黑龙江省大庆市铁人中学2019-2020学年高一下学期期中考试数学试题

黑龙江省大庆市铁人中学2019-2020学年高一下学期期中考试数学试题

铁人中学高一年级 期中考试数学试题 答题时间：120分钟 满分：150分 第I卷（选择题 共60分）‎ 一、选择题（本大题共12小题，共60分）在给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。‎ ‎1.直线与平行，则为( )‎ A.2 B.2或 C. D.‎ ‎2.若==,则△ABC为 (　　)‎ A.等边三角形 B.有一个内角为30°的直角三角形 C.等腰直角三角形 D.有一个内角为30°的等腰三角形 ‎3.如果关于直线的对称点为，则直线的方程是(　　)‎ A． B． C． D．‎ ‎4.已知,且,则下列不等式恒成立的是(   )‎ A. B. C. D. ‎ ‎5.若满足约束条件则的最小值为(   )‎ A.1 B.‎-1 ‎C.2 D.‎ ‎6.等比数列的前项和为,是与的等比中项,则的值为( )‎ A.1 B. C. D.‎ ‎7.古希腊数学家阿基米德是世界上公认的三位最伟大的数学家之一,其墓碑上刻着他认为最满意的一个数学发现,如图,一个“圆柱容球”的几何图形,即圆柱容器里放了一个球,该球顶天立地,四周碰边,在该图中,球的体积是圆柱体积的,并且球的表面积也是圆柱表面积的, 若圆柱的表面 积是现在向圆柱和球的缝隙里注水,则最多可以注入的水的体积为( )‎ A. B. C. D.‎ ‎8.已知数列是等差数列，是其前n项的和，则下列命题中正确的是( )‎ A.若，则 B.若，则 C.若，则 D.若，则 ‎9.在正方体ABCD－A1B‎1C1D1的棱长为2，点P是上底面A1B‎1C1D1内一动点，则三棱锥P－ABC的三视图的面积之和最大值为( )‎ A.6 B‎.7 ‎C.8 D.9‎ ‎10.若不等式对一切恒成立,则实数取值的集合(   )‎ A. B. C. D. ‎ ‎11.已知，则的最小值是（ ）‎ A．3 B． C． D．9‎ ‎12.如图为一个正方体与一个半球构成的组合体,半球的底面圆与该正方体的上底面的四边相切, 与正方形的中心重合.将此组合体重新置于一个球中(球未画出),使该正方体的下底面的顶点均落在球的表面上,半球与球内切,设切点为，若正四棱锥的表面积为,则球的表面积为( )‎ A. B. C. D. ‎ 第II卷（非选择题 共90分）‎ 二、 填空题（本大题共4小题，共20分）‎ ‎13.数列的通项公式为，则使取最小值的值为______.‎ ‎14.在中，角所对的边分别为.若时，则 的面积为______. ‎ ‎15.五一期间,要在一圆锥形建筑物上挂一宣传标语,经测量得圆锥的高为 ,母线长为3,如图所示,为了美观需要,在底面圆周上找一点拴系彩绸的一端,沿圆锥的侧面绕一周挂彩绸,彩绸的另一端仍回到原处,则彩绸长度的最小值为______.‎ ‎16.在锐角中,角的对边分别是,若,则角的取值范围是_____.‎ 三、解答题（本大题共6小题，共70分）‎ ‎17.（本题10分）已知公差不为零的等差数列中, ,且成等比数列 ‎（1）求数列的通项公式（2）设,求数列的前项和 ‎18.（本题12分）已知△的顶点在直线上,顶点的坐标分别为.‎ ‎（1）求过点且在轴上的截距相等的直线方程; （2）若△的面积为,求顶点的坐标.‎ ‎19.（本题12分）某单位决定投资元建一仓库(长方体状),高度恒定,它的后墙利用 旧墙不花钱,正面用铁栅,每长造价元,两侧墙砌砖,每长造价元,‎ ‎（1）求该仓库面积的最大值 ‎（2）若为了使仓库防雨，需要为仓库做屋顶。顶部每造价元，求仓库面积的最大值，并求出此时正面铁栅应设计为多长?‎ ‎20.