福建省泉州市第十六中学2019-2020学年高一上学期期中考试数学试题

福建省泉州市第十六中学2019-2020学年高一上学期期中考试数学试题

www.ks5u.com 泉州第十六中学2019年秋季期中考试卷 高一数学 第Ⅰ卷（选择题）‎ 一、单选题（每题只有一个正确选项）‎ ‎1.设集合，，，则M中元素的个数为（ ）‎ A. 3 B. 4 C. 5 D. 6‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【详解】由题意知，，‎ 则x的可能取值为5,6,7,8.‎ 因此集合M共有4个元素，故选B.‎ ‎【考点定位】集合的概念 ‎2.已知集合，，则（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先化简集合A和B,再求得解.‎ ‎【详解】由题得，‎ ‎，‎ 所以.‎ 故选：B ‎【点睛】本题主要考查一元二次不等式的解法，考查集合的交集运算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.‎ ‎3.‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先根据偶次根式下被开方数非负以及分母不为零列不等式组，解得定义域.‎ ‎【详解】由题意得，即定义域为，选A.‎ ‎【点睛】具体函数定义域主要考虑：(1)分式函数中分母不等于零． (2)偶次根式函数的被开方式大于或等于0.（3）对数中真数大于零.(4)零次幂得底不为零.‎ ‎4.命题“，”的否定是　　‎ A. ， B. ，‎ C. ， D. ，‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 因为“,”是全称命题，所以依据含一个量词的命题的否定可知：其否定是存在性命题，即“, ”，应选答案C 。‎ ‎5.如图中阴影部分所表示的集合是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由韦恩图可知，阴影部分所表示的不在集合A和C中，但是在集合B中，即可得解.‎ ‎【详解】由韦恩图可知，阴影部分所表示的不在集合A和C中，但是在集合B中，‎ 故图中阴影部分所表示的集合是(也可以自己根据选项画图检验).‎ 故选：D ‎【点睛】本题主要考查韦恩图，考查集合的交并补的运算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.‎ ‎6.设则“且”是“”的 A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 即不充分也不必要条件 ‎【答案】A ‎【解析】‎ 试题分析：若x≥2且y≥2，则x2≥4，y2≥4，所以x2+y2≥8，即x2+y2≥4；若x2+y2≥4，则如（-2，-2）满足条件，但不满足x≥2且y≥2．所以“x≥2且y≥2”是“x2+y2≥4”的充分而不必要条件．故选A．‎ 考点：本题考查充分、必要、冲要条件。‎ 点评：本题也可以利用几何意义来做：“”表示为以原点为圆心，2为半径的圆外的点，包括圆周上的点，“且”表示横坐标和纵坐标都不小于2的点。显然，后者是前者的一部分，所以选A。这种做法比分析中的做法更形象、更直观。‎ ‎7.下列函数中，在上为减函数的是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 逐项判断函数在上的单调性.‎ ‎【详解】对于A：在上单调递增，不符；‎ 对于B：对称轴为，所以在单调递减，在单调递增，不符；‎ 对于C：在和上单调递减，满足题意；‎ 对于D：在上单调递减，在上单调递增，不符；‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】本题考查函数单调减区间的判断，难度一般.常见的函数单调性以及单调区间的判断：一次函数根据中的的正负判断单调性和单调区间，二次函数根据函数的对称轴以及开口方向判断单调性和单调区间.‎ ‎8.设， 则 （ ）‎ A. y3>y1>y2 B. y2>y1>y3 C. y1>y2>y3 D. y1>y3>y2‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据条件化为底为2的指数，再根据指数函数单调性确定大小.‎ ‎【详解】因为，为单调递增函数，所以即y1>y3>y2，选D.‎ ‎【点睛】本题考查指数函数单调性，考查基本化简应用能力.‎ ‎9.函数的值域是　　‎ A. ， B. C. ， D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 把已知函数解析式变形，由可得范围，进一步求得函数值域．‎ 详解】解：，‎ ‎，，‎ 则，‎ ‎．‎ 即函数的值域是，．‎ 故选：．‎ ‎【点睛】本题考查函数的值域及其求法，考查数学转化思想方法，是中档题．‎ ‎10.如图，在四个图形中，二次函数与指数函数的图像只可能是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据二次函数的对称轴首先排除B、D，再根据二次函数x=0时，y=0排除A，即可得出答案．