直线 1 : 3 x t l y t    （t 为参数）与曲线 E 交于 A，B 两点． （1）设曲线 C 上任一点为  ,M x y ，求 3x y 的最小值； （2）求出曲线 E 的直角坐标方程，并求出直线 l 被曲线 E 截得的弦 AB 长． 18．习近平总书记在十九大报告中指出,必须树立和 践行“绿水青山就是金山银山”的生态文明发展理念,这将进一步推动新能源汽车产业的迅速 发展.以下是近几年我国某新能源乘用车的年销售量数据及其散点图: 年份 2015 2016 2017 2018 2019 年份代码 (x) 1 2 3 4 5 某新能源 车年销量 y （万辆） 1.5 5.9 17.7 32.9 55.6 (1)请根据散点图判断,y=bx+a 与 中哪一个更适宜作为年销售量 关于年 份代码 的回归方程类型?(给出判断即可,不必说明理由) (2)根据(1)的判断结果及表中数据,建立 关于 的回归方程,并预测 2020 年我国某新能 源乘用车的销售量(计算过程精确到 0.01，最后结果精确到 ). 附:1.最小二乘法估计公式: tbya tt yytt b n i i n i ii         , )( ))(( 1 2 1 参考数据： 72.22y ，    5 1 2 374)( i i  ，    5 1 2.135))(( i ii yyxx ，    5 1 2.851))(( i ii yy （其中 2 ii x ） 19．设函数   2( ) 1xf x x e ax   （Ⅰ）若 a= 1 2 ，求 ( )f x 的单调区间； （Ⅱ）若当 x ≥0 时 ( )f x ≥0，求 a 的取值范围 20．2019 年 4 月，甲乙两校的学生参加了某考试机构举行的大联考，现对这两校参加考试 的学生的数学成绩进行统计分析，数据统计显示，考生的数学成绩 X 服从正态分布 (110,144)N ，从甲乙两校 100 分及以上的试卷中用系统抽样的方法各抽取了 20 份试卷，并 将这 40 份试卷的得分制作成如图所示的茎叶图： （1）试通过茎叶图比较这 40 份试卷的两校学生数学成绩的中位数； （2）若把数学成绩不低于 135 分的记作数学成绩优秀，根据茎叶图中的数据，判断是 否有 90% 的把握认为数学成绩在 100 分及以上的学生中数学成绩是否优秀与所在学校有 关？ （3）从所有参加此次联考的学生中（人数很多）任意抽取 3 人，记数学成绩在 134 分 以上的人数为 ，求 的数学期望． 附：若随机变量 X 服从正态分布 2( , )N   ，则 ( ) 0.6826P X        ， ( 2P X      2 ) 0.9544  ， ( 3 3 ) 0.9974P X      ≤ ． 参考公式与临界值表： 2 2 ( ) ( )( )( )( ) n ad bcK a b c d a c b d      ，其中 n a b c d    ． 2 0( )P K k 0.100 0.050 0.025 0.010 0.001 0k 2.706 3.841 5.024 6.635 10.828 21．设 )(1 3 1 2 11 *Nnnan   ，是否存在一次函数 g(x)，使得 )1)((1321   nn angaaaa  对 n≥2 的一切自然数都成立，并试用数学归纳法证明 你的结论. 22．已知函数 ( ) ln 1, ( ) 4xf x x x g x ae     （ e 为自然对数的底数， a R ）. （1）求函数 ( )f x 在点 (2, (2))f 处的切线方程； （2）若对于任意  1 0,1x  ，存在  2 0,1x  ，使得 1 2( ) ( )f x g x ，求 a 的取值范围； （3）若 ( ) 2 ( ) 0f x x x g x    恒成立，求 a 的取值范围. 参考答案 一、选择题 1、D 2、B 3.C 4.B 5.【答案】D 如图所示的平行六面体 1 1 1 1ABCD A B C D 中， 在平行四边形 ABCD 中，  2 2 2 22AC BD AB AD   ① 在平行四边形 1 1ACC A 中，  2 2 2 2 1 1 12AC AC AC AA   ② 在平行四边形 1 1BDD B 中，  2 2 2 2 1 1 12B D BD BD BB   ③ ②③相加，得    2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 12 2AC AC B D BD AC AA BD BB       ④ 将①代入④，再结合 1 1AA BB 得， 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 14AC BD AC DB AB AD AA      6.D 7.B 8.