（本题12分）在中,点在边上,,,.‎ ‎（1）求的值;（2）若,求的长.‎ ‎21.（本题12分）已知在中,角的对边分别为,且 ‎ ‎（1）求b的值（2）若求的取值范围 ‎22.（本题12分）若数列是公差为的等差数列,数列满足,‎ 且.‎ （1） 求数列的通项公式; （2）设数列满足,数列的前项和为,若不等式对一切恒成立,求实数的取值范围.‎ 一、选择题（本大题共12小题，共60分）在给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。‎ ‎1.答案：B ‎2.C.因为==,所以由正弦定理得==,所以tan B=tan C=1,‎ 又B∈(0,π),C∈(0,π),所以B=C=,A=,所以△ABC为等腰直角三角形.‎ ‎3.答案：A ‎4.答案：C ‎5.答案：B解析：由线性约束条件画出可行域(如下图所示). 当直线经过点时,目标函数取得最小值.‎ ‎6.答案：B解析：设数列的公比为,则由,得,易知,所以解得或,当时,,这与与与的等比中项矛盾 当时,由与与的等比中项,得,即,所以,故选B.‎ ‎7.答案：B设球的半径为,则由题意可得球的表面积为,所以,所以圆柱的底面半径为1,高为2,所以最多可以注入的水的体积为.‎ ‎8.答案：C ‎9.答案：C ‎10.答案：C ‎11.答案：B 解析：∵，，即，‎ 则 当且仅当且即时取等号，‎ 则的最小值是.‎ ‎12.答案：B 解析：如图，设球，半球的半径分别为, 由题意知正方体的棱长为，四棱锥为正四棱锥.设该正方体的底面的中心为，连接，则四棱锥的高，其各侧面的高为.由题意得，得.易知球 的球心在线段上，连接，则在中，于是由勾股定理，得，‎ 解得,所以球的表面积，故选B.‎ 第II卷（非选择题 共90分）‎ 二、 填空题（本大题共4小题，共20分）‎ ‎13.5 14.‎ ‎15. 16.‎ ‎13.设为数列的最小项，则，代入数据可得，‎ 解之可得，故n唯一可取的值为5‎ ‎14.解析：因为，且，解得，，‎ 而，，所以，，‎ 故 因为，，故，故.‎ ‎15.答案：把圆锥沿过点的母线剪开,并铺平得扇形 ‎,如图所示,这样把空间问题转化为平面问题,易知动点所经过的最短距离即为线段,的长度,由已知条件得底面圆半径,扇形圆心角,所以,即彩绸最少要.‎ ‎16.解析：由余弦定理得,可化为,即.根据是锐角三角形,得,根据余弦定理,得即 解得,由余弦定理得 所以,因为,所以,‎ 三、解答题（本大题共6小题，共70分）‎ ‎17.答案：（1）.设数列公差为,∵成等比数列∴ (舍)或,∴ （2）. ‎ ‎,‎ ‎18.答案：（1）.当所求直线过原点时,直线的斜率为,∴直线方程为即;‎ 当截距不为时,易得直线的斜率为-1,∴直线方程为,即.‎ ‎∴所求直线方程为或.‎ ‎（2）.由顶点在直线上,可设,可求得直线的方程为,则顶点到直线的距离 且,∴,即,‎ ‎∴或, 故顶点的坐标为或.‎ ‎19.答案：（1）.设铁栅长为米,一侧砖墙长为米,仓库面积,‎ ‎ （2）依题设,得, 由基本不等式得, 则,即,故,从而, 所以的最大允许值是平方米.取得此最大值的条件是且,解得,即铁栅的长是米.‎ ‎20.答案：1.因为,所以,‎ 因为,所以,所以 ‎. 2.在中,由,得,‎ ‎.‎ ‎21.答案：（1）由 可得 ‎    ，解得 （2）由 可得又 ∵ 又∵且又∵ ‎ ‎22.答案：（1）.∵数列满足,且.‎ ‎∴时, ,解得.又数列是公差为的等差数列,‎ ‎∴.   ∴,化为,‎ ‎∴数列是首项为,公比为的等比数列.∴. （2）. 由数列满足,数列的前项和为 ‎,‎ 两式作差,得 不等式化为 时, ,取,∴. ‎ 时, ,取,∴. ‎ 综上可得:实数的取值范围是 ‎