‎ ‎【详解】根据指数函数y＝（）x可知a，b同号且不相等，则二次函数y＝ax2+bx的对称轴0可排除B与D，‎ 又二次函数，当x=0时，y=0，而A中，x=0时，y<0，故A不正确．‎ 故选C．‎ ‎【点睛】本题考查了同一坐标系中指数函数图象与二次函数图象的关系，根据指数函数图象确定出a、b的正负情况是求解的关键，属于中档题．‎ ‎11.若函数在上是增函数,函数是偶函数,则,,的大小顺序是(  )‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由函数在上单调递增,且函数是偶函数,可得函数在上单调递减,且在上函数满足,由此要比较,,的大小,可以比较,,‎ ‎【详解】解：因为函数在上单调递增,且函数是偶函数,所以函数在上单调递减,且在上函数满足,即,‎ 因为,所以．‎ 故选D．‎ ‎【点睛】本题主要考查函数的奇偶性,属于基础题.‎ ‎12.关于函数，有下列结论 ‎①函数是偶函数；‎ ‎②函数在上递减；‎ ‎③函数在上递增；‎ ‎④函数在上的最大值为.‎ 其中所有正确结论的编号是（ ）‎ A. ①② B. ①②④ C. ②③ D. ①③④‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用奇偶性的定义可判断出命题①的正误；作出函数的图象，可判断出命题②③④的真假.‎ ‎【详解】对于命题①，函数的定义域为，关于原点对称，且，该函数为偶函数，命题①正确；‎ 对于命题②③④，，‎ 作出函数的图象如下图所示：‎ 可知函数在区间和上单调递减，在区间和上单调递增，当时，，命题②④正确，命题③错误，故选：B.‎ ‎【点睛】本题考查函数的基本性质，涉及函数的奇偶性、单调性以及最值的判断，常用定义法以及图象法来判断，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.‎ 第Ⅱ卷（非选择题）‎ 二、填空题 ‎13.已知，，则的取值范围是___________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 需将y的符号转化成-y，再采用同向可加性进行求解 ‎【详解】，根据同向可加性，满足，即 ‎【点睛】同向可加性的适用前提是符号必须相同：同为大于号或同为小于号 ‎14.已知命题，命题.若是的充要条件，则的值是_________。‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求出命题的等价条件，利用充分条件和必要条件的定义，得出，根据集合的运算，即可求解．‎ ‎【详解】由题意，命题，解得集合，‎ 设命题，对应的集合，‎ 若是的充要条件，则集合，‎ 只有时，集合，此时成立，‎ 所以．‎ ‎【点睛】本题主要考查了充分条件和必要条件的应用，其中解答中利用充分条件和必要条件的定义，求出命题的等价条件是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．‎ ‎15.已知函数且，则＝_____．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由函数为分段函数，则须分以及两种情况分别代入对应的解析式来求出，最后综合即可．‎ ‎【详解】∵且，‎ ‎∴当时，有，，解得．‎ 当时，有，解得．‎ 综上可得：或，‎ 故答案为1或．‎ ‎【点睛】本题主要考查了分段函数的的运算性质，考查了分类讨论的思想方法，是基础题．‎ ‎16.已知，函数若对任意x∈［–3，+），f(x)≤恒成立，则a的取值范围是__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意分类讨论和两种情况，结合恒成立的条件整理计算即可求得最终结果.‎ ‎【详解】分类讨论：①当时，即：，‎ 整理可得：，‎ 由恒成立的条件可知：，‎ 结合二次函数的性质可知：‎ 当时，，则；‎ ‎②当时，即：，整理可得：，‎ 由恒成立的条件可知：，‎ 结合二次函数的性质可知：‎ 当或时，，则；‎ 综合①②可得的取值范围是，故答案为.‎ 点睛：对于恒成立问题，常用到以下两个结论：(1)a≥f(x)恒成立⇔a≥f(x)max；(2)a≤f(x)恒成立⇔a≤f(x)min.有关二次函数的问题，数形结合，密切联系图象是探求解题思路的有效方法．一般从：①开口方向；②对称轴位置；③判别式；④端点函数值符号四个方面分析．‎ 三、解答题（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）‎ ‎17.计算下列各题：‎ ‎（1）．‎ ‎（2）已知，，，求的取值范围．‎ ‎【答案】(1)89；(2) ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）直接利用指数的运算法则求解；（2）由题得，再利用基本不等式求解.‎ ‎【详解】（1）原式 ‎（2）∵，，，‎ ‎∴，‎ 当且仅当，即当时等号成立．‎ 故的取值范围是．‎ ‎【点睛】本题主要考查指数幂的运算，考查基本不等式求最值，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.