【答案】D 提供 5 种颜色给其中 5 个小区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻区域颜色不同， 根据题意，如图，设 5 个区域依次为 , , , ,A B C D E ,分 4 步进行分析： ① ，对于区域 A，有 5 种颜色可选； ② ，对于区域 B 与 A区域相邻，有 4 种颜色可选； ③ ，对于区域 E ，与 ,A B 区域相邻，有 3 种颜色可选； ④ ，对于区域 ,D C ，若 D 与 B 颜色相同，C 区域有 3 种颜色可选， 若 D 与 B 颜色不相同， D 区域有 2 种颜色可选，C 区域有 2 种颜色可选， 则区域 ,D C 有3 2 2 7   种选择， 则不同的涂色方案有5 4 3 7 420    种， 其中， ,A C 区域涂色不相同的情况有： ① ，对于区域 A，有 5 种颜色可选； ② ，对于区域 B 与 A区域相邻，有 4 种颜色可选； ③ ，对于区域 E 与 , ,A B C 区域相邻，有 2 种颜色可选； ④ ，对于区域 ,D C ，若 D 与 B 颜色相同，C 区域有 2 种颜色可选， 若 D 与 B 颜色不相同， D 区域有 2 种颜色可选，C 区域有 1 种颜色可选， 则区域 ,D C 有 2 2 1 4   种选择， 不同的涂色方案有5 4 3 4 240    种， ,A C 区域涂色不相同的概率为 240 4 4 20 7p   ,故选 D． 9.【答案】A 详解：设 g x f x x （ ） （ ） ，则   0g x g x f x x f x x       （ ） （ ） （ ） （ ） ， ∴    ,g x g x g x  （ ）是偶函数． 当  0 2 1x f x x  时， .， ∴ g x（ ）在 0,  上是增函数， ∵    1 2 1f a f a a     ， ∴        1 1f a a f a a       ， 即 1g a g a  （ ） （ ） ， ∴ 1a a   ， 即 1 2a   ． 10.D 详解：由题意知正方形 ABCD （边长为 2 个单位）的周长是8 ， 抛掷三次骰子后棋子恰好又回到点 A处的表示三次骰子的点数之和是8,16 ， 列举出在点数中三个数字能够使得和为8,16 的有125;134;116;224;233;466;556 ， 共有 7 种组合， 前 2 种组合125;134 ，每种情况可以排列出 3 3 6A  种结果， 共有 3 32 2 6 12A    种结果； 116;224;233;466;556 各有3 种结果，共有5 3 15  种结果， 根据分类计数原理知共有12 15 27  种结果，故选 D. 11.B 解：由题知， 7 2 8 0 1 2 8( 2) ( 1) ( 1) ( 1)x x a a x a x a x        ， 且     77( 2) 1 1 1 1x x x x            ， 则    2 35 4 5 7 71 1 1 14a C C         ，    1 26 5 6 7 71 1 1 14a C C        ， 所以 5 6 14 14 0a a     . 12.【答案】A 对任意的 1x ，  2 2,0x   ， 1 2x x ，可知 1 2 0x x  ， 则 1 2 2 1 1 2 x xx e x e ax x   恒成立等价于 21 1 22 1 ( )x xx e x e a x x  ，即 1 2 1 2 x xe a e a x x   ， 令 ( ) xe af x x  ，则函数 ( ) xe af x x  在 2,0 上为减函数， ∴   2 1( ) 0 xe x af x x     ，∴ ( 1)xa e x  ， 再令 (( )) 1xg e xx  ，  2,0x  ，∴ ( ) 0xg x xe   ， ∴ ( )g x 在 2,0 上为减函数，∴ 2 3( ) ( 2)maxg x g e     ，∴a 2 3 e   ， 二、填空题 13、 24 14、 1 5 15、【答案】 2 3 由题意可得 X 的可能取值有 0，1，2 2 2 4( 0) 3 3 9P X    ， 1 2 2 4 1 1( 1) , ( 2)3 3 9 3 3 9 CP X P X       则数学期望 4( ) 0 9E X   4 1 21 29 9 3      ． 故答案为： 2 3 16、【答案】 1( 1, )2       1g x f x kx   有四个零点等价 于  y f x 与 1y kx  有四个不同的交点 当 0x  时，   ln 2f x x x x  ，   ln 1f x x   当  0,x e 时，   0f x  ；当  ,x e  时，   0f x  即  f x 在 0,e 上单调递减，在 ,e  上单调递增    minf x f e e    当 0x  时，   2 3 2f x x x  ，此时  min 3 9 4 16f x f        由此可得  f x 图象如下图所示： 1y kx  恒过 0, 1 ，由图象可知，直线位于图中阴影部分时，有四个不同交点 即临界状态为 1y kx  与  f x 两段图象分别相切 当 1y kx  与    2 3 02f x x x x   相切时，可得： 1 2k   当 1y kx  与    ln 2 0f x x x x x   相切时 设切点坐标为 , ln 2a a a a ，则   ln 1k f a a   又 1y kx  恒过  0, 1 ，则 ln 2 1 0 a a ak a    即 ln 2 1ln 1 a a aa a    ，解得： 1a  1k   由图象可知： 11, 2k       解答题 17、【答案】（1） 2 （2） 2 2 12 x y  ； 8 2 7 解：（1）根据 2 2: 1C x y  得曲线 C 的参数方程 cos sin x y      （ 为参数） 设 ( )cos ,sinM q q ∴ π3 cos 3sin 2sin 6x y            则当 π 6 2    ，即 2 3   时， 3x y 取最小值为 2 （2）可得 E 方程： 2 2 12 x y  ． 