‎ ‎18.已知集合,.‎ ‎（1）若,求;‎ ‎（2）若,求实数的取值范围.‎ ‎【答案】(1) (2) ‎ ‎【解析】‎ 分析】‎ ‎（1）,代入即可写出集合，方可求出集合，解出集合，则可求出；‎ ‎（2），再讨论是否为空集，分别解出的取值范围.再取并集即可。‎ ‎【详解】（1）因为,所以,‎ 从而或.‎ 又,‎ 所以或. ‎ ‎（2）当时,由得,‎ ‎ 解得; ‎ 当即时, 即，有,‎ 综上,实数的取值范围是 ‎【点睛】本题考查集合的基本运算，属于基础题。需要注意的是需要讨论是否为空集。‎ ‎19.已知二次函数，满足且 ‎ ‎（1）求函数的解析式；‎ ‎（2）解关于的不等式（其中）.‎ ‎【答案】（1）；（2）详见解析.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）设出二次函数的解析式，结合已知条件对比系数，求得函数的解析式.（2）化简不等式为，‎ ‎【详解】（1）设，由得，故.由得，故，所以.‎ ‎（2）原不等式可化为.‎ 当时，解得；‎ 当时，，解得或；‎ 当时，，解得；‎ 当时，解集为空集；‎ 当时，，解得.‎ 综上所述，当时，解集为；当时，解集为或；当时，，解集为；当时，解集为空集；当时，，解集为.‎ ‎【点睛】本小题主要考查待定系数法求二次函数解析式，考查一元二次不等式的解法，考查分类讨论的数学思想方法，属于中档题.‎ ‎20.已知幂函数图象经过点．‎ ‎（1）求函数的解析式；‎ ‎（2）设函数，试判断函数在区间上的单调性，并求函数在区间上的值域．‎ ‎【答案】(1) (2)增函数，‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）设，再求出即得解；（2）求出，易得函数在区间上为增函数，再求函数的值域.‎ ‎【详解】（1）设，则，则，‎ 所以．‎ ‎（2）因为，‎ 所以函数在区间上为增函数，‎ 所以时，有最大值；时，有最小值．‎ 所以函数在上的值域为．‎ ‎【点睛】本题主要考查幂函数的解析式的求法，考查函数的单调性的判断和值域的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.‎ ‎21.某企业生产一种产品，根据经验，其次品率与日产量 （万件）之间满足关系,‎ ‎ （其中为常数，且，已知每生产1万件合格的产品以盈利2万元，但每生产1万件次品将亏损1万元（注:次品率=次品数/生产量， 如表示每生产10件产品，有1件次品，其余为合格品）.‎ ‎（1）试将生产这种产品每天的盈利额 （万元）表示为日产量 （万件）的函数；‎ ‎（2）当日产量为多少时，可获得最大利润?‎ ‎【答案】（1）；（2）见解析.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）运用每天的赢利为P（x）＝日产量（x）×正品率（1﹣Q）×2﹣日产量（x）×次品率（Q）×1，整理即可得到P（x）与x的函数式；‎ ‎（2）当a＜x≤11时，求得P（x）的最大值；当1≤x≤a时，设12﹣x＝t，利用基本不等式可得x＝9时，等号成立，故可分类讨论得：当1＜a＜3时，当x＝11时，取得最大利润； 3≤a＜9时，运用复合函数的单调性可得当x＝a时取得最大利润；当9≤a≤11时，当日产量为9万件时，取得最大利润．‎ ‎【详解】（1）当时，，‎ ‎∴.‎ 当时，，‎ ‎∴.‎ 综上，日盈利额（万元）与日产量x（万件）的函数关系式为 ‎，（其中a为常数，且）.‎ ‎（2）当时，，其最大值为55万元.‎ 当时，，设，则，‎ 此时，，‎ 显然，当且仅当，即时，有最大值，为13.5万元.‎ 令，得，‎ 解得（舍去）或，‎ 则（i）当时，日产量为11万件时，可获得最大利润5.5万元.‎ ‎（ii）当时，时，‎ 函数可看成是由函数与复合而成的.‎ 因为，所以，故在上为减函数 又在上为减函数，所以在上为增函数 故当日产量为a万件时，可获得最大利润万元.‎ ‎（iii）当时，日产量为9万件时，可获得最大利润13.5万元.‎ ‎【点睛】本题考查利润函数模型的应用，并且利用基本不等式求得函数的最值问题，也考查分类讨论思想方法，是难题．‎ ‎22.已知函数，．‎ ‎（）当时，证明：为偶函数；‎ ‎（）若在上单调递增，求实数的取值范围；‎ ‎（）若，求实数的取值范围，使在上恒成立．‎ ‎【答案】（）证明见解析；（）；（）.‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）当时，的定义域关于原点对称，而，说明为偶函数；（2）在上任取、，且，则恒成立，等价于恒成立，可求得的取值范围；（3）先证明不等式恒成立，等价于，即恒成立，利用配方法求得的最大值，即可得结果.‎ 试题解析：（）当时，，定义域关于原点对称，‎ 而，说明为偶函数．‎ ‎（）在上任取、，且，‎ 则，‎ 因为，函数为增函数，得，，‎ 而在上调递增，得，，‎ 于是必须恒成立，‎ 即对任意的恒成立，‎ ‎∴．‎ ‎（）由（）、（）知函数在上递减，‎ 在上递增，其最小值，‎ 且，‎ 设，则，，‎ 于是不等式恒成立，等价于，‎ 即恒成立，‎ 而，仅当，‎ 即时取最大值，故．‎ ‎ ‎