将直线l 的参数方程可化为标准形式 1 2 3 2 tx y t       （t 为参数） 代入曲线 E 方程得： 27 4 4 0t t   （A，B 处对应的参数为 1t ， 2t ） ∴ 1 2 1 2 4 7 4 7 t t t t        ∴  2 1 2 1 2 1 2 8 24 7AB t t t t t t      ． 18、解：(1)根据散点图, 更适宜作为年销量 关于年份代码 的回归方程;………………4 分 (2) 依题意, 11  ,      5 1 5 2 1 851.2 2.28374 i i i i i y y c               ,……………………6 分 22.72 2.28 11 2.36d y c       ,……………………8 分 22.28 2.36 2.28 2.36y x    ……………………10 分 令 得 79.72y  ,预测 2020 年我国某新能源乘用车的销量为 万辆.……12 分 19、【答案】 ( )f x 在 , 1  ， 0, 单调增加，在（-1，0）单调减少, ,1 （I） ( ) 1 ( 1)( 1).x x xf x e xe x e x       ( , 1) , ( ) 0, ; ( 1,0) , ( ) 0 ; (0, ) , ( ) 0x f x x f x x f x        当 时 增当 时 ，减当 时 ，增.故 f(x)的单调增区间是（-∞，-1）和（0，+∞），单调减区间是（-1,0） （II） 令 若 若 a>1，则当 为减函数，而 从而当 综合得 a 的取值范围为 20、【答案】（1）甲131.5，乙128.5；（2）没有 90％的把握；（3） 0.0684 . （1）由茎叶图可知：甲校学生数学成绩的中位数为128 135 131.52   ，乙校学生数学成绩的 中位数为 128 129 128.52   ，所以这 40 份试卷的成绩，甲校学生数学成绩的中位数比乙校学 生数学成绩的中位数高． （2）由题意，作出 2 2 列联表如下： 甲校 乙校 合计 数学成绩优秀 10 7 17 数学成绩不优秀 10 13 23 合计 20 20 40 计算得 2K 的观测值 240 (10 13 10 7) 0.9207 2.70620 20 17 23k         ， 所以没有 90 0 0 的把握认为数学成绩在 100 分及以上的学生中数学成绩是否优秀与所在学校 有关． （3）因为 ~ (110,144)X N ，所以 110  ， 144 12   ， 所以 (86 134) 0.9544P X   ，所以 1 0.9544( 134) 0.02282P X    ， 由题意可知 ~ (3,0.0228)B ，所以 3 0.0228 0.0684E    ． 21 、 22、【答案】（1） 1 2 ln 22y x    ；（2） 2a e  ；（3） 2 1a e  . （1） ( ) ln 1f x x x   ， 1( ) 1f x x    ， 1 1(2) 12 2f      ，又 (2) ln 2 2 1 ln 2 3f      ， 所以切线方程为：   1ln 2 3 ( 2)2y x     ，即 1 ln 2 22y x     ； （2） 1 1( ) 1 xf x x x     ， 0 1x   时， ( ) 0f x  ， ( )f x 在 01，上单调递增，   (1) 2ln1 1 1 2f x f       ， 由于对于任意  1 0,1x  ，存在  2 0,1x  ，使得 1 2( ) ( )f x g x ，则需 max max( ) ( )f x g x ， ( ) 4xg x ae  当 0a  时， ( ) 4g x   ，不满足 max max( ) ( )f x g x ，故 0a  ， 当 >0a 时， ( ) 4xg x ae  在 01，上单调递增，   (1) 4g x g ae    ，所以 2 4ae   ( ) 4xg x ae  ，解得 2a e  ； 当 0a  时， ( ) 4xg x ae  在 01，上单调递减，所以 ( ) 4xg x ae  在 01，上没有最大值， 所以 0a  不满足， 综上可得， 2a e  ; (3)因为 00 xx> e >， ，所以由 ( ) 2 ( ) 0f x x x g x    得 ln 1,x x xa ex   令   ln 1 x x xh xex   ，则      2 ' +1 2 ln x x x e xh x x   ， 令   2 ln ,m x x x   则  m x 在  0 +， 上单调递减，且  0 +x m x  ， ，所以存在 唯一的零点 0x ，使得   0m x  ， 即有 0 02 ln 0x x   ，也即有 0 02 lnx x  ， 02 0 ,xe x  ，即 02 0 xe x e ， 所以 0 00 ( )>,x hx x  ， 0 0> ), (x h xx   ，所以  h x 在 00 x， 上单调递增，在 0x  ， 上递减，所以    0h x h x ， 而   0 0 0 2 0 0 0 0 0 0 0 0 ln 1 2 1 1 1 x x x x x x xh x x x xe e ee         ，所以   2 1h x e  ， 所以 2 1a e  .所以 a 的取值范围是 2 2 1 1[ , )a e e  即 .